Mécanique - Statique des solides
GMP1 - échelle simple posée contre un mur
TD statique avec frottement
1. Aucun frottement considéré
Le problème étudié est plan ; on considère donc que l’échelle admet (G, ~x, ~y ) comme plan de symétrie, avec ~x suivant
l’horizontale et ~y vertical ascendant.
Par conséquent, les actions mécaniques estimées en A (sur le mur) et B (sur le sol) correspondent dans la réalité aux
efforts sur les deux "bras" de l’échelle, tous les deux ramenés dans le plan de symétrie.
On repère l’inclinaison de l’échelle à l’aide de l’angle α qu’elle fait par rapport à la verticale.
L’échelle isolée (S), à l’équilibre statique, est soumise à trois actions mécaniques extérieures :
• action de la pesanteur,
appliquée
en G, représentée par le torseur
0
0
−mg 0
{Tpes→S } =
0
0 (G,~x,~y,~z)
• réaction normale du sol sur l’échelle, appliquée en B, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle
sans frottement,
de normale
~y )
0 0
YB 0
{Tsol→S } =
0 0 (B,~x,~y,~z)
• réaction normale du mur sur l’échelle, appliquée en A, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle
sans frottement, de normale ~x)
XA 0
0 0
{Tmur→S } =
0 0 (A,~x,~y,~z)
Le Principe Fondamental de la Dynamique s’écrit donc :
{Tpes→S }(A,~x,~y,~z) + {Tsol→S }(A,~x,~y,~z) + {Tmur→S }(A,~x,~y,~z) = 0
Où on choisit arbitrairement le point A comme point de réduction.
1
On transporte les torseurs au point A, soit :
• Pour l’action de pesanteur :
O
Lsinα/2
0
0
−−−−−−−→ −−−−−−−→ −→ ~
O + −Lcosα/2 ∧ −mg =
0
MA,pes→S = MG,pes→S + AG ∧ P =
O
O
O
−mgLsinα/2
donc le torseur
devient
0
0
−mg
0
{Tpes→S } =
0
−mgLsinα/2 (A,~x,~y,~z)
• Pour la réaction du sol :
O
Lsinα
0
0
−−−−−−→ −−−−−−→ −−→ ~
0
MA,sol→S = MB,sol→S + AB ∧ Rsol→S = O + −Lcosα ∧ YB =
O
O
O
LYB sinα
donc le torseur
devient
0
0
YB
0
{Tsol→S } =
0 LYB sinα (A,~x,~y,~z)
Le théorème de la résultante en projection sur les axes ~x et ~y et l’équation de moment au point A suivant ~z donnent :
XA = 0
YB − mg = 0
/~x
/~y
(1)
(2)
−mgLsinα/2 + LYB sinα = 0
/~z
(3)
A priori une solution semble possible, mais en regardant bien il apparaît que les équations (2) et (3) ne peuvent pas être
satisfaites simultanément : soit YB = mg, soit YB = mg/2 !
D’un point de vue graphique, l’impossibilité d’avoir un équilibre est visible : l’échelle est soumise à deux forces parallèles
qui ne sont pas de même support (les forces en G et B), donc l’équilibre n’est possible que si la troisième force est parallèle
au deux premières : or l’action en A est horizontale. Les trois forces ne peuvent pas être concourantes et l’équilibre est
impossible.
En comparant les approches graphique et analytique, on remarque que pour un solide soumis à trois forces :
• le théorème de la résultante correspond à la condition graphique "le triangle des forces est fermé",
• l’équation du moment correspond à la condition graphique : "les forces sont concourantes en un même point".
2
2. Frottement considéré au point A
Le sujet propose de mettre en place du frottement au point B.
Dans ce corrigé on souhaite montrer pourquoi ! Par conséquent, considérons un instant le cas où le frottement n’existe
qu’en A.
L’échelle isolée (S), à l’équilibre statique, est soumise à trois actions mécaniques extérieures :
• action de la pesanteur,
appliquée
en G, représentée par le torseur
0
0
{Tpes→S } =
−mg 0
0
0 (G,~x,~y,~z)
• réaction normale du sol sur l’échelle, appliquée en B, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle
sans frottement,
de normale
~y )
0 0
{Tsol→S } =
YB 0
0 0 (B,~x,~y,~z)
• réaction normale du mur sur l’échelle, appliquée en A, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle
avec frottement, de normale ~x)
XA 0
{Tmur→S } =
YA 0
0 0 (A,~x,~y,~z)
avec YA > 0 car s’oppose à la tendance au mouvement.
Le Principe Fondamental de la Dynamique s’écrit donc :
{Tpes→S }(A,~x,~y,~z) + {Tsol→S }(A,~x,~y,~z) + {Tmur→S }(A,~x,~y,~z) = 0
Où on choisit le point A comme point de réduction.
