Rappels des notions de topologie Point limite ❀ différentiabilité, etc. convergence, connexité, continuété, Point limite � Espace topologique. Un ensemble E a une topologie pourvu que pour tout point p de E et tout sous-ensemble X de E la question : “p est-il un point limite de X relativement à la topologie ?” a une réponse. • toujours oui � topologie triviale • toujours non � topologie discrète 1 Définition : Soit E un ensemble et τ ⊆ P(E) (i.e. P(E) est l’ensemble des sous-ensembles de E). L’ensemble τ est dit une topologie sur E si • ∅, E ∈ τ ; • Une union quelconque d’éléments de τ est dans�τ (i.e si (Oi )i∈I est une collection d’éléments de τ alors O est i∈I i aussi un élément de τ ) ; • Une intersection finie � d’éléments de τ est dans τ (i.e � si O1 , ..., On ∈ τ alors O1 ... On est aussi un élément de τ ). τ est appelé une topologie sur E, les éléments de τ sont appelés les ouverts de la topologie et le couple (E, τ ) est appelé un espace topologique. Le complémentaire d’un ouvert est appelé un fermé : F est fermé ⇐⇒ E \ F est ouvert 2 Définition : Soit (E, τ ) un espace topologique et soient p ∈ E et X ⊆ E. p est dit un point limite de X relativement à τ , si tout ouvert de τ contenant p contient nécéssairement un point x de X different de p. On notera dans la suite Limiteτ (X) l’ensemble des points limites de X relativement à τ . Exemple d’esapces topologiques : Soit E un ensemble 1. τtr = {∅, E} est la topologie triviale sur E. 2. τdis = P(E) est la topologie discrète sur E. 3. Soit E = {a, b, c}. τ = {∅, {a}, {a, b}, {a, c}, E} est une topologie sur E. 3 Notations : Soient (E, τ ) un espace topologique et X ⊆ E, � Limiteτ (X). � • X=X X est appelé la fermeture de X • X ◦ = O∈τ et O⊆X O. X ◦ est appelé ouverture de X et est le plus grand ouvert contenu dans X. • ∂(X) = X ∩ E \ X. ∂(X) est appelé le bord de l’ensemble X. Exercices : Montrez que si (E, τ ) un espace topologique et X ⊆ E. Alors on a : � 1. X = (E\F )∈τ et X⊆F F . X est le plus petit ensemble fermé contenant X. 2. X est un ensemble fermé relativement à τ . 3. X = X. 4. X est fermé ⇐⇒ X = X. 5 Opérations sur les topologies : Définition : • Soient (E, τ ) un espace topologique et X un sous-ensemble de E. La topologie induite par τ sur X est la topologie τ|X = {O ∩ X | O ∈ τ } ( τ|X est appelé aussi la trace de la topologie τ sur X ). Le couple (X, τ|X ) est dit un sous-espace topologique de (X, τ ). • Soient E un ensemble et τ1 , τ2 deux topolgies sur E. τ1 est dite plus fine que τ2 lorsque τ2 ⊆ τ1 . 6 Espaces métriques Définition Soit E un ensemble. Une application d : E × E �→ R+ est dite une métrique (ou une distance) si pour tout x, y, z ∈ E on a : • d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y. • d(x, y) = d(y, x) • d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Le couple (E, d) est appelé un espace métrique. 7 Exemples E = Rn (n ≥ 1) : Soient � x, � y ∈ Rn avec � x = (x1 , x2 , ..., xn ) et � y = (y1 , y2 , ..., yn ). x, � y ) = sup |xi − yi | ; • d∞ (� 1≤i≤n x, � y) = • d1 (� x, � y) = • d2 (� � 1≤i≤n |xi − yi | � � 1≤i≤n (xi − yi )2 • Plus généralement, pour p ≥ 1 on’a : dp (� x, � y) = ( Remarque : d∞ (� x, � y ) = lim dp (� x, � y) � 1≤i≤n 1 |xi −yi |p ) p . p→∞ 8 Notation : Soient (E, d) un espace métrique, x ∈ E et r > 0. L’ensemble : Brd (x) = {y ∈ E | d(x, y) < r} est appelé la boule ouverte de E de centre x et de rayon r relativement à la distance d. Brd (x) � Br (x) Remarque : La donnée d’un espace métrique induit une topologie. En effet, soit (E, d) un espace métrique. Alors τ d = {O ⊆ E | ∀x ∈ O, ∃r > 0, Br (x) ⊆ O} est une topologie sur E, elle est appelée la topologie induite par la métrique d sur E. Remarque : Sur Rn , τ dp = τ d∞ pour tout p ≥ 1. Cette topologie est appelée la topologie usuelle (ou la topologie euclidienne) sur Rn . 