CONTR 1 2BAT

Lycée Qualifiant Al-Laymoune
CONNTROLE N1
Centre de Préparation au BTS
Rabat
1/2
LE23/11/2015
2Année Bâtiment
Professeur : OUAZZANI CHAHDI
EXERCICE1 (5points) :
Soit aun paramétre réel.Onconsidérele systéme linéaire suivant :
( x, y , z ) 
3pts
3
 x  y  az  1

;  x  ay  z  1. On note S a l ' ensemble de ses solutions.
ax  y  z  1

1) Résoudre le système dans le cas a=1 puis dans le cas a=-2.
2) On suppose que a  1et a  2. Montrer que le système admet une solution
2pts
unique à déterminer en fonction de a.
EXERCICE2 (5points) :
Dans
2pts
3
onconsidérelestroisvecteursV1  (1,2,1);V2  (3,1, 2) etV3  (1,1,0)
écrits danslabasecanonique.
1) Montrer quela famille (V1 ,V2 ,V3 ) est unebasede
3
.
2pts
a  3b  c  8

2a  b  c  5 ; (a, b, c) 
2) Résoudre le système linéaire suivant : 
 a  2b
7

1pt
3) Soit levecteurU  (8,5,7). Ecrire U en fonctiondeV1 ,V2 etV3 .
EXERCICE3 (4points) :
Dans 4 muni de sabasecanonique; onconsidèrel ' ensemble :
E   a  b, a  2b  c, a  b  c, b  c  / a  ; b 
.
2pts
s
1) Montrer que E est un sous espace vectoriel de
4
.
et c 

3
.
2pts
2) Déterminer une base de E et dimE.
EXERCICE4 (5points) :
Dans
(
) ; onconsidérelesles matrices :
1pt
1 1 0
 0 1 0 


A   0 1 1  et B   1 3 1  .
 1 0 2 
2 4 1




1) Calculer A  B et B  A.
2pts
2) a) Calculer A2 et A3 .
1pt
1pt
1 0 0
0 0 0
b)Vérifier que: A3  3 A  I  O. Avec I   0 1 0  et O   0 0 0 
0 0 1
0 0 0




1
c) En déduire que Aest inversibleet déter min er A l ' inverse de A.
EXERCICE FACULTATIF (2points) :
 2 1
soit dans M 2 ( ) la matrice T  
.
0
3


n
n
 2 3  2n 
n
Montrer que:n  ;T  
.
n
0
3

