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8QLYHUVLWpG·$QJHUV
8)56FLHQFHV
%G/DYRLVLHU
$QJHUV&HGH[
¬
//LFHQFHPHQWLRQ3K\VLTXH&KLPLH
7UDYDX['LULJpV
GH
0pFDQLTXHGHV)OXLGHV
6&KDXVVHGHQW
'E VWHSKDQHFKDXVVHGHQW#XQLYDQJHUVIU
ÞKWWSHDGXQLYDQJHUVIU(FKDXVVHG
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7'
7PKXGTUKVÃF #PIGTU
7(45EKGPEGU
..KEGPEGOGPVKQP2J[UKSWG%JKOKG
5%JCWUUGFGPV
*[FTQUVCVKSWG
'Z
Formuler l'équation fondamentale de la statique des fluides dans le
cas où le fluide est uniformément accéléré. Appliquer ce résultat au
cas d'un tube en U partiellement rempli d'un liquide et subissant une
&
accélération uniforme a horizontale (voir figure 1.1). Les deux
branches du U étant distantes de O, trouver ainsi la différence de niveau K due à cette accélération.
'Z
La porte rectangulaire CD de la
eau
figure 1.2 a pour longueur
/ = 2 m et largeur " = 1,8 m (sui+
vant la perpendiculaire au plan de
la figure). Son épaisseur étant néC
gligeable, on donne la masse surfacique du matériau homogène la
constituant : σ = 5110 kg.m-2.
Cette porte a la possibilité de pivoter autour de l'axe C. On se
- figure 1.2 propose de déterminer la hauteur
d'eau + à partir de laquelle la
porte s'ouvre pour laisser l'eau s'écouler.
K
&
a
O
- figure 1.1 -
/= 2 m
K= 1,6 m
D
1. Déterminer la force de pression hydrostatique s'exerçant sur la porte.
2. Déterminer la position du point d'application de cette force.
3. Calculer, d'une part le moment de la force hydrostatique par rapport à l'axe de rotation, et
d'autre part le moment du poids de la porte par rapport à l'axe de rotation. En déduire la
hauteur d'eau + nécessaire pour qu'il y ait ouverture automatique de la porte.
2m
'Z
La masse volumique de la digue représentée sur la figure 1.3 est de 2360 kg.m-3. Déterminer le coefficient de friction minimal
4m
5m
requis entre la digue et ses fondations pour
qu'il y ait absence de glissement. (effectuer
l'analyse pour une unité de longueur de la
digue).
12 m
- figure 1.3 -
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7'
7PKXGTUKVÃF #PIGTU
7(45EKGPEGU
..KEGPEGOGPVKQP2J[UKSWG%JKOKG
5%JCWUUGFGPV
'Z
Un réservoir de 1 m de diamètre et de masse
90 kg est clos à son extrémité supérieure.
L'autre extrémité est ouverte et descendue
dans l'eau à l'aide d'un bloc d'acier de masse
volumique 7840 kg.m-3 (voir figure 1.4). On
suppose que l'air emprisonné dans le réservoir est comprimé à température constante.
Déterminer :
0,6 m
3m
1. la lecture d'un manomètre donnant la
pression dans le réservoir ;
2. le volume du bloc d'acier.
- figure 1.4 'Z
On cherche à caractériser la force de pression hydrostatique s’exerçant sur l’arc circulaire de
la figure 1.5. On raisonnera sur une largeur unité.
1. Exprimer la pression hydrostatique en tout point
de l’arc en fonction de +, 5, ρ, g et θ.
2. En déduire les deux composantes d)[ et d)] de la
force de pression élémentaire en chaque point de
l’arc.
3. Exprimer les deux résultantes )[ et )] en fonction
de +, 5, ρet g.
4. Si on note A le point de l’arc où s’applique la
force, montrer que le moment de cette force par
rapport au point O est nul. En déduire, en fonction de +et 5, l’expression de l’angle θ$ repérant
la position de A.
5. Quelles valeurs limites peut prendre l’angle θ$ en
fonction des variations de + ?
+
]
θ
[
5
O
- figure 1.5 -
'Z
En tenant compte de la compressibilité de l’air atmosphérique, et en supposant que la température de l’atmosphère obéit à la loi 7(]) = T0 – B.], déterminer la limite d’altitude de
l’atmosphère selon ce modèle. On prendra 70 = 293 K comme température au niveau du sol,
et B = 7,5 K.km-1.
