Fonction

Fonctions usuelles
Pré-requis :
– définition du nombre dérivé d’une fonction (voir 8.1)
– savoir calculer une dérivée (voir 9)
– lien entre le signe de f 0 ( x) et les variations de f (voir théorème 8)
– savoir calculer des primitives simples
(polynômes, racines, exponentielles. . . )
– trigonométrie (voir 10)
Objectifs :
– fonctions injectives, surjectives et bijection (à travers des exemples simples et fct circulaires, hyperboliques)
– «maîtriser» la définition de la continuité d’une fonction (à l’aide de suites)
– connaître les fonctions réciproques usuelles qui serviront pour le calcul de primitives.
Vous connaissez déjà des fonctions classiques : exp, ln, cos, sin, tan. Dans ce chapitre il s’agit d’ajouter à notre
catalogue de nouvelles fonctions : cosh, sinh, tanh, arccos, arcsin, arctan, Argch, Argsh, Argth.
Ces fonctions apparaissent naturellement dans la résolution de problèmes simples, en particulier issus de la
physique. Par exemple lorsqu’un fil est suspendu entre deux poteaux (ou un collier tenu entre deux mains) alors la
courbe dessinée est une chaînette dont l’équation fait intervenir le cosinus hyperbolique et un paramètre a (qui
dépend de la longueur du fil et de l’écartement des poteaux) :
³x´
y = a cosh
a
1. Compléments sur les Fonctions
• Une fonction f : D f → R, c’est la donnée pour chaque élément x ∈ D f d’un unique élément de R noté f ( x).
Exemple 1
– Si f est la fonction racine carrée, alors D f = R+ .
– Si g est la fonction logarithme népérien, alors D g = R+∗ .
– Si h est la fonction cosinus, alors D h = R.
Sur l’illustration ci-dessous, l’ensemble de départ (ou source) et celui d’arrivée (ou but) sont schématisés par
un ovale ses éléments par des points. L’association x 7→ f ( x) est représentée par une flèche.
f
x
f ( x)
R
Df
Une autre représentation, plus communément utilisée, est celle vue au lycée. L’ensemble de départ R est
représenté par l’axe des abscisses et celui d’arrivée par l’axe des ordonnées. Pour un x fixé, l’association
1
2
x 7→ f ( x) est représentée par le point ( x, f ( x)). Le processus ainsi répété pour chaque x de l’ensemble de
définition de f construit la courbe représentative C f de f .
y
f ( x)
x
x
• Égalité. Deux fonctions f , g sont égales si et seulement si elles ont le même ensemble de définition E et si
pour tout x ∈ E , f ( x) = g( x). On note alors f = g.
• Le graphe 1 de f : D f → R est
n¡
o
¢
C f = x, f ( x) ∈ R2 | x ∈ D f
y
Cf
x
• Soient f : E → F et g : F → G avec E, F,G des sous-ensemble de R, alors la composée de f par g que l’on note
¡
¢
g ◦ f : E → G est la fonction définie par g ◦ f ( x) = g f ( x) .
g
f
E −−−−→ F −−−−→ G
g◦ f
• Enfin, rappelons un théorème donnant la dérivée d’une fonction composée :
Si g est une fonction dérivable sur un intervalle J
et si u est une fonction dérivable sur un intervalle I tel que, pour tout x de I , u( x) appartient à J .
Alors dans ces conditions la fonction f = g ◦ u définie par f ( x) = g[ u( x)] est dérivable sur I et :
f 0 = u0 × g0 ◦ u
autrement dit :
∀ x ∈ I, f 0 ( x) = u0 ( x) × g0 [ u( x)]
Exercice 1
La fonction f définie sur R par f ( x) =
p
x2 + 3 est une fonction composée de la forme g ◦ u.
1. Identifiez g et u.
2. En utilisant la formule f 0 ( x) = u0 ( x) × g0 [ u( x)], calculez f 0 .
3. En utilisant le même raisonnement que précédemment, calculez les dérivées de f 1 ( x) = exp( x3 + 1) et
de f 2 ( x) = cos( x2 + x).
Exercice 2
1. Soient f et g les fonctions définies sur R par f ( x) = sin x et g( x) = x2 . Déterminez f ◦ g et g ◦ f .
¡ x¢
2 x −1
2. Soient f : R →] − 1, 1[ définie par f ( x) = ee2x +
, et g :] − 1, 1[→ R définie par g( x) = 12 ln 11+
− x . Calculez f ◦ g
1
et g ◦ f . Que peut-on en déduire ?
3. Quel est l’ensemble de définition maximal de ln(ln( x)) ? Même question pour ln(ln(ln( x))) ?
1. ou courbe représentative
3
1.1. Antécédents
Dans ce qui suit, f est toujours une fonction définie sur D f à valeurs réelles. ( f : D f → R). Soit y ∈ R. Tout élément
x ∈ D f tel que f ( x) = y est un antécédent de y.
Un réel y peut ainsi avoir 0, 1, ou plusieurs antécédents. Cet ensemble soit vide ou contenant un ou plusieurs
éléments est noté f −1 ({ y}).
Sur les dessins suivants, l’élément y admet 3 antécédents par f . Ce sont x1 , x2 , x3 .
f
y
E
F
x3
x1
x2
y
y
x
x1
x2
x3
Définition 1
Soit f : E → F .
• Si A ⊂ E alors f ( A ) = { f ( x) | x ∈ A } est l’ensemble image de A par f .
• Si B ⊂ F alors f (B) = { x ∈ E | f ( x) ∈ B} est l’image réciproque de l’ensemble B par f .
Exercice 3
1. f est la fonction valeur absolue définie sur R.
(a) Déterminez f −1 ([2, 3]) et f ([−1, 3]).
(b) Déterminez f ( f −1 ([0, 1])) et f −1 ( f ([0, 1])).
2. f est à présent la fonction sinus définie sur R.
(a) Déterminez f −1 (1/2) et f ([2π, 5π/4]). (On aurait dû écrire f −1 ({1/2}). Savez-vous pourquoi ?)
Exercice 4
1. f et g sont deux fonctions définies sur un ensemble E , rappelez la définition de f = g puis donnez la
négation de f = g ?
2. Représentez le graphe de f : N → R définie par n 7→
4
n+1 .
3. Soient f , g, h : R → R définies par f ( x) = x2 , g( x) = 2 x + 1, h( x) = x3 − 1.
(a) Calculez f ◦ g puis g ◦ f . A-t-on f ◦ g = g ◦ f ?
(b) Calculez f ◦ ( g ◦ h) puis ( f ◦ g) ◦ h. A-t-on f ◦ ( g ◦ h) = ( f ◦ g) ◦ h ?
(c) Complétez la phrase suivante :
«La composition est une opération qui n’est pas
mais qui est
.»
4. Pour la fonction f : R → R définie par x 7→ x2 représentez et calculez les ensembles suivants : f ([0, 1[),
f (R), f (] − 1, 2[), f −1 ({9}), f −1 ({0}), f −1 ({5}), f −1 ({−4}), f −1 ([1, 2[), f −1 ([−1, 1]).
1.2. Injection, surjection
Soit E, F deux ensembles et f : E → F une fonction.
Définition 2
f est injective si tout élément y de F a au plus 1 antécédent (et éventuellement aucun).
4
Définition 3
f est surjective si tout élément y de F a au moins 1 antécédent.
Une autre formulation : f est surjective si et seulement si f (E ) = F .
Les fonctions f représentées sont injectives :
y
f
)
E
F
F
x
E
Les fonctions f représentées sont surjectives :
f
y
E
F
F
x
E
Remarque
Une autre façon de formuler l’injectivité et la surjectivité est d’utiliser les quantificateurs :
• f est injective si et seulement si pour tout x, x0 ∈ E avec f ( x) = f ( x0 ) alors x = x0 . Autrement dit :
¡
¢
∀ x, x0 ∈ E
f ( x) = f ( x0 ) =⇒ x = x0
• f est surjective si et seulement si pour tout y ∈ F , il existe x ∈ E tel que y = f ( x). Autrement dit :
¡
¢
∀ y ∈ F ∃x ∈ E
y = f ( x)
Ou, plus simplement, les équations
• f est injective si et seulement si pour tout élément y de F , l’équation f ( x) = y a au plus 1 solution (et
éventuellement aucune).
• f est surjective si et seulement si pour tout élément y de F , l’équation f ( x) = y a au moins 1 solution.
Remarque
Voici deux fonctions non injectives :
f
y
E
F
x
x0
y
y
x
x
Ainsi que deux fonctions non surjectives :
x0
5
y
f
F
)
y
E
F
x
E
Exemple 2
1. Soit f 1 :]0; +∞[→ R+∗ définie par f 1 ( x) = 1+1 x . Montrons que f 1 est injective : soit x, x0 ∈]0; +∞[ tels que
f 1 ( x) = f 1 ( x0 ). Alors 1+1 x = 1+1x0 , donc 1 + x = 1 + x0 et donc x = x0 . Ainsi f 1 est injective.
Par contre f 1 n’est pas surjective. Il s’agit de trouver un élément y qui n’a pas d’antécédent par f 1 . Ici
il est facile de voir que l’on a toujours f 1 ( x) É 1 et donc par exemple y = 2 n’a pas d’antécédent. Ainsi f 1
n’est pas surjective.
2. Soit f 2 : R → R définie par f 2 ( x) = x2 . Alors f 2 n’est pas injective. En effet on peut trouver deux éléments
x, x0 ∈ R différents tels que f 2 ( x) = f 2 ( x0 ). Il suffit de prendre par exemple x = 2, x0 = −2.
f 2 n’est pas non plus surjective, car −1 n’a aucun antécédent.
