INTRODUCTION I. II. BUT DE LA MANIPULATION PRINCIPE DE LA MANIPULATION 1. PRINCIPE PHYSIQUE 2. ENONCE DE THÉORÈME ET DÉMONSTRATION DE FORMULES a. Enoncé Des Théorèmes Et Loi Fondamentales B. Démonstrations Des Formules Théoriques III. RESUME DU MODE OPERATOIRE 1. 2. 3. LISTE DU MATERIEL SCHEMA DU DISPOSITIF PROTOCOLE EXPERIMENTAL CONCLUSION DISCUSSION INTRODUCTION La diffraction et l’interférence sont deux phénomènes très liés par une relation de cause à effet et dont la fonction est de prouver le caractère ondulatoire porté par la lumière. Le phénomène d’interférences est caractérisé par la superposition de deux ou plusieurs ondes cohérentes de même fréquence. Il se rencontre dans de très nombreux domaines : ondes sonores, ondes radio, ondes à la surface de l’eau, ondes lumineuses. Notre étude sera basée sur ces deux phénomènes dans le cas particulier su système de fentes propre au scientifique Thomas YOUNG. I. BUT DE LA MANIPULATION L’objectif de ce travail était de : Etudier et de comprendre le phénomène de diffraction associé aux fentes de Young Etudier et de comprendre le phénomène d’Interférences Lumineuses associé aux fentes de Young Déterminer expérimentalement de l’écart a entre les fentes des différents systèmes de fentes de Young utilisé Vérifier expérimentalement la formule de l’interfrange II. PRINCIPE DE LA MANIPULATION 1. Principe physique La lumière étant une onde électromagnétique de trajectoire rectiligne se propageant dans les milieux transparents. Nous allons nous concentrer en particulier sur son caractère ondulatoire au cours de cette étude qui a été réalisée en milieu aéré (donc milieu d’indice n=1). En outre, lorsque l’onde lumineuse traverse une ouverture de petite taille, elle est soumise à un phénomène De diffraction qui se manifeste par le fait qu’après la rencontre d’un objet (obstacle), la densité de l’onde n’est pas conservée contrairement aux lois de l’optique géométrique. Et l’amplitude de l’onde diffractée est déterminée à partir du principe d’Huygens-Fresnel dans l’approximation paraxiale (observation à grande distance) et de la théorie de Kirchhoff. Durant celle-ci, on observe à l’écran une alternance de franges d’intensités moindre par rapport à la frange centrale (avec la largeur et l’intensité maximale par rapport aux autres) matérialisé de façon théorique par la fonction sinus cardinal dans l’expression de l’amplitude et l’intensité de l’onde diffracté. De plus, l’onde lumineuse sera aussi soumise à un phénomène d’interférences ayant pour cause La diffraction par chacune des fentes de notre système de trous d’Young. Ainsi les fentes sont assimilées à des sources secondaires qui diffusent les mêmes ondes lumineuses reçues de la source principale mais avec un retard dépendant de la distance entre le système de fente et la source principale