Calculer la valeur exacte d`un cosinus ou d`un sinus - aefe-asie

SOS MATH 1ère S – TRIGONOMÉTRIE - Fiche 1
Savoir CALCULER LA VALEUR EXACTE
D'UN COSINUS OU D'UN SINUS
abscisse
curviligne
Attention, pour une lecture plus facile, on a confondu angles orientés et abscisses curvilignes...
x
angle orienté x
1

3 
4 
6
3 2
2 2
On connait les valeurs exactes de cos x et sin x lorsque x vaut les
mesures usuelles, en radians : 0 ,


2
les sinus ←
Rappel des connaissances :
  

, ,
et .
6 4 3
2
1
2
Voir exercice 1. .
0
0
Ou alors, on me donne la valeur exacte de cos x ou de sin x lorsque
x vaut une mesure non usuelle.
1
2
0
Voir exercices 2. et 3. .
2
2
3 1
2
→ les cosinus
Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, on en déduit
 cos (‒x) = cos x
1
2
les valeurs exactes 
 sin (‒x) = ‒sin x .
2
2
3
2
1
2
3
2 - 2 - 2
Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, on en
5

6
1
2
 cos (  ‒ x ) = ‒cos x
déduit les valeurs exactes 
 sin (  ‒ x ) = sin x .

‒ 
2
3 2
2 2
2
3 3

4
‒

-
3
2 -1
2
2
2
-
3
2 -1
2
2
2
Par symétrie par rapport à l'origine, on en déduit les
 cos ( x + ) = ‒ cos x
valeurs exactes 
 sin ( x +  ) = ‒ sin x .
1
2
3
2 - 2 - 2
7

6
5

4 4

3

‒ 
 4
‒
3

6
x+


2
sin ( x +
Plus rares (et sans utilité pour les valeurs usuelles...)

)
2
mais nécessaires pour passer d'un cosinus à un sinus
ou inversement :
sin x
 cos ( x +  ) = ‒ sin x
2


 sin ( x + 2 ) = cos x .
cos ( x +

)
2
x
cos x
Méthode :
Les angles non usuels vous seront donnés sous la forme
a
.
b
Le principe est de :
- encadrer
a
entre n et ( n + 1 ) , deux multiples consécutifs de  ,
b
a
 valeur usuelle + 2k
- en déduire l'écriture de
- appliquer
sous la forme
b
 cos ( x + 2k ) = cos x
 ou
 ou

valeur usuelle +  + 2k ,

sin ( x + 2k ) = sin x .
- utiliser les cosinus et sinus des valeurs usuelles et les formules.
1. Calculer les valeurs exactes de :
a)
cos 87.
f)
sin ( ‒
b)
sin 200 .
g)
cos
c)
cos
9
.
2
h)
sin (
d)
sin
19
.
2
i)
cos ( ‒
e)
cos
25
.
3

2. On sait que la valeur exacte de sin 12
est
a)
Calculer les valeurs exactes de sin
b)
Justifier le signe de cos
c)
c)
43
).
6
26
).
3
6 ‒ 2
.
4

, puis en déduire sa valeur exacte.
12
71
61
Calculer les valeurs exactes de cos ( ‒
) et cos
.
12
12
5 ‒1
.
4
7
8
3
9
Calculer la valeur exacte de cos
, cos
, cos
et sin
.
5
5
5
10
2
Justifier le signe de sin
, puis en déduire sa valeur exacte.
5
57
87
Calculer les valeurs exactes de sin
et sin ( ‒
).
5
5
2
b)
43
4
25
13
23
11
7
; sin
; sin
; sin
et cos
.
12
12
12
12
12
3. On sait que la valeur exacte de cos 5 est
a)
17
)
3
4. On donne un réel quelconque x .
Écrire sous une forme simplifiée les expressions suivantes :
a)
cos (  + x ) + cos (  ‒ x ) .
b)
sin (  + x ) + sin (  ‒ x ) .
c)
cos (  ‒ x ) + sin ( x +
d)

).
2

sin (  ‒ x ) ‒ cos ( x + ) .
2
e)
sin ( x + 3 ) + sin ( x + 4 ) + sin ( x + 5 ) + sin ( x + 6 ) .
f)
cos ( x + 3 ) ‒ cos ( x + 4 ) + cos ( x + 5 ) ‒ cos ( x + 6 ) .
g)
sin x + sin (2x) + sin (3x) + sin (4x) lorsque x =
h)
Même question que g) avec x =
i)

:
4

.
3

Même question que g) avec x = .
6
5. Cet exercice est une initiation à la fonction tangente , mais seules les formules sur le cosinus et le sinus sont
nécessaires.
Pour tout réel x qui n'est pas de la forme
sin x

+ k , avec k   , on définit tan : x 
.
2
cos x
Exprimer les expressions suivantes en fonction de tan x :
a)
tan (‒x) .
b)
tan ( x +  ) .
c)
tan (  ‒ x ) .

tan ( x + ) .
2
d)