COURS D’ELECTROMAGNETISME Prof. Olivier OBROU Université FHB Cocody ICTP Research Associate Copyright c 2018 Olivier OBROU Reproduction interdite sans l’autorisation de l’auteur Table des Matières 1 2 Outils mathématiques 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Coordonnées Cartésiennes (~ex , ~ey ,~ez ) . . . . . 1.2.2 Coordonnées cylindriques (~eρ , ~eϕ , ~ez ) . . . . 1.2.3 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . 1.3 Flux et Circulation d’un champ de vecteur . . . . . . 1.3.1 Champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Ligne de champ . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Tube de champ . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Champ scalaire et champ vectoriel particulier 1.3.6 Orientation d’une surface . . . . . . . . . . . 1.3.7 Flux d’un champ de vecteur . . . . . . . . . 1.3.8 Formule d’Ostrogradsky . . . . . . . . . . . 1.4 Circulation d’un champ de vecteur . . . . . . . . . . 1.4.1 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Opérateurs différentielles . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Le gradient d’une fonction scalaire . . . . . . 1.5.2 Divergence d’un champ de vecteur . . . . . . 1.5.3 Exercice d’application . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Rotationel d’un champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 6 6 7 8 9 9 9 9 10 10 11 12 12 12 12 13 13 14 16 17 Le champ magnétique - propriétés du champ magnétique 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Sources du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Action magnétique entre deux aimants . . . . . . . . . . . 2.2.2 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Expression du Champ, loi de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Champ créé par une charge en mouvement . . . . . . . . . 2.3.2 Champ créé par un ensemble de charges discrètes . . . . . . 2.3.3 Champ créé par une distribution continue de charges . . . . 2.3.4 Champ créé par un circuit électrique : Loi de Biot et Savart . 2.3.5 Formule de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Orientation du vecteur champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Unité de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 19 19 20 21 21 21 21 22 22 22 23 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 TABLE DES MATIÈRES 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 3 Propriété de symétrie du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Plan de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Plan d’antisymétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Invariance des sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Invariance des sources par translation le long d’un axe . . . . . 2.7.2 Invariance des sources par rotation autour d’un axe . . . . . . . Champs magnétiques créés par des circuits filiformes de forme simple . 2.8.1 Champ magnétique créé par un fil rectiligne de longueur infinie 2.8.2 Champ magnétique créé par une spire circulaire . . . . . . . . . 2.8.3 Solénoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Circulation du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.2 Théorème d’Ampère (forme intégrale) . . . . . . . . . . . . . . 2.9.3 Théorème d’Ampère (forme locale) . . . . . . . . . . . . . . . Flux du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.1 Divergence du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.2 Flux du champ magnétique à travers une surface fermée . . . . Potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.2 Invariance de Jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.3 Equation de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potentiel vecteur créé par une distribution de courant . . . . . . . . . . 2.12.1 Distribution surfacique/linéique de courant . . . . . . . . . . . Equation de Passage du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.1 Continuité de la composante normale du champ . . . . . . . . . 2.13.2 Discontinuité de la composante tangentielle du champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Action du magnétique - Energie magnétique 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Conducteur dans un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Force élémentaire sur un élément de conducteur placé dans un champ magnétique 3.2.2 Force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Orientation de la force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Différences entre la force de Laplace et la force de Lorentz . . . . . . . . . . 3.2.5 Particule chargée en mouvement dans un champ magnétique uniforme . . . . 3.3 Effet Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Champ et Tension de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Coefficient de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Loi des actions électrodynamiques d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Définition de l’unité ’Ampère’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Travail électromoteur et travail des forces de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Travail des forces de Laplace en fonction du flux - Flux coupé . . . . . . . . 3.5.2 Expression de la force de Laplace en fonction du flux - Cas d’un mouvement de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 24 24 25 25 25 25 25 26 28 29 29 30 30 31 31 32 32 32 33 33 34 34 35 35 36 37 37 37 37 38 39 39 39 40 41 42 43 44 44 45 46 TABLE DES MATIÈRES 4 5 Induction électromagnétique 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Approche expérimentale . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Interprétation et enoncé de la loi de Farady . . 4.2.3 Relation de Maxwell-Faraday . . . . . . . . . 4.2.4 Exemple de calcul de la force électromotrice . 4.2.5 Potentiel Vecteur et Potentiel Scalaire . . . . . 4.3 Auto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Loi de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Loi de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Circuit mobile dans un champ magnétique . . . . . . . 4.4.1 Expression générale de la force électromotrice 4.4.2 Cas particuliers d’application de fem générale . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inductances mutuelles -Inductances propres des circuits électriques 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Inductance mutuelle de deux circuits . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Inductance mutuelle de deux circuits . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Inductance propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Expression de l’induction propre d’un circuit . . . . . . . 5.5 Inductance d’un ensemble de deux circuits couplés . . . . . . . . 5.5.1 Matrice inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Inductance équivalente à deux inductances en série . . . . 5.6 Transformateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 47 47 47 47 48 49 50 51 51 51 51 51 52 . . . . . . . . . . . 55 55 55 55 57 57 57 58 58 59 59 60 Chapter 1 Outils mathématiques 1.1 Introduction Pour préciser l’écriture des lois de l’électromagnétisme, et plus généralement celles de la physique il est utile de connaître les expressions des éléments différentielles, −r , • de longueurs d → • de surface dS • de volume dV dans les principaux système de coordonnées. L’on peut représenter la position d’un point dans l’espace en utilisant différents systèmes de coordonnées. Ce sont les conditions particulières du problème à traiter qui permettent de choisir celui qui sera occasionnellement le plus adapté. Par exemple, la symétrie de distribution, l’expression du champ etc ... 1.2 1.2.1 Systèmes de coordonnées Coordonnées Cartésiennes (~ex , ~ey ,~ez ) −−→ −r a pour expression Un déplacement élémentaire MM 0 = d → −r = dx→ − − − d→ e x + dy→ e y + dz→ ez (1.1) Les trois éléments de surfaces sont : − − dSz → e z = dxdy→ ez → − → − dSx e x = dydz e x − − dSy → e y = dzdx→ ey (1.2) (1.3) (1.4) dV = dxdydz (1.5) L’élément de volume s’écrit 6 CHAPTER 1. OUTILS MATHÉMATIQUES 7 Figure 1.1: 1.2.2 Coordonnées cylindriques (~eρ , ~eϕ , ~ez ) Un point M dans la base est repéré en coordonné cylindrique par ρ, ϕ et z où ρ est la distance OP −→ (projeté de M sur le plan xOy) et ϕ, l’angle que fait OP avec l’axe (Ox). x = ρ cos ϕ et y = ρ sin ϕ − − − Les vecteur (→ e ρ, → e ϕ, → e z ) forment au point M une base orthonormée locale de l’espace Euclidien que l’on utilise dans l’étude des problèmes à symétrie cylindrique. Figure 1.2: Repère cylindrique Dans cette base, le déplacement élémentaire s’écrit comme suit 8 1.2. SYSTÈMES DE COORDONNÉES −→ −r = − − − − d→ MM 0 = dρ → e ρ + ρdϕ → e ϕ + dz→ ez (1.6) Les trois éléments de surfaces sont : − − e z = ρdρdϕ → ez dSz → → − → − dSρ e ρ = ρdϕdz e ρ − − dSϕ → e ϕ = dρdz→ eϕ (1.7) (1.8) (1.9) dϑ = ρdρdϕdz (1.10) L’élément de volume s’ecrit 1.2.3 Coordonnées sphériques Un point M dans la base est repéré par ses coordonnées sphériques par r , θ et ϕ où r est la norme du −−→ −−→ vecteur OM et θ l’angle que fait OM avec l’axe (Oz) x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ x = r cos θ Dans cette base le déplacement élémentaire s’écrit comme suit Figure 1.3: Repère sphérique −→ −r = − − − − d→ MM 0 = dr→ e r + rdθ → e θ + r sin θ dϕ → eϕ (1.11) CHAPTER 1. OUTILS MATHÉMATIQUES 9 Les trois élments de surfaces sont : − − dSθ → e θ = r sin θ dϕ × dr→ eθ → − → − dSr e r = r sin θ dϕ × rdθ e r − − e ϕ = rdθ × dr→ eϕ dSϕ → (1.12) (1.13) (1.14) dϑ = r sin θ dϕ × rdθ × dr (1.15) L’élément de volume dϑ s’écrit Les vecteurs (~er , ~eθ et ~eϕ ) forment au point M une base orthonormée locale de l’espace Euclidien que l’on utilise dans l’étude des problèmes à symétrie sphérique. 