et de la vitesse de l’onde (célérité de la lumière dans le milieu). On observera sur une partie de l’écran une alternance régulière de franges claires et sombres de même largeur représentant le Champ d’interférences (zone de superposition des ondes issues de chaque fente) 𝐷≫𝑎 De nature géométrique dépendant de la forme géométrique de la fente. Les franges claires étant l’ensemble des points d’intensité lumineuse maximale et minimale ; et franges sombres étant l’ensemble des points d’intensité lumineuse nulles de la figure d’interférence. L’intensité lumineuse dépend de la différence de marche 𝛿 (différence de chemin optique entre les ondes provenant de chaque source secondaire) et le champ d’interférence quant à lui est caractérisé par l’interfrange i (distance entre 02 franges consécutives de même nature). Cette dernière dépendant de la longueur d’onde de la lumière, la distance D fente-écran et la distance a entre les fentes F1 et F2 suivant l’expression : 𝒊 = 𝝀𝑫 𝒂 A cet effet, nous allons étudier l’impact des paramètres modifiables de notre système sur l’interfrange dans l’optique de vérifier son expression et l’utiliser pour déterminer les écarts de chaque système de trous d’Young étudié. Mais théoriquement, d’après la formule, on admet que l’interfrange croit proportionnellement avec D et λ (figure d’interférence s’élargit) ; et décroit lorsque a croit (figure d’interférences se rétrécit). Notons aussi qu’on observe un phénomène d’interférences parce que toutes les conditions y sont réunies : les ondes lumineuses sont cohérentes, de même fréquence (car issues de la même source F monochromatique vu qu’elle produit une seule radiation de longueur d’onde 𝐶 λ= 𝑓 ), parallèles et presque de même amplitude (car les fentes sont identiques et très éloignées de l’écran). 2. Enonce De Théorème Et Démonstration De Formules a. Enoncé des théorèmes et loi fondamentales Principe d’HUYGENS (1815) - FRESNEL (1690) Chaque point P d’une surface Σ découpées en surfaces élémentaires dΣ (tous centrées en P) atteint par la lumière émise par la source secondaire fictive émettant une ondelette sphérique. L’amplitude de l’ondelette émise est proportionnelle à l’amplitude de l’onde incidente et l’aire de dΣ. Sa phase est prise égale à la phase de l’onde incidente. Les vibrations issues des différentes sources secondaires sont cohérentes entre elles. Théorie de Gustav KIRCHHOFF (1824-1887) Elle donne une formulation mathématique du principe d’Huygens-Fresnel. L’amplitude complexe de l’onde diffractée observé en un point P de l’écran obéit à la relation : 𝜳(𝑷) = −𝒊 𝝀 ∬𝜮 𝒕(𝑴) 𝒆𝒊𝑲𝒓 𝒓 𝒅𝜮 = −𝒊 𝝀 × 𝒆𝒊𝑲𝑹 𝑹 ∬𝜮 𝒕(𝑴)𝒆−𝟐𝝅𝒊(𝒖𝒙+𝒗𝒚) 𝒅𝜮 M étant un point de l’ouverture diffractant de surface 𝛴, P un point d’observation à l’écran, r=MP, R=OP avec O l’origine du repère situé sur l’ouverture, K le nombre