9 Application continue Soient (E1 , τ1 ) et (E2 , τ2 ) deux espaces topolgiques. • Une application f : E1 �→ E2 est dite continue si pour tout O2 ∈ τ2 , f −1 (O2 ) ∈ τ1 . • Une application f : E1 �→ E2 est appelé un homéomorphisme si f est bijective et continue et f −1 est continue. Dans ce cas, on dit que les ensembles E1 , E2 sont homéomorphes. 10 Définition : Séparabilité ; connexité Soit (E, τ ) un espace topologique et soit X ⊆ E. • E est dit séparable s’il existe deux ouverts non vides et disjoints dont l’union est E. • E est dit connexe, s’il n’est pas séparable. – X est dit connexe relativement à τ si le sous-espace topologique (X, τ|X ) est un espace topologique connexe. – X est dit une composante connexe relativement à τ si X est connexe relativement à τ et pour tout X � tel que X ⊂ X � ⊆ E, X � n’est pas connexe relativement à τ . Définition : Connexité par arc Soit (E, τ ) un espace topologique. • Un arc dans (E, τ ) est l’image f ([0, 1]) d’une application continue f de [0, 1] dans (E, τ ) où [0, 1] est considéré avec la topologie usuelle induite par la distance d2 . f (0) et f (1) sont appelés les extrémités de l’arc. • (E, τ ) est dit connexe par arc si pour tout points p1 , p2 ∈ E, il existe un arc dans (E, τ ) dont les extrémités sont les points p1 , p2 . 11 Définition : Soient (E, τ ) un espace topologique et f : [0, 1] �→ E une application continue où [0, 1] est consideré avec la topologie usuelle induite par la distance d∞ . Cf = f ([0, 1]) est dit une courbe fermée simple dans (E, τ ) si f (0) = f (1) et la restriction de f à l’intervalle semi-ouvert [0, 1[ est une application injective. Théorème de Jordan : Considérons R2 avec la topologie usuelle et soit C une courbe fermée simple dans R2 . Alors R2 \ C a deux composantes connexes dont une est bornée et l’autre non-bornée. 13 Définition : Considérons R2 avec la topologie usuelle et soient C une courbe fermée simple dans R2 et p ∈ (R2 \ C). Ind(p, C) = Card({q | q ∈ (C ∩ R(p)) et R(p) non tangeant à C au point q}) où R(p) est une demi-droite partant du point q. Ind(p, C) est appelé l’indice du point p relativement à la courbe fermée simple C. Propriété : Soit C une courbe fermée simple dans R2 et p ∈ (R2 \ C). Alors, • La paritée du nombre Ind(p, C) ne dépond pas du choix de la demi-droite R(p) partant de p. • Si Ind(p, C) est impair, alors p est dans la composante connexe bornée de R2 \ C. • Si Ind(p, C) est pair, alors p est dans la composante connexe non bornée de R2 \ C. 14 Graphe Définitions et notations : Soit E un ensemble. Un graphe non-orienté simple sur E est un couple G = (E, A) où A est un ensemble de paires sur E c’est-à-dire des éléments de la forme {x, y} avec x, y ∈ E et x �= y (i.e. A ⊆ P2 (E) où P2 (E) est l’ensemble des paires de l’ensemble E). Les éléments de E (respectivement de A) sont appelés les sommets (respectivement les arêtes) du graphe G. • VG (x) = {y | {x, y} ∈ A} et VG∗ (x) = VG (x) � {x}. • Un chemin C dans G est une suite C = x0 , x1 , ..., xn tel que {xi , xi+1 } ∈ A pour 0 ≤ i < n. x0 (respectivement xn ) est appelé le début (respectivement la fin) du chemin C et n est appelé la longueur de C. • G est dit connexe si ∀x, y ∈ E, il existe un chemin de début x et de fin y. 15 Définitions et notations (suite) : • Un chemin x0 , ..., xn est dit simple si xi �= xj pour i �= j sauf peut-être pour {i, j} = {0, n}. • Un cycle est un chemin x0 , ..., xn tel que x0 = xn et un cycle simple est un cycle qui est un chemin simple. • Un arc simple est un chemin x0 , ..., xn tel que si {xi , xj } ∈ A alors i ≡ j + 1(modn − 1) ou j ≡ i + 1(modn − 1). • Une courbe fermée simple est un cycle qui est un arc simple. Une courbe fermée simple simple est appelée aussi une face. • Un chemin géodesique entre deux points est un plus court chemin entre ces deux points. Remarques : • La donnée d’une fonction V : E �→ P(E) telle que pour tout x, y ∈ E, x �∈ V (x) et (y ∈ V (x) ⇐⇒ x ∈ V (y)) détermine d’une façon unique un graphe simple non-orienté GV . La fonction V est appelée le voisinage associée au graphe GV . • Un chemin géodesique est un arc. 16 Exemples : • G1 = (Z, {{n, n + 1} | n ∈ Z}). • Sur Z2 on considère deux structures de graphes : 1. G4 = (Z2 , A4 ) où A4 correspond à la fonction voisinage V4 définie par V4 (p) = {x ∈ Z2 | d1 (x, p) = 1}. 