1.3 1.3.1 Flux et Circulation d’un champ de vecteur Champ scalaire A tout point M(q1 , q2 , q3 ) de l’espace, on peut associer une grandeur locale scalaire f (q1 , q2 , q3 ), on défini une fonction à valeur scalaire f (M) = f (q1 , q2 , q3 ) L’ensemble des valeurs prises par f (M) en tout point de l’espace constitue un champ scalaire. 1.3.2 Champ vectoriel → − A tout point M(q1 , q2 , q3 ) de l’espace, on peut associer une grandeur locale vectorielle F (q1 , q2 , q3 ). On défini une fonction de point à valeur vectorielle → − → − F (M) = F (q1 , q2 , q3 ) (1.16) → − L’ensemble des valeurs prises par F (M) en chaque point de l’espace constitue un champ vectoriel. Comme le champ scalaire, le champ vectoriel peut être à la fois fonction de variables d’espace et du temps. 1.3.3 Ligne de champ → − Une ligne de champ associée au champ vectoriel F (M), est une courbe tangente en chaque point M → − → − au champ vectoriel F (M). Elle est orientée dans le même sens que le champ vectoriel. Si dl (M) est un déplacement élémentaire autour du point M de la ligne de champ on a → − → − → − F (M) ∧ dl (M) = 0 (1.17) 10 1.3. FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEUR Figure 1.4: Ligne de champ Figure 1.5: Tube de champ 1.3.4 Tube de champ On appelle tube de champ, la surface déterminée par l’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur une couvre fermée. 1.3.5 Champ scalaire et champ vectoriel particulier Il arrive qu’un champ scalaire ou vectoriel soit indépendant des variables spatiales ou temporelles. Lorsque le champ est indépendant de la coordonnée temporelle t, on dit qu’il est stationnaire. Lorsque le champ est indépendant des coordonnées spatiales (q1 , q2 , q3 ) on dit qu’il est uniforme. → − Les lignes de champ sont dans ce cas des droites parallèles. En tout point M, les vecteurs F (M) ont le même sens et la même norme. La figure 1.6 est une illustration d’un champ vectoriel uniforme entre deux instants t1 (a) et t2 (b) Lorsque qu’un champ scalaire ou vectoriel est à la fois uniforme et stationnaire, on dit qu’il est Figure 1.6: Champ vectoriel uniforme constant. La figure 1.7 en est une illustration ( instant t1 (a) et instant t2 (b)) Figure 1.7: Champ vectoriel uniforme CHAPTER 1. OUTILS MATHÉMATIQUES 1.3.6 Orientation d’une surface 1.3.6.1 Surface ouverte 11 Soit une surface ouverte S dont l’unique ouverture est délimitée par un contour fermé C (figure 1.8) . On dit alors que S s’appuie sur C . Orienter la surface S consiste à définir en tout point M ∈ S un − vecteur unitaire → n orthogonal à S dont l’orientation est déterminée comme suit. Figure 1.8: Surface ouverte • On choisit sur C un sens positif qui est en général imposé par des raisons d’ordre physique. • Le sens de progression du tire-bouchon de Maxwell tournant dans le sens positif choisi sur C permet de distinguer la face “entrante” ou négative (sud) et la face “sortante” ou positive (nord) de S − Le vecteur unitaire → n normal à S en M est orienté de la face sud vers la face nord. En considérant la surface élémentaire d’aire dS autour du point M, on définit le vecteur surface élémentaire par la relation → − − d S = dS→ n 1.3.6.2 Surface fermée − Le vecteur unitaire → n normal en tout point M appartenant à la surface fermée (S) est orienté par convention positivement de l’intérieur (négative) vers l’extérieur (positive). Une surface fermée S délimite un volume ϑ alors qu’un contour délimite une surface. Figure 1.9: Surface fermée 12 1.3.7 1.4. CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEUR Flux d’un champ de vecteur Considérons une surface quelconque (S) (qui peut être soit fermée ou ouverte) et un champ de vecteur → − → − F . On appelle flux de F à travers S l’intégrale Figure 1.10: Surface fermée − → − → FdS ZZ Φ= (1.18) S Lorsque la surface S est fermée, le flux s’écrit alors − → − → FdS I I Φ= (1.19) S Si le flux à travers une surface fermée quelconque est nul on dit que le champ vectoriel est à flux concervatif. Exemple : le champ magnétique 1.3.8 Formule d’Ostrogradsky → − Le flux d’un champ de vecteur F à travers une surface fermée S est lié à l’intégrale de sa divergence dans le volume ϑ délimité par S grace à la relation ci-après Z I → − → F ·− n dS = S 1.4 ZZZ → − div F dϑ (1.20) ϑ Circulation d’un champ de vecteur → − La circulation d’un champ de vecteur F sur le contour AB est donnée par la relation Z C= → − → F d −r (1.21) AB 1.4.1 Formule de Stokes → − La circulation d’un champ de vecteur F le long d’une courbe fermée C est l’intégrale Z C → − → F · d −r (1.22) CHAPTER 1. OUTILS MATHÉMATIQUES 13 Figure 1.11: Contour AB → − La formule de Stokes est la relation qui relie la circulation du vecteur F le long d’une courbe fermée C au flux de son rotationel à travers une surface ouverte S qui s’appuie sur le contour. On a Z → − → F · d −r = C 1.5 Z − − − →→ rot F · → n dS (1.23) S Opérateurs différentielles Les opérateurs différentiels sont des combinaisons de dérivées partielles par rapport aux coordonnées d’espace. 1.5.1 Le gradient d’une fonction scalaire Soit la fonction réelle f (u, v, w) défine, continument dérivable dans une partie de R3 . On appelle −−→ gradient de la fonction f noté grad f le vecteur défini par −−→ −r d f = grad f · d → où d f , la différentielle de f s’écrit ∂f ∂f ∂f du + dv + dw ∂u ∂v ∂w − − − le vecteur déplacement élementaire dans la base ( → e ,→ e ,→ e ) s’écrit df = u v w −r = du→ − − − d→ e u + dv→ e v + dw→ ew on déduit alors −−→ ∂f→ ∂f→ ∂f→ − − − grad f = e u+ e v+ ew ∂u ∂v ∂w −−→ −r = 0 d f = grad f · d → −−→ −r , donc orthogonale à la surface. alors grad f est orthogonale à d → 1.5.1.1 Gradient d’une fonction en coordonnées cartésiennes Le gradient d’une fonction scalaire f en coordonnée cartésienne est donnée par −−→ ∂f→ ∂f→ ∂f→ − − − grad f = e x+ e y+ ez ∂x ∂y ∂z (1.24) 14 1.5.1.2 1.5. OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELLES Gradient d’une fonction en coordonnées cylindriques Le gradient d’une fonction scalaire f en coordonnées cylindriques est donnée par −−→ ∂f→ 1∂f→ ∂f→ − − − grad f = eρ+ eϕ+ ez ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z 1.5.1.3 (1.25) Gradient d’une fonction en coordonnées sphériques Le gradient d’une fonction scalaire f en coordonnées sphériques est donnée par −−→ 1∂f→ 1 ∂f→ ∂f→ − − − e r+ eθ+ eϕ grad f = ∂r r ∂θ r sin θ ∂ ϕ 1.5.2 (1.26) Divergence d’un champ de vecteur Soit un champ de vecteur → − − − − A (x, y, z) = Ax (x, y, z)→ e x + Ay (x, y, z)→ e y + Az (x, y, z)→ ez → − − − − dans une base cartésiènne (→ e x, → e y, → e z ). On appelle divergence de A le nombre scalaire ∂ Ax ∂ Ay ∂ Az → − div A = + + ∂x ∂y ∂z (1.27) que l’on note également → − → ∂ Ax ∂ Ay ∂ Az − + + ∇·A = ∂x ∂y ∂z où l’opérateur nabla est → − ∂ − ∂ − ∂ − ∇= → e x+ → e y+ → ez ∂x ∂y ∂z 1.5.2.1 Interprétation de la divergence → − Que représente la divergence d’un champ de vecteurs A ? − − On considère un volume élémentaire dϑ = dxdydz de l’espace. Soient → n x et → n x+dx les vecteurs unitaires normaux aux faces gauche et droite de ce volume et orientés de l’intérieur vers l’extérieur. → − Les flux du champ vectoriel A à travers ces deux faces élémentaires sont respectivement égaux à → − − − − A (x, y, z) · → n x dS = Ax (x, y, z)dS→ e x ·→ nx et → − − − − A (x + dx, y, z) · → n x+dx = Ax (x + dx, y, z)dS→ e x ·→ n x+dx → − La variation des flux de A sur ces deux faces élémentaires est donc dΦx = Ax (x + dx, y, z) dydz − Ax (x, y, z) dydz CHAPTER 1. OUTILS MATHÉMATIQUES 15 Soit ∂ Ax dxdydz ∂x En faisant le même raisonnement sur les faces dxdz et dxdy, on en déduit que la variation des flux de → − A sur l’ensemble des faces du volume élémentaire dϑ est ∂ Ax ∂ Ay ∂ Az + + dΦ = dϑ ∂x ∂y ∂z dΦx = Soit → − dΦ = div A dϑ La divergence d’un champ de vecteurs en un point M de l’espace représente le flux par unité de volume de ce champ à travers la surface délimitant une unité de volume en ce point. • Une divergence positive en un point M(x, y, z) correspond à un flux majoritairement sortant autour de ce point. On parle alors de champ divergent, comme c’est le cas de l’expansion d’un fluide. • Une divergence négative en un point M(x, y, z) correspond à un flux majoritairement entrant autour de ce point. On parle alors de champ convergent. Exemple : Compression d’un fluide. • Une divergence nulle en un point M(x, y, z) correspond à des flux entrant et sortant autour de ce point qui se compensent. C’est le cas d’un champ uniforme (Fluide incompressible) ou tourbillonnant. 