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Cours Terminale STI @ E. Poulin Page 1
1.1. Un peu d’histoire !
(lecture p 11)
Son utilisation provient des équations du 3 et 4
ème
degré pour permettre leur résolution. Au
XVI
ème
siècle, Bombelli les appelle impossible. En 1637, Descartes les appelle imaginaire. C’est
avec Euler , en1777, que pour la première fois, les imaginaires restent dans le calcul.
1.2. L’ensemble des nombres complexes
Nous admettons ici l’existence d’un nouvel ensemble noté C , de nombres appelés
nombres complexes.
Définition : Les nombres complexes sont de la forme
a
bi
+
où a et b sont des
nombres réels quelconques et i un nombre nouveau tel que
i
2
1
=
−
Egalité :
a
bi
a
b
i
+
=
′
+
′
ssi
a
a
=
′
et
b
b
=
′
1.3. Opérations sur les nombres complexes
Théorème : (admis)
On peut définir dans C
CC
C une addition et une multiplication pour lesquelles les règles de
calcul sont les mêmes que dans R
RR
R , avec
i
2
1
=
−
Addition : Multiplication :
z = a + ib et z = a’+ib’ z = a + ib et z = a’+ib’
z+z’ = (a + a’) + i(b+b’) zz’ = (aa’ – bb’) + i(ab’+a’b)
L’ensemble R des nombres réels est un sous-ensemble de l'ensemble C des nombres complexes.
Définitions
Soit z = a + bi un nombre complexe.
a est la partie réelle de z. Notation: a = Re(z).
b est la partie imaginaire de z. Notation: b = lm(z).
a·+ bi est la forme algébrique du nombre complexe z.
Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle s'écrit z = bi; il est dit imaginaire pur.
Les identités remarquables suivantes restent vraies dans le cas où A et B sont des nombres complexes:
(A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
(A - B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
A
2
- B
2
= (A + B)(A - B).
Notons ce nouveau résultat dans C : A
2
+ B
2
= (A + i B)(A - i B).
1
1. . N No om mb br re es s c co om mp pl le ex xe es s
iz 32
+
=
iz 3
=
4
=
z
sont des complexes

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1.4. Conjugué d’un nombre complexe
Définition
Le nombre complexe conjugué de z = a+ bi est le nombre complexe noté a- bi
noté
z
.
Exemple
Le conjugué de z = 3 + 2i est
z
= 3 – 2i
Remarque
Soit z = a + bi. En utilisant les règles de calcul dans C, on obtient :
z
z
a
+
=
2
et
z
z
a
b
=
+
2 2
La somme et le produit d'un nombre complexe et de son conjugué sont des
nombres réels.
L’inverse d'un nombre complexe z non nul noté
1
z
peut être mis sous la forme
bia
+
en utilisant le conjugué
z
de
z
.
Exercice : Mettre sous la forme le nombre complexe
i
z
3
2
1
1
+
=, puis
i
i
z
3
2
41
2
+
−
=
Pour tous nombres complexes z, z', on a :
z
z
z
z
+
′
=
+
′
z
z
z
z
′
=
⋅
′
1 1
z z
=
z
zz z
′
=′
1.5. Représentation géométrique d’un nombre complexe
1. Image et affixe
On considère le plan P muni du repère orthonormal
(
)
O u v, ,
r
r
Définitions
L’image d’un nombre complexe z = a + bi est le point M de coordonnées (a, b).
L’affixe du point M de coordonnées (a, b) est le nombre complexe z = a + bi.
On peut aussi représenter géométriquement un nombre complexe par un vecteur.
Définitions
Le vecteur image du nombre complexe z = a + bi est le vecteur
OM
a
u
b
v
→
=
+
r r
L'affixe du vecteur
OM
a
u
b
v
→
=
+
r r
est le nombre complexe z = a + bi.
z
z

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2. Opérations
Addition
Si z
1
= a
1
+ b
1
i et z
2
= a
2
+ b
2
i sont les affixes respectives de M
1
et de M
2
donc de
OM V
→
=
→
11
et de
OM V
→
=
→
22, alors z
1
+ z
2
est l'affixe de
V V
1 2
→
+
→
Exemple
La somme de z
1
= 3 + 2i et z
2
= -1 - 4i est z
1
+ z
2
= 2 – 2i.
Multiplication par un nombre réel
Si z
1
= a
1
+ b
1
i est l’affixe de M
1
donc de
OM V
→
=
→
11
, et si
α
est un nombre réel,
alors
α
z
1
est l'affixe de
α V
1
→
Exemple
Pour z = 3 + 2i et
α
=2 on a
α
z = 6 + 4i
Si z
1
= a
1
+ b
1
i et z
2
= a
2
+ b
2
i sont les affixes respectives de M
1
et de M
2
donc de
OM V
→
=
→
11
et de
OM V
→
=
→
22, et
α
et
β
deux réels, alors
21
zz βα + est l'affixe de
→
+
→
21
VV βα
Conséquence: ( 1
−
=
α
; 1
=
β
)
z
2
-z
1
est l’affixe de
V V M M
2 1 1 2
→
−
→
=
→
3. Interprétation géométrique de
0
zzz + a
Exemple :
Soit une application de C dans C définie par :
(
)
izzfzf ++= 2: a
Calculons
(
)
0f ;
(
)
if 2 ;
(
)
if −1 .
Nombre complexe 0
(
)
0f 2
i
(
)
if 2 1-
i
(
)
if −1
image O O’ A A’ B B’
On remarque que : ''' BBAAOO == .
Dans le cas général, Si M’ d’affixe z’est l’image de M d’affixe z par l’application f , on a :
izz
+
+
=
2' donc izz
+
=
−
2' et
z
z
−
'
est l’affixe de
'
MM
Donc vuMM
r
r
+= 2' qui est un vecteur indépendant de M et de M’
M’ est donc la transformée du point M par la translation de vecteur vu
r
r
+
2
Cas général :
Soit f l’application
(
)
0
zzzfz += a où
0
z est un nombre complexe fixé.
Soit M l’image de z et m’ l’image de
(
)
zf dans le plan complexe.
L’application ' MM a ainsi définie est la translation de vecteur w
r
où w
r
est
l’image de
0
z .

