Chapitre II Fonctions circulaires et applications r´eciproques

Chapitre II
Fonctions circulaires et applications
r´ eciproques
A Fonctions circulaires
A.1 Rappels de trigonom´ etrie
ILes fonctions sinus, cosinus et tangente
Les fonctions cosinus et sinus sont d´efinies sur R,
`a valeurs dans [−1,1], 2π-p´eriodiques et d´erivables
sur Ravec pour tout x∈R
cos0x=−sin xet sin0x= cos x.
Par ailleurs, la fonction cosinus est paire et la fonc-
tion sinus est impaire.
On appelle fonction tangente la fonction not´ee tan
d´efinie sur R\π
2+πZpar
tan x=sin x
cos x
Il s’agit d’une fonction impaire, π-p´eriodique, in-
finiment d´erivable sur R\π
2+πZet qui v´erifie
pour tout x∈i−π
2,π 2h
tan0(x) = 1
cos2x= 1 + tan2x.
x
cos x
sin x
tan x

28 Chapitre II - Fonctions circulaires et applications r ´
eciproques
IQuelques valeurs remarquables des fonctions sinus, cosinus et tangente
x0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
sin x01
2
√2
2
√3
21√3 2
√2
2
1
20
cos x1√3
2
√2
2
1
20−1 2−√2 2−√3 2−1
tan x01
√31√3−√3−1−1 √30
Beaucoup d’autres valeurs remarquables se retrouvent ais´ement `a partir de celles qui pr´ec`edent en
utilisant les relations entre sinus et cosinus.
A.2 Variations de la fonction sinus
Puisque la fonction sinus est 2π-p´eriodique et impaire, il suffit de connaˆıtre ses variations sur l’intervalle
[0, π] pour en d´eduire les variations sur R.
x0π
2π
sin0x= cos x1 + 0 − −1
sin x1
0 0
0π
2
π3π
2
2π
−π
2
−π
−3π
2
−2π
−1
1
||
| | | |||||
y= sin x
A.3 Variations de la fonction cosinus
La fonction cosinus est 2π-p´eriodique et paire, il suffit donc de connaˆıtre ses variations sur l’intervalle
[0, π] pour en d´eduire les variations sur R.
x0π
2π
cos0x=−sin x0− −1−0
cos x
1
−1
0

A- Fonctions circulaires 29
0π
2
π3π
2
2π
−π
2
−π
−3π
2
−2π
−1
1
||
| | | |||||
y= cos x
A.4 Variations de la fonction tangente
La fonction tangente est π-p´eriodique et impaire donc il suffit donc de connaˆıtre ses variations sur
l’intervalle 0,π
2. Pour tout x∈0,π 2, on a tan0x= 1 + tan2x > 0 donc la fonction tangente est
strictement croissante sur l’intervalle 0,π
2. Il faut prendre garde au fait que la fonction tangente n’est
pas globalement croissante puisqu’il s’agit d’une fonction p´eriodique !
x0π
2
tan0x= 1 + tan2x1 +
tan x+∞
0
|
| | | ||||
0π
4
π
2
π3π
2
−π
2
−π
−3π
2
1
y= tan x

30 Chapitre II - Fonctions circulaires et applications r ´
eciproques
B Fonctions r´ eciproques des fonctions circulaires
B.1 La fonction arcsinus
ID´efinition
La fonction sinus est continue sur Ret strictement croissante sur l’intervalle −π
2,π 2, elle r´ealise donc
une bijection de cet intervalle sur son image [−1,1] et on peut d´efinir son application r´eciproque.
B.1.1 D´efinition
On appelle fonction arcsinus, et on note
Arcsin : [−1,1] →h−π
2,π 2i, x 7→ Arcsin x ,
l’application r´eciproque de la restriction de la fonction sinus `a l’intervalle h−π
2,π 2i.
B.1.2 Remarques
IPour tout x∈[−1,1], Arcsin xest la mesure d’angle comprise entre −π
2et π 2dont le sinus vaut x.
IPour tout x∈[−1,1], on a sin Arcsin x=x.
IPour tout θ∈−π
2,π 2, on a Arcsin sin θ=θ.
Il faut prendre garde au fait que l’expression Arcsin sin θest d´efinie pour tout θ∈Rmais ne vaut
exactement θque lorsque θ∈−π
2,π 2.
En effet, comme on l’a pr´ecis´e ci-dessus, Arcsin sin θd´esigne la mesure d’angle entre −π
2et π 2dont
le sinus vaut sin θi.e. il s’agit de l’unique r´eel θ0∈−π
2,π 2tel qu’il existe k∈Zavec θ=θ0+ 2kπ.
Par exemple, on a Arcsin sin 17π
8=π 8.
I´ Etude des variations de la fonction arcsinus
Les variations de la fonction arcsinus sur l’intervalle [−1,1] sont les mˆemes que celles de la fonction
sinus sur l’intervalle h−π
2,π 2i.
x−1 0 1
Arcsin x
π
2
−
π
2
0
0 1
−1
π
2
−π
2
y= Arcsin x

B- Fonctions r ´ eciproques des fonctions circulaires 31
B.1.3 Proposition
La fonction arcsinus est d´erivable sur ] −1,1[ et
pour tout x∈]−1,1[ ,Arcsin0(x) = 1
√1−x2.
D´emonstration
En effet, pour tout x∈]−1,1[, on a
Arcsin0(x) = 1
sin0(Arcsin x)=1 cos(Arcsin x).
Mais Arcsin x∈−π
2,π 2et la fonction cosinus est positive sur cet intervalle donc cos(Arcsin x)>0.
Par cons´equent, on peut ´ecrire
Arcsin0(x) = 1
pcos2(Arcsin x)=1 p1−sin2(Arcsin x)
et la conclusion vient du fait que sin(Arcsin x) = x.
B.1.4 Remarque
Le graphe de la fonction arcsinus ayant ´et´e obtenu par sym´etrie, on sait qu’il admet des tangentes
verticales pour x=−1etx= 1 ainsi qu’une tangente de pente 1 pour x= 0.
On retrouve cela avec la d´eriv´ee de Arcsin puisque
Arcsin0(0) = 1 ,lim
x→−1+
1
√1−x2= +∞et lim
x→1−
1
√1−x2= +∞.
B.2 La fonction arccosinus
ID´efinition
La fonction cosinus est continue sur Ret strictement d´ecroissante sur l’intervalle [0, π], elle r´ealise donc
une bijection de cet intervalle sur son image [−1,1] et on peut d´efinir son application r´eciproque.
B.2.1 D´efinition
On appelle fonction arccosinus, et on note
Arccos : [−1,1] →[0, π], x 7→ Arccos x ,
l’application r´eciproque de la restriction de la fonction cosinus `a l’intervalle [0, π].
B.2.2 Remarques
IPour tout x∈[−1,1], Arccos xest la mesure d’angle comprise entre 0 et πdont le cosinus vaut x.
IPour tout x∈[−1,1], on a cos Arccos x=x.