Calculer la valeur exacte d`un cosinus ou d`un sinus - aefe-asie

SOS MATH 1ère S – TRIGONOMÉTRIE - Fiche 1
Savoir CALCULER LA VALEUR EXACTE
D'UN COSINUS OU D'UN SINUS
Attention, pour une lecture plus facile, on a confondu angles orientés et abscisses curvilignes...
Rappel des connaissances :
On connait les valeurs exactes de cos x et sin x lorsque x vaut les
mesures usuelles, en radians : 0 , 
6 ,  4 ,  3 et  2 .
Voir exercice 1. .
Ou alors, on me donne la valeur exacte de cos x ou de sin x lorsque
x vaut une mesure non usuelle.
Voir exercices 2. et 3. .
Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, on en déduit
les valeurs exactes 
 cos (‒x) = cos x
sin (‒x) = ‒sin x .
Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, on en
déduit les valeurs exactes 
 cos (  ‒ x ) = ‒cos x
sin (  ‒ x ) = sin x .
Par symétrie par rapport à l'origine, on en déduit les
valeurs exactes 
 cos ( x + ) = ‒ cos x
sin ( x +  ) = ‒ sin x .
abscisse
curviligne
x
angle orienté x
2
2
1
2
3
2
3
4
0
1
→ les cosinus
0
2
les sinus ←
0
1
6
3
2
1 2
2
2
2
3
3
4
5
6
- 2
2
- 3
2
- 1
2
3
2
1 2
2
2
7
6
5
4
4
3
- 2
2
- 3
2
- 1
2
- 3
2
- 2
2
- 1
2
1
2
2
2
3
2
‒ 
3
‒ 
6
‒ 
4
- 3
2
- 2
2
- 1
2
‒ 
2

Plus rares (et sans utilité pour les valeurs usuelles...)
mais nécessaires pour passer d'un cosinus à un sinus
ou inversement : cos ( x + 
2 ) = ‒ sin x
sin ( x + 
2 ) = cos x .
Méthode :
Les angles non usuels vous seront donnés sous la forme a
b .
Le principe est de :
- encadrer a
b entre n et ( n + 1 ) , deux multiples consécutifs de  ,
- en déduire l'écriture de a
b sous la forme 
valeur usuelle + 2k
ou valeur usuelle +  + 2k ,
- appliquer 
cos ( x + 2k ) = cos x
ou sin ( x + 2k ) = sin x . 
- utiliser les cosinus et sinus des valeurs usuelles et les formules.
1. Calculer les valeurs exactes de :
a) cos 87.
b) sin 200 .
c) cos 9
2 .
d) sin 19
2 .
e) cos 25
3 .
f) sin ( ‒ 17
3 )
g) cos 43
4
h) sin ( 43
6 ) .
i) cos ( ‒ 26
3 ) .
2. On sait que la valeur exacte de sin 
12 est 6 ‒ 2 4 .
a) Calculer les valeurs exactes de sin 25
12 ; sin 13 12 ; sin 23 12 ; sin 11 12 et cos 7 12 .
b) Justifier le signe de cos 
12 , puis en déduire sa valeur exacte.
c) Calculer les valeurs exactes de cos ( ‒ 71
12 ) et cos 61 12 .
3. On sait que la valeur exacte de cos 2
5 est 5 ‒ 1 4 .
a) Calculer la valeur exacte de cos 7
5 , cos 8 5 , cos 3 5 et sin 9 10 .
b) Justifier le signe de sin 2
5 , puis en déduire sa valeur exacte.
c) Calculer les valeurs exactes de sin 57
5 et sin ( ‒ 87 5 ) .
x + 
2
x
cos x
sin x
sin ( x + 
2 )
cos ( x + 
2 )

4. On donne un réel quelconque x .
Écrire sous une forme simplifiée les expressions suivantes :
a) cos (  + x ) + cos (  ‒ x ) .
b) sin (  + x ) + sin (  ‒ x ) .
c) cos (  ‒ x ) + sin ( x + 
2 ) .
d) sin (  ‒ x ) ‒ cos ( x + 
2 ) .
e) sin ( x + 3 ) + sin ( x + 4 ) + sin ( x + 5 ) + sin ( x + 6 ) .
f ) cos ( x + 3 ) ‒ cos ( x + 4 ) + cos ( x + 5 ) ‒ cos ( x + 6 ) .
g) sin x + sin (2x) + sin (3x) + sin (4x) lorsque x = 
4 :
h) Même question que g) avec x = 
3 .
i) Même question que g) avec x = 
6 .
5. Cet exercice est une initiation à la fonction tangente , mais seules les formules sur le cosinus et le sinus sont
nécessaires.
Pour tout réel x qui n'est pas de la forme 
2 + k , avec k   , on définit tan : x  sin x cos x .
Exprimer les expressions suivantes en fonction de tan x :
a) tan (‒x) .
b) tan ( x +  ) .
c) tan (  ‒ x ) .
d) tan ( x + 
2 ) .