3. Soit f 3 : R → R+ définie par f 3 ( x) = x2 est en revanche surjective mais non injective.
4. Soit f 4 : R+ → R+ est elle surjective et injective. On dira juste après qu’elle est bijective.
1.3. Bijection
Définition 4
f est bijective si elle injective et surjective. Cela équivaut à : pour tout y ∈ F il existe un unique x ∈ E tel
que y = f ( x). Autrement dit :
∀y ∈ F
∃! x ∈ E
¡
¢
y = f ( x)
L’existence du x vient de la surjectivité et l’unicité de l’injectivité. Autrement dit, tout élément de F a un unique
antécédent par f .
Remarque 1
Ainsi pour démontrer qu’une fonction est bijective, on peut démontrer que pour tout y ∈ F , l’équation y = f ( x)
a une solution unique dans E : y est donnée et x est l’inconnue.
y
f
E
F
F
x
E
Proposition 1
Soit E, F des ensembles et f : E → F une fonction.
1. La fonction f est bijective si et seulement si il existe une fonction g : F → E telle que pour tout x ∈ F ,
( f ◦ g)( x) = x et pour tout x ∈ E , ( g ◦ f )( x) = x.
2. Si f est bijective alors la fonction g est unique et elle aussi est bijective. La fonction g s’appelle la
¡
¢−1
bijection réciproque de f et est notée f −1 . De plus f −1
= f.
6
Remarque
• La fonction réciproque est celle qui donne la solution x = f −1 ( y) à l’équation y = f ( x), où y est donnée
et x l’inconnue.
• Par exemple f : R+ → R+ définie par f ( x) = x2 est bijective, sa bijection réciproque est g : R+ → R+ définie
p
p
p
par g( y) = y. Nous avons bien ∀ x Ê 0, ( x)2 = x et ∀ x Ê 0, x2 = x.
• Par exemple f : R →]0, +∞[ définie par f ( x) = exp( x) est bijective, sa bijection réciproque est g :]0, +∞[→
¡
¡
¢
¢
R définie par g( y) = ln( y). Nous avons bien exp ln( y) = y, pour tout y ∈]0, +∞[ et ln exp( x) = x, pour
tout x ∈ R.
• On peut aussi démontrer que dans un repère orthonormé les graphes des fonctions f et f −1 sont
symétriques par rapport à la première bissectrice (droite d’équation y = x).
f = exp
y
y=x
f −1 = ln
x
Démonstration
1. • Sens ⇒. Supposons f bijective. Nous allons construire une fonction g : F → E. Comme f est surjective alors
¡
¢
pour chaque y ∈ F, il existe un x ∈ E tel que y = f (x) et on pose g(y) = x. On a f g(y) = f (x) = y, ceci pour
tout y ∈ F et donc f ◦ g = idF . On compose à droite avec f donc f ◦ g ◦ f = idF ◦ f . Alors pour tout x ∈ E on a
¡
¢
f g ◦ f (x) = f (x) or f est injective et donc g ◦ f (x) = x. Ainsi g ◦ f = idE . Bilan : f ◦ g = idF et g ◦ f = idE .
• Sens ⇐. Supposons que g existe et montrons que f est bijective.
¡
¢
– f est surjective : en effet soit y ∈ F alors on note x = g(y) ∈ E ; on a bien : f (x) = f g(y) = f ◦ g(y) =
idF (y) = y, donc f est bien surjective.
– f est injective : soient x, x0 ∈ E tels que f (x) = f (x0 ). On compose par g (à gauche) alors g ◦ f (x) = g ◦ f (x0 )
donc idE (x) = idE (x0 ) donc x = x0 ; f est bien injective.
2. • Si f est bijective alors g est aussi bijective car g ◦ f = idE et f ◦ g = idF et on applique ce que l’on vient de
démontrer avec g à la place de f . Ainsi g−1 = f .
• Si f est bijective, g est unique : en effet soit h : F → E une autre application telle que h ◦ f = idE et f ◦ h = idF
¡
¢
¡
¢
; en particulier f ◦ h = idF = f ◦ g, donc pour tout y ∈ F, f h(y) = f g(y) or f est injective alors h(y) = g(y),
ceci pour tout y ∈ F ; d’où h = g.
Exercice 5
1. E = F = R+∗ , vérifier que f ( x) = 1/ x définit une bijection de E sur E . Déterminez f −1 .
2. Déterminez E et F pour que f ( x) =
3. Déterminez E et F pour que f ( x) =
1
−1
.
1+ x soit une bijection de E sur F . Déterminez f
1
−1
soit une bijection de E sur F . Déterminez f .
1+ x2
2
−1
4. Déterminez E et F pour que f ( x) = x + 2 soit une bijection de E sur F . Déterminez f
2
5. Déterminez E et F pour que f ( x) = | x − 1| soit une bijection de E sur F . Déterminez f
.
−1
.
3
6. La fonction x 7→ x définie-t-elle une bijection de R sur R ?
7. La fonction x 7→ x3 − x est-elle surjective de R sur R ? Est-elle injective de R sur R ? Est-elle bijective de
R sur R ?
7
Exercice 6
1. Les fonctions suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?
• f 1 : N → N, x 7→ x2 .
• f 2 : Z → Z, x 7→ x − 7.
• f 3 : R → [0, +∞[, x 7→ | x|.
2. Montrez que la fonction f 4 : ]1, +∞[→]0, +∞[ définie par f 4 ( x) =
réciproque.
1
x−1
est bijective. Calculez sa bijection
2. Continuité
2.1. Intro : Problèmes d’approximation...
Exemple 3
On veut calculer sin(0.1) avec une précision donnée. On peut démontrer (voir 29) successivement que, pour
x > 0, on a
0 É sin( x) É x
3
3
5
7
3
5
x
x − x6 É sin( x) É x − x6 + 120
3
5
7
9
x
x
x − x6 + 120
− x7! É sin( x) É x − x6 + 120
− x7! + x9! .
En utilisant ce type de développement, on pourra calculer sin(0.1) avec une précision souhaitée.
Exemple 4
Nous disposons d’une machine capable de calculer sin( x) avec une précision quelconque lorsque x est un
p
nombre décimal. Peut-on calculer sin( 2) avec une précision quelconque ? Soit ε > 0 la précision souhaitée.
p
p
Nous devons choisir x décimal, tel que −ε < sin( x) − sin( 2) < ε, i.e. tel que | sin( x) − sin( 2)| < ε. Cela va être
p
p
possible si x est assez proche de 2, i.e. si | x − 2| est suffisamment petit.
p
p
En d’autres termes, pour ε > 0 donné, existe-t-il δ > 0 tel que, si | x − 2| < δ alors | sin( x) − sin( 2)| < ε ?
On peut traduire cette relation entre ε et δ en écrivant
³ip
h´
p
p
p
sin
2 − δ, 2 + δ ⊂ ] sin 2 − ε, sin 2 + ε[.
2.2. Continuité en un point
Si f : I → R est définie sur l’intervalle I =]a, b[, et si x0 ∈ I , nous dirons que f ( x) tend vers ` quand x tend vers
x0 lorsque f ( x) est arbitrairement proche de `, quand x est arbitrairement proche de x0 . Il faut donner un sens
mathématique précis à l’expression "arbitrairement proche de".
Définition 5. Limite d’une fonction en un point
Soient I un intervalle ouvert, f : I → R, et x0 ∈ I . On dit que ` est la limite de f quand x tend vers x0 et x 6= x0 ,
lorsque :
Pour tout intervalle du type ]` − ε, ` + ε[ (de l’ensemble d’arrivée), avec ε > 0 aussi petit que l’on veut,
il existe un intervalle ] x0 − δ, x0 + δ[⊂ I (de l’ensemble de départ) tel que :
f (] x0 − δ, x0 [∪] x0 , x0 + δ[) ⊂]` − ε, ` + ε[
En d’autres termes, f ( x) est égal à ` à ’ε près’ lorsque x 6= x0 et x égal à x0 "à δ près".
Dans ce cas, on écrit
lim
x→ x0 , x6= x0
f ( x) = `
8
Exercice 7
sin x
?
x →0 x
sin(2 x)
2. Calculez si elle existe lim
?
x →0
x
ln( x + 1)
3. Calculez si elle existe lim
?
x →0
x
x
e −1
4. Calculez si elle existe lim
?
x →0
x
sin( x2 )
?
5. Calculez si elle existe lim
x →0
x
sin2 ( x)
6. Calculez si elle existe lim
?
x →0
x3
Indication : revoir la définition du nombre dérivé 8.1 pour calculer certaine de ces limites.
1. Calculez si elle existe lim
Définition 6. Continuité d’une fonction en un point
Soient I un intervalle ouvert, f : I → R, et x0 ∈ I . On dit que f est continue en x0 si
lim
x→ x0 , x6= x0
f ( x ) = f ( x0 )
Voici des fonctions qui ne sont pas continues en x0 :
y
y
x0
x
y
x0
x
x0
x
Voici une fonction continue en x0 :
y
f ( x0 )
x0
x
Ceux qui souhaitent voir comment on peut démontrer qu’une fonction est continue en un point sont invités à
consulter les exemples présents en 12.
On retiendra qu’une fonction f peut ne pas être continue en un point x0 pour les raisons suivantes
• f admet une limite à droite et à gauche de f , mais les deux limites sont différentes.
• f admet une limite finie d’un côté et infinie de l’autre.
• Les limites à droite et à gauche sont infinies.
µ ¶
1
• La limite (à droite ou à gauche) n’existe pas car la fonction est trop oscillante. Par exemple x 7→ sin
pour
x
x 6= 0.
9
2.3. Continuité sur un intervalle
Définition 7. Continuité d’une fonction sur un intervalle
Soient I un intervalle ouvert, f : I → R. Si f est continue en tout point x ∈ I , on dit que f est continue dans I .
Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle, si on peut tracer son graphe «sans lever le crayon»,
c’est-à-dire si elle n’a pas de saut.
