Rappels des notions de topologie Point limite convergence

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Rappels des notions de topologie
Point limite
❀
différentiabilité, etc.
convergence,
connexité,
continuété,
Point limite � Espace topologique.
Un ensemble E a une topologie pourvu que pour tout point p de
E et tout sous-ensemble X de E la question :
“p est-il un point limite de X relativement à la topologie ?”
a une réponse.
• toujours oui � topologie triviale
• toujours non � topologie discrète
1
Définition :
Soit E un ensemble et τ ⊆ P(E) (i.e. P(E) est l’ensemble des
sous-ensembles de E).
L’ensemble τ est dit une topologie sur E si
• ∅, E ∈ τ ;
• Une union quelconque d’éléments de τ est dans�τ (i.e si
(Oi )i∈I est une collection d’éléments de τ alors
O est
i∈I i
aussi un élément de τ ) ;
• Une intersection finie �
d’éléments
de τ est dans τ (i.e
�
si O1 , ..., On ∈ τ alors O1 ... On est aussi un élément de τ ).
τ est appelé une topologie sur E, les éléments de τ sont appelés
les ouverts de la topologie et le couple (E, τ ) est appelé un
espace topologique.
Le complémentaire d’un ouvert est appelé un fermé :
F est fermé ⇐⇒ E \ F est ouvert
2
Définition :
Soit (E, τ ) un espace topologique et soient p ∈ E et X ⊆ E. p est
dit un point limite de X relativement à τ , si tout ouvert de τ
contenant p contient nécéssairement un point x de X different
de p.
On notera dans la suite Limiteτ (X) l’ensemble des points limites
de X relativement à τ .
Exemple d’esapces topologiques :
Soit E un ensemble
1. τtr = {∅, E} est la topologie triviale sur E.
2. τdis = P(E) est la topologie discrète sur E.
3. Soit E = {a, b, c}. τ = {∅, {a}, {a, b}, {a, c}, E} est une topologie sur E.
3
Notations :
Soient (E, τ ) un espace topologique et X ⊆ E,
�
Limiteτ (X).
�
• X=X
X est appelé la fermeture de X
• X ◦ = O∈τ et O⊆X O. X ◦ est appelé ouverture de X et est le
plus grand ouvert contenu dans X.
• ∂(X) = X ∩ E \ X. ∂(X) est appelé le bord de l’ensemble X.
Exercices :
Montrez que si (E, τ ) un espace topologique et X ⊆ E. Alors on
a :
�
1. X = (E\F )∈τ et X⊆F F . X est le plus petit ensemble fermé
contenant X.
2. X est un ensemble fermé relativement à τ .
3. X = X.
4. X est fermé ⇐⇒ X = X.
5
Opérations sur les topologies :
Définition :
• Soient (E, τ ) un espace topologique et X un sous-ensemble
de E. La topologie induite par τ sur X est la topologie
τ|X = {O ∩ X | O ∈ τ } ( τ|X est appelé aussi la trace de la
topologie τ sur X ). Le couple (X, τ|X ) est dit un sous-espace
topologique de (X, τ ).
• Soient E un ensemble et τ1 , τ2 deux topolgies sur E. τ1 est dite
plus fine que τ2 lorsque τ2 ⊆ τ1 .
6
Espaces métriques
Définition Soit E un ensemble. Une application d : E × E �→ R+
est dite une métrique (ou une distance) si pour tout x, y, z ∈ E
on a :
• d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
• d(x, y) = d(y, x)
• d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Le couple (E, d) est appelé un espace métrique.