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%KPÃOCVKSWG
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7'
7PKXGTUKVÃF #PIGTU
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..KEGPEGOGPVKQP2J[UKSWG%JKOKG
5%JCWUUGFGPV
'Z
0,12 m
1. Ecrire l'équation de continuité en symétrie sphérique
pour l'écoulement stationnaire et conservatif d'un
9
fluide incompressible. En déduire l'expression de la
0,2 m
vitesse en un point quelconque lorsque cet écouleA
ment est radial, dirigé vers l'origine.
B
r
2. On suppose que de l'eau coule en régime permanent à
0,1 m
travers l'entonnoir représenté sur la figure 2.1.
L'écoulement étant considéré comme radial, centré en
O, l'expression de la vitesse est celle établie dans la
O
question précédente. Déterminer l'accélération aux
points A et B sachant que la vitesse en A est de
0,6 m.s-1.
- figure 2.1 'Z
On considère l'écoulement stationnaire et unidimensionnel d'un fluide incompressible à l'intérieur de la buse représentée figure 2.2. La vitesse du fluide le long de l'axe est donnée par :
&
&
9 = Y H (1 + [ / )H [
où YH est la vitesse à l'entrée de la buse
et / sa longueur.
1. Déterminer l'accélération d'une par&
&
ticule fluide traversant la buse le
&
[
9
(
0
)
=
Y
H
9
(/)
H
[
long de l'axe.
2. Déterminer, en fonction du temps,
la position d'une particule initialement située à l'entrée de la buse. En
0
/
déduire son accélération.
- figure 2.2 3. Les deux accélérations calculées
sont-elles différentes ? Pourquoi ?
'Z
M
Un modèle d’écoulement stationnaire autour d’un cylindre
90
θ
(voir figure 2.3) a permis de formuler l’expression de la
D
vitesse du fluide en tout point M de la surface :
&
&
Y = 290 sin θ Hθ .
Déterminer l’accélération normale et tangentielle en fonc- figure 2.3 tion de D, θet 90.
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5%JCWUUGFGPV
'Z
L'écoulement d'eau à travers les orifices de la rampe d'arrosage représentée figure 2.4 génère
&
&
&
un champ de vecteurs vitesse tel que 9 = X 0 sin[ω (W − \ Y0 )]H [ + Y0 H \ , où X 0 , Y0 et ω sont
des constantes. Ainsi, la composante de la vitesse selon l'axe y reste constante : Y([, \; W ) = Y0 et celle sey
lon l'axe x coïncide, en \ = 0 , avec la vitesse de déplacement de la rampe d'arrosage :
X ([, \ = 0; W ) = X 0 sin (ω W ).
1. Déterminer la ligne de courant passant par l'origine à W = 0 ; à W = π 2ω .
2. Déterminer la trajectoire de la particule émise à
l'origine à W = 0 ; à W = π 2ω .
3. Déterminer l'allure de la ligne d'émission relative
à l'origine, à un instant t quelconque.
'Z
La fonction de courant de l'écoulement plan d'un fluide incompressible est donnée par l'équation :
Ψ = 3[ 2 \ − \ 3 ,
3 -1
où Ψ est en m .s et [, \ sont en m.
O
- figure 2.4 -
\
B(0;1)
1. Tracer la(les) ligne(s) de courant passant par l'origine.
2. Déterminer le débit volumique à travers le segment AB de
[
A(1;0)
la figure 2.5.
- figure 2.5 'Z
L'écoulement plan de la figure 2.6 correspond au potentiel
des vitesses suivant :
ϕ = A ln U + BU cosθ ,
où A et B sont deux constantes réelles positives. Déterminer
la fonction de courant Ψ associée et localiser d'éventuels
points d'arrêt. Caractériser qualitativement cet écoulement en
s'aidant de la représentation qui en est donnée.
- figure 2.6 -
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x
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5%JCWUUGFGPV
'Z
On considère la superposition d'un écoulement uniforme dans la direction des x croissants,
avec un vortex centré sur l'origine. En supposant que la ligne de courant Ψ = 0 passe par le
point de coordonnées (2;0), déterminer son équation.