Exemple 5
Les fonctions suivantes sont continues :
• une fonction constante sur un intervalle,
p
• la fonction racine carrée x 7→ x sur [0, +∞[,
• les fonctions sin et cos sur R,
• la fonction valeur absolue x 7→ | x| sur R,
• la fonction exp sur R,
• la fonction ln sur ]0, +∞[.
Par contre, la fonction partie entière a E n’est pas continue aux points a ∈ Z.
a. Si vous ne connaissez pas cette fonction, je vous invite à consulter http://www.geogebratube.org/student/m215353
Des propriétés sur les limites, on déduit :
Proposition 2
Soient f , g : I → R deux fonctions continues en un point x0 ∈ I . Alors
• λ · f est continue en x0 (pour tout λ ∈ R),
• f + g est continue en x0 ,
• f × g est continue en x0 ,
• si f ( x0 ) 6= 0, alors 1f est continue en x0 .
Exemple 6
La proposition précédente permet de vérifier que d’autres fonctions usuelles sont continues :
• les fonctions puissance x 7→ x n sur R (comme produit x × x × · · · ),
• les polynômes sur R (somme et produit de fonctions puissance et de fonctions constantes),
P ( x)
• les fractions rationnelles x 7→ Q
( x) sur tout intervalle où le polynôme Q ( x) ne s’annule pas.
La composition conserve la continuité. Un théorème à ce propos sera énoncé au second semestre.
Théorème 1. Théorème des valeurs intermédiaires
Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur un intervalle. Pour tout réel y compris entre f (a) et f ( b), il existe
c ∈ [a, b] tel que f ( c) = y.
y
f ( b)
y
f ( b)
y
y
f ( a)
f ( a)
a
c1
c2
c3
b
x
a
b
x
10
Démonstration
On vous invite à consulter cette preuve donnée en annexe 11.
Applications du théorème des valeurs intermédiaires
Voici la version la plus utilisée du théorème des valeurs intermédiaires.
Corollaire 1
Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur un segment. Si f (a) · f ( b) < 0, alors il existe c ∈]a, b[ tel que
f ( c) = 0.
y
f ( b) > 0
a
c
b
x
f ( a) < 0
Démonstration
Il s’agit d’une application directe du théorème des valeurs intermédiaires avec y = 0. L’hypothèse f (a) · f (b) < 0
signifiant que f (a) et f (b) sont de signes contraires.
Exemple 7
Tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle.
y
x 7→ P ( x)
x
En effet, un tel polynôme s’écrit P ( x) = a n x n + · · · + a 1 x + a 0 avec n un entier impair. On peut supposer que le
coefficient a n est strictement positif. Alors on a lim P = −∞ et lim P = +∞. En particulier, il existe deux
x→−∞
x→+∞
réels a et b tels que f (a) < 0 et f ( b) > 0 et on conclut grâce au corollaire précédent.
11
Corollaire 2
Soit f : I → R une fonction continue sur un intervalle I . Alors f ( I ) est un intervalle.
Attention ! Il serait faux de croire que l’image par une fonction f de l’intervalle [a, b] soit l’intervalle [ f (a), f ( b)].
y
f ( b)
f ([a, b])
f ( a)
a
x
b
Démonstration
Avant de démontrer ce corollaire, rappelons qu’un ensemble E est un intervalle si et seulement si
∀a, b ∈ E, a É c É b ⇒ c ∈ E
Soient y1 , y2 ∈ f (I), y1 É y2 . Montrons que si y ∈ [y1 , y2 ], alors y ∈ f (I). Par hypothèse, il existe x1 , x2 ∈ I tels que
y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ) et donc y est compris entre f (x1 ) et f (x2 ). D’après le théorème des valeurs intermédiaires,
comme f est continue, il existe donc x ∈ I tel que y = f (x), et ainsi y ∈ f (I).
3. Fonctions monotones et bijections
A partir de la fonction carré, on a défini sa fonction réciproque : la fonction racine. A partir de la fonction
exponentielle, on a défini sa fonction réciproque, la fonction logarithme. Voici un résultat important qui va nous
permettre de définir de nouvelles fonctions réciproques.
Théorème 2. Théorème de la bijection - admis
Soit f : I → R une fonction définie sur un intervalle I de R. Si f est continue et strictement monotone sur I ,
alors
1. f établit une bijection de l’intervalle I dans l’intervalle image J = f ( I ),
2. la fonction réciproque f −1 : J → I est continue et strictement monotone sur J et elle a le même sens de
variation que f .
Si de plus f est dérivable en x ∈ I avec f 0 ( x) 6= 0 alors sa fonction réciproque g est dérivable en y = f 0 ( x) et on
a :
1
g0 ( y) = 0
f ( g( y))
y
y=x
f −1
f
J = f (I )
I
x
12
En pratique, si on veut appliquer ce théorème à une fonction continue f : I → R, on découpe l’intervalle I en
sous-intervalles sur lesquels la fonction f est strictement monotone.
Exemple 8
Considérons la fonction carrée définie sur R par f ( x) = x2 . La fonction f n’est pas strictement monotone sur
R, d’ailleurs, on voit bien qu’elle n’est pas injective. Cependant, en restreignant son ensemble de définition à
] − ∞, 0] d’une part et à [0, +∞[ d’autre part, on définit deux fonctions strictement monotones (les ensembles
de départ sont différents) :
(
(
] − ∞, 0] −→ [0, +∞[
[0, +∞[−→ [0, +∞[
f1 :
et
f2 :
x 7−→ x2
x 7−→ x2
On remarque que f (] − ∞, 0]) = f ([0, +∞[) = [0, +∞[. D’après le théorème précédent, les fonctions f 1 et f 2
sont des bijections. Déterminons leurs fonctions réciproques f 1−1 : [0, +∞[→] − ∞, 0] et f 2−1 : [0, +∞[→ [0, +∞[.
Soient deux réels x et y tels que y Ê 0. Alors
y = f ( x) ⇔ y = x2
p
⇔x= y
p
x = − y,
ou
p
c’est-à-dire y admet deux antécédents, l’un dans [0, +∞[ et l’autre dans ] − ∞, 0]. Et donc f 1−1 ( y) = − y et
p
f 2−1 ( y) = y. On retrouve bien que chacune des deux fonctions f 1 et f 2 a le même sens de variation que sa
réciproque.
y
y=x
f1
f2
y
f 2−1
p
− y
p
x
y
f 1−1
On remarque que la courbe totale en pointillée (à la fois la partie bleue et la verte), qui est l’image du graphe
de f par la symétrie par rapport à la première bissectrice, ne peut pas être le graphe d’une fonction : c’est
une autre manière de voir que f n’est pas bijective.
Généralisons l’exemple précédent.
Exemple 9
Soit n Ê 1. Soit f : [0, +∞[→ [0, +∞[ définie par f ( x) = x n . Alors f est continue et strictement croissante.
1
Comme lim x→+∞ f = +∞ alors f est une bijection. Sa bijection réciproque f −1 est notée : x 7→ x n (ou aussi
p
x 7→ n x) : c’est la fonction racine n-ième. Elle est continue et strictement croissante.
Exercice 8
1. Montrer que chacune des hypothèses « continue » et « strictement monotone » est nécessaire dans
l’énoncé du théorème.
2. Soit f : R → R définie par f ( x) = x3 + x. Montrer que f est bijective, tracer le graphe de f et de f −1 .
3. Soit n Ê 1. Montrer que f ( x) = 1 + x + x2 + · · · + x n définit une bijection de l’intervalle [0, 1] vers un
intervalle à préciser.
13
4. Existe-t-il une fonction continue : f : [0, 1[→]0, 1[ qui soit bijective ? f : [0, 1[→]0, 1[ qui soit injective ?
f : [0, 1[→]0, 1[ qui soit surjective ?
4. Vers de Nouvelles Fonctions
4.1. Fonctions puissance et racine
Si x est un nombre réel (ou complexe), alors on pose
déf
x1 = x,
et
déf
x n+1 = x n · x
Par exemple : x3 = x · x · x.
Si x 6= 0, alors on pose aussi
déf
1
xn
déf
x− n =
x0 = 1,
pour tout x ∈ N∗ .
pour tout x ∈ N∗ .
Par exemple : x−1 = 1x .
Pour tout n ∈ Z strictement positif, la fonction f ( x) = x n , x ∈ [0, +∞[, est strictement croissante sur [0, +∞[ et
satisfait :
f (0) = 0,
lim f ( x) = +∞.
x→+∞
Donc f |[0,+∞[ est une bijection croissante de [0, +∞[ sur [0, +∞[.
Pour tout n ∈ Z strictement négatif, la fonction f ( x) = x n , x ∈ R∗ , est strictement décroissante sur ]0, +∞[ et satisfait
:
lim f ( x) = +∞,
lim f ( x) = 0.
x→+∞
x→0+
Donc f |]0,+∞[ est une bijection décroissante de ]0, +∞[ sur ]0, +∞[.
Dans les deux cas, nous avons comme définition
Définition
Pour n ∈ Z, la fonction ]0, +∞[→]0, +∞[ réciproque de la fonction x 7→ x n est notée x 7→ x1/n . Elle s’étend à
[0, +∞[ lorsque n > 0 en posant 01/n = 0.
6.
y=x
h( x) = x2
5.
4.
k( x) = x10
3.
1
g ( x) = x 2 =
p
x
2.
1
1.
−1.
O
f ( x) = x 10
A
0
1.
2.
3.
4.
5.
6.
−1.
On note souvent x1/n =
p
n
x. On a ainsi, pour x et y dans ]0, +∞[,
x1/n = y ⇐⇒ yn = x.
On a
7.
8.
9.
14
Proposition 3
Pour tout couple d’entiers relatifs ( p, q) avec q 6= 0, et pour tout réel x > 0
( x p )1/ q = ( x1/ q ) p .
Cette fonction ne dépend que du rapport p/ q et est notée x p/ q .