7
Exemples E = Rn (n ≥ 1) :
Soient �
x, �
y ∈ Rn avec �
x = (x1 , x2 , ..., xn ) et �
y = (y1 , y2 , ..., yn ).
x, �
y ) = sup |xi − yi | ;
• d∞ (�
1≤i≤n
x, �
y) =
• d1 (�
x, �
y) =
• d2 (�
�
1≤i≤n
|xi − yi |
� �
1≤i≤n
(xi − yi )2
• Plus généralement, pour p ≥ 1 on’a : dp (�
x, �
y) = (
Remarque : d∞ (�
x, �
y ) = lim dp (�
x, �
y)
�
1≤i≤n
1
|xi −yi |p ) p .
p→∞
8
Notation :
Soient (E, d) un espace métrique, x ∈ E et r > 0. L’ensemble :
Brd (x) = {y ∈ E | d(x, y) < r}
est appelé la boule ouverte de E de centre x et de rayon r
relativement à la distance d.
Brd (x) � Br (x)
Remarque :
La donnée d’un espace métrique induit une topologie. En effet,
soit (E, d) un espace métrique. Alors
τ d = {O ⊆ E | ∀x ∈ O, ∃r > 0, Br (x) ⊆ O}
est une topologie sur E, elle est appelée la topologie induite par
la métrique d sur E.
Remarque :
Sur Rn , τ dp = τ d∞ pour tout p ≥ 1. Cette topologie est appelée la
topologie usuelle (ou la topologie euclidienne) sur Rn .
9
Application continue
Soient (E1 , τ1 ) et (E2 , τ2 ) deux espaces topolgiques.
• Une application f : E1 �→ E2 est dite continue si pour tout
O2 ∈ τ2 , f −1 (O2 ) ∈ τ1 .
• Une application f : E1 �→ E2 est appelé un homéomorphisme si
f est bijective et continue et f −1 est continue.
Dans ce cas, on dit que les ensembles E1 , E2 sont
homéomorphes.
10
Définition : Séparabilité ; connexité
Soit (E, τ ) un espace topologique et soit X ⊆ E.
• E est dit séparable s’il existe deux ouverts non vides et
disjoints dont l’union est E.
• E est dit connexe, s’il n’est pas séparable.
– X est dit connexe relativement à τ si le sous-espace
topologique (X, τ|X ) est un espace topologique connexe.
– X est dit une composante connexe relativement à τ si X est
connexe relativement à τ et pour tout X � tel que X ⊂ X � ⊆ E,
X � n’est pas connexe relativement à τ .
Définition : Connexité par arc
Soit (E, τ ) un espace topologique.
• Un arc dans (E, τ ) est l’image f ([0, 1]) d’une application
continue f de [0, 1] dans (E, τ ) où [0, 1] est considéré avec la
topologie usuelle induite par la distance d2 . f (0) et f (1) sont
appelés les extrémités de l’arc.
• (E, τ ) est dit connexe par arc si pour tout points p1 , p2 ∈ E,
il existe un arc dans (E, τ ) dont les extrémités sont les points
p1 , p2 .
11
Définition :
Soient (E, τ ) un espace topologique et f : [0, 1] �→ E une
application continue où [0, 1] est consideré avec la topologie
usuelle induite par la distance d∞ . Cf = f ([0, 1]) est dit une
courbe fermée simple dans (E, τ ) si f (0) = f (1) et la restriction
de f à l’intervalle semi-ouvert [0, 1[ est une application injective.
Théorème de Jordan :
Considérons R2 avec la topologie usuelle et soit C une courbe
fermée simple dans R2 . Alors R2 \ C a deux composantes connexes
dont une est bornée et l’autre non-bornée.
13
Définition :
Considérons R2 avec la topologie usuelle et soient C une courbe
fermée simple dans R2 et p ∈ (R2 \ C). Ind(p, C) = Card({q | q ∈
(C ∩ R(p)) et R(p) non tangeant à C au point q}) où R(p) est
une demi-droite partant du point q. Ind(p, C) est appelé l’indice
du point p relativement à la courbe fermée simple C.
Propriété :
Soit C une courbe fermée simple dans R2 et p ∈ (R2 \ C). Alors,
• La paritée du nombre Ind(p, C) ne dépond pas du choix de la
demi-droite R(p) partant de p.
