CORRECTION : DEVOIR GROUPE – Equation et Inéquation Exercice 1 : Résoudre dans R les équations suivantes en ayant soin de factoriser lorsque cela est nécessaire. 1) 4x − 1 − (2 − 3x) = 3x − 5(2 − x) + 1 4x – 1 – 2 + 3x = 3x – 10 + 5x + 1 7x – 3 = 8x – 9 7x – 8x = -9 + 3 -x = -6 x=6 2) (7x − 3)(4 − 5x) = 0 7x – 3 = 0 7x = 3 x= 3 7 OU = 0,42 4 – 5x = 0 -5x = -4 x= −4 −5 = 4 5 = 0,8 3) x ² + 6x + 9 = 0 x² + 2× x ×3 + 3² = 0 (x + 3)² = 0 x+3=0 x = -3 Exercice 2 : On résoudra les problèmes suivants à l’aide d’une équation. On explicitera l’inconnue choisie et on cherchera à poser l’équation la plus proche du texte. 1) Dans une entreprise comprenant 11 ouvriers, 2 contremaîtres et le patron, le total des salaires mensuels atteint 19 000 €. Tous les ouvriers ont le même salaire, un contremaître gagne 400 € de plus qu’un ouvrier, et le patron gagne 1000 € de plus qu’un contremaître. Calculer le salaire mensuel d’un ouvrier, d’un contremaître et du patron. Soit x le salaire d’un ouvrier. x + 400 : est le salaire d’un contremaitre x + 400 + 1000 = x + 1 400 : est le salaire du patron Le problème peut se mettre en équation : Salaire des 11 ouvriers + Salaire des 2 contremaitres + Salaire du patron = 19 000 11x + 2(x + 400) +(x + 1400) = 19 000 11x + 2x + 800 + x + 1400 = 19 000 14x + 2 200 = 19 000 14x = 19 000 – 2 200 14x = 16 800 x= 16800 14 = 1 200 Un ouvrier gagne 1 200€, un contremaitre 1 600 € (1200+400) et le patron 2 600€ (1400 + 1200). 2) Un commerçant veut écouler 100 chemises démodées. Il réussit à en vendre 43 au prix initial. Il consent alors un rabais de 1 € par chemise et en vend ainsi 17. Il liquide le reste à 1,5 € l’unité. Calculer le prix initial d’une chemise, sachant qu’il a encaissé en tout 1 243 € ? Soit x le prix initial des 43 chemises vendues dans un 1er temps x-1 : le prix rabaissé des 17 chemises vendues dans un 2nd temps 1,5 le prix des 40 chemises restantes (100-43-17) La situation est mise en équation : Vente des 43 ch. à x€ + vente des 17 ch. à (x-1)€ + vente des 40 ch à 1,5€ = 1 243 43x + 17(x-1) + 40×1,5 = 1 243 43x + 17x – 17 + 60 = 1 243 60x + 43 = 1243 60x = 1243 – 43 60x = 1200 x= 1200 60 = 20 Le prix initial d’une chemise est de 20 €. 3) Xavier a 3 ans de plus que son petit frère et 5 ans de moins que l’aîné de la famille. Sachant que la somme des âges des trois frères est 26 ans, déterminer l’âge de Xavier. En déduire l’âge des deux autres frères. Soit x l’âge de Xavier. x – 3 est l’âge de son petit frère x + 5 est l’âge de son frère aîné Mise en équation : la somme des 3 âges = 26 x + (x – 3) + (x + 5) = 26 3x + 2 = 26 3x = 26 – 2 3x = 24 x= 24 3 =8 Xavier a 8 ans, son petit frère a 5 ans et son grand frère a 13 ans. Exercice 3 : Résoudre les inéquations suivantes dans R. On donnera la réponse sous forme d’intervalle. 1) −3x + 1 < 4x + 6 2) 5x − 5(x + 1) < 3x + 1 -3x – 4x < 6 – 1 - 7x < 5 5x – 5x – 5 < 3x + 1 - 5 < 3x + 1 −7𝑥 −7 -3x < 1 + 5 >- 5 7 x > - 0,71 S=]- 5 7 ; + ∞[ -3x < 6 −3𝑥 −3 > 6 3 x> 2 S = ] 2 ; + ∞[ Exercice 4 : Pour les problèmes suivant, on définira clairement l’inconnue et on posera l’inéquation la plus proche du texte. 1) Un particulier a des marchandises à faire transporter. Un premier transporteur lui demande 460 € au départ et 3,50 € par kilomètre. Un second transporteur lui demande 1 000 € au départ et 2 € par kilomètre. Pour quelles distances à parcourir est-il plus avantageux de s’adresser au second transporteur ? Soit x le nombre de km parcourus 460 + 3,50x : coût du 1er transporteur pour x km 1000 + 2x : coût du 2ème transporteur pour x km Mise en inéquation : coût du 2ème transp. pour x km < coût du 1er transp. pour x km 1000 + 2x < 460 + 3,5x 2x – 3,5x < 460 – 1000 -1,5x < - 540 −1,5𝑥 − 1,5 > −540 −1,5 x > 360 Le transporteur est plus avantage à partir de 361 km parcourus. 2) Un camion pesant à vide 2 tonnes doit passer un pont limité à 6 tonnes. Combien de caisses de 118 kg peut-il transporter ? Soit x le nombre maximum de caisses ; ATTENTION AUX unités : 1 t = 100 kg Mise en inéquation : 2000 + 118x < 6000 118x < 6000 – 2000 118x < 4000 X< 4000 118 X < 33,9 Il peut transporter au maximum 33 caisses. 3) Voici les tarifs annuels de l’eau dans deux communes • La commune A facture un abonnement annuel de 32 € puis 1,13 € le m3 d’eau consommé • La commune B facture un abonnement annuel de 14 € puis 1,72 € le m3 d’eau consommé À partir de quelle consommation d’eau au dixième de m3 près, le tarif de la commune A est-il plus avantageux que le tarif de la commune B ? Soit x la consommation en m3 32 + 1,13 x : coût de la commune A 14 + 1,72 x : coût de la commune B Mise en inéquation : Coût de la commune A < Coût de la commune B 32 + 1,13x < 14 + 1,72x 1,13x – 1,72x < 14 – 32 -0,04x < - 18 x> −18 −0,04 x > 450 La commune A applique un tarif plus avantage pour une consommation supérieure à 450 m3.
