Chapitre II Fonctions circulaires et applications r´eciproques

Chapitre II
Fonctions circulaires et applications
réciproques
A
A.1
Fonctions circulaires
Rappels de trigonométrie
I Les fonctions sinus, cosinus et tangente
Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur R,
à valeurs dans [−1, 1], 2π-périodiques et dérivables
sur R avec pour tout x ∈ R
tan x
0
cos x = − sin x
0
et
sin x = cos x.
Par ailleurs, la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire.
sin x
On appelle fonction tangente
la fonction notée tan
définie sur R \ π2 + πZ par
tan x =
sin x
cos x
x
Il s’agit d’une fonction impaire, π-périodique,
in
π
finiment dérivable
sur hR \ 2 + πZ et qui vérifie
i
pour tout x ∈ − π2 , π2
tan0 (x) =
1
= 1 + tan2 x.
cos2 x
cos x
28
Chapitre II - Fonctions circulaires et applications réciproques
I Quelques valeurs remarquables des fonctions sinus, cosinus et tangente
x
0
sin x
0
cos x
1
tan x
0
π
6
1
√2
3
2
1
√
3
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
√
3
2
1
2
√
3
1
π
2
2π
3π
3
4
√
√
3
2
2
2
√
1
2
−
−
2
2
√
− 3 −1
1
0
5π
6
1
2
√
π
0
3
2
1
−√
3
−
−1
0
Beaucoup d’autres valeurs remarquables se retrouvent aisément à partir de celles qui précèdent en
utilisant les relations entre sinus et cosinus.
A.2
Variations de la fonction sinus
Puisque la fonction sinus est 2π-périodique et impaire, il suffit de connaı̂tre ses variations sur l’intervalle
[0, π] pour en déduire les variations sur R.
x
0
sin x = cos x
1
0
π
2
+
0
π
−
−1
1
sin x
0
1
−2π
|
3π
−
2
|
|
−π
−
|
0
π
2
−1
|
π
π
2
|
3π
2
|
2π
|
|
|
0
y = sin x
A.3
Variations de la fonction cosinus
La fonction cosinus est 2π-périodique et paire, il suffit donc de connaı̂tre ses variations sur l’intervalle
[0, π] pour en déduire les variations sur R.
x
0
cos0 x = − sin x
0
π
2
−
−1
π
−
0
1
cos x
0
−1
29
|
A - Fonctions circulaires
1
|
3π
−
2
|
|
−π
π
−
2
0
−1
|
|
π
2
π
|
|
3π
2
2π
|
|
−2π
y = cos x
A.4
Variations de la fonction tangente
La fonction tangente
est π-périodique
et impaire 0 donc il suffit2 donc de connaı̂tre ses variations sur
l’intervalle 0, π2 . Pour tout x ∈ 0, π2 , on
a tan x = 1 + tan x > 0 donc la fonction tangente est
π
strictement croissante sur l’intervalle 0, 2 . Il faut prendre garde au fait que la fonction tangente n’est
pas globalement croissante puisqu’il s’agit d’une fonction périodique !
x
0
tan0 x = 1 + tan2 x
1
π
2
+
+∞
tan x
1
|
3π
−
2
|
|
−π
π
−
2
|
0
0
y = tan x
|
|
|
|
π
4
π
2
π
3π
2
30
B
B.1
Chapitre II - Fonctions circulaires et applications réciproques
Fonctions réciproques des fonctions circulaires
La fonction arcsinus
I Définition
La fonction sinus est continue sur R et strictement croissante sur l’intervalle − π2 , π2 , elle réalise donc
une bijection de cet intervalle sur son image [−1, 1] et on peut définir son application réciproque.
B.1.1 Définition
On appelle fonction arcsinus, et on note
h π πi
Arcsin : [−1, 1] → − , , x 7→ Arcsin x ,
2 2
l’application réciproque de la restriction de la fonction sinus à l’intervalle
h
−
π πi
, .
