nde 2 4 CORRIGÉ DEVOIR 4 (facultatif) 20/12/2012 Pour le 07/01 Vous porterez une attention particulière à la rédaction de ce devoir. EXERCICE 1 Dans un repère (O, I , J) on place le point A (–4 ( ; 5). Montrer que I, J et A sont alignés. Cherchons l’équation de la droite (IJ) : Comme (IJ) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, elle a une équation de la forme : y = mx + p. p Ordonnée à l’origine : Par lecture graphique, p = 1. Coefficient directeur : m = = = –1 La droite (IJ) a pour équation : y = –x + 1. Montrons que le point A appartient à (IJ) : On remplace x dans l’équation de (IJ) par l’abscisse de A et on vérifie si on obtient son ordonnée : – (–4) + 1 = 4 + 1 = 5. Les coordonnées de A vérifient bien l’équation de (IJ), donc A ∈ (IJ). Conclusion : Les trois points A, I et J sont alignés. EXERCICE 2 Dans un triangle ABC les points D, E et F sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC] et [AC]. Le but est de démontrer que les droites (AE), (BF) et (CD) sont concourantes. 1. Faire une figure. 2. Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D, E et F dans le repère (A, B, C). Les trois points formant le repère : A(0 ;0) B(1 ;0) C(0 ;1) Les milieux : D milieu ilieu de [AB] a pour coordonnées : ; = ;0 E milieu de [BC] a pour coordonnées : ; F milieu de [AC] a pour coordonnées : 0; 3. En déduire les équations de (AE), (BF) et (CD). Droite (AE) : Elle a une équation de la forme y = mx avec : m = Droite (BF) : La droite (AE) a pour équation réduite : y = x Elle a une équation de la forme y = mx + p avec : p = [l’ordonnée à l’origine se lit sur l’axe (AC)] Et m = Droite (CD) : =1 = – . La droite (BF) a pour équation : y =– x + Elle a une équation de la forme y = mx + p avec : p = 1 Et m = = –2. La droite (CD) a pour équation : y = –2x + 1 4. Calculer les coordonnées du point d’intersection G des droites (AE) et (BF). Le point G(x ;y)) appartient simultanément aux deux droites équivaut à dire que ses coordonnées sont solutions du système : – " $ – 2! 2 – 1 Le point d’intersection G des droites (AE) et (BF) a pour coordonnées ; 5. Montrer que G appartient à la droite (CD). Conclure. On remplace x dans l’équation de (CD) par l’abscisse de G et on vérifie si on obtient son ordonnée : – 2× + 1 = – + 1 = . Les coordonnées de G vérifient bien l’équation de (CD), donc G ∈ (CD). 6. Comment s’appellent les droites (AE), (BF) et (CD) ? Comment s’appelle le point G ? Quelle propriété de collège avez-vous vous ainsi démontrée ? Les droites (AE), (BF) et (CD) sont les médianes du triangle ABC. Nous avons démontré que les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point G appelé centre de gravité du triangle ABC.