• Si Ind(p, C) est impair, alors p est dans la composante connexe
bornée de R2 \ C.
• Si Ind(p, C) est pair, alors p est dans la composante connexe
non bornée de R2 \ C.
14
Graphe
Définitions et notations :
Soit E un ensemble. Un graphe non-orienté simple sur E est
un couple G = (E, A) où A est un ensemble de paires sur E
c’est-à-dire des éléments de la forme {x, y} avec x, y ∈ E et x �= y
(i.e. A ⊆ P2 (E) où P2 (E) est l’ensemble des paires de l’ensemble
E). Les éléments de E (respectivement de A) sont appelés les
sommets (respectivement les arêtes) du graphe G.
• VG (x) = {y | {x, y} ∈ A} et VG∗ (x) = VG (x)
�
{x}.
• Un chemin C dans G est une suite C = x0 , x1 , ..., xn tel que
{xi , xi+1 } ∈ A pour 0 ≤ i < n. x0 (respectivement xn ) est
appelé le début (respectivement la fin) du chemin C et n est
appelé la longueur de C.
• G est dit connexe si ∀x, y ∈ E, il existe un chemin de début x
et de fin y.
15
Définitions et notations (suite) :
• Un chemin x0 , ..., xn est dit simple si xi �= xj pour i �= j sauf
peut-être pour {i, j} = {0, n}.
• Un cycle est un chemin x0 , ..., xn tel que x0 = xn et un cycle
simple est un cycle qui est un chemin simple.
• Un arc simple est un chemin x0 , ..., xn tel que si {xi , xj } ∈ A
alors i ≡ j + 1(modn − 1) ou j ≡ i + 1(modn − 1).
• Une courbe fermée simple est un cycle qui est un arc simple.
Une courbe fermée simple simple est appelée aussi une face.
• Un chemin géodesique entre deux points est un plus court
chemin entre ces deux points.
Remarques :
• La donnée d’une fonction V : E �→ P(E) telle que pour tout
x, y ∈ E, x �∈ V (x) et (y ∈ V (x) ⇐⇒ x ∈ V (y)) détermine d’une
façon unique un graphe simple non-orienté GV . La fonction V
est appelée le voisinage associée au graphe GV .
• Un chemin géodesique est un arc.
16
Exemples :
• G1 = (Z, {{n, n + 1} | n ∈ Z}).
• Sur Z2 on considère deux structures de graphes :
1. G4 = (Z2 , A4 ) où A4 correspond à la fonction voisinage V4
définie par V4 (p) = {x ∈ Z2 | d1 (x, p) = 1}.
2. G8 = (Z2 , A8 ) où A8 correspond à la fonction voisinage V8
définie par V8 (p) = {x ∈ Z2 | d∞ (x, p) = 1}.
17
Les voisinages relativement à G4 et G8
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Le Garphe G8 est non planaire
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19
Courbes fermées dans G4 et G8
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20
Définitions :
Soient G = (E, A) un graphe non-orienté simple sur E � un sousensemble de E.
• G(E � ) = (E � , A|E � ) est appelé le sous-graphe de G engendré par
�
E � où A|E � = A P2 (E � ).
• E � est dit connexe relativement à G (ou connexe (s’il n y pas
d’ambiguı̈té concernat le graphe G)) si le graphe G(E � ) est
connexe.
• E � est appelé une composante connexe de G, si E � est
un ensemble connexe maximal (pour l’inclusion) dans E.
Autrement dit, si E � ⊂ E �� ⊆ E, alors E �� n’est pas connexe.
Remarques :
• Soit G = (E, A) un graphe simple non-orienté et soit C un
sous-ensemble connexe de E alors il existe une et une seule
composante connexe de G contenant C.
• L’ensemble C(G) des compsantes connexes d’un
� graphe G =
(E, A) est une partition de E autrement dit E = C∈C(G) C et si
C1 , C2 ∈ C(G) et C1 �= C2 alors C1 ∩ C2 = ∅.