2 2
B.1.2 Remarques
I Pour tout x ∈ [−1, 1], Arcsin x est la mesure d’angle comprise entre − π2 et π2 dont le sinus vaut x.
I Pour tout x ∈ [−1, 1], on a sin Arcsin x = x.
I Pour tout θ ∈ − π2 , π2 , on a Arcsin sin θ = θ.
Il faut prendre garde au fait que
Arcsin sin θ est définie pour tout θ ∈ R mais ne vaut
l’expression
exactement θ que lorsque θ ∈ − π2 , π2 .
En effet, comme on l’a précisé ci-dessus, Arcsin sinθ désigne
la mesure d’angle entre − π2 et π2 dont
π π
le sinus vaut sin θ i.e. il s’agit de l’unique
π réel θ0 ∈ − 2 , 2 tel qu’il existe k ∈ Z avec θ = θ0 + 2kπ.
17π
= 8.
Par exemple, on a Arcsin sin 8
I Étude des variations de la fonction arcsinus
Les variations de la hfonction iarcsinus sur l’intervalle [−1, 1] sont les mêmes que celles de la fonction
π π
sinus sur l’intervalle − , .
2 2
π
2
x
−1
Arcsin x
−
π
2
0
0
1
π
2
−1
0
− π2
y = Arcsin x
1
31
B - Fonctions réciproques des fonctions circulaires
B.1.3 Proposition
La fonction arcsinus est dérivable sur ] − 1, 1[ et
pour tout x ∈] − 1, 1[ , Arcsin0 (x) = √
1
.
1 − x2
Démonstration
En effet, pour tout x ∈] − 1, 1[, on a
Arcsin0 (x) =
1
1
=
.
sin (Arcsin x)
cos(Arcsin x)
0
Mais Arcsin x ∈ − π2 , π2 et la fonction cosinus est positive sur cet intervalle donc cos(Arcsin x) > 0.
Par conséquent, on peut écrire
1
=p
2
cos2 (Arcsin x)
1 − sin (Arcsin x)
Arcsin0 (x) = p
1
et la conclusion vient du fait que sin(Arcsin x) = x.
B.1.4 Remarque
Le graphe de la fonction arcsinus ayant été obtenu par symétrie, on sait qu’il admet des tangentes
verticales pour x = −1 et x = 1 ainsi qu’une tangente de pente 1 pour x = 0.
On retrouve cela avec la dérivée de Arcsin puisque
Arcsin0 (0) = 1
B.2
,
lim √
x→−1+
1
= +∞
1 − x2
et
lim √
x→1−
1
= +∞.
1 − x2
La fonction arccosinus
I Définition
La fonction cosinus est continue sur R et strictement décroissante sur l’intervalle [0, π], elle réalise donc
une bijection de cet intervalle sur son image [−1, 1] et on peut définir son application réciproque.
B.2.1 Définition
On appelle fonction arccosinus, et on note
Arccos : [−1, 1] → [0, π], x 7→ Arccos x ,
l’application réciproque de la restriction de la fonction cosinus à l’intervalle [0, π].
B.2.2 Remarques
I Pour tout x ∈ [−1, 1], Arccos x est la mesure d’angle comprise entre 0 et π dont le cosinus vaut x.
I Pour tout x ∈ [−1, 1], on a cos Arccos x = x.
32
Chapitre II - Fonctions circulaires et applications réciproques
I Pour tout θ ∈ [0, π], on a Arccos cos θ = θ.
Il faut prendre garde au fait que l’expression Arccos cos θ est définie pour tout θ ∈ R mais ne vaut
exactement θ que lorsque θ ∈ [0, π].
En effet, comme on l’a précisé ci-dessus, Arccos cos θ désigne la mesure d’angle entre 0 et π dont
le cosinus vaut cos θ i.e. il s’agit de
l’unique réel θ0 ∈ [0, π] tel qu’il existe k ∈ Z avec θ = θ0 + 2kπ.