1.5.2.2 Divergence en coordonnées cartésiennes → − Soit un champ de vecteur A de composantes Ax , Ay et Az dans une base cartésiènne. Le flux de ce champ à travers une surface entourant un volume élementaire dϑ = dxdydz construit au point M(x, y, z) est dΦ = Ax (x + dx, y, z) dydz − Ax (x, y, z) dydz +Ay (x, y + dy, z) dxdz − Ay (x, y, z) dxdz +Az (x, y, z + dz) dxdy − Az (x, y, z) dxdy ∂ Ay ∂ Ax ∂ Az dΦ = dxdydz + dxdydz + dxdydz ∂x ∂y ∂z ∂ Ax ∂ Ay ∂ Az dΦ = + + dϑ ∂x ∂y ∂z (1.28) (1.29) (1.30) On sait d’après la relation d’Ostrogradsky que → −− → − dΦ = A → n dS = div A dϑ (1.31) On déduit alors → − div A = ∂ Ax ∂ Ay ∂ Az + + ∂x ∂y ∂z (1.32) 16 1.5. OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELLES 1.5.2.3 Divergence en coordonnées cylindriques A l’aide des différents éléments de surface on calcule le flux d’un champ de vecteur à travers chaque − face. Ainsi dans la direction → e ρ , la variation du flux est dΦρ = Aρ (ρ + dρ, ϕ, z)(ρ + dρ)dϕdz − Aρ (ρ, ϕ, z)ρdϕdz (1.33) − Dans la direction → e ϕ on a dΦϕ = Aϕ (ρ, ϕ + dϕ, z)dρdz − Aϕ (ρ, ϕ, z)dρdz (1.34) dΦz = Az (ρ, ϕ, z + dz)ρdρdϕ − Az (ρ, ϕ, z)ρdρdϕ (1.35) − suivant → ez → − En additionant les trois équation ci-dessus, on déduit la divergence du vecteur A par la relation 1 ∂ ∂A 1 ∂ → − div A = (ρAρ ) + (Aϕ ) + ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z 1.5.2.4 (1.36) Divergence en coordonnées sphériques On applique la même méthode que précédemment. 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂ → − div A = 2 (r2 Ar ) + (sin θ Aθ ) + (Aϕ ) r ∂r r sin θ ∂ θ r sin θ ∂ ϕ 1.5.3 (1.37) Exercice d’application −r = x→ − − − − − − On considère le champ vectoriel → e x + y→ e y + z→ e z dans un base cartésienne (→ e x, → e y +→ e z ). → − 1. Calculer la divergence de r . 2. En déduire le volume d’une sphère de centre O et de rayon R −r 1. Calcul de la divergence de → −r = div(x→ − − − div→ e x + y→ e y + z→ e z) −r = ∂ x + ∂ y + ∂ z div→ ∂x ∂y ∂z −r = 3 div→ 2. Volume de la sphère 1 ϑ= 3 1 3dϑ = 3 ϑ −r dϑ = 1 div→ 3 ϑ → − → − En remplaçant la normale et le rayon vecteur par e et R e , on a ZZZ ZZZ I I r ϑ= R3 4π 3 r S → −r · → − n dS CHAPTER 1. OUTILS MATHÉMATIQUES 17 Figure 1.12: Rotationel d’un champ de vecteur 1.5.4 Rotationel d’un champ de vecteur Le rotationnel d’un champ permet d’exprimer comment, localement en un point M, le champ ~A tourne autour de M 1.5.4.1 Rotationel en coordonnées cartésiennes On considère le contour MUVW parallèle au plan xOy (figure 1.13) pour la détermination de la composante suivant z du rotationel. − − →→ (rot A )z dxdy = Ax (x, y, z)dx + Ay (x + dx, y, z)dy − Ax (x + dx, y + dy, z)dx − Ay (x, y + dy, z)dy ∂ ∂ − − →→ (rot A )z dxdy = − Ax dydx + Ay dydx ∂y ∂y (1.38) (1.39) En appliquant la même règle au composantes suivant x et y on a l’expression ci-après − − →→ rot A = ∂ Ay ∂ Ax → ∂ Ax ∂ Az → ∂ Az ∂ Ay → − − − − e x+ − e y+ − ez ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Figure 1.13: Circulation de ~A le long du contour MUVW (1.40) 18 1.5.4.2 1.5. OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELLES Rotationel en coordonnées cylindriques → − En réutilisant les mêmes techniques que pour la divergence nous écrivons la circulation de A le long du contour MUVW (figure 1.14) correspondant à un petit morceau de cylindre orthogonal à (Oz) 1 ∂ Az ∂ Aϕ − − →→ − (rot A )ρ = ρ ∂ϕ ∂z (1.41) ∂ Aρ ∂ Az − − →→ (rot A )ϕ = − ∂z ∂ρ (1.42) 1 ∂ 1 ∂ Aρ − − →→ (rot A )z = (ρAρ ) − ρ ∂ρ ρ ∂ϕ (1.43) Figure 1.14: Circulation de ~A le long du contour MUVW 1.5.4.3 Rotationel en coordonnées Sphériques Les composantes du rotationel sont − − →→ (rot A )r = 1 ∂ 1 ∂ Aθ (Aϕ sin θ ) − r sin θ ∂ θ r sin θ ∂ ϕ − − →→ (rot A )θ = (1.44) 1 ∂ Ar 1 ∂ (rAϕ ) − r sin θ ∂ ϕ r ∂r (1.45) 1 ∂ (rAθ ) 1 ∂ (Ar ) − − →→ (rot A )ϕ = − r ∂r r ∂θ (1.46) Chapter 2 Le champ magnétique - propriétés du champ magnétique 2.1 Introduction Contrairement à l’électrostatique qui étudie l’interaction entre particules chargées immobiles, la magnétostatique est l’étude des interactions entre particules chargées en mouvement (en régime indépendant du temps). 2.2 Sources du champ magnétique Comme pour l’électrostatique, les premières observations concernant les phénomènes de magnétisme remontent à l’antiquité. Des corps naturels tel que la magnétite (ou oxyde de fer Fe3 O4 ) ont la propriété d’attirer des morceaux de fer. Ce sont les aimants naturels. Un aimant possède : • un pôle nord • un pôle sud La magnétite était une pierre provenant de la région de Magnésie en Grèce d’où l’origine des mots magnétique et magnétisme. Les quelques substances attirées par l’aimant sont dites “magnétiques”. On trouve principalement le fer, le cobalt, le nickel et certains de leurs composés et alliages. Convenablement traités, ces corps magnétiques peuvent donner naissance à des aimants artificiels. 2.2.1 Action magnétique entre deux aimants Si on approche deux aiguilles aimantées libres de s’orienter on constate que - Deux pôles de même nature se repoussent - Deux pôles de nature différente s’attirent 19 20 2.2. SOURCES DU CHAMP MAGNÉTIQUE Figure 2.1: Position instable. Les pôles de même nature se repousent Figure 2.2: Position stable. Les pôles de nature différente s’attirent 2.2.2 Force de Lorentz − Une charge électrique ponctuelle q, de vitesse → v , située en un point M du référentiel Galiléen d’étude, subie une force électromagnétique dite force de Lorentz sous la forme → − → − − → − F = q( E + → v ∧ B) (2.1) La force peut être séparée en deux parties. A savoir : -la force électrique → − → − f e = qE -la force magnétique → − → − − f m = q(→ v ∧ B) La force magnétique se caractérise par : → − − - un vecteur perpendiculaire au plan formé par la vitesse → v et le champ magnétique B → − − → − − − un travail toujours nul, puisque f m · → v dt = q(→ v ∧ B )·→ v dt = 0 - CHAPTER 2. LE CHAMP MAGNÉTIQUE - PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE 2.3 2.3.1 21 Expression du Champ, loi de Biot-Savart Champ créé par une charge en mouvement − On considère une charge q en P se déplaçant à la vitesse → v . Le champ magnétique créé par cette charge en un point M du repère Galiléen est donné par la relation −→ − µo q(→ v ∧ PM) → − B (M) = 4π kPMk3 (2.2) où µo = 4π × 10−7 H/m est la perméabilité du vide. 2.3.2 Champ créé par un ensemble de charges discrètes On considère un ensemble de charges qi placées en des points Pi . Si vi est le vecteur vitesse de chaque charge, le champ crée par cet ensemble en un point M d’un repère Galiléen est donné par la relation suivante −−→ − vi ∧ Pi M) µo i=n qi (→ → − B (M) = ∑ kPiMk3 4π i=0 2.3.3 (2.3) Champ créé par une distribution continue de charges Le champ obéit au principe de superposition des charges. Si l’ensemble des charges se localise dans − un volume élémentaire dϑ , la charge de celui-ci sera désignée par dq et animée de la vitesse → v . On a alors −→ Z − µo dq(→ v ∧ PM) → − B (M) = (2.4) 4π ϑ kPMk3 On sait dq = ρdϑ (2.5) − − avec ρ la densité volumique de charge dq→ v = ρdϑ → v or le vecteur densité de courant peut s’écrire comme suit → − − J = ρ→ v d’où → − − dq→ v = J dϑ → − → − − où J est le vecteur densité de courant d’une distribution volumique. En remplaçant dq→ v par J dϑ on a l’expression du champ créé par un courant volumique. Ainsi le champ créé par une distribution volumique est 22 2.4. ORIENTATION DU VECTEUR CHAMP MAGNÉTIQUE µo → − B (M) = 4π 2.3.4 − Z → v −→ J ∧ PM dϑ kPMk3 (2.6) Champ créé par un circuit électrique : Loi de Biot et Savart On considère un circuit électrique C, parcouru par un courant d’intensité I. Un élément de longueur dl du conducteur en P a un volume dϑ tel que → − → − dϑ = dl × dS = d l · d S . Figure 2.3: Portion élémentaire de courant D’autre part, − → − − → → − → − → J dS × dl = J d S · d l = dId l Remplaçons l’expression de dϑ dans l’equation (6), on a µo → − B (M) = 4π RR → − [ I S C −→ J dS × dl ∧ PM] kPMk3 (2.7) l’intensité du courant est définie par l’expression ci-après ZZ I= − → − → JdS S 2.3.5 Formule de Biot et Savart En un point M quelconque de l’espace, le champ magnétique créé par un circuit parcouru par un courant permanent I est − −→ I → µo I d l ∧ PM → − B (M) = (2.8) 4π C kPMk3 