21
Définition :
• Un sous-ensemble de Zn pour n = 1 ou 2 est dit k−connexe
s’il est connexe relativement au graphe Gk pour k = 1, 4 ou
8 et une k-composante connexe est une composante connexe
relativement au graphe Gk .
• Un k-arc simple (respectivement une k-courbe fermée simple)
est un arc (respectivement une courbe fermée simple) relativement au graphe Gk .
22
4-Connexité et 8-connexité
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Définition :
Soient C = (pi )1≤i≤n
q = (xq , yq ) ∈ Z2 \ C.
une
k-courbe
fermée
simple
et
• Δx (q) = {q + (k, 0) | k ∈ N} est la demi droite horizontale
partant du point q vers la droite.
• Δ(q, C) = {(k, k� ) ∈ N2 | {pk−1 , pk� +1 } ∩ Δx (q) = ∅ et ∀l ∈
�k, k� �, xl ∈ Δx (q)} l’ensmble des intervalles maximaux formant
une partition de l’ensemble Δx (q) ∩ C.
• On dit que la demi-droite Δx (q) est tangeante à la courbe C
en l’intervalle I = (k, k� ) ∈ Δ(q, C) si les deux points pk−1 et
pk� +1 sont du même coté de la demi droite Δx (q). Autrement
dit (ypk−1 − yq ) ∗ ((ypk� +1 − yq ) = 1.
• On dit que la demi-droite Δx (q) traverse la courbe C en l’intervalle I = (k, k� ) ∈ Δ(q, C) si les deux points pk−1 et pk� +1 sont
dans des cotés oposés de la demi droite Δx (q). Autrement dit
(ypk−1 − yq ) ∗ ((ypk� +1 − yq ) = −1.
24
Connexité relativement à G4 et G8
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Définition :
Soient C une k-courbe fermée simple et q ∈ Z2 \ C.
• q est dit extérieur relativement à C si le nombre d’intervalles
de Δ(q, C) où Δx (q) traverse la courbe C est un nombre pair.
• q est dit intérieur relativement à C si le nombre d’intervalles de
Δ(q, C) où Δx (q) traverse la courbe C est un nombre impair.
26
Courbes fermées dans G4 et G8
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27
Propriétés (Rosenfeld - 1970) :
Soit C une 4-courbe fermée simple de longueur strictement
supérieure à 4.
• L’intérieur et l’extérieur de C sont tous les deux non vides.
• Si p est un pixel intérieur relativement à C et q est un pixel
extérieur relativement à C, alors tout 8-chemin allant de p à q
rencontrent nécessairement C.
Théorème de Jordan discret (Rosenfeld - 1973) :
Soit C une 4-courbe (respectivement 8-courbe) fermée simple de
longueur strictement supérieure à 4 (respectivement strictement
supérieure à 3). Alors, Z2 \ C a deux composante 8-connexes (respectivement deux composante 4-connexes) dont une est finie et
l’autre est infinie.
28
Définition :
Soit E un ensemble et τ ⊆ P(E) L’ensemble τ est dit une
topologie d’Alexandroff sur E si
• ∅, E ∈ τ ;
• Une union quelconque d’éléments de τ est dans�τ (i.e si
O est
(Oi )i∈I est une collection d’éléments de τ alors
i∈I i
aussi un élément de τ ) ;
• Une intersection quelconque d’éléments de τ est dans
τ� (i.e si (Oi )i∈I est une collection d’éléments de τ alors
O est aussi un élément de τ ).
i∈I i
Soit p ∈ E.
Oτ (p) =
�
O.
O∈τ et p∈O
Oτ (p) est le plus petit ouvert (au sens de l’inclusion) de τ contenant p.
29
Préservation de ”la topologie” dans Z
En cherche les topologies τ sur Z telles que la condition suivante
soit vérifiée :
• (i1 ) Tout sous-ensemble A de Z est connexe relativement à τ
si et seulement si A est 1-connexe.