'Z
De l'eau s'écoule sur une surface plane avec une vitesse uniforme de 1,5 m.s-1 (voir la figure
2.8). Une pompe aspire l'eau à travers une fente placée dans la surface plane, avec un débit
volumique de 4 l.s-1 par unité de largeur de fente. En supposant l'eau incompressible, l'écoulement peut être modélisé par la superposition d'un écoulement uniforme et d'un puits.
1. Localiser l'endroit où la vitesse de
l'eau est nulle et déterminer l'équation de la ligne de courant passant
par ce point.
+
A
2. A quelle hauteur + par rapport à la
surface doit se situer une particule
fluide pour ne pas être aspirée par
la pompe ?
- figure 2.8 'Z
On peut modéliser l'écoulement plan d'un tourbillon par superposition des deux écoulements
plans suivants : un puits de débit -TY situé à l'origine, et un vortex de circulation Γ centré sur l'origine.
1. Déterminer le potentiel complexe de l'écoulement résultant. En déduire le potentiel des vitesses et la fonction de courant.
2. Déterminer l'équation d'une ligne de courant. En déduire l'allure des lignes de courant et
des équipotentielles.
3. Déterminer le champ de vitesse et vérifier que l'écoulement est irrotationnel. Calculer la
circulation du vecteur vitesse sur un cercle centré sur l'origine. Calculer le débit volumique à travers le même cercle. Que peut-on remarquer ? Quelle propriété remarquable pré& &
sente l'angle ( Y , HU ) ?
4. Donner les coordonnées U (W ) et θ (W ) d'une particule se trouvant à U = U0 et θ = 0 à l'instant W = 0 . Quel temps met-elle pour atteindre l'origine ?
5. L'écoulement étant irrotationnel, la dynamique des fluides permet de montrer que dans ce
cas la pression totale 3 = 3 + ρJ] + 12 ρY 2 est constante en tout point de l'écoulement,
W
c'est-à-dire ∀(U ,θ , ] ) , 3 étant la pression hydrostatique, et ] repérant un plan horizontal
dans lequel s'observe l'écoulement plan étudié précédemment. On considère alors un réservoir d'eau d'étendue infinie et de profondeur K (selon l'axe ]) qui serait le siège d'un tel
tourbillon. Déterminer la pression totale 3 en un point de la surface libre, loin du tourbillon dont l'axe est confondu avec l'axe ]. En déduire l'équation de la surface libre en fonction des coordonnées de l'espace ( U ,θ , ] ). Schématiser l'allure de cette surface libre.
W
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5%JCWUUGFGPV
&[PCOKSWG0CXKGT5VQMGU
'Z
Soit l'écoulement permanent d'un fluide réel incompressible entre deux plaques planes infinies
horizontales situées en ] = -K et ] = +K. L'écoulement s'effectue suivant l'axe horizontal 2[.
$/HVGHX[SODTXHVVRQWIL[HV
1. Déterminer le profil de vitesse.
2. Déterminer le tenseur des contraintes. En déduire les contraintes appliquées au fluide.
3. Déterminer l'expression du débit volumique à travers la surface délimitée par les deux
plaques et la longueur unité suivant l'axe 2\.
4. Montrer que la pression diminue avec les [ croissants.
%/DSODTXHVXSpULHXUHVHGpSODFHDYHFXQHYLWHVVH8VXLYDQW2[
Déterminer le profil de vitesse en discutant les différentes solutions possibles.
'Z
On considère le système constitué d'un fluide visqueux, incompressible, remplissant l'espace
compris entre deux cylindres infiniment longs de même axe. Le cylindre intérieur, de rayon
U , tourne à la vitesse angulaire constante ω , alors que le cylindre extérieur, de rayon U , est
maintenu fixe. On considérera l'écoulement du fluide permanent et on négligera les forces de
pesanteur.
1. Etablir les équations différentielles qui régissent l'écoulement du fluide.
2. Montrer que l'expression de la vitesse Yθ = DU + E U est solution. Déterminer les constantes D et E.
3. Déterminer les contraintes et en déduire l'expression du couple nécessaire pour assurer
une rotation du cylindre intérieur à vitesse angulaire constante. Quelle peut être l'utilité
d'un tel dispositif ?