2.4 Orientation du vecteur champ magnétique Le champ magétique créé par un circuit fermé est la somme vectorielle des champs élémentaires → − → − d B engendrés par chaque élément de circuit d l dont dont le sens est donné par celui du courant I. L’orientation du vecteur champ magnétique est déterminé par les règles mnémotechniques ci-après • Règle du bonhomme d’Ampère CHAPTER 2. LE CHAMP MAGNÉTIQUE - PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE 23 • Règle du tire-bouchon de Maxwell • Règle des trois doigts de la main droite Figure 2.4: Sens du courant - sens du champ Imaginons avoir un tire-bouchon disposé le long du conducteur. On le fait tourner de sorte à ce qu’il se déplace dans le même sens que le courant. Le sens de rotation indique le sens des lignes de champ magétique 2.5 Unité de mesure Le champ magnétique s’exprime en Tesla du nom du Physicien Russe N. Tesla. La dimension du champ est le Volt Second par Mètre carré (V · s · m−2 ), 1T = 1V · s · m−2 Il existe des sous unités du champ magnétique. Le plus courament utilisé est le Gauss 1G = 10−4 T . Figure 2.5: Un Teslamètre Le champ magnétique de la terre mesuré au jardin botanique de l’Université FHB Cocody est de l’ordre de 0, 5 × 10−4 T 24 2.6 2.6. PROPRIÉTÉ DE SYMÉTRIE DU CHAMP MAGNÉTIQUE Propriété de symétrie du champ magnétique La connaissance des symétries et invariances que présentent les sources permet de déduire certaines caractéristiques du champ résultant. D’après la loi de Biot et Savart le champ magnétique élémentaire est proportionnel à un produit vectoriel. L’étude du comportement du produit vectoriel pour différentes symétries permet de déduire les propriétés de symétrie que présente le champ magnétique résultant. 2.6.1 Plan de symétrie On dit qu’une distribution de courant possède un plan de symétrie (πs ) si les courants volumiques en deux points P et Ps symétriques par rapport à (πs ) sont eux-même symétriques. Figure 2.6: Plan de symétrie πs 2.6.2 Plan d’antisymétrie On dit qu’une distribution de courant possède un plan d’antisymétrie (πa ) si les courants volumiques en deux points P et Ps symétriques par rapport à (πas ) sont eux-même antisymétriques. Figure 2.7: Plan d’antisymétrie πas CHAPTER 2. LE CHAMP MAGNÉTIQUE - PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE 2.7 2.7.1 25 Invariance des sources Invariance des sources par translation le long d’un axe − Lorsqu’une distribution de courant est invariante par une translation parallèle à un vecteur → u , on a α étant un réel → − → → − − − J (−r + α → u ) = J (→ r) 2.7.2 Invariance des sources par rotation autour d’un axe Lorsqu’une distribution de courant est invariante par rotation autour d’un axe Oz, on a en coordonnées cylindriques quel que soit ϕ 0 comprise en 0 et 2π. → − → − J (ρ, ϕ + ϕ 0 , z) = J (ρ, ϕ, z) 2.8 2.8.1 Champs magnétiques créés par des circuits filiformes de forme simple Champ magnétique créé par un fil rectiligne de longueur infinie Figure 2.8: Fil rectiligne de longueur infinie Considérons dans un repère cylindrique, un circuit filiforme, constituée d’éléments rectilignes parcouru par un courant stationnaire d’intensité I. Le champ magnétique créé par une telle distribution est la somme vectorielle des champs produits par chaque élément de longueur pris sur le conducteur. → − Un élément de longueur du conducteur cré en tout point M, un champ élémentaire d B . L’expression du champ élémentaire est donnée par → − −→ µo I d l ∧ PM → − d B (M) = 4π kPMk3 → − −→ Exprimons les vecteurs d l et PM dans la base cylindrique. On a → − − d l = dz→ ez −→ −→ −−→ − − PM = PO + OM = −z→ e z + ρ→ eρ → − −→ − d l ∧ PM = ρdz→ eϕ (2.9) 2.8. 26 CHAMPS MAGNÉTIQUES CRÉÉS PAR DES CIRCUITS FILIFORMES DE FORME SIMPLE On exprime la distance PM et dz en fonction de l’angle α, on a ρ dα cos2 (α) 1 3 cos(α) 3 = PM ρ dz = Pour un conducteur rectiligne infini, l’angle α varie de − π2 à + π2 µo I → → − − B (M) = eϕ 2πρ (2.10) Les lignes de champ sont des cercles contenus dans un plan perpendiculaire au fil. Les centres de ces cercles sont situés sur le fil. Figure 2.9: Ligne de champ 2.8.2 Champ magnétique créé par une spire circulaire Considérons une spire circulaire de rayon R, d’axe (Oz), parcouru par un courant d’intensité I. Calculons le champ produit par ce circuit en un point M situé sur l’axe Oz à une distance z du centre O de la spire. Figure 2.10: Spire circulaire CHAPTER 2. LE CHAMP MAGNÉTIQUE - PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE 2.8.2.1 27 Etude des symétries et invariances Tout plan contenant l’axe de la spire est un plan d’antisymétrie πas pour les courants (voir figure 2.10.) Le champ magnétique doit être dans tous ces plans, donc suivant leur intersection c’est-à-dire l’axe Oz. Le plan contenant la spire et perpendiculaire à l’axe Oz est un plan de symeétrie πs pour les courants Figure 2.11: Plan de symétrie de la spire (voir figure 2.11. Le champ magnétique est alors perpendiculaire à πs donc suivant l’axe Oz. 2.8.2.2 Expression du champ créé par la spire Le champ résultant créé par la spire est orienté suivant l’axe (Oz), → − − B (M) = Bz → ez c’est-à-dire → − − Bz = B · → ez Appliquons la loi de Biot − Savart. → − −→ d l ∧ PM 3 C kPMk → − −→ − − − Exprimons les vecteurs d l et PM dans la base cylindrique (→ e ρ,→ e ϕ,→ e z) µo I → − B (M) = 4π I (2.11) → − − d l = Rdϕ → eϕ −→ −→ −−→ − − PM = PO + OM = −R→ e ρ + z→ ez −→ − d~l ∧ PM = Rdϕ~eϕ ∧ (−R~eρ + z~ez ) = R2 dϕ~ez + Rzdϕ → eρ D’autre part sin(α) 3 1 = PM 3 R Remplaçons chaque élément par son expression. µo I 3 → − − Bz = B · → ez= sin (α) 4πR En définitive on a Bz = µo I 3 sin (α) 2R Z 2π dϕ (2.12) 0 (2.13) 2.8. 28 CHAMPS MAGNÉTIQUES CRÉÉS PAR DES CIRCUITS FILIFORMES DE FORME SIMPLE 2.8.2.3 intensité du champ en fonction de la position du point M L’on peut exprimer le sinus de l’angle α en fonction de position du point M. C’est-à-dire sin3 (α) = 1 R3 = 3/2 3/2 2 2 (R + z ) (1 + (z/R)2 ) (2.14) Losque que α = π/2 on obtient le champ magnétique au centre O de la spire soit Bz (O) = µo I 2R (2.15) et → − B (M) = Bz (O) 1 3/2 (1 + (z/R)2 ) → − ez (2.16) Figure 2.12: Profil de l’intensité de Bz en fonction de z/R La figure ci-dessus est une représentation graphique de la variation du champ créé par une source de courant circulaire en fonction de la côte z de tout point de son axe. Cet exemple correspond à un champ créé par une spire de rayon R = 2cm, parcouru par un courant d’intensité I = 1A. 2.8.3 Solénoïde 2.8.3.1 Définition Un solénoïde est constitué d’un enroulement d’un fil conducteur autour d’un cylindre. On suppose que ce fil est suffisamment mince pour pouvoir modéliser ce solénoïde comme une juxtaposition de spires coaxiales, avec N spires par unité de longueur. Chaque spire est alors parcourue par un courant permanent I. 2.8.3.2 Champ magnétique sur l’axe d’un solénoïde de longueur finie CHAPTER 2. LE CHAMP MAGNÉTIQUE - PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE 29 On considère un solénoïde de longueur L constitué de N spires circulaires par unité de longueur de rayon R, parcouru par un courant d’intensité I. Comme pour la spire simple, les propriétés de symétrie du courant montrent que le champ magnétique du solénoïde, qui est la somme vectorielle du champ créé par chaque spire, est suivant l’axe z uniquement. Autour d’un point P situé en z, sur une épaisseur dz, il y a Ndz spires. Ces spires créent donc un champ en un point M quelconque de l’axe µo NIdz 3 → − − dB = sin (α)→ ez 2R Dans cette expression apparaissent les deux variables z et α liées par la relation (2.17) R OM − z (2.18) R tan α (2.19) R dα sin2 α (2.20) tan α = OM − z = soit dz = Le champ magnétique total s’écrit donc µo NI → − B = 2 Z α2 − sin αdα → ez µo NI → − − (cos(α1 ) − cos(α2 )) → ez B = 2 2.8.3.3 (2.21) α1 (2.22) Champ créé par un solénoïde de longueur infinie Pour un solénoïde infini, on a α1 → 0 et α2 → π, d’où un champ sur l’axe B = µ0 NI 2.9 2.9.1 (2.23) Propriétés du champ magnétique Circulation du champ magnétique Considérons un fil parcouru par un courant d’intensité I et un contour fermé (C). Calculons la circulation du champ produit par le conducteur le long du contour. On rappelle que le champ créé par Figure 2.13: 30 2.9. PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE une source de courant rectiligne est µo I → → − − B (M) = eϕ 2πρ et le déplacement élémentaire sur un contour quelconque en coordonnées cylindriques est −r = dρ → − − − d→ e ρ + ρdϕ → e ϕ + dz→ ez µo I → − − C = B · d→ r = 2π c Discutons la valeur du contour (C). I I dϕ (2.24) c • Si le contour (C) n’enlace pas le fil on a C = 0 • Si le contour enlace le fil une fois C = µ0 I • Si le contour enlace le fil n fois, C = nµ0 I 2.9.2 Théorème d’Ampère (forme intégrale) La circulation du champ magnétique le long d’une courbe fermée