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Chapitre 3: Espaces topologiques
I. D´efinition et exemples.
Dans le chapitre pr´ec´edent, nous avons d´efini les ouverts puis nous avons ´egalement
caract´eris´e les points adh´erents, les points int´erieurs, les applications continues
sans faire r´ef´erence directement `a la distance. Toujours dans le cadre des espaces
m´etriques, on peut v´erifier que l’ensemble vide et l’ensemble Esont des ouverts,
que toute intersection finie d’ouverts est un ouvert, et que toute r´eunion quel-
conque d’ouverts est un ouvert. Ces propri´et´es seront le point de d´epart pour
g´en´eraliser certains r´esultats pr´ec´edents `a un autre cadre qui sera celui des es-
paces topologiques. Mais, tout d’abord, nous allons d´efinir ce qu’on entend par
une topologie d´efinie sur un ensemble donn´e E.
D´efinition. Une topologie sur un ensemble Eest la donn´ee d’une famille
O ⊂ P(E) de parties de E, stable par intersection finie et par r´eunion quelconque
et telle que ∅et Eappartiennent `a cette famille.
Les ´el´ements de la famille Osont appel´es ouverts. Ainsi, les ouverts v´erifient
les axiomes suivants:
Axiomes des ouverts.
1. ∅et Esont des ouverts.
2. Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.
3. Toute r´eunion quelconque d’ouverts est un ouvert.
Un ensemble Emuni d’une topologie est dit espace topologique.
Exemples
1. La topologie grossi`ere O={∅, E}.
2. La topologie discr`ete O=P(E).
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3. Les espaces m´etriques o`u un ouvert Oest caract´eris´e par: ∀x∈O, ∃B(x, r)⊂
O.
4. Si Eest un espace topologique et A⊂Eest une partie de E, on d´efinit une
topologie sur Aen d´ecidant que tout ouvert de Aest la trace d’un ouvert de E,
c’est `a dire, qu’on consid`ere la famille OA⊂P(A)
OA={O∩A, O ouvert de E}.
On dit que Amuni de cette topologie (induite) est un sous espace topologique.
5. Sur la droite r´eelle achev´ee ¯ IR =IR ∪ {+∞,−∞} ordonn´ee par ∀a∈IR,
a≤+∞et −∞ ≤ a, on d´efinit les ouverts Ode ¯ IR de la mani`ere suivante:
-Si x∈O∩IR,Ocontient un intervalle centr´e en x.
- Si x= +∞ ∈ O,Ocontient un intervalle de la forme ]a, +∞] o`u a∈O
convenable.
- Si x=−∞ ∈ O,Ocontient un intervalle de la forme [−∞, a[ o`u a∈O
convenable.
Ceci d´efinit bien une topologie sur ¯ IR. Il d´ecoule de cette d´efinition que IR
est un ouvert de ¯ IR, et que c’est un sous espace topologique de ¯ IR.
II. Ferm´es, voisinages, bases d’ouverts et base de voisi-
nages.
D´efinition. Une partie d’un espace topologique Eest dite ferm´ee si c’est le
compl´ementaire d’un ouvert.
Axiome des ferm´es.
- Toute intersection quelconque de ferm´es est un ferm´e.
- Toute r´eunion finie de ferm´es est un ferm´e.
-∅et Esont des ferm´es.
D´efinition. Une partie V(x)⊂Eest appel´ee voisinage de xsi elle contient un
ouvert Oqui contient x.
Remarque. Un ouvert est voisinage de chacun de ses points mais un voisinage
n’est pas forc´ement un ouvert. Par exemple, dans l’espace m´etrique IR muni de
la distance d´efinie `a partir de la valeur absolue, V(1) = [0,2] est un voisinage
de 1 mais ce n’est pas un ouvert de IR.
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Axiomes des voisinages. On note V(x) l’ensemble de tous les voisinages de
x. On a les propri´et´es suivantes:
1. ∀x∈E,V(x) est non vide. et ∀V∈ V(x), x∈V.
2. Si A⊂Eest une partie quelconque de Eet si Acontient un ´el´ement de
V(x), alors A∈ V(x).
3. V(x) est stable par intersection finie.
4. ∀V∈ V(x), ∃W⊂Vtel que ∀y∈W,V∈ V(y).
Remarque On peut d´efinir une topologie `a partir de la donn´ee d’une famille de
ferm´es v´erifiant l’axiome des ferm´es en d´ecidant qu’un ouvert est le compl´ementaire
d’un ferm´e. La famille des ouverts ainsi d´efinie v´erifie alors les axiomes des ou-
verts.
De la mˆeme mani`ere, on peut le faire `a partir des voisinages en d´ecidant
qu’un ouvert Oest une partie voisinage de chacun de ses points. On v´erifie
alors que c’est bien une topologie et que, pour cette topologie, les voisinages
sont exactement la famille initiale de voisinages.
D´efinitions On appelle base d’ouverts toute sous famille Ude l’ensemble des
ouverts Otelle que tout ´el´ement O∈ O s’´ecrive comme r´eunion d’´el´ements de
U.
On appelle base de voisinages ou syst`eme fondamental de voisinages de
xune sous-famille W(x)⊂ V(x) telle que
∀V∈ V(x),∃W∈ W(x), W ⊂V.
Exemples.
Si Eest un espace m´etrique, les ouverts sont par d´efinition des r´eunions de
boules ouvertes. Par suite, les boules ouvertes constituent une base de voisi-
nages. Les boules ouvertes de rayon rationnel constituent aussi une base de
voisinages.