K
'Z
J
]
Une lame de verre partiellement immergée dans un
liquide visqueux est tirée verticalement vers le haut 9 [
avec une vitesse constante 9 , comme l'illustre la figure 3.3. Grâce aux forces de viscosité, la lame entraîne dans son mouvement ascendant un film de liquide d'épaisseur K. A l'opposé, les forces de pesanteur vont agir de façon à entraîner le film fluide vers
- figure 3.3
le bas. En supposant l'écoulement laminaire, permanent et uniforme, déterminer l'expression de la vitesse moyenne du film fluide lorsque son
mouvement est globalement ascendant (on négligera la tension superficielle).
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7PKXGTUKVÃF #PIGTU
7(45EKGPEGU
..KEGPEGOGPVKQP2J[UKSWG%JKOKG
5%JCWUUGFGPV
(NWKFGURCTHCKVU 'WNGT$GTPQWNNK 'Z
'
Déterminer la force nécessaire pour maintenir en place l'embout
-1
conique d'un robinet quand le débit d'eau est de 0,6 l.s (voir
figure 4.1). La masse de l'embout est de 0,1 kg ; ses diamètres
d'entrée et de sortie sont respectivement de 16 mm et 5 mm.
L'axe de l'embout est vertical et la distance axiale entre les
sections d'entrée et de sortie vaut 30 mm. On donne la
pression de l'eau à l'entrée : 464 kPa.
Section d'entrée (S1)
+
Section de sortie (S2)
'Z
Une conduite cylindrique horizontale,
\
de diamètre constant '= 1 m, présente
'
'
un coude de 30° (voir figure 4.2). Le
3
volume de ce coude est de 1,2 m , et son
[
T poids (à vide) vaut 4 kN. Le liquide qui
y est transporté est de densité G = 0,94,
et le débit volumique de T = 2 m3.s-1.
- figure 4.1 La pression du liquide à l'intérieur du
coude étant supposée constante et égale
à 75 kPa, déterminer la force nécessaire
α=30°
pour maintenir le coude en place.
- figure 4.2 'Z
L'appareil présenté sur la figure 4.3 est utilisé pour disperser un mélange approprié d'eau et
d'insecticide. Le débit d'insecticide doit être de 4 = 75 ml.min-1 quand le débit d'eau vaut
4 = 4 l.min-1. Déterminer, dans ces conditions, la valeur de la pression au point A, ainsi que
le diamètre ' requis pour ce dispositif.
9
Y
L
H
A
2,5 mm
'
eau
+
insecticide
eau
15 cm
0,4 mm
insecticide
- figure 4.3 -
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7PKXGTUKVÃF #PIGTU
7(45EKGPEGU
..KEGPEGOGPVKQP2J[UKSWG%JKOKG
5%JCWUUGFGPV
'Z
On considère un réservoir comportant une
ouverture de diamètre G. On veut comparer
le débit de vidange de ce réservoir, d'une
part avec la seule ouverture, et d'autre part
en prolongeant l'ouverture par un tube vertical de longueur / (voir la figure 4.4). Le
liquide sera par ailleurs considéré parfait.
K
G
G
/
1. Déterminer, dans les deux cas, la vitesse du liquide à la distance verticale /
- figure 4.4 en dessous de l'ouverture , ceci lorsque
le réservoir est rempli d'une hauteur K.
2. Quelle est la vitesse du liquide au niveau de l'ouverture dans les deux cas ?
3. En déduire le débit de vidange dans l'un et l'autre cas. Quel est le dispositif le plus efficace ?
4. Quelle est la longueur maximale de tube que l'on peut utiliser sans qu'il y ait cavitation ?
Que vaut le débit pour cette longueur ?
A.N. : K = 5 m ; G = 20 cm ; pression de vapeur du liquide à 20°C = 2,34 kPa.
'Z
Auget
Un jet d’eau de vitesse
θ
&
9 heurte normalement
une plaque plane qui se 9
9
9
9
&
déplace à la vitesse 9 S
dans le même sens que le
jet comme indiqué sur la
figure 4.5a. L’eau sera
supposée incompressible
et son écoulement uni- figure 4.5b
- figure 4.5a
forme et stationnaire.
