453. Exercices illustrant l'utilisation de la loi binomiale en probabilité et en statistiques Définition : loi binomiale Propriétés : espérance - variance Théorème Moivre-Laplace Utilisations : - compter le nombre de succès : application directe planche de Galton Dupont p. - promenade aléatoire : carnet de voyage en Analystan - intervalle de fluctuation, approximation par loi normale - surréservation Dupont p.237 - Sondage et représentativité Dupont p.237 Définition X une var à valeurs dans ℕ. Une expérience est répétée n fois de manière identique et indépendante, deux issues avec p(succès)= p . X compte le nombre de succès. X suit une loi binomiale et k P (X = k ) = (nk )p (1 − p) n−k Exercice 1 : Planche de Galton n(n+1) On considère une planche verticale sur laquelle sont disposés 2 clous de manière triangulaire. On lâche une boule au-dessus du clou le plus haut, elle a alors une probabilité de ½ de rebondir à droite ou à gauche. Elle tombe sur le clou de l'étage en-dessous où la situation est la même et ainsi de suite. Après n rebonds, elle tombe dans une boîte. On note X le numéro de la boîte dans laquelle tombe la boule. Montrer que X suit une loi B (n ; 1/2) Algorithme qui simule les résultats d'une expérience : Dupont p.179 Applic directe programmation Exercice 2 : Promenade aléatoire On considère une particule p qui se déplace le long de ℤ de la façon suivante. A l'instant t = 0 , elle se situe en 0. On suppose que si à l'instant quelconque t = k ∈ ℕ , la particule se trouve en l ∈ ℤ alors à l'instant t = k + 1 la probabilité que la particule se trouve en l + 1 est ½ et la probabilité qu'elle se trouve en l − 1 est ½ . * Dans la suite, pour (k, n) ∈ (ℕ )² , on note : ● X k la va décrivant la position de p à l'instant k ● Y k = X k − X k−1 ● Z k la va qui vaut 1 si la particule se trouve en zéro et 0 sinon ● U n la va représentant le nombre de fois où la particule passe par carnet de voyage en Analystan p.187 Caldero Espérance Marche aléatoire 2n zéro entre les temps t = 0 et t = 2n , U n = ∑ Z k k=0 Le but de cet exercice est de déterminer un équivalent en l'infini du nombre moyen de passages de la particule en zéro après 2n déplacements. Y +1 1. Quelle est la loi suivie par k2 ? et X n2+n ? 2. Montrer que P (Z 2k = 1) = 1k (2kk ) et P (Z 2k+1 = 1) = 0 4 3. On va trouver une formule donnant l'espérance de la variable U n , dans la suite on pose pk = P (Z 2k = 1) = 1k (2kk ) 4 a. établir une relation entre pk et pk+1 b. en déduire une formule pour E (U n ) 2 4. En déduire que E (U n ) ~ √π √n Théorème de Moivre-Laplace Soit X n une var suivant une loi de Bernoulli. n ∑ X n −np P (a ≤ k=1 √np(1−p) ≤ b) → P (a ≤ N ≤ b) où N suit une loi normale centrée réduite Exercice 3 : Surréservation Une compagnie aérienne assure un vol régulier avec un appareil comportant 500 places. Une étude statistique a montré qu'un client ayant acheté un billet d'avion avait 98% de chances de se présenter à l'embarquement. Quel est le nombre maximal de billets d'avion que la compagnie aérienne peut vendre tout en s'assurant que tous les passagers présents à l'embarquement auront une place à bord avec une probabilité au moins égale à 99% ? Dupont p.237 Applic Th Moivre-Laplace Intervalle de fluctuation On considère une X va suivant une loi B(p) avec p∈]0 ; 1[ connu. Un estimateur sans biais de p au rang n est X n = 1 n n X n −p ∑ X i alors P (a ≤ √n p(1−p) ≤ b) → P (a ≤ N ≤ b) ; n ≥ 30 ; np ≥ 5 ; n(1 − p) ≥ 5 k=1 X −p n on a P (− uα ≤ √n p(1−p) ≤ uα ) → P (− uα ≤ N ≤ uα ) , si α = 0, 05 , uα≈1,96 Exercice 4 : Sondages Une élection va bientôt avoir lieu dans une localité. Deux candidats notés C 1 et C 2 se présentent et on souhaite estimer la proportion de population qui votera pour C 1 lors de cette élection. Une étude sur les votes précédents a montré que les deux variables influant le plus sur le résultat du vote étaient le sexe et le fait d'être ou non en activité. La population en âge de voter est constituée à 56% de femmes. On sait par ailleurs que 78% des individus en âge de voter sont actifs. POur estimer la proportion de votants en faveur de C 1 on sélectionne un échantillon de 100 personnes en âge de voter. Dans cet échantillon, 51 individus sont des femmes, 69 individus sont actifs et 39 individus déclarent voter pour C 1 . 1. Cet échantillon est-il représentatif de la population pour les deux caractères que sont le sexe et l'activité ? On travaille avec un niveau de confiance de 95% 2. On suppose maintenant que l'on a observé 72 actifs et non 69 sur l'échantillon. Que peut-on affirmer quant au résultat de l'élection au niveau de confiance 95% ? Dupont p.237 Intervalle de fluctuation