Rappels des notions de topologie Point limite convergence

Rappels des notions de topologie
Point limite ❀convergence, connexit´e, continu´et´e,
diff´erentiabilit´e, etc.
Point limite �Espace topologique.
Un ensemble Eaune topologie pourvu que pour tout point pde
Eet tout sous-ensemble Xde Ela question :
“p est-il un point limite de X relativement `a la topologie ?”
a une r´eponse.
•toujours oui �topologie triviale
•toujours non �topologie discr`ete
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D´efinition :
Soit Eun ensemble et τ⊆P(E)(i.e. P(E)est l’ensemble des
sous-ensembles de E).
L’ensemble τest dit une topologie sur Esi
•∅,E∈τ;
•Une union quelconque d’´el´ements de τest dans τ(i.e si
(Oi)i∈Iest une collection d’´el´ements de τalors i∈IOiest
aussi un ´el´ement de τ);
•Une intersection finie d’´el´ements de τest dans τ(i.e
si O1, ..., On∈τalors O1... Onest aussi un ´el´ement de τ).
τest appel´e une topologie sur E, les ´el´ements de τsont appel´es
les ouverts de la topologie et le couple (E,τ) est appel´e un
espace topologique.
Le compl´ementaire d’un ouvert est appel´e un ferm´e :
Fest ferm´e ⇐⇒ E \ Fest ouvert
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D´efinition :
Soit (E,τ) un espace topologique et soient p∈Eet X⊆E.pest
dit un point limite de Xrelativement `a τ, si tout ouvert de τ
contenant pcontient n´ec´essairement un point xde Xdifferent
de p.
On notera dans la suite Limiteτ(X)l’ensemble des points limites
de Xrelativement `a τ.
Exemple d’esapces topologiques :
Soit Eun ensemble
1. τtr ={∅,E} est la topologie triviale sur E.
2. τdis =P(E) est la topologie discr`ete sur E.
3. Soit E={a, b, c}.τ={∅,{a},{a, b},{a, c},E} est une topolo-
gie sur E.
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Notations :
Soient (E,τ) un espace topologique et X⊆E,
•X=XLimiteτ(X). Xest appel´e la fermeture de X
•X◦=O∈τet O⊆XO.X◦est appel´e ouverture de Xet est le
plus grand ouvert contenu dans X.
•∂(X) = X∩E \ X.∂(X) est appel´e le bord de l’ensemble X.
Exercices :
Montrez que si (E,τ) un espace topologique et X⊆E. Alors on
a :
1. X=(E\F)∈τet X⊆FF.Xest le plus petit ensemble ferm´e
contenant X.
2. Xest un ensemble ferm´e relativement `a τ.
3. X=X.
4. Xest ferm´e ⇐⇒ X=X.
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Op´erations sur les topologies :
D´efinition :
•Soient (E,τ) un espace topologique et Xun sous-ensemble
de E.La topologie induite par τsur Xest la topologie
τ|X={O∩X|O∈τ}(τ|Xest appel´e aussi la trace de la
topologie τsur X). Le couple (X, τ|X) est dit un sous-espace
topologique de (X, τ).
•Soient Eun ensemble et τ1,τ2deux topolgies sur E.τ1est dite
plus fine que τ2lorsque τ2⊆τ1.
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