Séries numériques : résumé Les séries alternées Définition. On appelle série alternée toute série dont le terme général un est de la forme un = (−1)n vn ou un = −(−1)n vn où la suite (vn )n∈N est une suite réelle • décroissante, • convergente et de limite nulle. Théorème. (critère spécial aux séries alternées) Toute série alternée converge. On obtient avec cette section, les premiers exemples de suites équivalentes telles que les séries correspondantes soient de X (−1)n X (−1)n (−1)n (−1)n √ √ √ natures différentes. Par exemple, √ ∼ mais converge et diverge n + (−1)n−1 n→+∞ n n n + (−1)n−1 (−1)n 1 1 (−1)n √ √ car √ . + +O n−1 n→+∞ n n + (−1) n n n Théorème. Soit (un )n∈N une suite réelle alternée en signe dont la valeur absolue tend vers 0 en décroissant. +∞ n +∞ X X X On pose S = uk et ∀n ∈ N, Sn = uk et Rn = uk . Alors, k=0 k=0 k=n+1 • sgn (S) = sgn (u0 ) et ∀n ∈ N, sgn (Sn ) = sgn (u0 ) et ∀n ∈ N, sgn (Rn ) = sgn (un+1 ). • |S| 6 |u0 | et ∀n ∈ N, |Sn | 6 |u0 | et ∀n ∈ N, |Rn | 6 |un+1 |. S, Sn et Rn sont du signe de leur premier terme et en valeur absolue majorés par la valeur absolue de leur premier terme. La règle de d’Alembert Théorème. (règle de d’Alembert) Soit (un )n∈N une suite de nombres complexes ne s’annulant pas à partir d’un certain rang. un+1 admet pour limite un certain ℓ élément de [0, +∞] quand n tend vers +∞. Alors On suppose que un • Si 0 6 ℓ < 1, la série de terme général un converge absolument ; • Si ℓ > 1, la série de terme général un diverge grossièrement ; • Si ℓ = 1, on ne peut rien en conclure. Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes Définition. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites de nombres complexes. Le produit de Cauchy des séries de termes généraux respectifs un et vn est la série de terme général wn où ∀n ∈ N, wn = n X uk vn−k . k=0 Théorème. (produit de Cauchy de deux séries numériques absolument convergentes) Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites de nombres complexes. Si les séries de termes généraux respectifs ! un et vn convergent absolument, alors le produit de Cauchy de ces deux ! +∞ +∞ X X séries converge et a pour somme vn . Plus explicitement, un × n=0 +∞ X n=0 n=0 n X k=0 uk vn−k ! = +∞ X n=0 un ! × +∞ X n=0 vn ! . Attention, le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes est une série convergente mais le produit de Cauchy de deux séries convergentes n’est pas nécessairement une série convergente. Par exemple, on peut montrer que (−1)n−1 √ le produit de Cauchy de la série de terme général par elle-même est une série divergente. n c Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr Théorèmes de sommation des relations de comparaison Théorème. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites de réels strictement positifs. On suppose que un (resp. un = n→+∞ = n→+∞ o (vn ) O (vn )). • Si la série de terme général vn converge alors la série de terme général un converge et ! ! +∞ +∞ +∞ +∞ X X X X uk = O uk = o vk ). vk (resp. n→+∞ n→+∞ k=n+1 k=n+1 k=n+1 k=n+1 • Si la série de terme général un diverge alors la série de terme général vn diverge et ! ! n n n n X X X X uk = o uk = O vk (resp. vk ). n→+∞ k=0 n→+∞ k=0 k=0 k=0 Théorème. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites de réels strictement positifs. On suppose que un ∼ n→+∞ vn . • Si la série de terme général un converge alors la série de terme général vn converge et +∞ X uk ∼ n→+∞ +∞ X vk . k=n+1 k=n+1 • Si la série de terme général un diverge alors la série de terme général vn diverge et n X uk ∼ n→+∞ k=0 n X vk . k=0 Dans la pratique, pour donner des équivalents de restes de séries à termes positifs convergentes ou de sommes partielles de séries à termes positifs divergentes, on dispose de deux techniques : les théorèmes de sommations des relations de +∞ X 1 , on comparaison ou bien un encadrement par des intégrales. Par exemple, si on veut un équivalent de Rn = k2 k=n+1 +∞ +∞ X X 1 1 1 1 1 1 peut ou bien démarrer avec 2 ∼ puis Rn ∼ = − = , ou bien démarrer avec k k(k − 1) k(k − 1) k−1 k n k=n+1 Zk Z +∞ Z +∞ k=n+1 Z k+1 1 dx dx dx dx 6 2 6 puis 6 Rn 6 ... 2 2 x2 k x2 k−1 x n+1 x n k c Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés. 2 http ://www.maths-france.fr