M
M
S
M
S
1. La section du jet incident est 6 . On négligera les poids du jet et de la plaque et on supposera que le jet se divise en deux demi-jets égaux de sections 6 /2, l’un dirigé vers le haut et
l’autre vers le bas. En se plaçant dans le référentiel de la plaque, appliquer le théorème
d’(XOHU pour déterminer la force exercée par le jet sur la plaque.
M
M
2. La plaque n’est plus plane mais en forme d’auget et dévie le jet dans une direction θ par
rapport à l’horizontale (figure 4.5b). En supposant que le jet se divise toujours en deux
demi-jets égaux, déterminer la force exercée sur la plaque.
3. Si l’auget précédent fait partie intégrante d’une turbine et est situé à la distance 5 de l’axe
de cette turbine, le déplacement à la vitesse 9 est la vitesse tangentielle correspondant à
une vitesse angulaire ω. Dans ces conditions, quelle est l’expression du couple développé ? En déduire la puissance fournie par le jet à la turbine.
S
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7'
7PKXGTUKVÃF #PIGTU
7(45EKGPEGU
..KEGPEGOGPVKQP2J[UKSWG%JKOKG
5%JCWUUGFGPV
2GTVGUFGEJCTIG$GTPQWNNKIÃPÃTCNKUÃ
'Z
Le dispositif suivant vise à alimenter deux réservoirs, situés en hauteur à deux altitudes différentes, en utilisant deux conduites connectées à une même pompe qui aspire l'eau dans un réservoir principal (voir la figure 5.1).
La conduite (1) présente un diamètre nominal ' = 150 mm, une rugosité absolue
ε = 0,09 mm, une longueur / = 1232 m et transite un débit T . Elle possède une vanne papillon et un clapet anti-retour à battant. En régime établi, le coefficient de perte de charge
dans ce clapet est estimé à .
= 0,17 et la vanne papillon est totalement ouverte
(. = 0,24).
La conduite (2) présente un diamètre nominal ' = 200 mm et une rugosité absolue
ε = 0,15 mm. Le long du profil en long, la perte de charge due aux singularités est estimée à
7% de la perte de charge régulière. Elle comporte une vanne à opercule totalement ouverte
(. = 0,07) et un clapet à battant dont le coefficient de perte de charge est . = 0,23. Sa
longueur est / = 2450 m et elle transite un débit T = 28,3 l.s-1.
Les pertes de charge dans le té des conduites et à l'aspiration de la pompe seront négligées.
On donne en annexe le diagramme de 0RRG\ permettant de connaître le coefficient de friction
en fonction du nombre de 5H\QROGV et du coefficient de rugosité relative ε/'.
1
9
&/
9
1
9
&/
9
1. Calculer la charge à la sortie de la pompe.
2. Si la charge à la sortie de la pompe est de 128 m d'eau, déterminer le débit T dans la
conduite (1). (Pour déterminer la perte de charge régulière dans la conduite il est néces107 m
saire de connaître la vitesse, donc le débit ; on ne peut donc résoudre le
problème que par approximations successives).
3. Calculer, en intensité et en direction, l'action de l'eau sur le té
de raccordement A (voir figure 5.2).
9
T9 = 28,3 l.s-1
conduite (2)
87,4 m
conduite (1)
T9
ρeau = 103 kg.m-3
νeau = 10-6 m2.s-1
'1
A2
7m
'1 = 200 mm
A0
'1
30°
pompe A
- figure 5.2 -
- figure 5.1 -
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6,5 m
A1
6m
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7(45EKGPEGU
..KEGPEGOGPVKQP2J[UKSWG%JKOKG
5%JCWUUGFGPV
5KOKNKVWFGU/CSWGVVGU
'Z
Une maquette de digue (il s'agit d'une digue "talus"), constituée par un empilement de blocs
de béton ayant chacun la masse P = 1 kg, est soumise à la houle produite en laboratoire.
Cette maquette ne subit pas de dommages tant que la hauteur K de la houle ne dépasse pas
0,30 m. Quelle devra être la masse minimale P des blocs de même béton constituant la digue
prototype pour que celle-ci résiste à une houle géométriquement et hydrodynamiquement
semblable, et pouvant atteindre une hauteur K de 6 m ?