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1.6. Forme trigonométrique. Représentation géométrique
1. Module d’un nombre complexe
1.1. Définition. Interprétation géométrique
Dans le plan complexe, soit M l'image de z = a + bi.
En utilisant te théorème de Pythagore dans un des deux triangles rectangles dessinés, on obtient:
OM
2
= a
2
+ b
2
, donc OM a b= +
2 2
.
Définition
Le module d'un nombre complexe z = a + bi est le nombre réel
a b
2 2
+
Notations
Le module d'un nombre complexe z est noté z ; pour alléger les écritures on utilise aussi les lettres r et
ρ
(
ρ
est la lettre grecque rhô).
Remarques
• Pour tout nombre complexe z, on a z≥0 .
• O est le seul nombre complexe dont le module est 0.
• Pour tout nombre complexe z, on a
z
z
a
b
=
+
2 2
.
Donc pour tout nombre complexe z, z zz=
• Pour tout nombre complexe z, on a z z= .
Interprétation géométrique
Le module de z est la distance de O à M ;c'est aussi la norme du vecteur
OM
→
:
z OM OM= =
→
1.2. Module d'une différence, distance de deux points
Propriété :
Soit z
1
et z
2
des nombres complexes d'images respectives M
1
et M
2
. Alors z z M M
2 1 1 2
− =
1.3. Module d'une somme: inégalité triangulaire
Propriété :
Pour tout nombre complexe z
1
et z
2
, z z z z
1 2 1 2
+ ≤ +
2. Argument d’un nombre complexe non nul
2.1. Définition. Interprétation graphique
Dans le plan complexe, soit M l'image d'un nombre complexe non nul z = a + bi, le repère
(
)
O u v, ,
r
r
étant orienté
dans le sens direct.
a
b

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Nous savons que M est caractérisé par la distance OM z= et une mesure
θ
de l'angle orienté
r
u OM ,
→
ou de
l'angle orienté
r
u ON ,
→
, N étant le point commun à la demi-droite [OM) et au cercle trigonométrique.
Or, par définition des fonctions sinus et cosinus :
x
N
=
cos
θ
et y
N
=
sin
θ
Comme
OM
OM
ON
→
=
⋅
→
puisque
ON
→
est unitaire, on a :
a a b= +
2 2
cos θ et b a b= +
2 2
sin θ
On en déduit cos
θ
et sin
θ
en fonction de a et de b.
Définition
Un argument d'un nombre complexe non nul z = a + bi est un nombre réel
θ
tel que
cos
θ =+
a
a b
2 2 et sin
θ =+
b
a b
2 2
Interprétation géométrique
Un argument de z (non nul) est une mesure de l'angle orienté
r
u OM,
→
. Il est donc défini à un nombre entier de
tours près (sur le cercle trigonométrique), c'est-à-dire à k2
π
près, où k est un nombre entier relatif (
k
∈
Z ), car un
tour dans le sens positif mesure 2
π
radians.
Un argument de z est noté arg z, ou plus simplement
θ
.
Le module et l’argument d’un nombre complexe z permettent de définir les
coordonnées polaire du point d’affixe z. On notera ces coordonnées
[
]
θ
;A
Module Argument principal
Remarques
• Rappelons les valeurs remarquables de sin et cos
θ
0
π
6
π
4
π
3
π
2
sin x 0 1
2
2
2
3
2
1
cos x 1 3
2
2
2
1
2
0
• z z M M
2 1 1 2
− = ;
(
)
arg z z
2 1
− est une mesure de l’angle orienté
r
u M M,
1 2
→
• arg z z
z z
3 1
2 1
−
−
est une mesure de l’angle orienté
M M M M
1 2 1 3
→
→
,
où M
1
, M
2
, M
3
sont les images respectives
de z
1
, z
2
, z
3
.
Ces résultats sont utilisés en sciences physiques.
2.2. Forme trigonométrique
Un nombre complexe z = a + bi peut donc être défini par son module et s’il n’est pas nul, par
son argument
θ
N
M(z)
O A