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On transporte les torseurs au point A, soit :
• Pour l’action de pesanteur :
O
Lsinα/2
0
0
−−−−−−−→ −−−−−−−→ −→ ~
O + −Lcosα/2 ∧ −mg =
0
MA,pes→S = MG,pes→S + AG ∧ P =
O
O
O
−mgLsinα/2
donc le torseur
devient
0
0
−mg
0
{Tpes→S } =
0
−mgLsinα/2 (A,~x,~y,~z)
• Pour la réaction du sol :
O
Lsinα
0
0
−−−−−−→ −−−−−−→ −−→ ~
0
MA,sol→S = MB,sol→S + AB ∧ Rsol→S = O + −Lcosα ∧ YB =
O
O
O
LYB sinα
donc le torseur
devient
0
0
YB
0
{Tsol→S } =
0 LYB sinα (A,~x,~y,~z)
Le théorème de la résultante en projection sur les axes ~x et ~y et l’équation de moment au point A suivant ~z donnent :
XA = 0
YA + YB − mg = 0
/~x
/~y
(4)
(5)
−mgLsinα/2 + LYB sinα = 0
/~z
(6)
La loi de Coulomb appliquée au contact en A indique que :
• S’il n’y a pas glissement, 0 ≤ YA < f.XA
• Au glissement naissant, 0 ≤ YA = f.XA
Or l’équation (1) impose XA = 0, ainsi quel que soit le cas d’équilibre (glissement naissant ou non glissement), la loi de
Coulomb indique que YA = 0 et cela revient au cas précédent (sans frottement en A).
Ce résultat est intéressant à retenir :
Dans un contact avec frottement potentiel, si l’effort normal au contact est nul, la force tangentielle est, elle aussi,
nulle : on ne peut pas créer d’effort tangentiel au contact sans effort normal.
Encore une fois, ce "non équilibre" était prévisible graphiquement : on a toujours deux forces parallèles (en G et B) donc
la seule solution d’équilibre serait que l’action en A soit parallèle aux deux autres actions, ce qui est impossible. Et bien
sûr les trois actions ne peuvent pas être concourantes...
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3. Frottement considéré au point B
L’échelle isolée (S), à l’équilibre statique, est soumise à trois actions mécaniques extérieures :
• action de la pesanteur,
appliquée
en G, représentée par le torseur
0
0
{Tpes→S } =
−mg 0
0
0 (G,~x,~y,~z)
• réaction normale du sol sur l’échelle, appliquée en B, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle
avec frottement,
de normale
~y)
XB 0
YB 0
{Tsol→S } =
0
0 (B,~x,~y,~z)
avec XB < 0 car s’oppose à la tendance au glissement de l’échelle.
• réaction normale du mur sur l’échelle, appliquée en A, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle
sans frottement, de normale ~x)
XA 0
0 0
{Tmur→S } =
0 0 (A,~x,~y,~z)
Le Principe Fondamental de la Dynamique s’écrit donc :
{Tpes→S }(A,~x,~y,~z) + {Tsol→S }(A,~x,~y,~z) + {Tmur→S }(A,~x,~y,~z) = 0
Où on choisit le point A comme point de réduction (pour être comparé avec les cas précédents).
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On transporte les torseurs au point A, soit :
• Pour l’action de pesanteur :
O
Lsinα/2
0
0
−−−−−−−→ −−−−−−−→ −→ ~
O + −Lcosα/2 ∧ −mg =
0
MA,pes→S = MG,pes→S + AG ∧ P =
O
O
O
−mgLsinα/2
donc le torseur
devient
0
0
−mg
0
{Tpes→S } =
0
−mgLsinα/2 (A,~x,~y,~z)
• Pour la réaction du sol :
O
Lsinα
XB
0
−−−−−−→ −−−−−−→ −−→ ~
0
MA,sol→S = MB,sol→S +AB∧Rsol→S = O + −Lcosα ∧ YB =
O
O
O
LYB sinα + LXB cosα
donc le torseur
devient
0
XB
YB
0
{Tsol→S } =
0
LYB sinα + LXB cosα (A,~x,~y,~z)
Le théorème de la résultante en projection sur les axes ~x et ~y et l’équation de moment au point A suivant ~z donnent :
XA + XB = 0
YB − mg = 0
/~x
/~y
(7)
(8)
−mgLsinα/2 + LYB sinα + LXB cosα = 0
/~z
(9)
La loi de Coulomb appliquée au contact en A indique que :
• S’il n’y a pas glissement, 0 ≤ −XB < f.YB
• Au glissement naissant, 0 ≤ −XB = f.YB
L’équation (2) donne YB = mg, alors que l’équation (3) donne, en utilisant la loi de Coulomb au glissement naissant :
mgtanα
mgsinα
=
YB =
2(sinα − f cosα)
2(tanα − f )
En égalant ces deux dernières relations, on obtient une condition sur la valeur du facteur f : c’est la valeur minimale pour
que l’échelle soit en équilibre, au "glissement naissant". Si f est plus grand, l’équilibre est assuré, sinon l’échelle tombe.
La condition s’écrit sous forme simplifiée :
tanα
f=
2
Approche graphique : dans ce cas l’équilibre est possible car l’échelle est soumise à trois forces concourantes. On peut
trouver géométriquement la relation ci-dessus entre l’angle α et le facteur f . Il suffit de tracer les trois forces concourantes
et d’utiliser les relations de trigonométrie, voir figure ci-après.
KC
HB/2
tanα
HB
, tanϕ = f =
=
. Donc tanϕ =
.
On obtient facilement les relations : tanα =
AH
BC
BC
2
6
A
K
C
ϕ
G
α
B
H
Figure 1: étude géométrique de l’équilibre d’une échelle avec frottement en B : les trois forces sont concourantes
au point K
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