→ ”Deux” possibilités : les topologies homéomorphes τ et τ �
telles que :
• Oτ (0) = {−1, 0, 1}, Oτ (1) = {1} et pour tout p ∈ Z,
Oτ (p + 2) = {p} ⊕ Oτ (p) et Oτ (p − 2) = {p} ⊕ Oτ (p).
• Oτ � (0) = {0}, Oτ � (1) = {0, 1, 2} et pour tout p ∈ Z,
Oτ � (p + 2) = {2} ⊕ Oτ � (p) et Oτ � (p − 2) = {−2} ⊕ Oτ � (p).
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30
Préservation de ”la topologie” dans Z2
En cherche les topologies τ sur Z telles que la condition suivante
soit vérifiée :
(i4 ) Tout sous-ensemble 4-connexe de Z2 est connexe relativement à τ .
(i8 ) Tout sous-ensemble non 8-connexe de Z2 est non connexe
relativement à τ .
→ À homéomorphisme près, il n y a que deux topologies
possibles τ et τ � vérifiant les conditions (i4 ) et (i8 )
31
La
topologie
d’Alexandroff
τ�
est
définie
le plus petit ouvert associés à chaque point :
• Oτ (0) = V4 (0, 0) ∪ {(0, 0)},
• Oτ (p) = {p} pour p ∈ V4 (0, 0) et
• Oτ (p + (±1, ±1)) = Oτ (p) ⊕ {(±1, ±1)} pour tout p ∈ Z2
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32
par
Notations :
V4X (x, y) = {(x−1, y), (x+1, y)} ; V4Y (x, y) = {(x, y−1), (x, y+1)}.
❀ V4 (x, y) = V4X (x, y) ∪ V4Y (x, y).
La
topologie
d’Alexandroff
τ�
est
définie
le plus petit ouvert associés à chaque point :
• Oτ � (0) = V8 (0, 0) ∪ {(0, 0)},
• Oτ � (p) = {p} pour p ∈ (V8 (0, 0) \ V4 (0, 0)),
• Oτ � (p) = V4Y (p) ∪ {p} pour p ∈ V4X (0, 0),
• Oτ � (p) = V4X (p) ∪ {p} pour p ∈ V4Y (0, 0), et
• Oτ � (p + (0, ±2)) = Oτ � (p) ⊕ {(0, ±2)} pour tout p ∈ Z2 et
• Oτ � (p + (±2, 0)) = Oτ � (p) ⊕ {(±2, 0)} pour tout p ∈ Z2 .
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33
par
Arbre des composantes k-connexes
→ k-connexité pour la figure et k� -connexité pour le fond avec
k ∈ {4, 8} et k� = 12 − k donc {k, k� } = {4, 8}
Définition :
Soient A une composante k-connexe de la figure et B une
composante k� -connexe du fond d’une image binaire I. A et B
sont dites adjacentes s’il existe un pixel a ∈ A et un pixel b ∈ B
tels que b ∈ V8 (a). On utilisera la notation : AI,k,k� (A, B).
Remarque :
Dans une image binaire I, la relation d’adjacence AI,k,k� définie
un graphe non-orienté bipartie entre les composantes k-connexes
de la figure et les composantes k� -connexes du fond de l’image
I.
Propriétés :
• Soient A une composante k-connexe de la figure et B une
composante k� -connexe du fond d’une image I. Alors A et B
sont adjacentes si et seulement si il existe un pixel a ∈ A et
un pixel b ∈ B tels que b ∈ V4 (a).
• Dans une image binaire I, le graphe bipartie correspondant à la
relation d’adjacence AI,k,k� entre les composantes k-connexe de
la figure et les composantes k� -connexe du fond est un arbre.
34
35
Déformation “continue” dans l’espace discret !
36
Suppression “continue” d’un pixel !
Adjonction “continue” d’un pixel !