2. G8 = (Z2 , A8 ) où A8 correspond à la fonction voisinage V8 définie par V8 (p) = {x ∈ Z2 | d∞ (x, p) = 1}. 17 Les voisinages relativement à G4 et G8 �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� V( ) 4 �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� V( ) �� 8 �� 18 Le Garphe G8 est non planaire ��� ������ ������� ��� ������ ������� ��� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ��� ��� ��� ������� ������ ��� ��� ��� ������ ��� ��� ��� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ��� ��� ��� ������ ������� ������ ������ ��� ��� ��� ������ ������� ������ ��� ��� ��� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ��� ������ ������ ��� ������ ��� 19 Courbes fermées dans G4 et G8 � � � � � � � � � � �� �� � �� �� �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� 20 Définitions : Soient G = (E, A) un graphe non-orienté simple sur E � un sousensemble de E. • G(E � ) = (E � , A|E � ) est appelé le sous-graphe de G engendré par � E � où A|E � = A P2 (E � ). • E � est dit connexe relativement à G (ou connexe (s’il n y pas d’ambiguı̈té concernat le graphe G)) si le graphe G(E � ) est connexe. • E � est appelé une composante connexe de G, si E � est un ensemble connexe maximal (pour l’inclusion) dans E. Autrement dit, si E � ⊂ E �� ⊆ E, alors E �� n’est pas connexe. Remarques : • Soit G = (E, A) un graphe simple non-orienté et soit C un sous-ensemble connexe de E alors il existe une et une seule composante connexe de G contenant C. • L’ensemble C(G) des compsantes connexes d’un � graphe G = (E, A) est une partition de E autrement dit E = C∈C(G) C et si C1 , C2 ∈ C(G) et C1 �= C2 alors C1 ∩ C2 = ∅. 21 Définition : • Un sous-ensemble de Zn pour n = 1 ou 2 est dit k−connexe s’il est connexe relativement au graphe Gk pour k = 1, 4 ou 8 et une k-composante connexe est une composante connexe relativement au graphe Gk . • Un k-arc simple (respectivement une k-courbe fermée simple) est un arc (respectivement une courbe fermée simple) relativement au graphe Gk . 22 4-Connexité et 8-connexité �� � � � �� �� �� �� � �� �� �� � � � � � �� � � � �� �� �� �� � � � �� �� �� � �� �� �� � � � �� � �� �� ��� �� � � ��� � �� �� �� 23 Définition : Soient C = (pi )1≤i≤n q = (xq , yq ) ∈ Z2 \ C. une k-courbe fermée simple et • Δx (q) = {q + (k, 0) | k ∈ N} est la demi droite horizontale partant du point q vers la droite. • Δ(q, C) = {(k, k� ) ∈ N2 | {pk−1 , pk� +1 } ∩ Δx (q) = ∅ et ∀l ∈ �k, k� �, xl ∈ Δx (q)} l’ensmble des intervalles maximaux formant une partition de l’ensemble Δx (q) ∩ C. • On dit que la demi-droite Δx (q) est tangeante à la courbe C en l’intervalle I = (k, k� ) ∈ Δ(q, C) si les deux points pk−1 et pk� +1 sont du même coté de la demi droite Δx (q). Autrement dit (ypk−1 − yq ) ∗ ((ypk� +1 − yq ) = 1. • On dit que la demi-droite Δx (q) traverse la courbe C en l’intervalle I = (k, k� ) ∈ Δ(q, C) si les deux points pk−1 et pk� +1 sont dans des cotés oposés de la demi droite Δx (q). Autrement dit (ypk−1 − yq ) ∗ ((ypk� +1 − yq ) = −1. 