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Série d'exercices : Limites et continuité - Ts
Classe: Terminale
Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction
Exercice 1
Déterminer l'ensemble de définition f dans chacun des cas suivants :
1) f : ↦
√x2 + 2x + 3 − √x2 − 3x − 4
2) f : x ↦
3) f : x ↦
4) f : x ↦
5) f : x ↦
6) f : x ↦
7) f : x ↦
8) f : x ↦
9) f : x ↦
{
√
x+
2
√x + 4
x+3−
√x 2 + x − 2
1 − 3x
x 2 + 5x
√1 + 3x
√x2 + 5x
1
√x3 − 12x + 16
√1 − xsq
|x − 3| − 5
1 − √x
sinπx
tanx
sin(x 2 − π 2)
√2sinx − 1
2sin 2x − 1
Calculs de limites
Exercice 2
limite d'une fonction en x 0
si x ≤ 0
si x > 0
Justifier les limites suivantes (en utilisant les limites de références du cours et les théorèmes sur les
opérations sur les limites finies) :
1) lim x → 1(x 3 − 3x + 5) = 3 2) lim x → − 1(2x 2 + x − 2) = − 1 3) lim x → 2
4) lim x → 3
x−1
x2
+1
=
1
5) lim x → 1
5
2x 2 + x − 7
x2
+3
3x + 1
= −7
x−3
= − 1 6) lim x → π (3sinx + 1) =
6
5
2
7) lim x → 5√x − 1 = 2
Extension de la notion de limite
Exercice 3
1) Déterminer la limite pour x ↦ + ∞, et pour x ↦ − ∞, de la fonction f, dans les cas suivants :
a) f : x ↦ x 2 − 3x + 1 b) f : x ↦ (x 3 − x)(x + 1) c) f : x ↦ x 2 + | x − 3 |
d) f : x ↦
g) f : x ↦
2x 2
− | 5x + 4 |
x 3 − 3x
2x 2 − x
e) f : x ↦
x+3
h) f : x ↦
x3 + x + 2
f) f : x ↦
x+1
x2 + 2
√x + 1
√x − 1
2) Déterminer la limite quand x ↦ x 0 de la fonction f dans les cas suivants :
a) f : x ↦
c) f : x ↦
e) f : x ↦
1
x−1
, x0 = 1
x2 + x + 3
(x + 3) 2(x − 2)
b) f : x ↦
−3
x2 − 4
, x 0 = − 2 et x 0 = 2
, x 0 = − 3 et x 0 = 2 d) f : x ↦ tanx , x 0 = (2k + 1)
2
, x0 = π
1 + cosx
f) f : x ↦
π
2
3
π
, x0 = −
1 + 2sinx
6
Exercice 4
Levée d'indétermination
Déterminer les limites des fonctions suivantes :
1) f : x ↦
3) f : x ↦
5) f : x ↦
7) f : x ↦
9) f : x ↦
x 3 + 3x − 4
x 2 + 4x + 4
en 1 , − ∞ , + ∞ 2) f : x ↦
en − 2 , − ∞ , + ∞
x−1
x3 + 8
√
1 + x 2 − x en − ∞ , + ∞ 4) f : x ↦
x 3 + 6x + 7
3x 2 − x − 4
√x + 3 − 2
x−1
11) f : x ↦ x
√
x+1
x−1
en − 1 , − ∞ , + ∞ 6) f : x ↦
en 1 , + ∞ 8) f : x ↦
√3x + 2 − √11x − 6
en 1
x − √x + 3 + 1
2x
√3 + x − 2x
en 1 , + ∞
√1 + x − x en
√ x + 1 − 2√ x − 2
10) f : x ↦
x−3
en 3 , + ∞
√x 2 + x + 3 − 3
x2 + x − 6
− 2x en − ∞ , + ∞ 12) f : x ↦
en 2
√x2 − 1 + 3x
x
+∞
en + ∞
13) f : x ↦
√x2 + 4x + 3 − x en
+ ∞ 14) f : x ↦