d’onde, t(M) la fonction transmittance de l’ouverture, (u, v) étant un couple de fréquences liées au système NB : Elle est valable lorsqu’il y a répartition relative d’amplitude ; lorsque l’onde incidente est plane, normale à l’ouverture et avec l’approximation de FRAUNHOFFER (R très grand devant toutes les autres dimensions) LOI L’intensité lumineuse d’une onde est proportionnelle au carré du module l’amplitude complexe de la grandeur qui le définie. b. Démonstration des formules La grandeur étudiée ici est le Champ électrostatique de l’onde lumineuse : 𝐸⃑ (en notation complexe) On admet que D a une très grande valeur et une très petite valeur donc l’expression de l’onde arrivant en 𝑆1 Et 𝑆2 s’écrit comme ci-dessous : (Soit P (X, Y, Z) et la radiation monochromatique) 𝐸⃑ (𝑆1 , 𝑡) = 𝐴1 𝑒 𝑖(𝜔𝑡+∅(𝑆1 ,𝑡)) ⃑⃑⃑⃑ 𝑈𝑥 Et 𝑖(𝜔𝑡+∅(𝑆 ,𝑡)) 1 ⃑⃑⃑⃑ 𝐸⃑ (𝑆2 , 𝑡) = 𝐴2 𝑒 𝑈𝑥 Aux sorties des fentes S1 et S2, observées en P, les champs électrostatiques deviennent d’après le principe d’Huygens-Fresnel : ̅̅̅̅̅̅ 𝑖𝐾.𝑆 𝑃 1 ⃑⃑⃑⃑ 𝐸1 (𝑃, 𝑡) = −𝑖𝜆 ∬𝑆 𝑡(𝑁) 𝑒 𝑆̅̅̅̅̅𝑃 𝑑𝑆 ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑈𝑥 1 = ⃑⃑𝐸 (𝑆1 , 𝑡 − ̅̅̅̅̅ 𝑆 1𝑃 𝐶 ) ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑈𝑥 ̅̅̅̅̅ 𝑖𝐾.𝑆 2𝑃 −𝑖 𝑒 𝑆2 𝑃 ⃑ (𝑆2 , 𝑡 − ̅̅̅̅̅ et ⃑⃑⃑⃑ 𝐸2 (𝑃, 𝑡) = ∬𝑆 𝑡(𝑁) ̅̅̅̅̅ 𝑑𝑆 ⃑⃑⃑ 𝑈𝑥 = 𝐸 ) ⃑⃑⃑ 𝑈𝑥 𝜆 𝑆 𝑃 𝐶 2 Les fentes S1 et S2 étant identiques et rectangulaires, ⃑⃑⃑⃑ 𝐸1 (𝑃, 𝑡) et ⃑⃑⃑⃑ 𝐸2 (𝑃, 𝑡) seront proportionnelles au Sinus Cardinal de X, Y. ⃑⃑⃑⃑ 𝐸1 (𝑃, 𝑡) = 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑒𝑋) 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑓𝑌)⃑⃑⃑⃑ 𝑈𝑥 = 𝐴1 𝑒𝑖(𝜔𝑡+∅1 ) ⃑⃑⃑⃑ 𝑈𝑥 ⃑⃑⃑⃑ 𝐸2 (𝑃, 𝑡) = 𝑐 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑒𝑋) 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑓 𝑌)⃑⃑⃑⃑ 𝑈𝑥 = 𝐴2 𝑒𝑖(𝜔𝑡+∅2 ) ⃑⃑⃑⃑ 𝑈𝑥 Avec ∅1 = −𝜔 (𝐾 = 𝜔 𝐶 𝑆1 𝑃 ̅̅̅ 𝐶 + ∅(𝑆1 , 𝑡) 𝑒𝑡 ∅2 = −𝜔 ̅̅̅̅ 𝑆2 𝑃 𝐶 + ∅(𝑆2 , 𝑡) 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑 ′ 𝑜𝑛𝑑𝑒𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 é𝑡𝑢𝑑𝑖é𝑒) L’onde observé en P est la résultante de la superposition des ondes issues de chaque fente. Elle aura pour expression : 𝐸⃑ (𝑃, 𝑡) = ⃑⃑⃑⃑ 𝐸1 (𝑃, 𝑡) + ⃑⃑⃑⃑ 𝐸2 (𝑃, 𝑡)= 𝑑 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑒𝑋) 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑓𝑌)⃑⃑⃑ 𝑈𝑥 = (𝐴1 𝑒 𝑖∅1 + 𝐴2 𝑒 𝑖∅2 ) 𝑒 𝑖𝜔𝑡 ⃑⃑⃑ 𝑈𝑥 =𝐴 𝑒 𝑖𝜔𝑡 ⃑⃑⃑ 𝑈𝑥 Donc l’intensité lumineuse aura une expression proportionnelle à 2 2 I=‖𝐸⃑ (𝑃, 𝑡)‖ =𝑑 2 𝑠𝑖𝑛𝑐 2 (𝑒𝑋) 𝑠𝑖𝑛𝑐 2 (𝑓𝑌) = ‖𝐴‖ = ( 𝐴1 + 𝐴2 𝑒 𝑖∆∅ )2 = 𝐴1 2 + 𝐴2 2 + 2 𝐴1 𝐴2 cos(∆∅) = 𝐼1 + 𝐼2 + 2√𝐼1 𝐼2 cos(∆∅) Car 𝐼1 = 𝐴1 2 et 𝐼2 = 𝐴2 2 , ∆∅ = ∅2 − ∅1 = 𝐾(−̅̅̅̅ 𝑆2 𝑃 + ̅̅̅̅) 𝑆 1 𝑃 + ∅ ( 𝑆2 , 𝑡 ) − ∅ ( 𝑆1 , 𝑡 ) Où 𝛿 = −̅̅̅̅̅ 𝑆2 𝑃 + ̅̅̅̅̅ 𝑆1 𝑃 est la différence de marche de l’onde Prenons le cas où 𝐼1 = 𝐼2 = 𝐼0 et ∅(𝑆2 , 𝑡) − ∅(𝑆1 , 𝑡) = 0 ∆∅ 𝜋𝛿 2 𝜆 On aura: I=4𝐼0 𝑐𝑜𝑠 2 ( ) = 4𝐼0 𝑐𝑜𝑠 2 ( ) Les franges brillantes