quelconque est égale au produit de µ0 par la somme algébrique des courants qui traverse la surface délimitée par ce contour Figure 2.14: I c → − → B · d −r = µo It avec (2.25) i=n It = ∑ Ii i=1 2.9.3 Théorème d’Ampère (forme locale) En utilisant la forme intégrale du théorème d’Ampère l’on peut écrire I C → − → B · d −r = µo It = µo car ZZ It = S ZZ − → − → j ·d S S − → − → j ·d S CHAPTER 2. LE CHAMP MAGNÉTIQUE - PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE 31 et S représente la surface délimitée par le contour C. D’autre part d’après la formule de Stokes I → − → B · d −r = ZZ c − − → − →→ rot B · d S S on en déduit alors que − → − − →→ rot B = µo j (2.26) qui est la forme locale du théorème d’Ampère 2.10 Flux du champ magnétique 2.10.1 Divergence du champ magnétique Calculons la divergence du champ magnétique à partir du champ créé par un courant volumique. µo → − B (M) = 4π µo → − div B = 4π On rappelle que −→ → − PM J ∧ dϑ PM 3 v Z −→ ! → − PM div J ∧ dϑ PM 3 v ZZZ → − → − − − →− → − →→ − div(→ a ∧ b ) = b · rot → a −− a · rot b −→ −−→ 1 PM = −grad PM 3 PM −→ ! −→ −→ PM PM PM → − → − − → − → div J~ ∧ = · rot J − J · rot PM 3 PM 3 PM 3 Comme le vecteur densité de courant volumique étant uniforeme au point P − − → − →→ rot J = 0 Par ailleurs, −→ → − − → − − → PM → −−→ 1 = J · rot grad − J · rot =0 PM 3 PM Il vient → − → − ∇· B =0 (2.27) On dit que le champ magnétique est non divergent. Cette propriété est indépendante du courant. 32 2.11. POTENTIEL VECTEUR Figure 2.15: Ligne de champ à travers une surface fermée 2.10.2 Flux du champ magnétique à travers une surface fermée Considérons une surface fermée S, le flux du champ magnétique à travers S est donnée par I Φ= − → − → B ·d S s or d’après la formule d’Ostrogradsky I − → − → B ·d S = s ZZZ → − div B dϑ v or → − div B = 0 donc − → − → B ·d S = 0 I (2.28) s 2.11 2.11.1 Potentiel vecteur Définition → − → − Le champ magnétique est non divergent (div B = 0), il existe alors un champ de vecteur A tel que − → − − →→ B = rot A (2.29) → − Le champ vectoriel A est appelé Potentiel vecteur du champ magnétique. Exprimons le flux du champ magnétique à travers une surface S ZZ Φ= s → − → B ·− n dS = − − − →→ rot A · → n dS = ZZ s I → − → A · d −r c Le flux du champ magnétique à travers une surface quelconque S est la circulation du potentiel vecteur le long du contour C s’appuyant sur S I → − − Φ = A · d→ r (2.30) c CHAPTER 2. LE CHAMP MAGNÉTIQUE - PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE 2.11.2 33 Invariance de Jauge La définition du potentiel vecteur indique qu’il n’est déterminé qu’au gradient d’une fonction scalaire près. En effet, le rotationnel du gradient d’une fonction scalaire est nul. Faisons le changement de variable suivant soit, → −0 → − −−→ A = A + grad f On aura − − − → −0 − → − →→ − →→ → −−→ B = rot A 0 = rot A + rot(grad f ) = B On impose alors une condition supplémentaire à savoir → − div A = 0 dite condition de Jauge de Coulomb. 2.11.3 Equation de Poisson On rappelle − → − − →→ rot B = µo J et − → − − →→ B = rot A en combinant ces deux expressions, on a → → − − → − →− rot rot A = µo J or → −−→ → − → − − → − →− rot rot A = grad div A − ∆ A En tenant compte de la condition de Jauge de Coulomb, on a → − − → − → ∆ A + µo J = 0 (2.31) qui est l’équation de Poisson. Elle permet d’établir une relation entre le potentiel vecteur et le vecteur densité de courant d’une source de champ. → − → − ∆ A désigne le Laplacien vectoriel de A . C’est le champ de vecteurs dont les composantes sont → − les Laplacien des composantes de A . En coordonnées cartésiennes, ses composantes sont : ∆Ax = ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax + + ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 ∆Ay = ∂ 2 Ay ∂ 2 Ay ∂ 2 Ay + + ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 ∂ 2 Az ∂ 2 Az ∂ 2 Az ∆Az = + + ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 34 2.12 2.12. POTENTIEL VECTEUR CRÉÉ PAR UNE DISTRIBUTION DE COURANT Potentiel vecteur créé par une distribution de courant Si P est le point où se situe la distribution de courant volumique, le potentiel vecteur en un point M de l’espace est donné par l’expression µo → − A (M) = 4π 2.12.1 − Z → v J (P) dϑ PM (2.32) Distribution surfacique/linéique de courant Pour une distribution surfacique de courant, on a → − → − J (P)dϑ = J s dS et µo → − A (M) = 4π Pour une distribution linéique de courant, on a (2.33) − Z → s J s (P) ds PM → − → − J (P)dϑ = Id l et µo I → − A (M) = 4π → − dl c PM (2.34) (2.35) I Exemple 1: Calcul du potentiel vecteur sur l’axe Oz d’une spire − I → µo I d l → − A (M) = 4π c PM La composante sur l’axe Oz est donnée par l’expression (2.36) 2.12.1.1 (2.37) → − → → − A ·− ez= 0 Le potentiel vecteur sur l’axe Oz d’une spire est nul. 2.12.1.2 Exemple 2: Potentiel vecteur d’un champ uniforme L’on adopte comme potentiel vecteur d’un champ magnétique uniforme l’expression → − → B ∧ −r → − A (r) = 2 (2.38) → − − Consiérons un champ uniforme (indépendant des coordonnées spaciales) tel que B = Bz → e z dans un système de coordonnés cartésiennes. → − → B ∧ −r Bz − yBz → xBz → → − − − − − − = → e z ∧ (x→ e x + y→ e y + z→ e z) = − e x+ ey= A 2 2 2 2 − − →→ Calculons le rot A en utilisant l’expression ci-dessus (2.39) CHAPTER 2. LE CHAMP MAGNÉTIQUE - PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE − − →→ rot A = " ∂ ∂y xBz 2 ∂ ∂x − yB2 z ∂ ∂z # 0 = 35 Bz Bz → − + ez 2 2 En définitive − − →→ − ez rot A = Bz → 2.13 Equation de Passage du champ magnétique 2.13.1 Continuité de la composante normale du champ L’on veut étudier ce qui se passe à la traversée d’une surface séparant deux milieux. Pour ce faire, → − considérons une nappe de courant de densité surfacique j s séparant l’espace en deux régions 1 et 2. − Le vecteur → n 12 représente le vecteur normal orienté de la région 1 vers la région 2 Soit une surface fermée fictive traversant la nappe. La conservation du flux à travers cette surface s’écrit comme suit ZZ − → − → Bd S + s1 ZZ − → − → Bd S + S2 ZZ − → − → B ·d S = 0 (2.40) SL avec SL la surface latérale. Lorsqu’on fait tendre SL vers 0, c’est-à-dire que S1 et S2 se rapprochent de la nappe, on a − → − → Bd S + ZZ s1 ZZ − → − → Bd S =0 (2.41) S2 Comme → − → − − −d S 1 = d S 2 = dS→ n 12 ZZ s1 =S2 On a → − → − − ( B 2 − B 1) · → n 12 dS = 0 → − → − − ( B 2 − B 1) · → n 12 = 0 A la traversée d’une surface quelconque, même parcourue par des courants surfaciques, la composante normale du champ magnétique est continue (2.42) (2.43) 36 2.13.2 2.13. EQUATION DE PASSAGE DU CHAMP MAGNÉTIQUE Discontinuité de la composante tangentielle du champ Considérons le contour CDAB dans un plan orthogonal à la surface S au centre de l’élément MN et − − − − − − u,→ n 12 , → u =→ n 12 ∧ → τ Le théorème d’Ampère appliqué à ce introduisons le trièdre direct → τ tel que → contour donne Z D C ~B2 · d~l + Z A ~B · d~l + D Z B A ~B1 · d~l + Z C → − → − B · d l = µ0 B Z → − −s j s · d→ (2.44) − − −s = 1 × dl → d→ τ =→ τ dl → − → − → − où j s est le vecteur densité surfacique de courant. On désigne par B 1 et B 2 , les composantes tangentielles dans les régions 1 et 2 respectivement. Faisons tendre les dimensions transversales de l’élément de surface vers zéro. Les deuxième et quatrième termes sont alors nuls. Les points D et A viennent se confondre en M et les points B et C en N: Z N → − M → − → − ( B 1 − B 2 ) · d l = µo Z N → − → − M ( j s · τ )dl (2.45) → − − → − − → → − − − − On rappelle → a ·( b ∧→ c ) = b · (→ c ∧− a)=→ c · (→ a ∧ b) → − → − − → − − − ( B 1 − B 2 )(→ n 12 ∧ → τ ) = µo ( j s · → τ) (2.46) h→ − → − i → → − → − − τ · B 1 − B 2 ∧− n 12 = µo (→ τ · j s) (2.47) h→ − → − i → → − B 1 − B 2 ∧− n 12 = µo j s (2.48) En définitive on a A la traversée d’une distribution surfacique de courant, la composante tangentielle du champ magnétique est discontinue. Chapter 3 Action du magnétique - Energie magnétique 3.1 Introduction Dans les chapitres précédents, l’étude du champ magnétique a mis en évidence le fait qu’il est principalement influencé par le courant électrique. Nous nous proposons d’étudier dans ce présent chapitre le phénomène inverse. • Que se passe t-il lorsque des charges en mouvement sont en présence d’un champ magnétique? • Nous supposerons dans cette étude que les sources du champs ne sont pas influencées par le mouvement des charges. Les vitesses de dérive des charges mobiles sont suffisamment faibles pour justifier l’approximation newtonienne de la mécanique 3.2 Conducteur dans un champ magnétique 3.2.1 Force élémentaire sur un élément de conducteur placé dans un champ magnétique On considère un conducteur (constitués de charges fixes et de charges mobiles) dans un espace où → − → − reigne un champ magnétique uniforme B et annimé d’une vitesse V . Les charges mobiles ont une − vitesse de dérive → u . La force élémentaire qui s’exerce sur l’élément de volume est donnée par → − → − → − d f = d f m +d f f où → − d f m est la force qui s’exerce sur les porteurs mobiles → − f f est la force qui s’exerce sur les porteurs fixes. En explicitant, il vient h→ → → − − → → − → −i − → − → − − d f = ρm E + u + V ∧ B dϑ + ρ f E + V ∧ B dϑ (3.1) où ρm et ρ f sont respectivement les charges volumiques des porteurs mobiles (électrons) des porteurs fixes (ions). 