√x2 + 4x + 3 − (x + 2) en
15) f : x ↦
√x2 + 4x + 3 + x en
− ∞ 16) f : x ↦
√x2 + 4x + 3 + x + 2 en
+∞
+∞
17) f : x ↦
√2x2 − 3x + 1 − √x2 + x − 1 en
18) f : x ↦
√x2 − 1 − √x2 + x + 1 en
19) f : x ↦ x
(√
−∞, +∞
−∞, +∞
)
x 2 + 1 − x en − ∞ , + ∞ 20) f : x ↦
3√ x − 1 − 2√ x + 4
√
x 2 − 9 − 2√ x − 1
en + ∞
Limite d'une fonction trigonométrique en 0
Exercice 5
Utiliser le résultat lim x → 0
1) f : x ↦
6) f : x ↦
9) f : x ↦
sin5x
2x
sinx
sinx − x
tan2x
16) f : x ↦
18) f : x ↦
x
sin3x
√1 − cos4x
sin5x
8) f : x ↦
x2
4) f : x ↦
tanx
x
5) f :
tan2x
sinx
sinx − x
cosx − 1
sinx − tanx
3x 3
1 − cosx
sin 2πx
14) f : x ↦
√1 + sinx − √1 − sinx
cos 2x − √cosx
√cosx − 1
19) f : x ↦
15) f : x ↦
sin(2x 2 + x)
x(x + 1)
1 − cosx
17) f : x ↦
x
x(1 − cosx)
sin3x − 3sinx
sin5x
sin4x
3) f : x ↦
1 − cosx
12) f : x ↦
√1 − cosx
13) f : x ↦
= 1 pour étudier la limite éventuelle en 0 des fonctions suivantes :
10) f : x ↦
cosx − 1
11) f : x ↦
x
2) f : x ↦
7) f : x ↦
√x
sinx
tan 2x
2x − sinx
1 − cosx
20) f : x ↦
x + sinx + sin2x
x(x 2 − 1)
Limite d'une fonction trigonométrique en x 0
Exercice 6
Déterminer les limites éventuelles en x 0 des fonctions suivantes :
1) f : x ↦
sin(2x − π)
tan(2x − π)
, x0 =
π
2) f : x ↦
2
sin6x
2cosx − √3
cos
tanx
π
3) f : x ↦
, x0 =
sin2x − 1
4
4) f : x ↦
( )
( )
sinx
5cos 2x
+
sin 2x
( )
tan x +
7) f : x ↦
9) f : x ↦
− 4cosx
, x0 =
π
+x
4
sin
π
3
π
6
π
− x − tanx
4
1 − sin
5) f : x ↦
, x0 =
6) f : x ↦
, x0 =
( )
π
4
π
−x
6
1 − 2sinx
, x0 =
π
6
π
2
sin2x − 2 + 2sinx − 2cosx
sinx + √3cosx
− sin2x + √3cos2x
, x0 = −
, x0 = −
π
3
π
3
8) f : x ↦
10) f : x ↦
sinx − cosx
π
, x0 =
π
6
x−
4
cosx − √3sinx
x−
π
6
, x0 =
π
6
11) f : x ↦
1 − sinx − cosx
π
, x0 =
1 − sinx + cosx
2
xsinx −
13) f : x ↦
12) f : x ↦
cos3x
π
, x0
1 − 2sinx
3
π
2
cosx
, x0 =
π
2
14) f : x ↦
sinx(1 − sinx)
π
, x0 =
cosx
2
Déterminer une limite par lecture graphique
Exercice 7
La courbe C f ci-dessous représente une fonction f dans un repère orthonormé.
Déterminer graphiquement :
1) Le domaine de définition et de continuité de f
2) Les limites suivantes :
lim x → 0 − f(x) ;
lim x → 0 + f(x) ;
lim x → + ∞f(x) ;
lim x → − ∞f(x).
Exercice 8
→
→
Sur la figure ci-dessous, est tracée la courbe C f représentative dans un repère orthonormé (0 , i , j )
d'une fonction f continue sur R ∖ 0.