'Z
On souhaite prévoir la perte de charge régulière ∆3 // occasionnée par l’écoulement de l’air à
la vitesse moyenne 9 dans une conduite de section rectangulaire K [ O. Avant de construire le
prototype, on réalise une maquette à l’échelle α=1/10 géométriquement semblable (on respecte le facteur de forme). Le fluide s’écoulant dans la maquette de la conduite est de l’eau.
Dans les deux cas (maquette et prototype) on supposera lisses les parois de la conduite.
W
K
/
O
1. Donner la liste, en la justifiant, des paramètres nécessaires à la description du problème.
2. Déterminer les produits sans dimension auxquels l’étude peut être ramenée, et en déduire
que la perte de charge régulière peut s’écrire sous la forme :
∆3W ρ9 2
=
Φ (K O , Re ),
/
K
ou toute autre forme équivalente.
3. En plus de respecter le facteur de forme, on s’arrange pour avoir une similitude hydrodynamique. En déduire le rapport des vitesses de l’air et de l’eau s’écoulant respectivement
dans le prototype et la maquette (donner ce rapport en fonction de α et des masses volumiques et viscosités de l’eau et de l’air).
4. Si on mesure expérimentalement sur la maquette une perte de charge régulière de 7 Pa.m-1
pour un débit de 15 l.s-1, quelle est la perte de charge régulière à laquelle on doit s’attendre
sur le prototype, et pour quel débit d’air ?
A.N. : ρeau = 103 kg.m-1, ρair = 1,2 kg.m-1, eau = 10-3 kg.m-1.s-1 et air = 1,8.10-5 kg.m-1.s-1.
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'Z
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7'
7PKXGTUKVÃF #PIGTU
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5%JCWUUGFGPV
On souhaite déterminer la force de traînée ' exercée par l'écoulement de l'air sur un avion
prototype d'aire frontale 6, d'envergure O et susceptible de voler dans l'atmosphère à la vitesse
9 de 400 km.h-1. Avant de construire le prototype, on réalise une maquette de l'avion afin de
la tester en soufflerie, ce qui permettra la mesure expérimentale de la force de traînée 'P
exercée par un écoulement de vitesse 9P dans la soufflerie. La maquette est construite à
l'échelle D = 1/10 tout en respectant le facteur de forme, c'est-à-dire que l'on conserve
6 P O P2 = 6 O 2 . L'air sera toujours supposé incompressible.
1. Faire la liste des variables nécessaires à la description du système. Ecrire l'équation aux
dimensions de chacune d'elles et en déduire le nombre de produits Π sans dimension qui
décrivent ce système. Déterminer chacun de ces produits Π.
2. Donner une expression de la force de traînée ' qui soit fonction du facteur de forme, du
nombre de 5H\QROGV, et fasse apparaître la masse volumique ρ de l'air, la vitesse 9 et, soit
l'envergure O, soit l'aire frontale 6 (on supposera que la masse volumique et la viscosité de
l'air sont les mêmes dans les conditions réelles et en soufflerie).
3. Quelle doit être la vitesse 9P de l'écoulement généré en soufflerie pour respecter la similitude hydrodynamique (ou similitude de 5H\QROGV) ? Le facteur de forme étant également
respecté, quelle relation simple obtient-on entre ' et 'P ? La vitesse 9P est-elle compatible avec l'hypothèse d'un fluide incompressible ?
4. Compte tenu des conclusions de la question précédente, on peut contourner l'incompatibilité en jouant sur la masse volumique de l'air utilisé en soufflerie. Considérant l'air comme
un gaz parfait, établir une relation entre la masse volumique ρ et la pression S. En déduire
la pression qu'il est nécessaire de maintenir en soufflerie pour respecter la similitude hydrodynamique et se limiter à une vitesse 9P = 9.
5. En déduire une nouvelle relation entre ' et 'P. Si l'on mesure expérimentalement sur la
maquette une force de traînée 'P = 4,5 N, quelle doit être la puissance minimale de propulsion développée par le moteur de l'avion prototype pour qu'il puisse voler dans l'atmosphère à la vitesse 9 = 400 km.h-1 ?
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Réponses aux exercices et problèmes
HYDROSTATIQUE
Ex. 1.1
r
r r
∇p = ρ ( g − a ) et h = la g .