Démonstration
Rappelons que pour tous les nombres réels y et tous les entiers relatifs p et q, on a (y p ) q = (y q ) p = y pq . Considérons
alors a = (x p )1/ q et b = (x1/ q ) p . Pour démontrer que a = b, il suffit de voir que a q = b q . Mais, en utilisant la définition
de la fonction réciproque, nous avons (x q )1/ q = (x1/ q ) q = x, d’où
¡
¢q ¡
¢p
a q = (x1/ q ) p = (x1/ q ) q = x p ,
tandis que
¡
¢q
b q = (x p )1/ q = x p .
p
Maintenant, pour voir que le rapport ne dépend que de q , il suffit de voir que, pour tout entier a,
(xap )1/aq = (x p )1/ q ,
exercice que nous laissons au lecteur.
Définition
1
Pour tout rationnel r ∈ Q, la fonction x 7→ x r est définie sur ]0, +∞[ comme ( x p ) q , pour n’importe quelle
p
représentation r = q du rationnel r . Elle se prolonge à [0, +∞[ lorsque r > 0 en posant 0r = 0.
Quelques propriétés élémentaires qui découlent de ces définitions
Proposition 4
1. Pour tout x ∈ R, et pour tout r ∈ Q, exp( x)r = exp( rx).
2. Pour x > 0, on a x r = exp( r ln x).
0
0
3. x r x r = x r+r .
0
0
0
4. ( x r )r = ( x r )r = x rr .
5. Si r > 0, x r Ê 1 ⇐⇒ x Ê 1.
6. si r < 0, x r Ê 1 ⇐⇒ x É 1.
7. Si r > 0, lim x r = +∞ et lim x r = 0.
x→+∞
x →0
8. Si r < 0, lim x r = 0 et lim x r = +∞.
x→+∞
x →0
r
9. x 7→ x est dérivable sur ]0, +∞[ et sa dérivée est x 7→ rx r−1 .
Démonstration
• Commençons par le premier point. Nous avons déjà vu que pour tout n ∈ Z, exp(x)n = exp(nx). Montrons par
ailleurs que, pour tout p ∈ N, p > 0, exp(x)1/ p = exp( px ). Il suffit pour cela d’élever les deux membres à la puissance
p pour obtenir exp(x) = exp( px ) p = exp(x), d’après la formule précédente.
• Il suffit de choisir x = exp(y) (c’est à dire y = ln(x)) pour se ramener aussi au premier point.
• Les autres s’ensuivent :
0
0
x r x r = exp(r ln(x)) exp(r 0 ln(x)) = exp((r + r 0 ) ln(x)) = x r+r .
• De même,
0
0
0
(x r )r = exp(r ln(x))r = exp(r 0 r ln(x)) = x rr .
15
• Aussi, si r > 0 et x Ê 1, r ln(x) Ê 0 et exp(r ln(x)) Ê 1. De même, si r > 0 et 0 < x É 1, r ln(x) É 0 et x r = exp(r ln(x)) É
1.
Le cas où r < 0 se traite de même.
• Concernant les points 7 et 8, si r > 0, r ln(x) tend vers +∞ si x → +∞, et donc par composition des limites,
x r = exp(r ln(x)) tend aussi vers +∞. Le convergence vers 0 se traite de même, ainsi que le cas où r < 0.
r
r
• Enfin pour r 6= 0, x r = exp(r ln(x)) qui est de la forme exp(u) donc (x r )0 = exp(r ln(x)) = x r = rx r−1 . On
x
x
remarque que si r = 0, le résultat final reste vrai.
La propriété x r = exp( r ln( x)) nous permet maintenant de définir la fonction xa sur ]0, +∞[ pour tout a réel.
Définition
Pour tout a réel, la fonction xa est définie pour a > 0 par
xa = exp(a ln( x)).
Lorsque a Ê 0, on peut aussi la définir en x = 0 par 0a = 0. Elle n’est pas définie en x = 0 pour a < 0.
Toutes les propriétés énoncées dans la Proposition 4 restent vraies lorsque r et r 0 sont deux réels quelconques.
(voir la remarque suivante)
Remarque
La définition de xa pour a réel est telle que cette définition est un “prolongement par continuité”. Pour x fixé, la fonction a 7→ xa est
ainsi continue. En particulier, lorsqu’une suite r n de rationnels converge vers un nombre réel a, rationnel ou non, et si x > 0, alors x r n
converge vers xa .
Remarque
Le lecteur aura remarqué que la fonction x r n’est définie que pour x > 0. Cependant, lorsque n est un entier positif impair, alors la
fonction x 7→ x n est une fonction croissante qui est une bijection de R dans R, et nous pourrions ainsi définir x1/n , pour x < 0 et n impair.
Mais cette définition peut être source de confusion, en particulier par exemple si nous voulons écrire
x5/3 = ( x1/3 )5 = ( x5 )1/3 = x10/6 .
Dans la première formule, nous utilisons des entiers impairs, et dans la seconde des entiers pairs, pour lesquels la fonction x1/n n’est
définie que pour x > 0.
Pour éviter les confusions, nous nous limiterons donc aux puissances rationnelles de nombres positifs.
5. Fonctions circulaires inverses
5.1. Arccosinus
Considérons la fonction cosinus cos : R → [−1, 1], x 7→ cos x. Pour obtenir une bijection à partir de cette fonction, il
faut considérer la restriction de cosinus à l’intervalle [0, π]. Sur cet intervalle la fonction cosinus est continue et
strictement décroissante, donc la restriction
cos|[0,π] : [0, π] → [−1, 1]
est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arccosinus :
arccos : [−1, 1] → [0, π]
y
π
arccos x
y
+1
π
2
x
−π
−π
2
0
π
2
π
x
−1
cos x
−1
0
1
16
On a donc, par définition de la bijection réciproque :
¡
¢
cos arccos( x) = x
¡
¢
arccos cos( x) = x
∀ x ∈ [−1, 1]
∀ x ∈ [0, π]
Autrement dit :
x ∈ [0, π]
Si
cos( x) = y ⇐⇒ x = arccos y
Terminons avec la dérivée de arccos :
−1
arccos0 ( x) = p
1 − x2
∀ x ∈] − 1, 1[
Démonstration
On démarre de l’égalité cos(arccos x) = x que l’on dérive :
cos(arccos x) = x
=⇒ − arccos0 (x) × sin(arccos x) = 1
−1
sin(arccos x)
−1
=⇒ arccos0 (x) = p
1 − cos2 (arccos x)
−1
=⇒ arccos0 (x) = p
1 − x2
=⇒ arccos0 (x) =
(∗)
Le point crucial (∗) se justifie ainsi : on démarre de l’égalité cos2 y + sin2 y = 1, en substituant
p y = arccos x on obtient
cos2 (arccos x) + sin2 (arccos x) = 1 donc x2 + sin2 (arccos x) = 1. On en déduit : sin(arccos x) = + 1 − x2 (avec le signe +
car arccos x ∈ [0, π]).
5.2. Arcsinus
La restriction
π π
sin| : [− , + ] → [−1, 1]
2 2
est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arcsinus :
π π
arcsin : [−1, 1] → [− , + ]
2 2
y
π
2
arcsin x
y
+1
x
sin x
−1
0
x
−π
−π
2
0
π
π
2
−π
2
−1
¡
¢
sin arcsin( x) = x
¡
¢
arcsin sin( x) = x
Si
x ∈ [− π2 , + π2 ]
∀ x ∈ [−1, 1]
∀ x ∈ [− π2 , + π2 ]
sin( x) = y ⇐⇒ x = arcsin y
1
17
1
arcsin0 ( x) = p
1 − x2
∀ x ∈] − 1, 1[
5.3. Arctangente
La restriction
π
, + [→ R
2 2
est une bijection. Sa bijection réciproque est la fonction arctangente :
tan| :] −
π
arctan : R →] −
y
π
π
,+ [
2 2
tan x
−π
π
−π
2
π
2
x
3π
2
π
2
y
arctan x
0
−π
2
¡
¢
tan arctan( x) = x
¡
¢
arctan tan( x) = x
Si
x ∈] − π2 , + π2 [
∀x ∈ R
∀ x ∈] − π2 , + π2 [
tan( x) = y ⇐⇒ x = arctan y
arctan0 ( x) =
1
1 + x2
∀x ∈ R
Exercice 9
p
p
p
1. Calculer les valeurs de arccos et arcsin en 0, 1, 12 , 22 , 23 . Idem pour arctan en 0, 1, 3 et p1 .
3
¡
¢
¡
¢
¡
¢
2. Calculer arccos cos 73π . Idem avec arcsin sin 73π et arctan tan 73π (attention aux intervalles !)
3. Calculer cos(arctan x), cos(arcsin x), tan(arcsin x).
³
´
4. Calculer la dérivée de f ( x) = arctan p x 2 . En déduire que f ( x) = arcsin x, pour tout x ∈] − 1, 1[.
1− x
5. Montrer que arccos x + arcsin x = π2 , pour tout x ∈ [−1, 1].
Exercice 10
On a représenté ci-dessous la fonction x 7→ arccos(cos( x)).
x
18
π
y = arccos(cos( x))
−π
−2π
π
0
2π
1. Représentez la fonction x 7→ cos(arccos( x)).
2. Représentez la fonction x 7→ arcsin(sin( x)) et x 7→ sin(arcsin( x)).
3. Représentez la fonction x 7→ arctan(tan( x)) et x 7→ tan(arctan( x)).
6. Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses
6.1. Cosinus hyperbolique et son inverse
Pour x ∈ R, le cosinus hyperbolique est :
cosh x =
e x + e− x
2
La restriction cosh| : [0, +∞[→ [1, +∞[ est une bijection. Sa bijection réciproque est Argch : [1, +∞[→ [0, +∞[.
y
cosh x
sinh x
y
1
argsh x
argch x
0
1
1
x
0
1
x
6.2. Sinus hyperbolique et son inverse
Pour x ∈ R, le sinus hyperbolique est :
sinh x =
e x − e− x
2
sinh : R → R est une fonction continue, dérivable, strictement croissante vérifiant lim sinh x = −∞ et lim sinh x =
+∞, c’est donc une bijection. Sa bijection réciproque est Argsh : R → R.
x→−∞
x→+∞
19
Proposition 5
cosh2 x − sinh2 x = 1.
cosh0 x = sinh x, sinh0 x = cosh x.