On sait de plus que :
∗ La droite Δ est une asymptote à la courbe C f au voisinage de + ∞.
∗ La droite d'équation y = 0 est une asymptote à la courbe C f au voisinage de − ∞.
A partir du graphique et des renseignements fournis, déterminer les limites suivantes :
lim x → + ∞f(x) ;
lim x → − ∞f(x) ;
lim x → 0 − f(x) ;
lim x → + ∞
f(x)
x
.
Exercice 9
La courbe ci-dessous est celle d'une fonction f définie sur R ∗ , la droite d'équation y = x est une
asymptote à la courbe au voisinage de + ∞, la droite d'équation : y = 1 est une asymptote à la courbe au
voisinage de − ∞ et l'axe des ordonnées est une asymptote verticale.
La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points ,l'un d'eux est d'abscisse − 1 et l'autre d'abscisse α.
Déterminer les limites suivantes en utilisant le graphique :
a) lim x → − ∞f(x) ;
lim x → + ∞f(x) ;
b) lim x → 0 − f(x) ;
lim x → 0 + f(x)
c) lim x → + ∞[f(x) − x]
d) lim x → α −
1
f(x)
;
lim x → α +
1
f(x)
Utilisation de la limite d'une fonction composée
Exercice 10
Déterminer les limites éventuelles des fonctions suivantes au point considéré :
1) f : x ↦ cos
4) f : x ↦
π(x + 1)
en + ∞ 2) f : x ↦
x
1 − √|x|
2 + √|x|
en − ∞ 5) f : x ↦
√
√
2x 2 − 1
1
en + ∞ 3) f : x ↦ sin
en + ∞
x
√x
2x + 1
en + ∞
x−3
6) f : x ↦
√
2x + 1
x−3
en −
1
2
√
, puis en 3 7) f : x ↦
1
x2 − 1
en + ∞ , − ∞ , − 1 , 1
( )
πx − 1
2cos 3x + 3cosx − 5
8) f : x ↦ sin
en − ∞ , + ∞ 9) f : x ↦
en 0
2x + 1
sin 2x
Utilisation des théorèmes de comparaison
Exercice 11
Déterminer la limite des fonctions suivantes :
1) f : x ↦ 1 + x 2 + sin
3) f : x ↦ sin
1
x
+
1
x
1
en x 0 = 0
x
en x 0 = 0
4) f : x ↦
1
sinx
−2
en + ∞
x
x
9) f : x ↦ x 2cos
11) f : x ↦
1
x
en 0
sinx + 2
x
en + ∞ et en − ∞
6) f : x ↦ 1 + x 2sin
5) f : x ↦ cosx − x en + ∞ et en − ∞
7) f : x ↦ xsin
sinx
en + ∞ et en − ∞
x
2) f : x ↦
8) f : x ↦ xsin
10) f : x ↦
√1 + x 2 − 1
x
1
en 0
x
1
en 0
x
sin
1
x
en 0
x − E(x)
x3 − 5
en + ∞ et en − ∞ 12) f : x ↦ 4
sin2x 2 en + ∞ et en − ∞
x
x +1
Étude des branches infinies
Exercice 12
Dans chacun des cas suivants, vérifier que les droites fixées sont asymptotes à la courbe C.
1) C : y =
2) C : y =
3) C : y =
4) C : y =
x+2
2x − 3
D1 : x =
2x − 3
3x − | x + 1 |
x2 + 1
x−3
3
2
D2 : y =
D1 : x =
1
2
1
2
D2 : y =
1
2
D3 : y = 1
D1 : x = 3 D2 : y = x + 3
x 3 + 4x 2 + 3
x 2 + 2x − 1
D 1 : x = − 1 − √2 D 2 : x = − 1 + √2 D 3 : y = x + 2
1
5) C : y =
√4x2 − 3x + 1 + x + 4
6) C : y =
√4x2 − 3x + − √x2 + x
D 1 : y = − x + 1 D 2 : y = 3x −
D1 : y = x −
5
4
D2 : x = − x +
1
2
5
4
Exercice 13
Soit f la fonction définie sur R par :
f(x) =
1) Étudier la continuité de f en 2.