37 38 3.2. CONDUCTEUR DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE → − → − − d f = ρm → u ∧ B dϑ (3.2) → − − u J = ρm → (3.3) comme soit → − f = → − → − J ∧ B dϑ Z (3.4) ϑ 3.2.2 Force de Laplace Considérons un conducteur filiforme parcouru par un courant d’intensité i placé dans un champ magnétique uniforme. La section du conducteur étant suffisamment faible pour que l’on suppose le courant volumique et le champ appliqué uniforme sur toute la section. L’équation 3.4 peut s’écrire → − f = → − → − J dϑ ∧ B Z ϑ Le vecteur densité de courant est alors colinéaire à la direction du fil, par conséquent → − → − J dϑ = id l Il en résulte l’expression de la force → − f =i I c → − → − dl ∧B (3.5) CHAPTER 3. ACTION DU MAGNÉTIQUE - ENERGIE MAGNÉTIQUE 3.2.3 39 Orientation de la force de Laplace La force de Laplace tout comme le champ magnétique resulte d’un produit vectoriel. Son orientation → − → − − → est telle que id l , B et f forment un triedre direct. La figure ci-après est un exemple d’Application de la règle de la main droite. Figure 3.1: Force de Laplace sur un conducteur rectiligne Figure 3.2: Règle de la main droite 3.2.4 Différences entre la force de Laplace et la force de Lorentz La force de Laplace s’exerce sur un fil électrique, La force de Lorentz s’exerce sur une particule chargée La force de Laplace travaille, La force de Lorentz ne travaille pas. NB : Il convient donc de ne pas dire Lorentz à la place de Laplace, et réciproquement ! 3.2.5 Particule chargée en mouvement dans un champ magnétique uniforme Considérons une particule de masse m de charge q placée dans un champ magnétique uniforme → − − − B = B→ e z aoverrightarrow une vitesse → v . La relation fondamentale de la dynamique s’écrit − d→ v q− → − v ∧B = → dt m soit dvy → dvx → dvz → qB → − − − − − − − − e x+ e y+ ez= (vx − e x ∧→ e z + vy → e y ∧→ e z + vz → e z ∧→ e z) dt dt dt m 40 3.3. EFFET HALL dvy → dvx → dvz → qB − − − − − e x) e y + vy → e x+ e y+ ez= (−vx → dt dt dt m dvx qB = + vy dt m dvy qB = − vx dt m dvz =0 dt 2 d 2 vx qB dvy qB =+ =− vx 2 dt m dt m 2 d 2 vy qB dvx qB = − = − vy dt 2 m dt m d 2 vz =0 dt 2 On pose ω = qB m (3.6) (3.7) (3.8) (3.9) (3.10) (3.11) 2 vx = v0 cos(ωt) vy = −v0 sin(ωt) En intégrant une deuxième fois, on a v0 sin(ωt) ω v0 y(t) = cos(ωt) ω x(t) = qui sont les équations paramétriques d’une trajectoire circulaire de centre O, de rayon v0 / |ω| = mv0 / |q| B, parcourue avec une vitesse de module constant v0 − La vitesse initiale d’une particule chargée dans un champ magnétique peut s’écrire comme → v = → − → − → − → − v ⊥ + v // . Elle décrit dans ce champ une hélice de rayon R = m | v ⊥ | /q B et progresse selon une − direction du champ à la vitesse constant → v . // 3.3 Effet Hall On considère une petite plaquette, réaliseée dans ce matériau, ayant la forme d’un parallélépipède rectangle, de longueur a, grande devant la largeur b et dont l’épaisseur c est très faible devant b. Cette plaquette est traversée par un courant d’intensité I de vecteur densité de courant → − − − − J = nq→ v == −ne→ v = +nev→ ex CHAPTER 3. ACTION DU MAGNÉTIQUE - ENERGIE MAGNÉTIQUE 41 Figure 3.3: Cette plaquette est placée maintenant dans un champ magnétique → − − B = B→ ez Les charges mobiles c’est à dire les électrons dans notre sont alorsa soumises à la force de Lorentz → − → − − f = −e(→ v ∧ B) Cette force a pour effet de faire dévier les électrons vers la face N qui se charge progressivement d’électrons pendant que la face opposée se retrouve avec un déficit en électrons. Il apparaît alors un → − champ électrique E H à l’intérieur du matériau (dirigé dans ce cas de P vers N) qui va exercer une force → − − E H = −EH → ey 3.3.1 Champ et Tension de Hall Le régime stationnaire est atteint dès lors que les deux forces s’équilibrent. C’est à dire, → − → − → − f EH + f = 0 42 3.4. LOI DES ACTIONS ÉLECTRODYNAMIQUES D’AMPÈRE soit → − − E H = −vB→ ey EH = vB (3.12) Il s’établit ainsi entre les faces N et P une différence de potentiel VH telle que −−→ → − E H = −gradVH soit VH = VP −VN = Z P → − N → − E H d l = vbB VH = vbB (3.13) appélé tension de Hall. 3.3.2 Coefficient de Hall → − L’intensité du courant qui est le flux de J à travers la section droite du conducteur est donnée par ZZ I= − → − → J · d S = nevbc avec n, la densité volumique des charges. On a vb = soit VH = (vb)B = I nec I IB 1 IB B= = AH nec c ne c où AH = est le coefficient de Hall. 1 ne (3.14) CHAPTER 3. ACTION DU MAGNÉTIQUE - ENERGIE MAGNÉTIQUE 3.4 43 Loi des actions électrodynamiques d’Ampère Considérons deux conducteurs filiformes C1 et C2 parcourus par des courants respectifs i1 et i2 . On suppose le circuit C1 plongé dans le champ magnétique créé par le circuit C2 . La force de Laplace qui s’exerce sur le circuit C1 est donnée par la relation → − F 2/1 = i1 → − → − d l 1∧ B2 (3.15) → − −r d l 2 ∧→ r3 C2 (3.16) I C1 avec µo i2 → − B2 = 4π µo i1 i2 → − F 2/1 = 4π I I → − → − −r ) d l 1 ∧ (d l 2 ∧ → r3 C2 I C1 → − → − −r ) −r → −r → − → − → − → − → d l 1 ∧ (d l 2 ∧ → d l · d l2 = d l d l · − 1 2 1 r3 r3 r3 P2 étant fixé on a → − −−→ −−→ −→ −r = d(− d→ P2 P1 ) = d OP1 − d OP2 = d l 1 → − − −r · → −r d→ dr 1 d l 1 ·→ r = = = −d r3 r3 r2 r I 1 −d =0 r C1 −r → − → − → (d l 1 · d l 2 ) 3 r C2 (3.17) −r → − → − → → − (d l 2 · d l 1 ) 3 = − F 2/1 r C1 (3.18) µo i1 i2 → − F 2/1 = − 4π I C1 I En permutant les indices 1 et 2, on obtient µo i2 i1 → − F 1/2 = − 4π I C2 I L’interaction magnétique entre deux circuits fermés vérifie l’opposition des actions réciproques. 44 3.5. TRAVAIL ÉLECTROMOTEUR ET TRAVAIL DES FORCES DE LAPLACE 3.4.1 Définition de l’unité ’Ampère’ Considérons deux fils rectilignes disposés parallèlement l’un par rapport à l’autre et séparés d’une distance d La force exercée sur une longueur l de C1 vaut → − → → − − F 2/1 = i1 l ∧ B 2 (3.19) µo i2 → → − − ey B2 = 2πd d’où µo i2 → → − − − F 2/1 = i1 l → e z∧ ey 2πd (3.20) l− µo → − ex F 2/1 = − i1 i2 → 2π d (3.21) On observe que les deux fils s’attirent si i1 i2 > 0, c’est à dire les deux fils parcourus par des courants de même sens. Les fils se repoussent dans le cas contraire. Ce exemple conduit à la définition légale de l’Ampère: L’Ampère est l’intensité d’un courant électrique qui maintenu constant dans deux conducteurs parallèles, rectilignes de longueur infinie de section circulaire négligeable et placés à une distance de 1m l’un de l’autre dans le vide produit entre ces deux conducteurs une force égale à 2 × 10−7 N/m de longueur du fil. 3.5 Travail électromoteur et travail des forces de Laplace → − Considérons une élément dϑ d’un conducteur animé d’une vitesse V dans le référentiel Galiléen. Le travail des forces agissant sur les charges mobiles et fixes d’un volume dϑ de conducteur s’écrit CHAPTER 3. ACTION DU MAGNÉTIQUE - ENERGIE MAGNÉTIQUE 45 → − → − → − → − − δW = d F m · (→ u + V )dt + d F f · V dt h→ → → − − − → − → −i → − − → − → − avec d F m = ρm E + → u + V ∧ B dϑ et d F f = ρ f E + V ∧ B dϑ Après développement, en tenant compte de (ρm + ρ f = 0 ) on a → − → − → − − → − → − − δW = ρm E + V ∧ B · → u dtdϑ + ρm → u ∧ B · V dtdϑ → − → − → − → − → − → − → − δW = J · E + V ∧ B dtdϑ + J ∧ B · V dtdϑ → − → − → − → − δWm = J · E + V ∧ B dtdϑ δWL = → − → − → − J ∧ B · V dtdϑ Wm et WL sont respectivement le travail électromoteur et le travail de la force de Laplace. Z → − → − → − WL = dt J ∧ B · V dϑ (3.22) (3.23) (3.24) ϑ Il représente la partie de l’énergie électromagnétique reçue par le conducteur qui est transformée en travail mécanique. 