Argsh : R → R est strictement croissante et continue.
Argsh est dérivable et Argsh0 x = p 12 .
x +1
p
¢
¡
• Argsh x = ln x + x2 + 1 .
•
•
•
•
Démonstration
£
¤
£
¤
• cosh2 x − sinh2 x = 14 (e x + e− x )2 − (e x − e− x )2 = 14 (e2 x + 2 + e−2 x ) − (e2 x − 2 + e−2 x ) = 1.
x
−x
x
−x
d
d e +e
• dx
(cosh x) = dx
= e −2e = sinh x. Idem pour la dérivée de sinh x.
2
• Car c’est la réciproque de sinh.
• Comme la fonction x 7→ sinh0 x ne s’annule pas sur R alors la fonction Argsh est dérivable sur R. On calcule la
dérivée par dérivation de l’égalité sinh(Argsh x) = x :
Argsh0 x =
1
=q
cosh(Argsh x)
1
sinh2 (Argsh x) + 1
=p
1
x2 + 1
p
¡
¢
• Notons f (x) = ln x + x2 + 1 alors
1 + p x2
1
x +1
=p
= Argsh0 x
f (x) =
p
2
x+ x +1
x2 + 1
0
Comme de plus f (0) = ln(1) = 0 et Argsh 0 = 0 (car sinh 0 = 0), on en déduit que pour tout x ∈ R, f (x) = Argsh x.
6.3. Tangente hyperbolique et son inverse
Par définition la tangente hyperbolique est :
tanh x =
sinh x
cosh x
La fonction tanh : R →] − 1, 1[ est une bijection, on note Argth :] − 1, 1[→ R sa bijection réciproque.
y
argth x
y
1
0
−1
−1
th x
x
0
1
x
20
6.4. Trigonométrie hyperbolique
Propriétés algébriques
Dérivées des fonctions hyperboliques
Formules explicites à partir
du logarithme
cosh0 x = sinh x
2
2
cosh x − sinh x = 1
sinh0 x = cosh x
1
cosh(a+ b) = cosh a·cosh b+sinh a·sinh b
tanh0 x = 1 − tanh2 x =
cosh2 x
cosh(2a) = cosh2 a + sinh2 a
1
0
( x > 1)
sinh(a+ b) = sinh a·cosh b+sinh b·cosh a Argch x = p 2
x −1
1
sh(2a) = 2 sinh a · cosh a
Argsh0 x = p
tanh a + tanh b
x2 + 1
tanh(a + b) =
1 + tanh a · tanh b
1
Argth0 x =
(| x| < 1)
1 − x2
p
¢
¡
Argch x = ln x + x2 − 1
( x Ê 1)
p
¡
¢
Argsh x = ln x + x2 + 1 ( x ∈ R)
¶
µ
1
1+ x
(−1 < x < 1)
Argth x = ln
2
1− x
Exercice 11
On appelle courbe paramétrée une application f définie sur un intervalle I de R prenant ses valeurs dans R2 .
Géométriquement, une courbe paramétrée est donc l’ensemble des points M du plan de coordonnées ( x( t), y( t))
avec t ∈ I .
1. Dessinez les courbes paramétrées t 7→ (cos t, sin t) et t 7→ (cosh t, sinh t). a Pourquoi cos et sin s’appellent
des fonctions trigonométriques circulaires alors que cosh et sinh sont des fonctions trigonométriques
hyperboliques ?
2. Prouvez par le calcul la formule cosh(a + b) = . . .
ix
− ix
En utilisant que cos x = e +2e retrouvez la formule pour cos(a + b).
3. Résolvez l’équation sinh x = 3.
4. Montrez que
sinh(2 x)
1+cosh(2 x)
= tanh x.
5. Calculez les dérivées des fonctions définies par : tanh(1 + x2 ), ln(cosh x), Argch(exp x), Argth(cos x).
a. Aide : Afin de comprendre ce qu’il se passe, lancez Géogébra. Créez un curseur t variant entre −10 et 10 avec un incrément de 0.1.
Dans la barre de saisie, définissez le point M de coordonnées ( cos( t), sin( t)) à l’aide de la commande M = ( cos( t), sin( t)). A l’aide d’un clic
droit sur le point M , activez la trace du point M . Faîtes varier le curseur t.
7. Exercices de Synthèse
Exercice 12
a) f désigne une fonction définie sur R à valeurs réelles. Si A est un sous-ensemble de R, "rappelez" ce que
désigne f ( A ).
b) g désigne la fonction carré, que vaut g([−3; 5]) ? que vaut g(R) ?
Exercice 13
On note f ◦ g la fonction résultant le l’enchaînement des fonctions g puis f . Autrement dit, ( f ◦ g)( x) = f ( g( x)).
On appelle f ◦ g la composée de g par f .
a) Si f est la fonction carré et g la fonction exponentielle, donnez l’expression de f ◦ g et de g ◦ f . A-t’on
f ◦ g = g◦ f ?
b) Si f est la fonction logarithme népérien et g la fonction cube, donnez l’expression de f ◦ g et de g ◦ f .
c) Dans chaque cas, identifiez les fonctions de références f et g telles que :
p
1
• ( f ◦ g)( x) = 2 x + 1 pour tout x Ê −
2
21
1
, ∀ x ∈ R∗
x2
• ( f ◦ g)( x) = e5 x−8 , ∀ x ∈ R
• ( f ◦ g)( x) =
Exercice 14
Soient f : x 7→
p
p
x2 ( x2 − 1) et g : x 7→ | x| x2 − 1. Ces fonctions sont-elles égales ?
Exercice 15
En utilisant le théorème des gendarmes, démontrez que la fonction f ( x) = x cos 1x admet une limite en 0. Que
vaut-elle ?
Exercice 16
Démontrez que tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle.
Exercice 17
Montrez que tout polynôme de degré pair et positif sur R est somme de carrés de polynômes. (Indication :
traiter d’abord le cas de degré 2, puis raisonner par récurrence en faisant apparaître les racines complexes
conjuguées du polynôme).
Exercice 18
Calculez les dérivées des fonctions x 7→ exp(tan2 ( x2 )), x 7→ ln(cos2 ( x)), x 7→ sin(exp(arctan( x)).
Exercice 19
1. Calculez les dérivées premières et secondes de e−1/ x .
2. Montrez que pour tout n Ê 1, la dérivée n-ième de cette fonction s’écrit sous la forme
H n ( x) =
P n ( x) −1/ x
e
.
x2 n
3. Montrez que pour tout n Ê 1, la limite lim x→0,x>0 H n ( x) = 0.
4. Que vaut la limite lim x→0,x<0 H1 ( x) ?
Exercice 20
1. Montrez que pour tout x ∈] − 1, ∞[, ln(1 + x) É x. (Indication : on traitera séparément les cas x > 0 et
−1 < x < 0, et on comparera les dérivées).
2. En déduire que e Ê 2.
p
3. En appliquant l’inégalité à 1/ e − 1, montrez aussi que e É 4.
Exercice 21
En s’inspirant de la méthode de l’exercice précédent, montrez que pour tout x ∈ [0, ∞[,
x−
x2 x3
x2
+
Ê ln(1 + x) Ê x − .
2
3
2
Exercice 22
1. Montrez que, pour tout x ∈ R, e x Ê 1 + x.
22
2. En déduire que pour x É 1, e x É
1
1− x
x
(indication : appliquer la première inégalité en changeant de signe).
3. En déduire que pour 0 É x É 1, e É 1 − ln(1 − x).
Exercice 23
2
1. Démontrez que pour tout x Ê 0, e x Ê 1 + x + x2 . (Indication : on pourra utiliser le résultat de l’exercice
22).
2. Démontrez par récurrence que, pour tout n Ê 0 et pour tout x Ê 0,
ex Ê 1 + x +
x2
xn
+···+
.
2
n!
n
2
3. On appelle u n la fonction e x − (1 + x + x2 + · · · + xn! ). Démontrez par récurrence que, pour 0 É x É 1,
(1 − x) u n É
x n+1
.
( n + 1)!
(On pourra utiliser le résultat de la deuxième question de l’exercice 22.)
4. Déduisez-en la majoration, pour x ∈ [0, 1[
ex É 1 + x + · · · +
xn
x n+1
+
.
n! (1 − x)( n + 1)!
Exercice 24
n
2
On appelle P n ( x) le polynôme 1 + x + x2 + · · · + xn! .
1. Calculez P n0 . Montrez que P n n’a pas de racines doubles.
2. Démontrez que P2 est toujours positif.
3. Démontrez que pour tout x É 0, e x É P2 ( x). (Indication : utilisez l’inégalité e x Ê P1 ( x) démontrée dans
l’exercice 22).
4. Démontrez que pour tout x É 0, P3 ( x) É e x . (Indication : utilisez la question précédente)
5. Démontrez par récurrence que pour tout x É 0, et pour tout n Ê 1, on
P2n−1 ( x) É e x É P2n ( x).
(Indication : raisonnez par récurrence, en alternant les cas pair et impair).
6. Déduisez-en une approximation à 10−2 près de 1/ e par des nombres rationnels.
7. Démontrez que pour tout n pair, P n ( x) n’a pas de racines réelles.
Exercice 25
Soit f ( x) =
p
| x|. La fonction f est-elle dérivable en 0 ?
Exercice 26
Déterminez a, b de manière que la fonction f définie sur ]0, +∞[ par
(p
f ( x) =
soit dérivable sur son ensemble de définition.
x
2
si 0 < x É 1,
ax + bx + 1 sinon
23
Exercice 27
Démontrez que si f est dérivable sur R et paire, alors f 0 est impaire.