{
√x + 2
si x
≥
−2
2x 2 − | x 3 |
x+2
si x
<
−2
2) Étudier la continuité de f sur ] − ∞ ; − 2[ et sur [ − 2 ; + ∞[.
3) La fonction f est-elle continue sur R ?
Continuité et prolongement par continuité
Exercice 14
Déterminer l'ensemble de définition et étudier la continuité de la fonction f dans chacun des cas
suivants :
1) f : x ↦ 3x 2 + x − 1
2) f : x ↦
4) f : x ↦ | 2x + 1 | + | x − 3 |
2x + 1
2x − 1
3) f : x ↦
5) f : x ↦ 2x + 1 +
√x 2
√x2 + 5x − 5
6) f : x ↦ 1 +
x
|x|
x
7) f : x ↦ E(x) 8) f : x ↦ x − E(x) 9) f : x ↦ (x − E(x)) 2 + E(x)
10) f : x ↦
√2x2 − | x + 1 |
12) f : x ↦
{
11) f : x√x + √1 − x
−x
si
x<0
x
si
0≤x≤1
x2
si
x>1
Exercice 15
Limite à gauche, limite à droite
1) Montrer que, sur R ∗ , on a 3 ≤ 4 − sin
2) Montrer que, sur ]0 ; 1[, on a:
1
x
1
≤ 5.
x
4 − sin
≤
1
x
x
.
4 − sin
3) Étudier la limite, à droite et à gauche, en 0, de la fonction f: x ↦
1
x
x
Limite à gauche, limite à droite
Exercice 16
Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite à droite et à gauche en x 0 de la fonction f.
1) f : x ↦
3) f : x ↦
1 − cosx
x 2 − 2x | x |
x2 + x
√x
2
x 0 = 0 2) f : x ↦
x 0 = 0 4) f : x ↦
{
x2 − 1 , x
≤
0
x2 + 1 , x
>
0 x0 = 0
| 2x + 1 |
2x + 1
x0 = −
1
2
√
5) f : x ↦ x (x − 1) 2 x 0 = 1
Exercice 17
On considère la fonction f définie par :
f(x) =
{
x+1
pour
x≤1
3 − ax 2
pour
x>1
Pour quelles valeurs de a réel la fonction f est-elle continue en x 0 = 1 ?
Exercice 18
Déterminer les réels A et B pour que la fonction f soit continue en
f(x) =
{
− 2sinx
pour
x≤ −
Asinx + B
pour
−
cosx
pour
x≥
π
π
et − :
2
2
π
2
π
π
<x<
2
2
π
2
Exercice 19
Montrer que la fonction f définie par :
{
f(x)
=
f(x)
=
x 3 − 2x 2 + x − 2
x−2
5sin
πx
4
pour
x
<
2
pour
x
≥
2
est continue sur R
Exercice 20
Montrer que les fonctions suivantes sont prolongeables par continuité en x 0 :
1) f : x ↦
x 3 − x 2 − 2x + 2
en x 0 = 1 2) f : x ↦
x−1
√5x − 1 − 3
x−2
en x 0 = 2
Exercice 21
1) Soit la fonction f définie sur [0 ; 1] par :
{
f admet-elle une limite en
f(x)
=
6x 2 + x + 1
pour
x
∈
f(x)
=
6x + 3
2x + 5
pour
x
∈
[ [
[ [
0;
1
6
1
; 1
6
1
?
6
f est-elle continue sur [0 ; 1] ?
2) Soit g et h les fonctions numériques définies sur [0 ; 1] par :
g(x) = cos(3πx) et h(x) = cos(4πx).
Montrer que la fonction f g est continue sur [0 ; 1], mais qu'il n'en est pas de même pour la fonction f h.
3) Si on sait que le produit de deux fonctions est une fonction continue sur [a ; b], peut-on en déduire
une conclusion quant à la continuité de chacune de ces fonctions ?