qui sont les points d’intensité maximale sont obtenues pour 𝜹 = 𝒍 𝝀 , l étant un entier 𝝀 Les franges sombres : points d’intensité minimale pour 𝜹 = (𝟐𝒍 + 𝟏) 𝟐, l étant un entier 𝒀 Or 𝜹 = 𝑺𝟐 𝑯 = 𝒂 𝒔𝒊𝒏(𝜽) = 𝒂 𝑫 selon le schéma 𝑙𝜆𝐷 Position des franges brillantes, Yl= , l étant un entier 𝑎 (2𝑙+1)𝜆𝐷 Position des franges Sombres, Yl= 2𝑎 , l étant un entier D’où la distance entre deux franges brillantes consécutives est : i=𝑌𝑙+1 − 𝑌𝑙 = 𝜆𝐷 (l+1-l) = 𝑎 𝜆𝐷 La distance entre deux franges sombres consécutives est : i=𝑌𝑙+1 − 𝑌𝑙 = 2𝑎 (2l+3-(2l+1))= Ceci explique l’alternance bande claire-bande sombre de la figure d’interférence. 𝜆𝐷 𝑎 𝜆𝐷 𝑎 Ainsi i l’interfrange, distance entre deux franges consécutives de même nature est i= 𝝀𝑫 𝒂 et a l’écart entre les fentes Donc a= 𝝀𝑫 𝒊 De plus l’expression générale de l’intensité lumineuse en P est I(P)=I 𝒔𝒊𝒏𝒄𝟐 (𝒆𝑿) 𝒔𝒊𝒏𝒄𝟐 (𝒇𝒀) 𝑎𝑣𝑒𝑐 I=𝐈𝟏 + 𝐈𝟐 + 𝟐√𝐈𝟏 𝐈𝟐 𝐜𝐨𝐬(∆∅) La présence de la fonction sinus cardinal carré vient appuyer les observations expérimentales selon lesquelles le lobe central est la plus brillante et les lobes à proximité ont une intensité qui diminue au fur et à mesure qu’on s’éloigne du lobe central. Le lobe central contenant 90% des informations du signal initial, pour déterminer les valeurs de a, il faudra relever l’interfrange des bandes alternées de la lobe centrale de diffraction. III. RESUME DU MODE OPERATIOIRE 1. Liste de matériel Pour réaliser notre manipulation, nous avons eu besoin de : Source Laser : Longueur d’onde λ= 𝟔𝟒𝟎 ± 𝟏𝟎 𝒏𝒎 Ecran : Graduée en Cm Adaptateur pour le laser 03 Système de Fente de YOUNG : Ecart entre les fentes Banc Optique et Support de Composantes : Gradué en Cm Règle : Graduée en Cm 2. Schéma du dispositif expérimental 3. Protocole expérimentale Rassembler le matériel adéquate On commence par faire une étude observatoire en branchant l’adaptateur (déjà connecté au support au laser) à la prise de secteur et le fixant sur le support approprié du banc Optique et observant la figure d’interférences On pourra aussi relever les possibles variations de la figure d’interférences lorsqu’on quitte d’u système de fente à un autre, ou lorsqu’on modifie la distance D entre le plan de fente et l’écran, la distance d’entre la source laser et les fentes Ensuite dans le but de déterminer l’écart entre les fentes des différents systèmes, nous allons : Fixer une valeur de D (distance entre le plan de fente et l’écran) Diriger le rayon laser vers un système de fente et mesurer la distance d équivalente à 10 interfranges (on peut utiliser un format A4 que l’on placera sur l’écran pour délimiter les 10 interfranges avant de mesurer juste après la distance) On réitère l’expérience pour de différentes valeurs de D et pour chacun des trois systèmes de fentes étudiés On met au propre les valeurs afin de les exploiter ultérieurement
