IUT Mesures Physiques

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IUT 1 DE GRENOBLE
Département mesures physiques
Cours de Mathématiques
Premier semestre
Jean-Marie De Conto

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Chapitre 1 : Rappels de trigonométrie
Cercle trigonométrique : Il s’agit du cercle de rayon 1, centré sur l’origine O.
On définit la mesure « principale » de l’angle (AOM), notée θ, par
)(AM
, la longueur de
l’arc sur le cercle unité. La rotation dans le sens positif correspond au sens inverse des
aiguilles d’une montre.
Unité : un angle s’exprime, sauf indication contraire, en radians, unité légale. On utilise bien
sûr d’autres unités comme le degré.
180
deg radiansrés 
Longueur d’arc : Un arc défini par un angle θ (en radians) sur un cercle de rayon R a pour
longueur R θ.
Les angles sont comptés positivement dans le sens trigonométrique, inverse des aiguilles
d’une montre. Un angle de 2π correspond à une rotation d’un tour complet. La mesure d’un
angle est définie à 2π près. L’angle π correspond à un demi tour dans le sens direct, et à –π
dans le sens rétrograde.
Propriété : Les angles sont définis dans l’intervalle [0,2π] ou [-π,+π], de manière identique.
Ils sont définis à un nombre entier de tours près. On écrira donc de manière générale :
k2
0
Avec k entier et :
]2,0[
0
ou
],[
0
O
M
A
x
y
P
Q

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Fonctions trigonométriques :
On définit :
sin
cos
cot
cos
sin
tan
sin
cos
____
____
OM
OP
OM
OQ
Attention aux grandeurs algébriques (avec un signe).
Angles remarquables
La table qui suit est à connaître par cœur
θ
sin
cos
0
0
1
6
2
1
23
4
2
2
2
2
3
23
2
1
2
1
0
On déduit les tangentes et cotangentes par calcul direct.
Valeurs déduites par lecture sur le cercle trigonométrique.
Elles sont légion et nous ne donnerons que quelques cas, à compléter soi-même :
?
2
sin
?
2
cos
?
2
sin
?
2
cos
?sin
?cos
?sin
?cos
?
2
3
sin
?
2
3
cos
?
2
3
sin
?
2
3
cos
Formules d’addition

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Nous verrons, dans la partie « nombres complexes » comment l’on démontre les formules
qui suivent.
Les relations fondamentales, les valeurs remarquables, ainsi que les formules relatives à
l’angle double ou moitié sont à connaître par cœur.

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Fonctions trigonométriques réciproques
 L’équation
y
sin
admet une solution unique dans l’intervalle [-/2, /2]. On la
note
)sin(yArc
 L’équation
y cos
admet une solution unique dans l’intervalle [0, ]. On la
note
)cos(yArc
 L’équation
y
tan
admet une solution unique dans l’intervalle ]-/2, /2[. On la
note
)tan(yArc
Nous avons ainsi défini trois fonctions trigonométriques réciproques :
 Arcsin : défini de [-1 1] sur [-/2, /2]
 Arccos défini de [-1 1] sur [0, ]
 Arctan défini de ]-∞ +∞ [ sur ]-/2, -/2[
Propriétés élémentaires
La définition des fonctions trigonométriques, ainsi que la relation
1sincos 22 
permettent de démontrer aisément les relations suivantes :
2/arcsinarccos
1
)tan(arccos
1
)tan(arcsin
)sin(arccos1)cos(arcsin
2
2
2
xx xx
x
x
x
x
xxx
Exercice : démontrer ces relations
Dérivation des fonctions réciproques
Nous reverrons ce point ultérieurement, mais nous mentionnerons d’ores et déjà les
relations :
2
2
2
1
1
arctan
1
1
arcsin
1
1
arccos
x
x
dx
dx
x
dx
dx
x
dx
d