Exercice 28
1. Démontrez que si f , g : R → R sont deux fonctions telles que f 0 = f et g0 = g, alors la fonction x 7→
f ( x) g(− x) est constante.
2. Déduisez-en que s’il existe une fonction f : R → R telle que f 0 = f et f (0) = 1, alors telle f est unique.
Exercice 29
On considère la fonction définie par f ( x) = e( x
2 −1)
.
1. Quel est le domaine de définition de f ? La fonction f , est-elle dérivable sur son domaine de définition
?
2. Calculez la dérivée de f et étudier ses variations.
3. Donnez un intervalle de R sur lequel la fonction est strictement décroissante. On note I cet intervalle.
4. Démontrez que f est une bijection de I sur un domaine J à déterminer. On note g sa fonction réciproque.
5. La fonction g est-elle monotone sur J ?
6. La fonction g est-elle dérivable sur J ?
7. Donnez l’expression de g.
8. Représentez graphiquement ces deux fonctions.
Exercice 30
Démontrez que l’équation x = cos x admet une solution dans l’intervalle [0, π/2]. Est-ce que l’équation sin x = x
admet une solution dans le même intervalle ?
Exercice 31
Démontrez successivement (en calculant les dérivées) les inégalités suivantes pour tout x Ê 0
1. sin x É x.
2
2. cos x Ê 1 − x2 .
3
3. sin x Ê x − x3! .
2
4
4. cos x É 1 − x2! + x4! .
3
5. Donnez une majoration de sin x avec un polynôme de degré 5 qui commence par x − x3! .
2
4
6. Donnez une minoration de cos x par un polynôme de degré 6 qui commence par 1 − x2! + x4! .
Exercice 32
1. Exprimez cos(2 x) et sin(2 x) en fonction de tan( x).
P
P
p q
2. Un polynôme à deux variables est une expression P ( X , Y ) de la forme np=0 m
q=0 a p,q X Y . Montrez
que pour tout polynôme à deux variables, P (cos x, sin x) s’exprime comme une fraction rationnelle de
tan( x/2).
Exercice 33
1. En comparant les dérivées, démontrez que pour 0 É x É 1, arctan( x) Ê 21 ln(1 + x2 ).
2. Déduisez-en une comparaison entre π et log(2).
24
3. En comparant les dérivées sur [a, 1], montrez aussi que pour tout a ∈]0, 1], on a
π
4
− arctan(a) É
1
2
).
log(
2a
1 + a2
Exercice 34
p
1. En comparant les dérivées, montrez que pour tout x ∈]0, 1[, on a arcsin( x) Ê 1 − 1 − x2 .
p
2. Montrez de même que π2 − arcsin( x) Ê 1 − x2 .
p
3. En appliquant avec x = 1/ 2, donnez ainsi deux minorations de π, et comparez les inégalités obtenues.
p
4. Même question avec x = 1/2, x = 3/2.
Exercice 35
1. Calculez la dérivée n-ième de cosh x.
2. Calculez la dérivée n-ième de sinh(2 x).
Exercice 36
En suivant la méthode de l’exercice 31, donnez des minorations de sinh( x) et cosh( x) par des polynômes de
degré 1,2,3,4,5. Comparez avec les encadrements correspondants des fonctions cos x et sin x.
Exercice 37
¡
¢n
1. Montrez que cosh( nx) + sinh( nx) = cosh( x) + sinh( x) .
2. Exprimez cosh( nx) + sinh( nx) comme un polynôme en cosh( x) et sinh x.
¡
¢
3. En utilisant la formule pour x et − x, montrez que cosh( nx) = P n cosh( x) , où P n est un polynôme de
degré n.
4. Comparez avec la formule qui exprime cos( nx) comme un polynôme de cos x.
Exercice 38
1. Calculez arcsin
arctan tan 3.
p
3
−1
−1
5π
5π
p
2 , arccos 2 , arctan 3 , arcsin sin 6 , arccos cos 6 , sin arcsin 1, arcsin sin 1, tan arctan 3,
π
2. Calculez arccos(sin 32π ), arcsin(sin 117π ), arcsin(cos 17
), et arctan(tan − 175π ).
Exercice 39
1. Démontrez que pour tout x ∈ [−1, 1], arcsin x + arccos x = π2 .
2. Démontrez que pour tout x ∈ R∗ , arctan x + arctan 1x = sign( x) π2 .
Exercice 40
Soit
f ( x) =


arctan x

0


 −1/ x
e
si x < 0,
si x = 0,
si x > 0.
Étudiez la continuité et déterminez l’ensemble des réels tel que f soit dérivable en x.
25
Exercice 41
Calculez les dérivées des fonctions suivantes après avoir indiqué sur quels intervalles elles sont dérivables :
f ( x) = ecos sin x ,
g( x) = ln(ln( x)),
h( x) =
1 − cosh( x)
.
2 + sinh( x)
Exercice 42
2
1
On considère la fonction définie par f ( x) = arcsin( xx2 −
).
+1
1. Démontrez que f est dérivable sur R∗ et calculer sa dérivée. (On simplifiera au maximum l’expression
de f 0 .)
2. Déduisez-en une autre expression de f par une fonction usuelle du cours.
Exercice 43
On considère la fonction définie par :
ax + b
si x ∈] − ∞, − 12 [,
1 + x + arctan x2
si x ∈ [− 12 , +∞[.
(
f ( x) =
.
1. Trouvez les réels a et b de sorte que f soit continue et dérivable sur R.
2. Calculez la dérivée de f et étudier ses variations.
3. Démontrez que l’équation f ( x) = 0 a une solution unique dans R.
4. Démontrez que f est une bijection de R sur un domaine J à déterminer. On note g sa fonction réciproque.
5. Donnez le tableau de variation de g.
6. Calculez g0 ( y0 ) pour g( y0 ) = − 12 .
Exercice 44
On considère la fonction définie par f ( x) = e(cos x+sin
2
x)
.
1. Démontrez que f est définie et dérivable sur R.
2. Calculez la dérivée de f et étudier son signe sur l’intervalle I = [0, 2π].
3. Déduisez-en le tableau de variations de f sur l’intervalle I .
1
4. Combien l’équation f ( x) = e( 2 ) a-t-elle de solutions dans l’intervalle I ?
Exercice 45
On considère la fonction définie par g( x) = arctan p1x .
1. Démontrez que g est continue sur I =]0, +∞[.
2. Calculez lim x→0+ g( x) et démontrez qu’on peut prolonger g par continuité en 0.
3. Démontrez que g est dérivable sur I et calculez g0 .
4. Démontrez que g est une bijection de ]0, +∞[ sur un intervalle J à déterminer.
5. La fonction g−1 est-elle croissante, décroissante ?
6. En utilisant la relation arctan y + arctan( 1y ) = π2 , pour y > 0, démontrez que g n’est pas dérivable en 0.
26
8. Rappels : Le Nombre Dérivé
Motivations
p
Nous souhaitons calculer 1, 01 ou du moins en trouver une valeur approchée. Comme 1, 01 est proche de 1 et
p
p
que 1 = 1 on se doute bien que 1, 01 sera proche de 1. Peut-on être plus précis ? Si l’on appelle f la fonction
p
définie par f ( x) = x, alors la fonction f est une fonction continue en 1. La continuité nous affirme que pour x
suffisamment proche de 1, f ( x) est proche de f (1). Cela revient à dire que pour x au voisinage de 1 on approche
f ( x) par la constante f (1).
y
y = ( x − 1) 12 + 1
y=
x
y=1
1
0
p
x
1
Nous pouvons faire mieux qu’approcher notre fonction par une droite horizontale ! Essayons avec une droite
quelconque. Quelle droite se rapproche le plus du graphe de f autour de x0 ? Elle doit passer par le point ( x0 , f ( x0 ))
et doit «coller» le plus possible au graphe : c’est la tangente au graphe en x0 . Une équation de la tangente est
y = ( x − x0 ) f 0 ( x0 ) + f ( x0 )
où f 0 ( x0 ) désigne le nombre dérivé de f en x0 .
p
1
On sait que pour f ( x) = x, on a f 0 ( x) = 2p
. Une équation de la tangente en x0 = 1 est donc y = ( x − 1) 12 + 1.
x
p
Et donc pour x proche de 1 on a f ( x) ≈ ( x − 1) 12 + 1. Qu’est ce que cela donne pour notre calcul de 1, 01 ? On
0,01
pose x = 1, 01 donc f ( x) ≈ 1 + 21 ( x − 1) = 1 + 2 = 1, 005. Et c’est effectivement une très bonne de approximation
p
p
de 0, 01 = 1, 00498 . . .. En posant h = x − 1 on peut reformuler notre approximation en : 1 + h ≈ 1 + 12 h qui est
valable pour h proche de 0.
Dans ce chapitre nous allons donc définir ce qu’est la dérivée d’une fonction, et établir les formules des dérivées
des fonctions usuelles. Enfin, pour connaître l’erreur des approximations, il nous faudra travailler beaucoup plus
afin d’obtenir le théorème des accroissements finis.
8.1. Dérivée
Dérivée en un point
Soit I un intervalle ouvert de R et f : I → R une fonction. Soit x0 ∈ I .
Définition 8
f est dérivable en x0 si le taux d’accroissement
f ( x)− f ( x0 )
x − x0
a une limite finie lorsque x tend vers x0 . La
f ( x ) − f ( x0 )
limite s’appelle alors le nombre dérivé de f en x0 et est noté f 0 ( x0 ). Ainsi f 0 ( x0 ) = lim
x → x0
x − x0
De plus, si f est dérivable en tout point x0 ∈ I on dit que f est dérivable sur I et la fonction x 7→ f 0 ( x) est la
df
fonction dérivée de f ,elle se note f 0 ou d x .