12π
Par exemple, on a Arccos cos 5
= 2π
5 .
I Étude des variations de la fonction arccosinus
Les variations de la fonction arccosinus sur l’intervalle [−1, 1] sont les mêmes que celles de la fonction
cosinus sur l’intervalle [0, π].
π
x
−1
π
Arccos x 2
0
1
0
−
π
2
π
2
0
−1
1
y = Arccos x
B.2.3 Proposition
La fonction arccosinus est dérivable sur ] − 1, 1[ et
pour tout x ∈] − 1, 1[ , Arccos0 (x) = − √
1
.
1 − x2
Démonstration
En effet, pour tout x ∈] − 1, 1[, on a
Arccos0 (x) =
1
cos0 (Arccos x)
=
1
.
− sin(Arccos x)
Mais Arccos x ∈ [0, π] et la fonction sinus est positive sur cet intervalle donc sin(Arccos x) > 0. Par
conséquent, on peut écrire
1
Arccos0 (x) = − p
2
sin (Arccos x)
et la conclusion vient du fait que cos(Arccos x) = x.
= −p
1
1−
cos2 (Arccos x)
33
B - Fonctions réciproques des fonctions circulaires
B.2.4 Remarque
Le graphe de la fonction arccosinus ayant été obtenu par symétrie, on sait qu’il admet des tangentes
verticales pour x = −1 et x = 1 ainsi qu’une tangente de pente −1 pour x = 0.
On retrouve cela avec la dérivée de Arccos puisque
Arccos0 (0) = −1 ,
B.3
lim √
x→−1+
−1
= −∞ et
1 − x2
lim √
x→1−
−1
= −∞.
1 − x2
La fonction arctangente
I Définition
La fonction tangente est continue et strictement croissante sur − π2 , π2 , elle réalise donc une bijection
de cet intervalle sur son image R et on peut définir son application réciproque.
B.3.1 Définition
On appelle fonction arctangente, et on note
i π πh
Arctan : R → − , , x 7→ Arctan x ,
2 2
l’application réciproque de la restriction de la fonction tangente à l’intervalle
i
−
π πh
, .
2 2
B.3.2 Remarques
I Pour tout x ∈ R, Arctan x désigne donc la mesure d’angle comprise entre − π2 et π2 dont la tangente
vaut x.
I Pour tout x ∈ R, on a tan Arctan x = x.
I Pour tout θ ∈ − π2 , π2 , on a Arctan tan θ = θ.
Il faut prendre garde au fait que
Arctan tan θ est définie pour tout θ ∈ R mais ne vaut
l’expression
exactement θ que lorsque θ ∈ − π2 , π2 .
En effet, comme on l’a précisé ci-dessus, Arctan tan θ = θ désigne
d’angle entre − π2 et
π laπ mesure
π
θ0 ∈ − 2 , 2 tel qu’il existe k ∈ Z avec
2 dont la tangente vaut tan θ i.e. il s’agit de l’unique
réel
15π
π
θ = θ0 + 2kπ. Par exemple, on a Arctan tan 7
= 7.
I Étude des variations de la fonction arctangente
Les variations
la fonction arctangente sur R sont les mêmes que celles de la fonction tangente sur
de
π π
l’intervalle − 2 , 2 .
x
−∞
Arctan x
−
π
2
0
0
+∞
π
2
34
Chapitre II - Fonctions circulaires et applications réciproques
π
2
0
− π2
y = Arctan x
B.3.3 Proposition
La fonction arctangente est dérivable sur R et
pour tout x ∈ R , Arctan0 (x) =
1
.
1 + x2
Démonstration
Pour tout x ∈ R, on a
Arctan0 (x) =
1
1
1
=
.