Ex. 1.2
F = ρgLl (h 2 + H ) CA = L (H + 23 h ) (2H + h )
H >
Ex. 1.3
σ
1 − (h L )2 − 2 3 h soit H >2m.
ρ
Soient He et Hd les hauteurs d’eau et de la digue ; L et l les largeurs de la digue
L − l ρd Hd
à sa base et à son sommet : µs ≥
(l + L)
+
2
ρe He
2Hd
Ex. 1.4
soit µs ≥ 0,0883 .
p = 1,202.105 Pa , et la hauteur d’air immergé h2 = 1,928 m
Va =
Ex. 1.5
−1
ρe Sh2 − M
soit Va = 0,208 m3 ou Ma = 1632 kg .
ρ a − ρe
p (θ ) = ρg (H − R cos θ )
dFx = ρg (H − R cos θ )R sin θdθ et dFz = ρg (H − R cos θ )R cos θdθ
Fx = ρgR (H − R 2) et Fz = ρgR (H − πR 4)
r
r
H −R 2
OA // F car F ⊥ paroi. tan θA = Fx Fz =
H − πR 4
H = R ⇒ θA max = 66,78° et H → ∞ ⇒ θA min = 45° .
Ex. 1.6
Mg
BR
Bz
p (z ) = p0 1 −
T
où M est la masse molaire de l’air et R la constante des gaz
0
parfait. D’où z max =T0 B = 39 km .
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CINEMATIQUE
Ex. 2.1
v r = K r 2 avec K <0.
r
r
γ = − 2K 2 r 5 er avec K = -6.10-3 m3.s-1 ; γA = -7,2 m.s-2 et γB = -3,34 m.s-2
Ex. 2.2
r v2
x r
γ = e 1 + ex x (t ) = L(e
L
L
Ex. 2.3
Ex. 2.4
γt =
4V02
a
sin θ cos θ et γ n = −
v et
L
4V02
a
− 1) et γ (t ) =
ve2
e
L
v et
L
γ [x (t )] = γ (t ) .
sin2 θ
ωy
ωy
u
− 1 ; à t = π 2ω x (y ) = 0 sin
cos
v
ω
0
v 0
à t = 0 x (t ) = 0 et y (t ) = v 0t ; à t = π 2ω x (t ) = u0 (t − π 2ω )
à t = 0 x (y ) =
u0
ω
et
y (t ) = v 0 (t − π 2ω ) d’où x = (u0 v 0 )y .
Ex. 2.5
{
y = 0 ; y = 3x ; y = − 3x
3
qv = ΨB − ΨA = −1 m .s
}
−1
Ex. 2.6
Ψ(r , θ ) = Aθ + Br sin θ + Cte ; 1 point d’arrêt A(xA = − A B ; yA = 0 )
Ex. 2.7
écoulement uniforme + source
Γ
Ur sin θ =
ln(r 2) .
2π
Ex. 2.8
A(xA = qv (2πU ) ; yA = 0 ) et y (θ ) =
Ex. 2.9
f (z ) = −
qv
q
θ H = v = 1,33 mm
2πU
2U
qv
Γ
ln z + i
ln z ,
2π
2π
q
Γ
q
Γ
ϕ (r , θ ) = − v ln r −
θ + Cte et Ψ(r , θ ) = − v θ +
ln r + Cte .
2π
2π
2π
2π
qv
r (θ ) = r0e
θ
: spirales partant de l’origine.
q 1
Γ 1 r 1 r r r
v r = − v ;vθ = −
, Ω = 2 ∇ ∧ v = 0 , ΓR = −Γ et QR = −qv ;
2π r
2π r
r r
α = (v , er ) = Cte avec cos α = − qv qv2 + Γ2 .
Γ
r (t ) = r02 −
πr02
qv
Γ qv t
t
t et θ (t ) =
;
∆
=
.
ln 1 −
π
qv
2qv
π r02
q 2 + Γ2 1
z (r ) = h − v 2 2 .
8π g r
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DYNAMIQUE & Relations de NAVIER-STOKES
Ex. 3.1
Ex. 3.2
Ex. 3.3
∂p
A 2
(h − z 2 ) où A =
.
