Soit n un entier naturel. On note c , d et u les chiffres

Exercices d'arithmétique : divisibilité
Exercice 1 :
Soit n un entier naturel. On note c , d et u les chiffres des centaines, des dizaines et des untiés respectivement.
Prouver que n est un multiple de 4 si et seulement si 2d + u est un multiple de 4
n = 100 c +10 d +u = 100 c +8 d +2 d +u = 4( 25 c +2 d )+ 2 d +u d'où la réponse
Exercice 2 :
a et b sont deux entiers naturels. Démontrer que ab (a 2 −b 2 ) est un multiple de 3
2
2
ab (a −b )= ab (a −b )(a + b )
On peut penser ici à raisonner par disjonction de cas :
Si a ou b sont multiples de 3, c'est fini .
Sinon a et b peuvent s'écrire a = 3 k 1 +1 ou a = 3 k 1+2 et b = 3 k 2+1 ou b = 3 k 2+2
2
2
Calculons alors a − b = (a −b )(a + b ) dans chaque cas :
b = 3 k 2 +1
b = 3 k 2+2
a = 3 k 1+1
(3 k 1 −3 k 2 )(3 k 1 +3 k 2 +2)
(3 k 1 −3 k 2 −1)(3 k 1 +3 k 2 +3)
a = 3 k 1+2
(3 k 1 −3 k 2 +1)(3 k 1 +3 k 2 +3)
(3 k 1 −3 k 2 )(3 k 1 +3 k 2 +4)
Dans chaque cas, on peut mettre 3 en facteurs d'où ma réponse
Exercice 3 :
Soit n = cdu un entier de trois chiffres divisible par 107. Démontrer que l'entier x =7 d 2+(7 c −u)2 est
aussi un multiple de 107.
Les nombres de trois chiffres multiples de 107 ne sont pas nombreux . On a : 107 , 214 , 321 , 428 , 535 ,
642 , 749 , 856 , 963 .
On peut alors penser à les tester tous pour x mais c'est un peu long.
L'idéal est de remarquer que dans chaque cas, on a: 7 c = du autrement dit 7 c =10 d +u d'où 7 c − u =10 d
2
2
2
2
2
x = 7 d +(7 c −u ) = 7 d +(10 d ) = 107 d d'où la réponse
Exercice 4 :
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.
1) Démontrer que 9n +1 −2 n +1=11 (9n − 2n )−18( 9n −1− 2n − 1)
2) Démontrer, par récurrence, que 32 n − 2n et divisible par 7
1)
n
n −1
n
11(9 −2 )−18(9
−2
n −1
n
n
n
n
n −1
) = 11×9 −11×2 −18×9
+18×2
n
n
n −1
En écrivant alors 18 = 9×2 , on
n
n
n +1
= 11×9 −11×2 −2×9 +9×2 = 9×9 −2×2 = 9
peut alors écrire :
2n
n
2 n
n
n
−2
n +1
n
2) Remarquons que 3 −2 = (3 ) −2 = 9 −2 . On peut donc utiliser 1) en raisonnant avec deux
hypothèses :
n
n
n
n
pour n = 0 , 9 −2 =0 divisible par 7 et pour n = 1 , 9 −2 =7 divisible par 7. Donc la proposition est
vraie au rang 0 et 1
n
n −1
n
Supposons qu'il existe un entier n tel que 9 −2 ET 9
n +1
que 9
−2
n +1
9
−2
n +1
n −1
soient multiples de 7 . Démontrons alors
l'est aussi .
n
n −1
n
9 −2 =7 k 1 ET 9
Par hypothèse
n +1
−2
−2
n −1
= 7 k 2 d'où en utilisant 1) on obtient
=11×7 k 1−18×7 k 2 = 7K cqfd
On termine la récurrence
Exercice 5 :
On considère la suite (un ) définie par un =(3 n−1)2−2+(−2)n
1) Démontrer que pour tout entier naturel n, un + 1+2 un est un multiple de 27
2) Démontrer que tous les termes de la suite sont des multiples de 27
n +1
2
1) u n +1 +2 u n =(3 (n +1)−1) −2+(−2)
n +1
2
(3 n+2) +(−2)
n
2
+2 (9 n −6 n +1)−(−2)×(−2) −6 =
n +1
2
n
2
+2(3 n −1) −4+2×(−2) =
2
n +1
9 n +12 n +4+(−2) +18 n −12 n +2−(−2)
2) Une récurrence s'impose ici
u 0=1−2+1=0 divisible par 27 donc proposition vraie au rang 0
−6 = 27 n
2
CQFD
Supposons qu'il existe un entier n tel que u n est multiple de 27 et DQ u n +1 l'est aussi
On sait que u n et u n +1+2 u n sont multiples de 27 donc u n =27 k 1 et u n +1+2 u n =27 k 2 .
u n +1+2×27 k 1=27 k 2 ce qui donne u n +1 =27( k 2 −2 k 1 ) = 27K CQFD
Exercice 6 :
Déterminer les entiers relatifs n tels que l'entier p = n 2−3 n +6 soit un multiple de 5.
On pourra à cet effet calculer la différence p−(n −9)2
2
2
2
p −(n −9) = n −3 n+6− n +18 n −81 = 15 n−75
2
on a donc p = 5(3 n −25)+( n −9) d'où p multiple de 5 si et seulement si n −9 est lui-même multiple de 5
d'où n = 9+5k avec k ∈ ℤ .