Exercice 22
Soit la fonction f définie sur R par :
{
f(x)
=
3x 2 + ax + 1 pour
x
<
1 (a ∈ R)
f(x)
=
3x − 1
x+2
x
≥
1
pour
Déterminer a pour que f soit continue au point 1.
Exercice 23
Soit la fonction f définie sur R ∖ {1} par :
f(x) =
3x 2 + ax + 1
x−1
(a ∈ R).
Déterminer a pour que f soit prolongeable par continuité au point 1. Définir alors la fonction g,
prolongement par continuité de f au point 1.
Exercice 24
Soit la fonction f définie par :
f(x) =
√x − a − 1
x+1
Déterminer a pour que f soit prolongeable par continuité au point -1.
Définir alors la fonction g, prolongement par continuité de f au point -1.
Exercice 25
Soit a un réel.
Déterminer, suivant les valeurs de a, les limites éventuelles respectives en − ∞ , + ∞ , en 5 de la fonction
fa : x ↦
ax 2 + (a 2 + 1)x + a
x−5
.
Cette fonction admet-elle un prolongement par continuité au point 5 ?
Exercice 26
Soit a un réel et f a la fonction :
x↦
2x + x − 3
x 2 + (1 − a)x − a
1) Déterminer l'ensemble de définition de f a.
2) Déterminer l'ensemble E des réels a, pour chacun des quels f a admet un prolongement par continuité
en a.
Pour chaque réel a de E, déterminer le prolongement par continuité de f a en a.
Exercice 27
Soit la fonction g définie par g(x) =
|x| |x + 1|
(x + 1)(x 2 + x + 1)
Peut-on définir un prolongement par continuité de g au point -1 ?
Image d'un intervalle.Recherche de solutions d'équations
Exercice 28
Déterminer l'image de l'intervalle I pour chacune des fonctions suivantes :
[
1) f : x ↦ sinx , avec I = −
π π
;
4 4
]
[
2) f : x ↦ cosx , avec I = −
π π
;
4 4
]
3) f : x ↦ x 3 − 3x 2 + 1 , avec I = ] − ∞ ; − 1]
4) f : x ↦ x 3 − 3x 2 + 1 , avec I =
[ ]
1
; 1
2
Exercice 29
Montrer que les fonctions suivantes sont bornées sur I :
1) f : x ↦
1
x2
+1
avec I = R
2) f : x ↦
x−1
avec I = [2 ; + ∞[
x+1
Exercice 30
Soit f : [0 ; 6] ↦ R x ↦ | x 2 − 4x |
1) Montrer que f est continue sur I = [0 ; 6].
2) Étudier les variations de f.
Déterminer l'image de I par f.
3) Soit m un réel appartenant à l'intervalle [f(0) ; f(6)].
Déterminer, suivant les valeurs de m, le nombre de solutions de l'équation f(x) = m.
Exercice 31
Soit f : x ↦ x 2 − 5x + 10
1) Montrer que f est continue et strictement monotone sur [ − 2 ; 2].
2) f est-elle strictement monotone sur [0 ; 4] ?
3) Déterminer l'intervalle image par f de [0 ; 2].
Exercice 32
Soit f : R ↦ R x ↦
2x + 3
x−2
1) Déterminer l'ensemble D f de définition de la fonction f puis l'ensemble image par f de D f (c'est-à dire
f(D f).
2) Montrer que f est strictement monotone sur ]2 ; + ∞[.
Quel est l'ensemble image par f de ]2 ; + ∞[ ?
3) Montrer que restriction g de f à ]2 ; + ∞[ est une bijection de ]2 ; + ∞[ sur lui-même.
Calculer alors g − 1(x).
Exercice 33
Soit f la fonction définie par :
f(x) = x 3 + 5 − 100.
1) Montrer que f est continue et strictement monotone sur R.
2) Quel est image par f de l'intervalle [0 ; 6] ?
3) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution et une seule α comprise entre 0 et 6.
4) De plus, encadrer α entre deux entiers consécutifs.
Exercice 34
Soit f la fonction définie sur [0 ; π[ par :
f(x) = cosx − x.