∂x
2µ
du
A- τ xz = τ zx = µ
= Az .
dz
2Ah 3
A- qv = −
.
3µ
∂p
A- si qv > 0 alors A =
< 0.
∂x
U
A 2
z
B- u (z ) = −
(h − z 2 ) + 0 1 + à discuter selon le signe de A.
2µ
2
h
A- u (z ) = −
dp
v2
d
= ρ θ et
dr
r
dr
dvθ vθ
r
= .
dr r
ω r2
r2
vθ (r ) = − 2 0 0 2 r − 1 .
r
r1 − r0
2
2
r
r
r r
C moteur = 4πω0 20 1 2 µez ce qui permet de mesurer µ : c’est un viscosimètre.
r1 − r0
w (x ) = V0 +
ρg 2
ρgh 2
(x 2 − hx ) , d’où w = V0 −
.
µ
3µ
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FLUIDES PARFAITS (Théorèmes d’EULER & BERNOULLI)
Ex. 4.1
La force d’ancrage est dirigée vers le haut et son intensité s’exprime comme :
Fa = 4 ρ
Ex. 4.2
πD 2
qv2
πH 2
(1 D12 − 1 D22 ) + ρg
(D1 + 4D22 + D1D2 ) + 1 P + mg = 77,76 N
12
4
π
r
La force d’ancrage Fa se décompose comme :
16qv2 πD 2
sin α = 31,845 kN
Fax = P + ρ 2 4
π D 4
16q 2 πD 2
(1 − cos α ) = 8,533 kN
Fay = P + ρ 2 v4
π D 4
Faz = (m + ρV ) g = 15,054 kN
−1 4
Ex. 4.3
4
π 2Dout
∆P = P0 − PA = 50,94 kPa ; D ≈ Dout 1 +
∆
P
2
Q
Q
8
ρ
(
+
)
e
i
Ex. 4.4
La vitesse est la même dans les deux cas et vaut : V = 2 g (h + L) .
= 2,25 mm
Avec le tube : V = 2 g (h + L) ; sans le tube : V = 2 gh .
Le débit le plus faible est obtenu avec le tube et vaut :
Ex. 4.5
πd 2
2 gh = 310 l.s −1 .
4
L ≤ (P0 − pv ) ρg = 10 m ; qv = 539 l.s −1
r
r
Fj/p = ρS j (Vj −Vp )2 ex .
r
r
Fj/p = ρS j (Vj −Vp )2 (1 + cos θ )ex
qv =
C = RFj/p = ρS j (Vj − ωR )2 (1 + cos θ )R ; P = ωC .
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PERTES DE CHARGE & BERNOULLI GENERALISE
Ex. 5.1
PtA = P0 + ρgz R 2 + ∆Pt 2 = 12,573.105 Pa ≡ 128 m d' eau .
V1 = 1,95 m.s −1 et qv 1 = 34,46 l.s −1 .
Horizontalement : Fx = −14,6 kN ; verticalement : Fz = −17,2 kN
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SIMILITUDES & MAQUETTES
Ex. 6.1
m2 = m1 (h2 h1 )3 = 8000 kg .
Ex. 6.2
∆Pt L , V , h , l, ρ , µ .
∆P L
l
µ
Π1 = , Π2 =
et Π 3 = t 2 h ; d’où Π 3 = Φ(Π 1 , Π 2 ) .
h
ρV
ρVh
Vair
ρ µ
= α eau air .
Veau
ρ air µeau
2
( ∆Pt L )air
ρ µ
= ( ∆Pt L )eau α eau air = 1,89.10 − 3 Pa.m−1 ;
ρ air µ eau
3
Qair = 150 Qeau = 2,25 m3 .s −1 .
Ex. 6.3
D, S , l,V , ρ et µ . D’où, par exemple, Π1 =
D
S
µ
, Π 2 = 2 et Π 3 =
.
2 2
l
ρV l
ρ Vl
D = ρV 2l2 Φ(S l2 , Re) .
Vm = 10V = 4000 km.h −1 ; Dm D = 1 ; Ma > 1 donc Vm incompatible.
M
p et donc Vm = V ⇒ pm = p a = 10 p0 .
RT
D = Dm a = 45 N , soit une puissance correspondante P = 5 kW ≡ 6,8 cv .
ρ=
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