feuille 5

2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2016/2017
Feuille d’exercices no 5 – Espace quotient - produit tensoriel
Définition 1. Soit E un k-espace vectoriel et F ⊆ E un sous-espace vectoriel. On définit la relation
∼F sur E :
x ∼F y si et seulement si x − y ∈ F .
Les éléments de E/ ∼F sont les ensembles
v + F = {v + f | f ∈ F },
v ∈ E.
On munit E/ ∼F d’une structure d’un k-espace vectoriel comme suit :
(v1 + F ) + (v2 + F ) = v1 + v2 + F,
λ(v + F ) = λv + F.
Cet espace vectoriel E/ ∼F s’appelle le quotient de E par F et se note E/F .
1. Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie et F ⊆ E un sous-espace vectoriel. Soit f1 , . . .,
fk une base de F et f1 , . . ., fk , g1 , . . ., gm une base de E.
(a) Montrer que g1 + F , . . ., gm + F est une base de E/F . En déduire la formule dim E =
dim F + dim(E/F ).
(b) Soit A ∈ Endk (E) un endomorphisme qui fixe F (i.e. Af ∈ F pour tout f ∈ F ). Alors on
peut définir les opérateurs A|F ∈ Endk (F ) et A0 ∈ Endk (E/F ) comme suit :
A|F f = Af,
0
f ∈ F,
A (e + F ) = Ae + F,
e ∈ E.
Montrer que A0 est bien défini (si e + F = e0 + F , alors A0 (e + F ) = A0 (e0 + F )) et
A0 ∈ Endk (E/F ).
(c) Montrer que la matrice A de A dans la base f1 , . . ., fk , e1 , . . ., em est triangulaire par bloc :
C ). Trouver la matrice de A| dans la base f , . . ., f et la matrice de A0 dans la
A = ( B0 E
F
1
k
base e1 + F , . . ., em + F .
(d) Montrer que χA = χA|F χA0 . Montrer que µA|F et µA0 divisent µA . Montrer que µA divise
µA|F µA0 .
2. Soit P ∈ C[x], deg P = d. On désigne par hP i l’idéal engendré par P :
hP i = QP | Q ∈ C[x] .
(a) Montrer qu’il existe un isomorphisme naturel de C-espaces vectoriels C[x]/hP i → Cd−1 [x]
(on dit qu’un morphisme est naturel s’il ne dépend pas du choix des bases).
(b) On suppose que P est séparable (i.e. n’admet aucune racine multiple). Montrer qu’il existe
un isomorphisme naturel de C-algèbres C[x]/hP i → Cd (multiplication dans Cd est définie
élément-par-élément).
Définition 2. Soit V , W deux k-espaces vectoriels. Le produit tensoriel de V ⊗ W est le quotient de
l’espace vectoriel V ∗ W dont la base consiste des paires (v, w), v ∈ V , w ∈ W , par le sous-espace F
engendré par les éléments
(v1 + v2 , w) − (v1 , w) − (v2 , w),
(v, w1 + w2 ) − (v, w1 ) − (v, w2 ),
(av, w) − a(v, w),
(v, aw) − a(v, w),
1
où v1 , v2 , v ∈ V , w1 , w2 , w2 ∈ W et a ∈ k. On désigne v ⊗ w = (v, w) + F et on appelle les éléments
de cette forme tenseurs purs.
3. (a) Soit U , V , W trois k-espaces vectoriels. Construire une bijection naturelle entre les applications bilinéaires V × W → U est les applications linéaires V ⊗ W → U .
(b) Soit {vi } une base de V et {wj } une base de W . Montrer que {vi ⊗ wj } est une base de
V ⊗ W . En déduire dim(V ⊗ W ).
(c) Construire un isomorphisme naturel V ∗ ⊗W → Homk (V, W ) dans le cas dim V , dim W < ∞.
4. Soit e1 , e2 , e3 , e4 la base canonique de R4 . Montrer que e1 ⊗ e2 + e3 ⊗ e4 n’est par un tenseur
pur dans R4 ⊗ R4 .
5. Soit A1 : V1 → W1 , A2 : V2 → W2 deux applications k-linéaires des espaces de dimension finie.
On définit leur produit tensoriel A1 ⊗ A2 : V1 ⊗ V2 → W1 ⊗ W2 sur les tenseurs purs comme suit :
(A1 ⊗ A2 )(v1 ⊗ v2 ) = (A1 v1 ) ⊗ (A2 v2 ),
et on étend la définition sur V1 ⊗ V2 par linéarité. On peut vérifier que la définition est correcte.
(a) Soient {ei }, {fj }, {hi }, {gj } les bases de V1 , W1 , V2 , W2 ; A1 la matrice de A1 dans les
bases {ei }, {fj } ; A2 la matrice de A2 dans les bases {hi }, {gj }. Ecrire la matrice A1 ⊗ A2
de A1 ⊗ A2 dans les bases {ei ⊗ hi }, {fj ⊗ gj }. On appelle A1 ⊗ A2 le produit de Kronecker
des matrices A1 et A2 .
(b) Soit V1 = W1 , V2 = W2 . Soient λ1 , v1 une valeur propre et un vecteur propre de A1 ; λ2 , v2
une valeur propre et un vecteur propre de A2 . Montrer que λ1 λ2 , v1 ⊗ v2 sont une valeur
propre et un vecteur propre de A1 ⊗ A2 .
Qn1
Qn2
(c) Soit k = C, V1 = W1 , V2 = W2 , χA1 (ζ) = i=1
(λi − ζ), χA2 (ζ) = j=1
(µj − ζ) (on autorise
des racines multiples). Montrer que
Y
χA1 ⊗A2 (ζ) =
λi µj − ζ .
1≤i≤n1
1≤j≤n2
En déduire les expressions pour tr(A1 ⊗ A2 ), det(A1 ⊗ A2 ) et rang(A1 ⊗ A2 ).
(d) Soit V1 = W1 , V2 = W2 . Soient λ1 , v1 une valeur propre et un vecteur propre de A1 ; λ2 , v2
une valeur propre et un vecteur propre de A2 . Montrer que λ1 ± λ2 , v1 ⊗ v2 sont une valeur
propre et un vecteur propre de
A1 ⊗ idV2 ± idV1 ⊗A2 .
Pour k = C obtenir l’expression pour le polynôme caractéristique des opérateurs A1 ⊗
idV2 ± idV1 ⊗A2 .
6. On appelle z ∈ C un nombre algèbrique (resp. un entier algèbrique), si z est une racine d’un
polynôme monique à coefficients dans Q (resp. dans Z). L’ensemble de nombres algèbriques est
noté Q, l’ensemble d’entiers algèbriques est noté A.
(a) Montrer que z ∈ Z est un nombre algèbrique (resp. un entier algèbrique) si est seulement si
z est une valeur propre d’une matrice avec des éléments dans Q (resp. dans Z). (Indication :
utiliser la matrice compagnon).
(b) Montrer que Q est un corps et A est un anneau.
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