24 Connexité relativement à G4 et G8 �� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� ��� �� �� �� ��� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� ��� �� �� ��� ��� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� ��� �� �� ��� ��� �� �� �� ��� �� ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� ��� ��� �� �� �� ��� �� �� ��� ��� �� ��� �� ��� ��� �� ��� ��� �� �� ��� �� ��� ��� ��� �� ��� �� �� ��� ��� ��� �� �� ��� ��� �� ��� �� �� ��� ��� �� �� �� �� ��� ��� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� ��� �� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� �� ��� ��� ��� �� ��� �� ��� �� ��� �� ��� �� ��� �� ��� �� ��� �� ��� �� ��� �� ��� �� ��� �� ��� ��� ��� �� �� ��� �� ��� ��� ��� ��� �� ��� �� �� �� �� ��� �� ��� ��� ��� ��� �� ��� �� �� �� �� �� ��� �� ��� ��� ��� ��� �� ��� �� �� �� �� �� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �� �� ��� ��� ��� ��� �� �� ��� ��� ��� ��� �� �� ��� ��� ��� �� ��� ��� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� �� ��� �� ��� ��� �� �� ��� ��� ��� �� ��� �� �� ��� ��� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� �� �� ��� ��� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� ��� �� ��� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� �� ��� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �� ��� �� �� ��� �� ��� ��� �� ��� �� �� ��� �� �� ��� ��� �� ��� �� ��� �� �� ��� �� �� ��� ��� �� ��� ��� �� ��� �� �� ��� �� �� ��� ��� �� ��� ��� ��� 25 Définition : Soient C une k-courbe fermée simple et q ∈ Z2 \ C. • q est dit extérieur relativement à C si le nombre d’intervalles de Δ(q, C) où Δx (q) traverse la courbe C est un nombre pair. • q est dit intérieur relativement à C si le nombre d’intervalles de Δ(q, C) où Δx (q) traverse la courbe C est un nombre impair. 26 Courbes fermées dans G4 et G8 � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � � �� �� � �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� � � �� �� �� �� �� � �� �� �� � �� �� �� �� �� � 27 Propriétés (Rosenfeld - 1970) : Soit C une 4-courbe fermée simple de longueur strictement supérieure à 4. • L’intérieur et l’extérieur de C sont tous les deux non vides. • Si p est un pixel intérieur relativement à C et q est un pixel extérieur relativement à C, alors tout 8-chemin allant de p à q rencontrent nécessairement C. Théorème de Jordan discret (Rosenfeld - 1973) : Soit C une 4-courbe (respectivement 8-courbe) fermée simple de longueur strictement supérieure à 4 (respectivement strictement supérieure à 3). Alors, Z2 \ C a deux composante 8-connexes (respectivement deux composante 4-connexes) dont une est finie et l’autre est infinie. 28 Définition : Soit E un ensemble et τ ⊆ P(E) L’ensemble τ est dit une topologie d’Alexandroff sur E si • ∅, E ∈ τ ; • Une union quelconque d’éléments de τ est dans�τ (i.e si O est (Oi )i∈I est une collection d’éléments de τ alors i∈I i aussi un élément de τ ) ; • Une intersection quelconque d’éléments de τ est dans τ� (i.e si (Oi )i∈I est une collection d’éléments de τ alors O est aussi un élément de τ ). i∈I i Soit p ∈ E. Oτ (p) = � O. O∈τ et p∈O Oτ (p) est le plus petit ouvert (au sens de l’inclusion) de τ contenant p. 29 Préservation de ”la topologie” dans Z En cherche les topologies τ sur Z telles que la condition suivante soit vérifiée : • (i1 ) Tout sous-ensemble A de Z est connexe relativement à τ si et seulement si A est 1-connexe. → ”Deux” possibilités : les topologies homéomorphes τ et τ � telles que : • Oτ (0) = {−1, 0, 1}, Oτ (1) = {1} et pour tout p ∈ Z, Oτ (p + 2) = {p} ⊕ Oτ (p) et Oτ (p − 2) = {p} ⊕ Oτ (p). • Oτ � (0) = {0}, Oτ � (1) = {0, 1, 2} et pour tout p ∈ Z, Oτ � (p + 2) = {2} ⊕ Oτ � (p) et Oτ � (p − 2) = {−2} ⊕ Oτ � (p). �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� 30 Préservation de ”la topologie” dans Z2 En cherche les topologies τ sur Z telles que la condition suivante soit vérifiée : (i4 ) Tout sous-ensemble 4-connexe de Z2 est connexe relativement