1) Montrer que f est une bijection de [0 ; π[ sur un ensemble J que l'on précisera.
2) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution et une seule γ comprise entre 6 et 4.
Exercice 35
Dans chacun des cas suivants, justifier l'existence d'une unique solution α à l'équation f(x) = 0 ; puis
déterminer un encadrement à 10 − 2 près de α
1) f est définie sur R par :
f : x ↦ x 3 + 3x 2 + 1.x
2) f est définie sur R par :
f : x ↦ − x 3 + 3x 2 + 1.
3) f est définie sur ] − π ; 0] par :
f : x ↦ xsinx + cosx.
Exercice 36
Montrer que l'équation x 4 + 4ax + b = 0 (a et b réels) ne peut avoir plus de deux solutions distinctes dans
R.
Exercice 37
Dans chacun des cas suivants, déterminer suivant les valeurs du paramètre réel a, le nombre de
solutions de l'équation f(x) = 0:
1) f : x ↦ x 2 + ax + 1 2) f : x ↦ x 3 + 3ax + 1 3) f : x ↦ cosx + a
Exercice 38
Soit f la fonction définie sur R par :
f(x) = x 3 + x 2 − x + 1.
Déterminer suivant les valeurs de λ, le nombre de solutions de l'équation f(x) = λ.
Propriétés des fonctions continues
Exercice 39
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b]. On suppose que f(a) = g(b) et f(b) = g(a).
Démontrer qu'il existe un réel c de [a ; b] tel que f(c) = g(c).
Exercice 40
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b].
Soient p et q des nombres réels strictement positifs.
Démontrer qu'il existe un réel c de [a ; b] tel que :
f(c) =
pf(a) + qf(b)
p+q
.
Fonctions réciproques
Exercice 41
Dans chacun des cas suivants, établir que f est une bijection et déterminer la bijection réciproque f − 1.
1) f : R ↦ R
x↦
x
1 + |x|
3) f : R ∖ 1 → R ∗
2) f : [0 ; 1] → [ − 1 ; 0]
x ↦ x 4 − 2x 2
x↦
x−1
x
Exercice 42
1) La fonction f : x ↦ sinx est continue sur R.
Montrer que sa restriction à [ −
π π
π π
; ], considérée comme application de [ − ; ] vers [ − 1 ; 1] admet
2 2
2 2
une fonction réciproque.
Cette fonction réciproque sera notée arcsin.
La fonction f : x ↦ cosx est continue sur R.
Montrer que sa restriction à [0 ; π], considérée comme application de [0 ; π] vers [ − 1 ; 1] admet une
fonction réciproque.
Cette fonction réciproque sera notée arccos.
La fonction f : x ↦ tanx est continue sur ] −
π
2
;
π
2
[.
Montrer qu'elle admet sur cet intervalle une fonction réciproque. Cette fonction réciproque sera notée
arctan.
2) Préciser l'ensemble de définition et de continuité de chacune des fonctions arcsin , arccos et arctan.
Construire la courbe représentative de chacune d'elles.
Étudier la parité de ces fonctions.
3) Donner une expression simple de arcsin(sinx), arccos(cosx), arctan(tanx).
4) Donner une expression simple de sin(arcsinx) , cos(arccosx) , tan(arctanx) , sin(arccosx) , cos(arcsinx).
5) Montrer que, pour tout réel x de l'intervalle [ − 1 ; 1]: arcsinx + arccosx = 2.
Exercice 43
Calculer les limites suivantes des fonctions en − ∞ et + ∞
1) f(x) =
E(x)
;
x−1
g(x) = xE(x) ;
h(x) =
xsin(x)
x2 − x + 1
2) f(x) =
g(x) =
h(x) =
√2x + 1 − √x ;
√ x + 1 − √x
;
√x 2 − 1 + x
x
Exercice 44
A) On définit la fonction f m par f m(x) =
√x2 + x + 1 − mx
1) Discuter suivant les valeurs du paramètre m la limite en + ∞ et de − ∞ de f m.