3.5.1 Travail des forces de Laplace en fonction du flux - Flux coupé −r . Le travail des forces Considérons un conducteur filiforme subissant un déplacement élémentaire d → → − → − → − de Laplace agissant sur un élément id l du conducteur. On remplace J dϑ par id l → − → − → − δWL = i d l ∧ B · V dt → − → → − − → → − → − − δWL = i d l ∧ B · d r = i B · d r ∧ d l − −r = → avec d → V dt − → − → − −r ∧ d → La norme du vecteur d → l est l’aire d S balayée par l’élément d l au cours du déplacement → − − δWL = i B · → n dS = idΦc (3.25) WL = IΦc (3.26) Φc est le flux coupé du champ magnétique à travers la surface dS balayée par l’ensemble du circuit au −r cours du déplacement élémentaire d → 46 3.5. TRAVAIL ÉLECTROMOTEUR ET TRAVAIL DES FORCES DE LAPLACE Figure 3.4: 3.5.2 Expression de la force de Laplace en fonction du flux - Cas d’un mouvement de translation −r , le travail des forces de Laplace Lorsqu’un circuit C indéformable subit une translation d’ensemble d → → − du à un champ appliqué B a est I → − → − − −r = → −r = F dr δWL = Id l ∧ B a · d → F L · d→ L,r c → − −r /r. D’autre par où FL,r est la composante de F L suivant la direction → δWL = IdΦc On a alors dΦ (3.27) dr Lorsqu’un circuit subit un mouvement de rotation élémentaire d’angle dα autour d’un axe (∆), le travail élémentaire des forces de Laplace est donnée par la relation FL,r = I δWL = ΓL dα = IdΦ (3.28) d’où ΓL = I dΦ dα (3.29) Chapter 4 Induction électromagnétique 4.1 Introduction A la suite de l’expérience d’œrsted sur les propriétés magnétiques d’un fil parcouru par un courant, les phénomènes d’induction électromagnétique ont été activement recherchés pendant plus de dix ans et finalement découverts pas M Faraday. Nous aborderons la notion d’induction électromagnétique par l’approche expérimentale. Nous donnerons l’expression generale de la loi d’induction. 4.2 4.2.1 Loi de Faraday Approche expérimentale Considérons deux circuits électriques C1 et C2 placés l’un à coté de l’autre. Le circuit C1 est constituée d’une bobine, d’un générateur et un interrupteur K en sérié. Le circuit C2 est constitué d’une bobine et d’un galvanomètre en série. Les deux circuits étant fixes, l’on réalise les expériences suivantes. • L’interrupteur K est ouvert (i1 = 0), le courant dans C2 est alors nul (i2 = 0) • On ferme K, un courant i1 > 0 s’installe dans C1. Tant que i1 n’a pas atteint une valeur stationnaire, un courant i2 < 0 circule dans C2. • L’interrupteur K est fermé avec une valeur constant de i1 , le courant i2 est alors nul. • Lorsqu’on ouvre K, un courant i2 circule dans C2 tant que i1 n’est pas nul • L’on change les polarités du générateur, tous les effets observés changent de sens 4.2.2 Interprétation et enoncé de la loi de Farady Les expériences de Faraday s’interprètent à partir de 2 relations générales qui sont la conservation du → − flux du champ B et de loi d’induction de Faraday. En régime variable, le champ magnétique est à flux conservatif, ce qui se traduit pour toute surface fermée par la relation I → − → B ·− n dS = 0 S 47 (4.1) 48 4.2. LOI DE FARADAY Figure 4.1: La force électromotrice induite dans un circuit filiforme C , immobile dans un ref. R où le champ magnétique est B a pour expression dΦ(t) e(t) = − (4.2) dt où Z → −− Φ(t) = B → n dS S → − est le flux de B à travers une surface ouverte s’appuyant sur un contour C. Φ(t) ne dépend que de la géométrie du circuit et du temps. 4.2.3 Relation de Maxwell-Faraday 4.2.3.1 Forme intégrale Explicitons la force électromotrice e(t) et le flux Φ(t) dans la loi de l’induction. On sait d’une part que − → − → E ·d l I e(t) = C et d’autre part que dΦ d = dt dt Z → − → B ·− n dS = S Comme e(t) = − il vient → − → E · d −r = − I dΦ dt → − ∂B → ·− n dS ∂t S Z C C’est l’équation de Maxwell-Faraday. En regime variable à circulation conservative. 4.2.3.2 → − ∂B→ − n dS ∂t S Z → − ∂B ∂t 6= 0, le champ electrique n’est donc pas Forme locale D’après le théorème de Stokes I C → − → E · d −r = Z S (4.3) − − − →→ rot E · → n dS CHAPTER 4. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE 49 La relation de Maxwelle-Faraday s’écrit alors Z −− − →→ rot E → n dS = − S → − ∂B→ − n dS S ∂t Z Il en résulte puis que S est quelconque la relation → − → − − ∂B − →→ = 0 rot E + ∂t (4.4) → − → − Cette équation fondamentale, traduit localement une propriété du champ électromagnétique ( E , B ) → − → − qui montre qu’à toute variation temporelle du champ B est associée un champ électrique E . 4.2.4 4.2.4.1 Exemple de calcul de la force électromotrice Spire dans un champ magnétique alternatif Une spire de rayon R, est placée dans un champ magnétique uniforme, perpendiculaire au plan de la spire et variant sinusoïdalement au cours du temps tel que → − − B = Bm cos(ωt)→ ez → − Le flux de B et la force électromotrice d’induction sont respectivement Figure 4.2: Φ(t) = Bm πR2 cos(ωt) et e(t) = − dΦ(t) = Bm πR2 ω sin(ωt) dt L’intensité i(t) du courant connaissant sa résistance r est i(t) = Bm πR2 ω sin(ωt) r 50 4.2.4.2 4.2. LOI DE FARADAY Générateurs d’électricité Le générateur électrique ou dynamo transforme l’énergie mécanique en énergie électrique. L’énergie mécanique fournie au générateur fait tourner son axe et entraîne dans sa rotation une (plusieurs) spire de conducteur qui se met à tourner entre les pôles d’un aimant. Il en résulte une variation du flux magnétique au travers de la spire et par conséquent une f.é.m. et un courant sont induits dans le conducteur. Ce courant est collecté vers un circuit extérieur par l’intermédiaire de deux bagues sur lesquelles sont fixées les extrémités du conducteur formant la spire, et deux balais qui établissent le contact avec le circuit extérieur. La f.é.m. induite dans un tel générateur peut être calculée à l’aide de la loi de Faraday Figure 4.3: dΦ dt d (BS cos θ ) e(t) = − dt Si la spire est tournée à une vitesse angulaire constante ω, on a e(t) = − ω= dθ dt En définitive, on a e(t) = E0 sin (ωt) avec E0 = BSω 4.2.5 Potentiel Vecteur et Potentiel Scalaire Pour une surface quelconque s’appuyant sur un contour C on a Z Φ= S soit → − → B ·− n dS = I → − → A · d −r C → − → − ∂A → (E + )d −r = 0 ∂t C I (4.5) CHAPTER 4. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE 51 Il existe en régime variable une fonction scalaire V, appelée potentiel scalaire telle que → − −−→ → − ∂A = −gradV E+ ∂t (4.6) → − Cette équation montre qu’en régime variable, les potentiels V et A sont indissociables. Le couple → − (V, A ) est appelé potentiel électromagnétique. 4.3 Auto-induction Un circuit embrassant un flux variable produit par un autre circuit ou par un aimant, est le siège d’une fem d’induction. Ce phénomène s’observe aussi si le flux variable est dû au circuit lui-même. On dit alors qu’il se produit une auto-induction. 4.3.1 Loi de Lenz 4.3.1.1 Approche expérimentale On considère un circuit s’appuyant sur un contour (C) dans un espace où règne un champ magnétique variable comme l’indique la figure ci-après. Une variation positive du flux embrassé, correspond à une fem négative, donc un courant dans le circuit qui produit un champ dont le flux s’oppose, en définitive, à cette augmentation du flux embrassé. f Figure 4.4: 4.3.2 Loi de Lenz Le sens du courant induit est tel que le champ magnétique qu’il produit s’oppose à la variation de flux qui le produit. 4.4 4.4.1 Circuit mobile dans un champ magnétique Expression générale de la force électromotrice On considère un circuit C dans un référentiel ℜ où règne un champ électromagnétique (E, B). Une → − charge initialement au repos se déplace à une vitesse V égale à celle du point du circuit où elle se trouve. La force susceptible de la mettre en mouvement par rapport au circuit est celle qu’exerce sur 52 4.4. CIRCUIT MOBILE DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE Figure 4.5: elle le champ électromagnétique. → − → − → − → − F = q( E + V ∧ B ) La f.e.m induite dans le circuit mobile C, à l’instant t est donc : − I I → F → → − → − → − −r · d −r = ( E + V ∧ B ) · d → e(t) = q C C En Appliquant la relation de Maxwell-Faraday au circuit C, à l’instant t. I e(t) = → − → E · d −r + C I → − → − −r ( V ∧ B ) · d→ C → − I ∂B → → − → − −r e(t) = − ·− n dS + ( V ∧ B ) · d → (4.7) S ∂t C Qui est l’expression générale de la force électromotrice induite. L’équation 4.7 met en évidence l’induction statique Z → − ∂B → ·− n dS − S ∂t Z et l’induction motionnelle I → − → − −r ( V ∧ B ) · d→ C Remarque : Cette expression générale de la fem induite ne fait appel qu’à des grandeurs, des contours ou des surfaces bien définis à chaque instant dans le référentiel 4.4.2 Cas particuliers d’application de fem générale 4.4.2.1 Force électromotrice induite par une spire fixe dans un champ magnétique tournant On considère une spire rectangulaire MNOP, de côte a et b, immobile dans un plan vertical. Elle est soumise à l’action d’un champ magnétique uniforme tournant dans un repère cartésien (x, y, z) tel que − → − − Ba = Ba cos(ωt)→ e x + Ba sin(ωt)→ ey La vitesse de déplacement étant nulle, l’expression générale de la fem se résume à → − ∂B → e(t) = − ·− n dS S ∂t Z CHAPTER 4. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE 53 Figure 4.6: La normale à la spire a pour expression − − → − ey ex + sin α0 → n = cos α0 → où αo est l’angle que fait la normale avec l’axe Ox → − ∂B − − = −ωBa sin(ωt)→ ex + ωBa cos(ωt)→ ey ∂t En intégrant on trouve la fem d’induction e(t) = Ba abω sin(ωt − α0 ) 4.4.2.2 Force électromotrice induite par une spire en rotation dans un champ magnétique constant La spire rectangulaire précédente tourne avec une vitesse angulaire Ω autour de l’axe Oz et subit → − − l’action d’un champ magnétique uniforme B a = Ba → e x. Figure 4.7: La normale positive à pour expression → − − − n = cos(Ωt + α0 )→ e x + sin(Ωt + α0 )→ ey Calculons la fem due au mouvement de la spire dans le champ I e(t) = C Sur les brins horizontaux → − → − −r ( V ∧ B a) · d→ → − → − −r = 0 ( V ∧ B a) · d→ 54 4.4. CIRCUIT MOBILE DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE seuls les termes liés aux brins verticaux identiques en raison de symétrie sont non nuls. Les coordonnées d’un point de ces brins sont : Le point P sur le brin SP est tel que π − a π − −→ a e x + sin(Ωt + α0 − )→ ey OP = cos(Ωt + α0 − )→ 2 2 2 2 La vitesse du point P est alors −→ d OP a π − a π − → − V = = − Ω sin(Ωt + α0 − )→ e x + Ω cos(Ωt + α0 − )→ ey dt 2 2 2 2 En effectuant le produit vectoriel et en intégrant on a Z −b/2 e(t) = 2 b/2 a π − Ω cos(Ωt + α0 − )B0 dz 2 2 e(t) = B0 abΩ sin(Ωt + α0 ) 4.4.2.3 (4.8) (4.9) Force électromotrice induite dans un circuit de constitution variable On considère le système constitué d’un barreau conducteur MN, de longeur l, de résistance r, glissant le long de deux rails parallèles, perpendiculairement à leur direction. Ce système beigne dans un → − − espace où reigne un champ magnétique uniforme B a = Ba → ez Figure 4.8: → − Le champ B a étant stationnaire, seul le barreau MN est mobile. Il vient I Z → − → → − → − → − → − → − → − −−→ − e(t) = V ∧ B a ·d r = V ∧ B a · d l = V ∧ B a · MN = −BaV l c MN − − En notant d → x =→ v dt, fa fem peut s’écrire à l’aide du flux coupé. I → − → − − e(t) = V ∧ B a · d→ r c 1 e(t) = − dt Z MN → − → − → − d x ∧d l · B a e(t) = −BaV l Chapter 5 Inductances mutuelles -Inductances propres des circuits électriques 5.1 Introduction Le phénomène d’induction a pour conséquence l’apparution dans les circuits des fem induites liées à l’interaction électromagnétique. Il résulte de cette interaction un couplage magnétique. Celui-ci s’exprime en fonction des coefficients géométriques appelés inductance mutuelles et inductances propres des circuits. 5.2 Inductance mutuelle de deux circuits Considérons deux circuits filiformes C1 et C2 parcourues par des courants I1 et I2 On caractérise Figure 5.1: l’interaction magnétique à l’aide du flux du champ magnétique crée par l’un des circuits à travers l’autre. Le flux Φ12 , à travers C1 du champ B2 crée par C2 est proportionnel au courant I2 . 5.3 Inductance mutuelle de deux circuits On peut donc introduire le coefficient suivant L12 = Φ12 I2 55 (5.1) 56 5.3. INDUCTANCE MUTUELLE DE DEUX CIRCUITS qui ne dépend pas de l’intensité I2 . L’expression de L12 s’obtient en explicitant Φ12 Z Φ12 = S1 I ~B2 (~r) · n~1 dS1 = C1 ~A2 (~r1 ) · d~r1 (5.2) ~A2 est le potentiel vecteur associé à ~B2 et S1 la surface s’appuyant sur le circuit C1 . ~A2 (~r1 ) = (µ0 I2 /4π) d~r2 c2 k~r1 −~r2 k (5.3) d~r2 d~r1 c2 k~r1 −~r2 k (5.4) I I I Φ12 = (µ0 I2 /4π) c1 d’où d~r2 · d~r1 c2 k~r1 −~r2 k I I L12 = (µ0 /4π) c1 (5.5) De même L21 = Z Φ21 = S2 Φ21 I1 (5.6) ~B1 (~r2 ) · n~2 dS21 = I C2 ~A1 (~r2 ) · d~r2 (5.7) On tire L21 d~r2 · d~r1 c2 k~r1 −~r2 k I I L21 = (µ0 /4π) c1 (5.8) On a L12 = L21 = M avec d~r2 · d~r1 c2 k~r1 −~r2 k I I M = (µ0 /4π) c1 (5.9) M est le coefficient d’induction mutuelle des circuits C1 et C2 . En introduisant l’expression d’un courant volumique, on a L21 = 1 I1 I2 1 J~1 · ~A2 dϑ1 = I1 I2 ϑ1 Z Z J~2 · ~A1 dϑ2 (5.10) ϑ2 Remarque : L’inductance mutuelle est une grandeur qui ne dépend que de la géométrie et de la disposition relative des deux circuits. C’est une quantité algébrique dont le signe dépend de l’orientation relative choisie. Sa valeur SI se mesure en Henry et a pour symbole H CHAPTER 5. INDUCTANCES MUTUELLES -INDUCTANCES PROPRES DES CIRCUITS ÉLECTRIQUES 5.4 5.4.1 Inductance propre 57 Définition Tout circuit parcouru par un courant I crée un champ magnétique ~B dans lequel il est plongé. Le flux de ce champ à travers le circuit, quand il peut être défini, est donc proportionnel à I. On appelle inductance propre d’un circuit notée L, le rapport Φ I L= 5.4.2 (5.11) Expression de l’induction propre d’un circuit Utilisons l’expression de l’induction mutuelle entre deux circuits. Ici on confond les circuits C1 et C2 en un même circuit C de volume ϑ . Le coefficient d’induction propre est dans ces conditions 1 L= 2 I → − → − J (r) · A (r)dϑ Z (5.12) ϑ Dans le cas d’une distribution superficielle de courant, cette formule devient puisque → − → − J dϑ = Js dS Le coefficient d’induction propre est dans ces conditions 1 L= 2 I − → − → Js · A dS Z (5.13) ϑ Exemple : Inductance propre d’un solénoïde Un solénoïde d’axe Oz de rayon R, de n spire par unité de longueur parcourue par un courant d’intensité I, peut être assimilé à une nappe cylindrique de courant surfacique ~JS = nI~eϕ Le potentiel vecteur créé par une telle distribution est pour ρ 6 R donné par µ0 nIρ → − A in = ~eϕ 2 (5.14) L’inductance propre du solénoïde, pour une longueur l est 1 L = 2 I Z l Z 2π nI 0 0 µ0 nIR Rdϕdz 2 (5.15) L’inductance propre par unité de longueur est alors L/l = µ0 n2 πR2 On constate que l’inductance propre dépend des caractéristiques géométrique. (5.16) 58 5.5 5.5.1 5.5. INDUCTANCE D’UN ENSEMBLE DE DEUX CIRCUITS COUPLÉS Inductance d’un ensemble de deux circuits couplés Matrice inductance On considère deux circuits C1 et C2 . Le flux du champ magnétique à travers C1 est la somme des flux Φ11 et Φ12 qui sont respectivement le flux produit par C1 sur lui même et le flux produit par C2 . On a Φ1 = Φ11 + Φ12 (5.17) De même, le flux Φ2 à travers C2 est la somme de Φ21 du champ produit par C1 et Φ22 le flux produit par C2 sur lui même. Comme Φ11 = L11 I1 Φ12 = MI2 Φ21 = MI1 et Φ22 = L22 I2 Il en résulte Φ1 = L11 I1 + MI2 Φ2 = MI1 + L22 I2 (5.18) (5.19) Ces relations linéaires peuvent être condensées sous une forme matricielle. On a alors [Φ] = [L] [I] (5.20) où [L] = L11 M M L22 est la matrice inductance du système des deux circuits. Le déterminant de la matrice [L] est donné par la relation L11 L22 − M 2 On introduit le facteur de couplage magnétique k tel que |M| k= √ L11 L22 (5.21) Le couplage est dit serré si k ' 1 et lâche si k ' 0. En pratique k = 1 signifie que toutes les lignes du champ créé par un des circuits traverse entièrement l’autre circuit et réciproquement. C’est cette condition qui est réalisée dans un transformateur. CHAPTER 5. INDUCTANCES MUTUELLES -INDUCTANCES PROPRES DES CIRCUITS ÉLECTRIQUES 5.5.2 Inductance équivalente à deux inductances en série 59 On considère deux circuits couplés magnétiquement. Soit L1 , L2 et M les coefficients d’inductance pour une disposition donnée des deux enroulements A1 B1 et A2 B2 . On a Φ1 = L1 I1 + MI2 et Φ2 = MI1 + L2 I2 Si l’on place en série les deux enroulements en joignant les points B1 et A2 , les intensités sont les mêmes, c’est à dire que I1 = I2 = I, Le flux à travers le circuit résultant est la somme Figure 5.2: Φ = Φ1 + Φ2 Φ = (L1 + L2 + 2M) I L = L1 + L2 + 2M (5.22) (5.23) (5.24) Si la mise en série est réalisée en reliant B1 à B2 , on a I1 = −I2 = I. Les flux se retranchent Φ = Φ1 −Φ2 . Il en résulte que Φ = (L1 + L2 − 2M) I L = L1 + L2 − 2M (5.25) (5.26) L’inductance propre équivalente à deux bobinages en série peut varier suivant la valeur de M Figure 5.3: 5.6 Transformateurs Un transformateur est constitué de deux circuits en général électriquement isolés. Ils sont bobinés sur un même matériau ferromagnétique de façon à réaliser un couplage magnétique maximale par canalisation des lignes de champ dans le milieu. L’un des enroulement, le primaire est alimenté par une source de tension u1 (t). Si l’on désigne par r1 sa résistance et Φ1 le flux total qui le traverse on a u1 (t) = r1 i1 (t) + dΦ1 dt 60 5.7. CONCLUSION Figure 5.4: Représentation schématique d’un transformateur Pour le deuxième enroulement, c’est à dire au secondaire u2 (t) = r2 i2 (t) + dΦ2 dt En général, les résistances des enroulements sont négligeables devant les forces électromotrices d’induction. Les équations précédentes devienne alors u1 ' di1 dΦ1 di2 = L11 +M dt dt dt (5.27) u2 ' dΦ2 di1 di2 =M + L22 dt dt dt (5.28) et En combinant les deux équations on tire u2 M L11 L22 − M 2 di2 u2 = + L11 L11 dt (5.29) M u2 (t) = u1 (t) L11 (5.30) Comme k ' 1 on a Comme L11 = N1 Φ/i1 et M = N2 Φ/i1 On a la loi u2 (t) N2 = u1 (t) N1 (5.31) Dans un transformateur idéal, le rapport des tensions aux bornes des deux circuits primaires et secondaire est égale au rapport des nombres de spires de ces enroulements. 5.7 Conclusion L’inductance mutuelle M de deux circuits et l’inductance propre L d’un circuit ont pour expressions respectives CHAPTER 5. INDUCTANCES MUTUELLES -INDUCTANCES PROPRES DES CIRCUITS ÉLECTRIQUES Φ12 I2 Φ L= L M= 61 (5.32) (5.33) Alors que L est toujours positif, M peut être positif ou négatif suivant le choix d’orientation des circuits en interaction.