Le lien suivant est une illustration de la définition précédente. Vous observerez en particulier que les sécantes
( AB) se rapprochent de la tangente à C f lorsque h tend vers 0 : https://www.geogebratube.org/material/
show/id/129960
27
Exercice 46. **
En utilisant la définition précédente, aidez-vous (si besoin) de l’animation précédente pour calculer le nombre
dérivé de g0 (1) avec g( x) = x3 + x.
Tangente
f ( x)− f ( x )
La droite qui passe par les points distincts ( x0 , f ( x0 )) et ( x, f ( x)) a pour coefficient directeur x− x0 0 . à la limite
on trouve que le coefficient directeur de la tangente est f 0 ( x0 ). Une équation de la tangente au point ( x0 , f ( x0 )) est
donc :
y = ( x − x0 ) f 0 ( x0 ) + f ( x0 )
M0
M
x0
x
Exercice 47. *
y
1. Déterminez les valeurs de f (−2), f (−1), f (0) ainsi que les
valeurs de f 0 (−2), f 0 (0), f 0 (2).
2. Donnez l’équation de la tangente à C f au point d’abscisse 0
puis au point d’abscisse 2.
1
3. Soit g la fonction définie sur R par g( x) = x2 + 3 x + 4. Donnez
l’équation de la tangente ∆ à C g au point d’abscisse x = 2.
0
4. Déterminez la position relative de C g et ∆.
x
1
Cf
Autres écritures de la dérivée
Voici deux autres façons de formuler la dérivabilité de f en x0 .
Proposition 6
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
existe et est finie.
h
• f est dérivable en x0 si et seulement s’il existe ` ∈ R (qui sera f 0 ( x0 )) et une fonction ε : I → R telle que
ε( x) −−−−→ 0 avec
• f est dérivable en x0 si et seulement si lim
h →0
x → x0
f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 )` + ( x − x0 )ε( x).
28
Démonstration
Il s’agit juste de reformuler la définition de f 0 (x0 ). Par exemple, après division par x − x0 , la deuxième écriture devient
f (x) − f (x0 )
= ` + ε(x).
x − x0
Exercice 48. *
Afin de comprendre l’intérêt de la seconde formulation, je vous laisse la réécrire en utilisant comme dans
p
p
l’introduction f ( x) = x, x = . . . et h = . . . ainsi on obtient 1, 01 ≈ . . .
Proposition 7. Lien entre Dérivabilité et Continuité
Soit I un intervalle ouvert, x0 ∈ I et soit f : I → R une fonction.
• Si f est dérivable en x0 alors f est continue en x0 .
• Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I .
Remarque
La réciproque est fausse : par exemple, la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n’est pas dérivable
en 0 :
y
y = | x|
1
0
x
1
Proposition 8
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I .
• f est croissante sur I si et seulement si f 0 ( x) Ê 0.
• f est décroissante sur I si et seulement si f 0 ( x) É 0.
De plus,
• Si f 0 ( x) > 0 ou si f 0 ne s’annule qu’en un nombre fini de valeurs alors f est strictement croissante sur I .
• Si f 0 ( x) < 0 ou si f 0 ne s’annule qu’en un nombre fini de valeurs alors f est strictement décroissante
sur I .
Exercice 49. *
Ci-dessous, une fonction f a été représentée avec ses deux premières dérivées. Identifiez C f , C f 0 et C f 00 .
y
1
x
0
1
C2
C3
C1
29
9. Rappels : Calculer une dérivée
Dérivées des fonctions usuelles :
Vous spécifierez les domaines où les fonctions de la variable x proposées ci-dessous sont dérivables :
p
f(x)
f’(x)
( x )α
α( x)α−1 , α ∈ R
1
x
−1
x2
1
1 1
p = x− 2
2 x 2
1
x = x2
Exercice 50. *
Calculez les dérivées des fonctions suivantes
1. f ( x) = x7
1
2. f ( x) =
x
1
3. f ( x) = x 2
ln( x)
1
x
exp( x)
exp( x)
cos( x)
− sin( x)
sin( x)
cos( x)
tan( x)
1 + tan2 ( x) =
4. f ( x) = x−8
1
5. f ( x) = 4
x
1
6. f ( x) = p
x
7. f ( x) = e x
8. f ( x) = cos( x)
1
cos2 ( x)
Exercice 51. **
Déterminez une fonction F qui a pour dérivée f dans les cas suivants :
1. f ( x) = 8 x7
1
2. f ( x) =
x
3
1
3. f ( x) = ∗ x 2
2
4. f ( x) = −7 x−8
−3
5. f ( x) = 4
x
1
6. f ( x) = p
2 x
7. f ( x) = e x
8. f ( x) = cos( x)
Les fonctions que l’on rencontre ont rarement des expressions aussi simples que celles données ci-dessus. Pour
cela on aura besoin de nouvelles règles de calculs.
Opérations sur les dérivées :
On donne deux fonctions u et v définies sur un intervalle I de R, dérivables sur I et à valeurs dans R.
30
Théorème 3
• Dérivation d’une somme : La fonction u + v est dérivable sur I et pour tout x ∈ I , ( u + v)0 ( x) = u0 ( x) + v0 ( x).
• Dérivation d’un produit : La fonction uv est dérivable sur I et pour tout x ∈ I , ( uv)0 ( x) = u0 ( x)v( x) +
u ( x) v0 ( x)
u
• Dérivation d’un quotient : La fonction est dérivable en tout point x de I où v( x) 6= 0 et dans ce cas :
v
u
u 0 ( x) v( x) − u ( x) v0 ( x)
( )0 ( x) =
v
v2 ( x)
.
Exercice 52. *
Calculez les dérivées des fonctions suivantes
1. h( x) = (5 x2 + 3 x + 1) e x
ex
2. i ( x) = 2
4x + 3
P
3. P3 ( x) = 10
xk
k=0
P10
4. P4 ( x) = k=0 ( k + 4) x k
1. P1 ( x) = x7 + 5 x5 + 3 x2 + 1
1
2. P2 ( x) = x3 + 5 x2 + 2 x + π2
4
3x + 5
3. f ( x) = 2
x +1
p
4. g( x) = (2 x + 1) x
Exercice 53. *
1. A l’aide des formules précédentes, démontrer que la dérivée de la fonction
1
− u0
est 2 .
u
u
2. Calculez la dérivée de u( x)v( x)w( x).
Certaines fonctions ne peuvent pas s’écrire uniquement à l’aide de produits, de quotients ou de sommes. Par
p
p
exemple, la fonction x2 + x + 7 est l’enchaînement ou la composée des fonctions f et g définies par f ( x) = x et
p
g( x) = x2 + x + 7. En effet, on a x2 + x + 7 = f ( g( x)) = f ◦ g( x).
Définition 9
Soit g une fonction définie sur R et f une fonction définie sur un intervalle contenant toutes les valeurs de
g( x). On appelle composée de g par f , notée f ◦ g, la fonction définie sur R par :
( f ◦ g)( x) = f ( g( x))
Exemple 10
Soit les fonctions définies sur R par f ( x) = x + 3 et g( x) = x2 . A l’aide de ces deux fonctions, on peut obtenir
deux fonctions composées bien distinctes :
f ◦g
R
x
:
→
7→
R
f ( g( x)) = f ( x2 ) = x2 + 3
d’une part et
g◦ f
:
d’autre part.
On remarque qu’en général f ◦ g 6= g ◦ f .
R
x
→
7
→
R
g( f ( x)) = g( x + 3) = ( x + 3)2
31
Exercice 54. *
Ecrivez sous la forme d’une composée f ◦ g les fonctions ci-dessous :
1. h 1 ( x) = e2 x+1
2. h 2 ( x) = (3 x3 + 5 x2 − 4)2
¶
µ
Pi
3. h 3 ( x) = cos 3 x +
3
Pi
4. h 4 ( x) = 3 cos( x) +
3
Il reste donc à savoir comment ces fonctions peuvent être dérivées.
Théorème 4. Dérivation d’une composée
Soit f une fonction réelle définie et dérivable en tout élément u( x) lorsque x est dans I . Alors la fonction f ◦ u
est dérivable sur I et pour tout x dans I :
( f ( u( x)))0 = u0 ( x) f 0 ( u( x))
Exercice 55. *
Calculez les dérivées des fonctions suivantes en précisant le domaine de dérivabilité :
p
f ( x) = 2 x2 + 1
g( x) = cos(4 x)
h( x) = exp( x2 )
i ( x) = sin(5 x)
1
k( x) = ln( )
x
j ( x) = ln( x2 + x + 1)
l ( x) = (3 + x2 )4
1
m( x) = p
2 + cos x
Exercice 56. *
Calculez les dérivées des composées e u( x) , cos( u( x)), sin( u( x)),
p
u( x), ln( u( x)), ( u( x))n .
On retiendra :
Formulaire :
( u + v)0
=
u 0 + v0
( f ◦ u )0
=
( uv)0
=
u0 v + uv0
(ln( u))0
=
(exp( u))0
=
u0 exp( u)
(( u)2 )0
=
2 uu0
(( u)n )0
=
nu n−1 u0
0
−u
u2
u0 v − uv0
=
v20
u
=
p
2 u
où n est un réel.