=
tan0 (Arctan x)
1 + x2
1 + tan2 (Arctan x)
B.3.4 Remarque
Le graphe de la fonction arctangente ayant été obtenu par symétrie, on sait qu’il admet une tangente
de pente 1 pour x = 0.
On retrouve cela avec la dérivée de Arctan puisque Arctan0 (0) = 1.
B.4
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
Au vu de l’analogie entre les graphes des fonctions arcsinus et arccosinus, il est naturel de se demander
s’il n’existe pas un lien entre ces deux fonctions. Ce lien très simple est donné par le résultat suivant :
B.4.1 Proposition
Pour tout x ∈ [−1, 1], on a : Arcsin(x) + Arccos(x) =
π
.
2
Démonstration
On propose deux démonstrations.
I Pour tout x ∈ [−1, 1], on pose f (x) = Arcsin(x) + Arccos(x). Comme les fonctions arcsinus et
arccosinus sont toutes deux dérivables sur ] − 1, 1[, la fonction f est elle-aussi dérivable sur ] − 1, 1[
35
B - Fonctions réciproques des fonctions circulaires
et on a
f 0 (x) = Arcsin0 (x) + Arccos0 (x) = √
1
−1
+√
= 0.
1 − x2
1 − x2
Il s’ensuit que la fonction f est constante sur ] − 1, 1[. On a f (0) = Arcsin(0) + Arccos(0) = 0 + π2 =
donc f (x) = π2 pour tout x ∈] − 1, 1[.
π
2
Enfin, les fonctions arcsinus et arccosinus sont toutes deux continues à droite en −1 donc f est
aussi continue à droite en −1 i.e. f (−1) = lim f (x) = π2 . De même, les fonctions arcsinus et
x→−1+
arccosinus sont toutes deux continues à gauche en 1 donc f est aussi continue à gauche en 1 i.e.
f (1) = lim f (x) = π2 . On a donc bien f (x) = π2 pour tout x ∈ [−1, 1].
x→1−
I Soit x ∈ [−1, 1], on note α = Arcsin(x) et β = Arccos(x), alors
(
sin α = sin Arcsin(x) = x
cos β = cos Arccos(x) = x
On a donc sin α = cos β d’où (c’est une formule de trigonométrie classique) sin α = sin π2 − β .
La fonction arcsinus est à valeurs dans − π2 , π2 donc α
∈ − π2 , π2 . La fonction arccosinus est à
valeurs dans [0, π] donc β ∈ [0, π], d’où π2 − β ∈ − π2 , π2 .
Ainsi, on a sin α = sin π2 − β alors que α et π2 − β sont dans l’intervalle − π2 , π2 sur lequel la
fonction sinus est bijective. Par conséquent α = π2 − β i.e. α + β = π2 .
Voici une autre relation remarquable impliquant cette fois-ci la fonction arctangente.
B.4.2 Proposition
Arctan(x) + Arctan
1
x
=
 π


 2
si x > 0


− π
2
si x < 0
Démonstration
Pour tout x > 0, on pose f (x) = Arctan(x) + Arctan
intervalles ] − ∞, 0[ et ]0, +∞[ et on a
f 0 (x) = Arctan0 (x) + Arctan0
1
x
×
−
1
x
. La fonction f est dérivable sur chacun des
1
1
1
1
=
+
×
−
= 0.
x2
1 + x2 1 + x12
x2
Il s’ensuit que la fonction f est constante sur chacun des intervalles sur lesquels elle est définie i.e.
il existe une constante c telle que l’on ait f (x) = c pour tout x > 0 et il existe une constante d telle
que l’on ait f (x) = d pour tout x < 0.
On a f (1) = Arctan(1) + Arctan 11 = π4 + π4 = π2 donc f (x) = π2 pour tout x > 0.
1
D’autre part, on a f (−1) = Arctan(−1) + Arctan −1
= − π4 −
x < 0.
π
4
= − π2 donc f (x) = − π2 pour tout