2) Montre que f 0 admet des asymptotes dont on déterminera les équations et la position relative par
rapport a la courbe de f m.
B) On définit la fonction g m par :
g m(x) =
(m 2 − m)x 2 + 2mx + 1
(m − 1)x 2 + x − 2
3) Discuter suivant les valeurs du paramètre m la limite g m en + ∞ et − ∞
4) Montre que g O admet une asymptote dont on déterminera une équation
Exercice 45
1) Déterminer les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction définie :
a) f(x) =
b) f(x) =
h(x) =
√|x|
+ cosx
x − sinx
√x2 + 4x + 3
2x
;
;
√x + 2 − √2x + 1
x−1
Exercice 46
Soit une fonction vérifiant : lim x → ∞f(x) = + ∞.
Étudier lorsque x tend vers + ∞ la limite des fonctions suivantes :
a) f(x) =
b) h(x) =
c) i(x) =
d) j(x) =
e) k(x) =
f) w(x) =
3f(x)
;
3 + f(x)
3f(x)
3 + (f(x)) 2
x + f(x)
x
xf(x)
;
x + f(x)
x + f(x)
x 2 + f(x)
3x − f(x)
xf(x)
;
;
Exercice 47
Calculer les limites suivantes en utilisant la composition des fonctions
a) lim x → + ∞cos
b) lim x → + ∞
√
c) lim x → 1tan
[( ) ]
x+1
π ;
6x − π
2x 2
x−1
[( ) ]
x+1 π
6x 2
Exercice 48
Soit g une fonction continue sur R
1) Montrer que | g | est continue sur R
2) La réciproque est elle vraie ?
3) Donner un contre-exemple.
Exercice 49
1) Montrer que si une fonction continue sur un intervalle I ne s'annule pas sur I, alors elle garde un
signe constant sur cet intervalle.
2) Montrer que tous polynôme de degré impaire admet au moins une racine sur R
3) Donner un exemple de polynômes de degré 2n(n ∈ N) qui ne s'annulent jamais sur R
Exercice 50
1) Étudier les variations de la fonction définie f sur R par : f(x) = x 3 − 3ax + 1
En déduire suivant les valeurs de a le nombre de solution de l'équation f(x) = 0
2) Soit une fonction f continue sur l'intervalle [0 ; 1] à valeur dans [0 ; 1] ; montrer que f possède un
point fixe c'est à dire qu'il existe un réel α tel que : f(α) = α.
Exercice 51
Calculer les limites suivantes en identifiant la limite demandée à un taux de variation
12sinx − 6
;
6 6x − π
a) lim x → + π
sin3πx
;
3 1 − 2cosπx
b) lim x → 1
√x + 5 − 3
c) lim x → 4
x−4
tanx − 1
;
4 4x − π
d) lim x → + π
e) lim x → 0
f) lim x → 0
Exercice 52
12sinx
πx
sin2x
sinπx
;
{
1 − cosx
x
1) soit la fonction g :→
0
si x ≠ 0
si x = 0
a) justifier la continuité de f et montrer que f est dérivable en 0
b) calculer f ′ (0).
2) Donner pour chaque fonction la dérivée sur un ensemble que l'on précisera
a) h(x) = x 2(2x − 4) 2 ;
g(x) =
sinx
2x 2 + 1
b) v(x) =
√
;
f(x) = x 3√3x − 1 ;
q(x) =
x+2
2x 2 + 4
;
x
√2x + 1
w(x) = cos(x 2 + 1)
sin 2(3x + 4π)
Exercice 53
Soit f la fonction définie par f(x) =
5 + 4x 2
1 + x2
sur l'intervalle ] − 1; + ∞[
1) Montrer que f est dérivable sur ] − 1; + ∞[
et calculer f ′(x)
2) soit ϕ la fonction définie par ϕ(x) =
5 + 4cos 2x
1 + cos 2x
sur l'intervalle ] − π; π[
a) Écris ϕ comme la composée de deux fonctions dérivable et calculer ϕ ′(x)
b) Déduisez en le sens de variation de ϕ sur ] − π ; π[
Exercice 54
Soit f la fonction définie sur R .