1
( )0
u
u
( )0
v
p
( u)
=
( f 0 ◦ u).u0
u0
u
Dérivées successives
Pour résoudre des équations de mouvement en physique, ou des problèmes d’électricité, des problèmes de mathématiques. . . , il est nécessaire de calculer parfois la dérivée de la dérivée. On définit alors par récurrence la dérivée
n-ème d’une fonction f définie sur un intervalle I de R :
Définition 10
1. La dérivée 0-ème de f notée f (0) est f . On note : f (0) = f
2. Si f est dérivable, la dérivée première de f , notée f (1) est la fonction f 0 . C-à-d. f (1) = f 0
3. Pour tout entier n > 0, si la dérivée d’ordre ( n − 1) de f est dérivable alors la dérivée n-ème de f est la
32
dérivée de la dérivée ( n − 1)-ème de f . Ce qui se note :
f (n) = ( f (n−1) )0
Exemple 11
On pose f ( x) = cos( x)
1. Calculez f 0 ( x), f "( x), f (3) ( x), f (4) ( x)
2. Vérifiez que f " + f = 0. Connaissez-vous une autre fonction qui ait cette propriété ?
3. Déterminez f (n) pour tout entier n.
Exercice 57. **
Calculez la dérivée n-ème des fonctions suivantes, pour n entier.
1. Q ( x) = x3
2. R ( x) = x4 .
3. P ( x) = x5 + x3 + x2 + x + 1
4. f ( x) = x n . Calculez aussi la dérivée n + 1-ème de f
5. h( x) = exp(3 x)
Exercice 58. ***
Calculez à l’aide d’une récurrence la dérivée n-ème de la fonction : g( x) =
1
x
10. Rappels sur les fonctions trigonométriques
• à tout nombre réel positif x, on associe l’unique position du point M telle que la distance parcourue par
M , lorsqu’il parcourt le cercle trigonométrique dans
le sens direct, soit égale à x.
• De même à tout nombre réel négatif x, on associe
l’unique position du point M telle que la distance
parcourue par M , lorsqu’il parcourt le cercle trigonométrique dans le sens indirect, soit égale à − x.
• Le cosinus de x est par définition l’abscisse du
point M . Ainsi : −1 É cos( x) É 1 pour tout x réel.
• Le sinus de x est par définition l’ordonnée du point
M . Ainsi : −1 É sin( x) É 1 pour tout x réel.
• En appliquant le théorème de Pythagore, il vient
immédiatement la relation : cos( x)2 + sin( x)2 = 1.
y
M ( cos( x), sin( x))
Cercle de Rayon 1
longueur x
sin( x)
x
x
O cos( x)
Sens Positif
Définition 11
• La fonction cosinus, est la fonction définie sur R qui à tout x réel, associe le nombre cos( x) selon le
procédé défini ci-dessus.
• La fonction sinus, est la fonction définie sur R qui à tout x réel, associe le nombre sin( x) selon le procédé
défini ci-dessus.
33
Dérivabilité des Fonctions Cosinus et Sinus - Conséquences
Proposition 9. Admise
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R, et pour tout x ∈ R on a :
cos0 ( x) = − sin( x)
sin0 ( x) = cos( x)
Remarque 2
• Comme les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R, elles sont aussi . . .
• D’après le théorème vu sur la dérivée des fonctions composées, on obtient également :
( cos( u( x)))0 =
( sin( u( x)))0 =
Exercice 59
Calculez les dérivées des fonctions suivantes :
2
• f 3 ( x) = sin(3
µ x + x +¶1)
3π
• f 4 ( x) = cos x2 +
6
• f 1 ( x) = cos(3
³ πx + 4) ´
• f 2 ( x) = sin
+ 2x
2
Exercice 60
1. Dressez le tableau de variations des fonctions cosinus et sinus sur l’intervalle [0; 2π].
£
¤
¡
¢
2. Etudiez la fonction f définie sur 0; π2 par f ( x) = cos 3 x + π4 .
Exercice 61
En utilisant la définition du nombre dérivé, calculez lim
x →0
sin( x)
. (ce résultat est à connaître !)
x
Parité et Périodicité des Fonctions Sinus et Cosinus
Définition 12
• Pour tout réel x, cos( x) = cos(− x) et sin(− x) = − sin( x). On dit que la fonction cosinus est paire et que
la fonction sinus est impaire.
• Pour tout réel x, cos( x + 2π) = cos( x) et sin( x + 2π) = sin( x). On dit que les fonctions cosinus et sinus
sont périodiques de période 2π. On dit aussi qu’elles sont 2π-périodiques.
Exercice 62
On donne ci-dessous la représentation graphique des fonctions cosinus et sinus sur l’intervalle [0; π].
1. En utilisant la parité de ces fonctions, complétez la représentation ci-dessous pour la prolonger sur
l’intervalle [−π; π].
2. En utilisant la parité de ces fonctions, complétez la représentation ci-dessous pour la prolonger sur
l’intervalle [−2π; 2π].
34
y
1
sin( x)
−2π
−3π
2
−π
−π
2
π
π
2
O
x
2π
3π
2
−1
cos( x)
Fonction Tangente
Définition 13
Pour tout x 6=
π
2
[π], on définit la fonction tangente par tan( x) =
sin( x)
.
cos( x)
Exercice 63
i π πh
Dressez le tableau de variations de la fonction tangente sur l’intervalle − ; . On calculera les limites aux
2 2
bornes de l’intervalle.
Voici une représentation graphique de la fonction tangente sur laquelle on peut observer les asymptotes verticales
π
d’équation x = + kπ avec k un entier relatif.
2
y
tan( x)
O
−2π
−3π
2
−π
−π
2
π
2
π
3π
2
x
2π
Formules de Trigonométrie
Proposition 10. Formules d’Addition
Pour tous a, b ∈ R on a :
• cos(a + b) = cos(a) cos( b) − sin(a) sin( b)
• sin(a + b) = sin(a) cos( b) + cos(a) sin( b)
• cos(a − b) = cos(a) cos( b) + sin(a) sin( b)
• sin(a − b) = sin(a) cos( b) − cos(a) sin( b)
Exercice 64
1. Complétez : En utilisant les formules d’additions dans le cas où a = b, on obtient les formules du
duplication
cos(2a) =
sin(2a) =
2. En utilisant le cercle trigonométrique ou les formules d’addition, complétez la figure suivante :
35
y
³
π´
cos α +
=
2
³
π´
sin α +
=
2
α+
π
2
α
x
O
α+π
cos (α + π) =
α−
sin (α + π) =
π
2
³
π´
cos α −
=
2
³
π´
=
sin α −
2
Exercice 65
Donnez les valeurs exactes de
¶
2π
=
µ 3 ¶
2π
• sin
=
µ 3 ¶
10π
• cos
=
µ 3 ¶
11π
• sin −
=
6
µ
• tan
³π´
p
µ ¶
5+1
9π
donc cos
=
5
4
5
p
¶
µ
³π´
5+1
7π
• cos
=
=
donc sin
5
4
10
³ π ´ p5 + 1
³π´
• cos
=
donc sin
=
5
4
5
=
µ4 ¶
3π
• tan
=
µ 4 ¶
201π
• cos
=
µ 4 ¶
11π
• cos −
=
6
• cos
• cos
³π´
=
Exercice 66
Soit f la fonction définie sur R par f ( x) = cos(2 x).
1. f est-elle paire ? impaire ?
2. Quelle est la période de f ?
3. Prolongez autant que possible la représentation graphique ci-dessous :
y
1
x
−2π
−3π
2
−π
−π
2
π
2
O
−1
cos(2 x)
π
3π
2
2π
36
11. Compléments : Une démonstration du Théorème des Valeurs Intermédiaires
Définition 14
Soit f : I → R une fonction et x0 un point de I .
• On dit que f est continue en x0 si pour toute suite ( u n ) qui converge vers x0 , la suite ( f ( u n )) converge
vers f ( x0 ).
• On dit que f est continue sur l’intervalle I si f est continue en tout x0 ∈ I .
Montrons le théorème dans le cas où f (a) < f ( b). On considère alors un réel y tel que f (a) É y É f ( b) et on veut
montrer qu’il a au moins un antécédent par f .
a+b
On pose alors a 0 = a, b 0 = b et m 0 =
.
2
On définit ensuite par récurrence les suites (a n ), ( b n ) et ( m n ) de la façon suivante :
a n+1 + b n+1
• si f ( m n ) < y alors a n+1 = m n , b n+1 = b n et m n+1 =
.
2
• si f ( m n ) = y alors a n+1 = b n+1 = m n+1 = m n
a n+1 + b n+1
.
• si f ( m n ) > y alors a n+1 = a n , b n+1 = m n et m n+1 =
2
Illustration : Utilisez la figure ci-dessous pour comprendre la construction des suites (a n ) et ( b n ). Placez les 5
premiers termes.
y
f ( b)
y
f ( a)
a
b
x
On a ainsi construit deux suites (a n ) et ( b n ) telles que :
• (a n ) est croissante et f (a n ) É y
• ( b n ) est décroissante et f ( b n ) Ê y
b−a
• 0 É bn − an É n
2
Autrement dit, les suites (a n ) et ( b n ) sont adjacentes. Elles sont donc convergentes. Soit c leur limite.
De plus, f est continue en c ∈ I donc lim f (a n ) = f ( c) et lim f ( b n ) = f ( c).
n→+∞
n→+∞
Or f (a n ) É y ⇒ f ( c) É y et f ( b n ) Ê y ⇒ f ( c) Ê y.
Conclusion : f ( c) = y, autrement dit, y a au moins un antécédent par f .
37
12. Compléments : Exemples pour démontrer qu’une fonction
est continue
Exemple 12
P ( x) = x2 . Pour tout x0 ∈ R et tout x tel que | x − x0 | < δ, on a
| x2 − x02 | = | x − x0 | | x + x0 | < | x − x0 | (2| x0 | + 1),
Donc on peut choisir
½
0 < δ min 1,
ε
si 0 < δ É 1.
¾
.
2| x0 | + 1
Exemple 13
g( x) = 1x . Pour tout x0 ∈ R+∗ et tout x ∈ R+∗ tel que | x − x0 | < δ, on a
¯
¯
¯ 1 1 ¯ | x − x0 | 2| x − x0 |
¯ − ¯=
<
,
¯x x ¯
xx0
x02
0
si 0 < δ <
Donc on peut choisir
2
x0 ε x0
0 < δ = min
,
2 2
(
)
.
x0
.
2