Module M2 - Fondamentaux d`analyse - GIPSA-lab

- Module M2 -
Fondamentaux d’analyse
Cléo BARAS, c[email protected]
IUT1 - Grenoble
Département Réseaux et Télécommunications
DUT - 1ère année
Année universitaire 2009-2010
Web : http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/GTR/mathM2/index.asp

Table des matières
Table des matières 3
1 Généralités sur les fonctions 5
1.1 Qu’est ce qu’une fonction ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Quelques fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Graphe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Règles de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Variables muettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Type d’assemblage de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3 Domaine de définition et graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Limites 13
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Limite finie en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Limite finie en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 Limite infinie en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.4 Limite infinie en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.5 Exemples de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Calcul pratique de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Limites de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Opérations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.4 Équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.5 Croissance comparée de log, exp et puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Continuité 21
3.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1.2 Cas de non-continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1.3 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.2 Continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.3 Ensemble de continuité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.3.2 Ensemble de continuité des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.3.3 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Dérivation 25
3

4 Table des matières
4.1 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1 Dérivabilité en un point a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1.2 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.1.3 Dérivabilité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.2 Dérivabilité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.3 Calcul pratique de la dérivée d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.3.1 Ensemble de dérivabilité et dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . 27
4.1.3.2 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.4 Dérivées à l’ordre n......................................... 28
4.2 Sens de variation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.2 Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.3 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.1 Différentielle à l’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.1.1 Du formalisme des physiciens à celui des mathématiciens . . . . . . . . . . . . 32
4.3.1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.1.3 Opération sur les différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.2 Différentielle à l’ordre n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Études de fonctions 35
5.1 Plan d’étude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.1 Domaine d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.1.2 Symétries graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.2 Sens de variation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1.2.1 Étude du sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1.2.2 Tableau de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1.3 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2.1 Bijections et fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2.1.1 Bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2.1.2 Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2.2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Développements limités (DLs) 51
6.1 Notion de négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.2 Formule de Taylor-Young pour le calcul des DL en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.3 Développement limité et approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2.4 Développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2.5 Opérations sur les DLs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2.6 Développements limités et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Bibliographie 57
Bibliographie 57

CHAPITRE
1
Généralités sur les fonctions
1.1 Qu’est ce qu’une fonction ?
1.1.1 Définitions
Définition 1. FONCTION, ENSEMBLE DE DÉFINITION, IMAGE, ENSEMBLE IMAGE, ANTÉCÉDENT
1. Une fonction, notée f, est une relation qui relie chaque élément xd’un ensemble de départ Efavec au
plus un 1élément yd’un ensemble d’arrivée Af.
2. L’ensemble de définition d’une fonction, noté Df, est le sous-ensemble de Efconstitué par les xqui
sont effectivement en relation par favec un élément yde Af.
3. Si xappartient à Dfalors l’unique élément yavec lequel il est en relation se note f(x). On dit que yest
l’image de xpar f.
4. L’ensemble formé par les images de tous les éléments xde Dfpar fest un sous-ensemble de Afappelé
ensemble image et noté If.
5. Pour un élément xde Dfet son image ypar f,xest appelé un antécédent de ypar f2.
Une fonction fest donc définie par trois informations : son ensemble de départ Ef, son ensemble d’arrivée
Afet la règle de définition 3liant xày, dont sont déduit une quatrième information cruciale : l’ensemble de
définition Df4. Elle se note :
Notation.
f:½Ef−→ Af
x7−→ y(1.1)
Dans tout ce module, nous ne travaillerons que sur des fonctions de IR dans IR 5, ce qui signifie que les
éléments xde l’ensemble de départ Ef, ainsi que leurs images ydans l’ensemble d’arrivée Af, seront réels.
Exemple
La fonction carré est définie par : carré : ½IR −→ IR
x7−→ x2.
Les ensembles de départ et d’arrivée sont Dcarré =Acarré =IR ; la règle de définition est y=
carré(x)=x2; l’ensemble de définition est IR et l’ensemble image est IR+6. On remarque que :
3. Par abus de langage, la règle de définition est souvent appelée fonction, au risque d’oublier les ensembles de départ et d’arrivée.
4. Il ne servira à rien d’étudier une fonction en des éléments qui n’ont pas d’images !
5. Par simplification de langage, nous parlerons de fonctions réelles
5