37
Préservation de la topologie dans Z2
Soient I une image binaire dans Z2 et X ⊆ Z2 la figure de
I ( X (respectivement Z2 \ X est l’ensemble des pixels noirs
(respectivement blancs) ) de I.
Soient k ∈ {4, 8} et k� = 12 − k donc {k, k� } = {4, 8}.
Définition :
Un pixel x ∈ X est dit k-simple relativement à X si les deux
propriétés suivantes sont satisfaites :
(I) X et X \ {x}
k-connexes.
ont le même nombre de composantes
(II) Z2 \X et (Z2 \X)∪{x} ont le même nombre de composantes
k’-connexes.
❀ Caratérisation globale de la notion de k-simplicité.
38
❀ Caratérisation locale de la notion de k-simplicité ?
Théorème (Rosenfeld 1970) :
Un pixel x ∈ X est k-simple relativement à X si et seulement si
(i) V8 (x) ∩ X est non vide et contient une seule composante
k-connexe qui est k-adjacente à x.
(ii) V8 (x)∩(Z2 \X) est non vide et contient une seule composante
k� -connexe qui est k� -adjacente à x.
39
(1) 4−simple
non 8−simple
(4) 4−simple
8−simple
(2) non 4−simple
non 8−simple
(5) 4−simple
non 8−simple
(3) non 4−simple
8−simple
(6) non 4−simple
non 8−simple
40
Soit k ∈ {4, 8}.
Définition :
Soient X, Y ⊆ Z2 tels que Y ⊆ X. Y est dit sous k-homotope à X
s’il exists une suite d’ensembles Z0 , Z1 , ..., Zn telle que
• Z0 = X, Zn = Y et
• Zi \ Zi+1 = {xi } et xi est k-simple relativement à Zi pour tout
entier i tel que 0 ≤ i < n.
Théorème :
Soient X, Y ⊆ Z2 tels que Y ⊆ X. Y est sous k-homotope à X si
et seulement si
1. Chaque composante k-connexe de X contient exactement
une unique composante k-connexe de Y et
2. chaque composante (12 − k)-connexe de Z2 \ Y contient
exactement une unique composante (12 − k)-connexe de
Z2 \ X.
41
Soit k ∈ {4, 8}.
Définition :
Soient X, Y ⊆ Z2 . X et Y sont dit k-homotopiquement equivalent
s’il exists une suite d’ensembles Z0 , Z1 , ..., Zn telle que
• Z0 = X, Zn = Y et
• ( Zi \ Zi+1 = {xi } et xi est k-simple relativement à Zi ) ou
( Zi+1 \ Zi = {xi } et xi est k-simple relativement à Zi+1 )
pour tout entier i tel que 0 ≤ i < n.
Théorème :
Soient X, Y ⊆ Z2 . X et Y sont k-homotopiquement equivalent
si et seulement si leurs arbes de composantes k-connexes sont
isomorphes (c’est-à-dire que les deux arbres sont égaux à un renommage près des noeuds).
42
Pixel simple et nombres de Yokoı̈
❀ (pixel noir ↔ 1) ; (pixel blanc ↔ 0)
X7
X 8 = X0
X6
P
X5
X4
X1
X2
X3
Voisinage dans l’image I du pixel P où les varibales Xi prennent
les valeurs 0 ou 1 selon qu’ils sont pixel blanc ou pixel noir.
Définition (Nombres de Yokoı̈) :
• Y4,I (P ) = X0 (1 − X1 X2 ) + X2 (1 − X3 X4 ) + X4 (1 − X5 X6 ) + X6 (1 − X7 X8 ).
• Y8,I (P ) = X0� (1 − X1� X2� ) + X2� (1 − X3� X4� ) + X4� (1 − X5� X6� ) + X6� (1 − X7� X8� ).
où Xi� = 1 − Xi pour tout entier 0 ≤ i ≤ 7.
Théorème :
P est k-simple relativement à l’image binaire I si et seulement si
Yk,I (P ) = 1.
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