[
]
1) Montrer que f est dérivable ; calculer f ′ et majorer | f ′(x) | sur −
π π
12 12
2) Montrer que quelque soit f appartenant à I ; | cos 2x − cos 2y | ≤
1
|x − y|
2
Exercice 55
Soit la fonction définie par g(x) =
√x + 1 sur l'intervalle ] − 1;
+ ∞[
[ ]
1) Montrer que g est dérivable sur ] − 1; + ∞[ et calculer g ′(x) puis encadrer g ′(x) sur 0;
[ ]
2) Déduisez en que pour tout x appartenant à 0;
1
2
on a : 1 +
x
6
≤ g(x) ≤ 1 +
x
2
1
2
.
Exercice 56
On admet qu'il existe une fonction f dérivable qui vérifie sur R : f ′(x) =
représentative (C) passe par l'origine 3 du repère.
1
1 + [f(x)]
dont la courbe
1) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) en 0.
2) Montrer que (C) n'admet pas une tangente parallèle à la droite (Δ) : y = 2x
Justifier l'existence de la dérivée seconde f ″ et montrer que f ″ (x) = − 2(f(x)) 3f(x).
Exercice 57
Soit
une
fonction
définie
et
dérivable
sur
l'intervalle
[1; + ∞[
vérifiant
la
relation
1
w(1) = 0 et w ′(x) =
√1 + x 4
1) Étudier les variations de f sur l'intervalle [1; + ∞[
2) On définie la fonction sur l'intervalle par g(x) = 1 −
Comparer w ′ et g ′ puis g et w sur [1;
1
x
+ ∞[
3) Montrer alors que w est majorée sur [1; + ∞[ et admet une limite l en + ∞ ; vérifiant : 0 ≤ l ≤ 1
Exercice 58
Déterminer une primitive F de la fonction sur intervalle I à préciser dans les cas suivants :
a) f(x) = 9x 4 −
1
;
√x
b) f(x) = 9x 2(4 − x 3) 8 ;
c) f(x) =
d) f(x) =
e) f(x) =
(
x2
√
x3 + 2
;
1
(2x + 1)√2x + 1
x 4 − x 3 + 3x 2 + 1
x 2(x 2 + 1) 2
trouver a et bf(x) =
f) f(x) =
;
sinx
cos 2x
a
x2
+
b
(x 2
+ 1) 2
)
;
g) f(x) = cos 3x − cos2x ;
h) f(x) = 9cos 4x + sinxcosx
Exercice 59
1) Trouver les primitives sur l'intervalle ]0 ; + ∞[ de la fonction définie par : f(x) = 5x 2 +
2
x2
2) Déduisez en les primitives sur l'intervalle ]0 ; π[ de la fonction définie par : g(x) = 5sin 2xcosx +
3) Trouver la primitive vérifiant g(0) = 0.
Exercice 60
[ [
Soit f(x) et w(x) deux fonctions définies sur l'intervalle I = π ;
π
4
par :
2cosx
cos 3x
:
f(x) =
sinx
cos 3x
et w(x) =
1) vérifier que f ′(x) =
1
cos 4x
3
cos 4x
−
2
cos 2x
2) En déduire sur I une primitive de la fonction w.
Exercice 61
Soit f une fonction définie sur R par f(x) =
x 2 + 2x
(x 2 + x + 1) 2
1) Montre que f admet une primitive F sur R de la forme F(x) =
2) Trouver toutes les primitives de f sur R.
Exercice 62
Soit f une fonction définie dans R par f(x) = cosx −
1) Déterminer f ′ et f ″ .
Vérifier que pour tout x de R ; f ″ (x) = − 9f(x)
2) En déduire toutes les primitives de f sur R
3) Trouver les primitives sur R qui s'annule en
► Correction des exercices
Auteur:
Mouhamadou ka & Moussa Fall
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π
.
6
4
3
cos 3x
ax + b
x2
+x+1