Toujours dans le cadre des espaces m´etriques, les boules centr´ees en un
´el´ement x∈Eet rayon rn= 2−nconstituent un syst`eme fondamental de
voisinages de x.
D´efinitions. A´etant une partie de E, un point x∈Aest dit int´erieur `a A
s’il existe un voisinage Vde xcontenu dans A. On note ˚ Al’ensemble des points
int´erieurs `a A.
Un point x∈Eest adh´erent `a Asi tout voisinage de xrencontre A. On
note ¯ Al’ensemble des points adh´erents `a A.
On appelle fronti`ere de la partie Al’ensemble des ´el´ements qui sont adh´erents
`a la fois `a Aet `a son compl´ementaire. La fronti`ere de Aest not´ee Fr(A). On a
donc Fr(A)= ¯ A∩Ac.
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Une partie Aest dite dense dans Esi ¯ A=E.
Soient Aet Bdeux parties v´erifiant A⊂B, on dit que Aest dense dans
Bsi ¯ A contient B.
Cons´equences Comme dans le cas des espaces m´etriques, on d´emontre sans
trop de peine que ˚ Aest un ouvert et que c’est le plus grand ouvert contenu dans
A, que ¯ Aest un ferm´e et que c’est le plus petit ferm´e contenant A.
D´efinition. Un espace topologique est dit s´epar´e s’il v´erifie la propri´et´e suiv-
ante dite de Hausdorff: Deux ´el´ements distincts ont des voisinages respectifs
disjoints.
Exemples
- Les espaces m´etriques sont des espaces s´epar´es. En effet, si xet ysont
deux ´el´ements distincts et si r=d(x, y), les boules B(x, r/2) et B(y, r/2) sont
des voisinages respectifs disjoints.
-IR et ¯ IR sont s´epar´es.
- Tout sous-espace d’un espace s´epar´e est s´epar´e.
III. Applications continues.
D´efinition. Soient Eet Fdeux espaces topologiques et f:E→Fune
application. On dit que fest continue en x∈Esi ∀V∈ V(f(x)), ∃U∈ V(x),
tel que f(U)⊂V.
Ceci ´equivaut `a ∀V∈ V(f(x)), f −1(V)∈ V(x).
On dit que fest continue sur Esi fest continue en tout point de Eet f
est un hom´eomorphisme si fest continue sur E, bijective et f−1est continue
sur F.
Propri´ et´ es.
1. Si W(f(x)) est un syst`eme fondamental de voisinages de f(x), alors
pour montrer que fest continue en x, il suffit de v´erifier le point suivant:∀V∈
W(f(x)), f−1(V) est un voisinage de x.
2. Soient E,Fet Gtrois espaces topologiques, f:E→Fet g:F→G
deux applications continues alors la compos´ee g◦fest continue.
3. Soit f:E→Fune application, A⊂Eune partie et x∈Eadh´erent
`a A. Si fest continue en xalors f(x)∈f(A). (f(x) est adh´erent `a f(A) ou
autrement ´ecrit f(¯ A)⊂f(A).)
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4. Si f:E→Fest un hom´eomorphisme, il existe une bijection entre les
ouverts de Eet les ouverts de F.
D´emonstration Nous allons montrer le premier point puis le troisi`eme point.
Si U∈ V(f(x)) est un voisinage de f(x), alors Ucontient un voisinage W
appartenant au syst`eme fondamental de voisinages W(f(x)). Ainsi, f−1(U)
contient f−1(W) et sera donc un voisinage de x.
Pour le troisi`eme point, si Aest une partie de E,x∈Etel que x∈¯ A,
montrons qu’on a f(x)∈f(A). Soit donc V(f(x)) un voisinage quelconque de
f(x), f´etant continue, f−1(V(f(x))) est un voisinage de x, par cons´equent,
f−1(V(f(x))) ∩A6=∅. Finalement, il existe y∈V(f(x)) ∩f(A), c’est `a dire
f(x)∈f(A).
Th´eor`eme Soit f:E→Fcontinue, on a ´equivalence entre:
1. fest continue sur E.
2. ∀A⊂E,f(¯ A)⊂f(A).
3. Pour tout ferm´e Bde l’espace topologique F,f−1(B) est un ferm´e de E.
4. Pour tout ouvert O⊂F,f−1(O) est un ouvert de E.
D´emonstration.
On va montrer 1 →2→3→4→1. Le point 1 →2 a d´ej`a ´et´e ´etabli ainsi
que le point 4 →1. On va montrer 2 →3 et 3 →4.
Soit Bun ferm´e de F, d’apr`es 2, f(f−1(B)) ⊂f(f−1(B)) et par suite,
f(f−1(B)) ⊂¯ B=B. D’o`u f−1(B)⊂f−1(B). f−1(B) est donc ferm´e.
Supposons le point 3, et soit Oun ouvert de F, montrons que f−1(O) est
un ouvert de E. Notons Ason compl´ementaire et B celui de O. Cela revient `a
montrer que Aest ferm´e, or A=f−1(B) et Best ferm´e par hypoth`ese d’o`u le
r´esultat.
Remarque L’image d’un ouvert par une application continue n’est pas n´ecessairement
un ouvert. Si c’est le cas, on dit que l’application est ouverte. C’est notamment
le cas des hom´eomorphismes.
IV. Comparaison de topologies.
D´efinition On dit qu’une topologie T1d´efinie par une famille de parties O1
est moinsfine qu’une topologie T2d´efinie par une famille de parties O2si tout
´el´ement de O1est un ´el´ement de O2, c’est `a dire que tout ouvert pour T1est
un ouvert pour T2.
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