à τ . (i8 ) Tout sous-ensemble non 8-connexe de Z2 est non connexe relativement à τ . → À homéomorphisme près, il n y a que deux topologies possibles τ et τ � vérifiant les conditions (i4 ) et (i8 ) 31 La topologie d’Alexandroff τ� est définie le plus petit ouvert associés à chaque point : • Oτ (0) = V4 (0, 0) ∪ {(0, 0)}, • Oτ (p) = {p} pour p ∈ V4 (0, 0) et • Oτ (p + (±1, ±1)) = Oτ (p) ⊕ {(±1, ±1)} pour tout p ∈ Z2 �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� 32 par Notations : V4X (x, y) = {(x−1, y), (x+1, y)} ; V4Y (x, y) = {(x, y−1), (x, y+1)}. ❀ V4 (x, y) = V4X (x, y) ∪ V4Y (x, y). La topologie d’Alexandroff τ� est définie le plus petit ouvert associés à chaque point : • Oτ � (0) = V8 (0, 0) ∪ {(0, 0)}, • Oτ � (p) = {p} pour p ∈ (V8 (0, 0) \ V4 (0, 0)), • Oτ � (p) = V4Y (p) ∪ {p} pour p ∈ V4X (0, 0), • Oτ � (p) = V4X (p) ∪ {p} pour p ∈ V4Y (0, 0), et • Oτ � (p + (0, ±2)) = Oτ � (p) ⊕ {(0, ±2)} pour tout p ∈ Z2 et • Oτ � (p + (±2, 0)) = Oτ � (p) ⊕ {(±2, 0)} pour tout p ∈ Z2 . �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� 33 par Arbre des composantes k-connexes → k-connexité pour la figure et k� -connexité pour le fond avec k ∈ {4, 8} et k� = 12 − k donc {k, k� } = {4, 8} Définition : Soient A une composante k-connexe de la figure et B une composante k� -connexe du fond d’une image binaire I. A et B sont dites adjacentes s’il existe un pixel a ∈ A et un pixel b ∈ B tels que b ∈ V8 (a). On utilisera la notation : AI,k,k� (A, B). Remarque : Dans une image binaire I, la relation d’adjacence AI,k,k� définie un graphe non-orienté bipartie entre les composantes k-connexes de la figure et les composantes k� -connexes du fond de l’image I. Propriétés : • Soient A une composante k-connexe de la figure et B une composante k� -connexe du fond d’une image I. Alors A et B sont adjacentes si et seulement si il existe un pixel a ∈ A et un pixel b ∈ B tels que b ∈ V4 (a). • Dans une image binaire I, le graphe bipartie correspondant à la relation d’adjacence AI,k,k� entre les composantes k-connexe de la figure et les composantes k� -connexe du fond est un arbre. 34 35 Déformation “continue” dans l’espace discret ! 36 Suppression “continue” d’un pixel ! Adjonction “continue” d’un pixel ! 37 Préservation de la topologie dans Z2 Soient I une image binaire dans Z2 et X ⊆ Z2 la figure de I ( X (respectivement Z2 \ X est l’ensemble des pixels noirs (respectivement blancs) ) de I. Soient k ∈ {4, 8} et k� = 12 − k donc {k, k� } = {4, 8}. Définition : Un pixel x ∈ X est dit k-simple relativement à X si les deux propriétés suivantes sont satisfaites : (I) X et X \ {x} k-connexes. ont le même nombre de composantes (II) Z2 \X et (Z2 \X)∪{x} ont le même nombre de composantes k’-connexes. ❀ Caratérisation globale de la notion de k-simplicité. 38 ❀ Caratérisation locale de la notion de k-simplicité ? Théorème (Rosenfeld 1970) : Un pixel x ∈ X est k-simple relativement à X si et seulement si (i) V8 (x) ∩ X est non vide et contient une seule composante k-connexe qui est k-adjacente à x. (ii) V8 (x)∩(Z2 \X) est non vide et contient une seule composante k� -connexe qui est k� -adjacente à x. 39 (1) 4−simple non 8−simple (4) 4−simple 8−simple (2) non 4−simple non 8−simple (5) 4−simple non 8−simple (3) non 4−simple 8−simple (6) non 4−simple non 8−simple 40 Soit k ∈ {4, 8}. Définition : Soient X, Y ⊆ Z2 tels que Y ⊆ X. Y est dit sous k-homotope à X s’il exists une suite d’ensembles Z0 , Z1 , ..., Zn telle que • Z0 = X, Zn = Y et • Zi \ Zi+1 = {xi } et xi est k-simple relativement à Zi pour tout entier i tel que 0 ≤ i < n. Théorème : Soient X, Y ⊆ Z2 tels que Y ⊆ X. Y est sous k-homotope à X si et seulement si 1. Chaque composante k-connexe de X contient exactement une unique composante k-connexe de Y et 2. chaque composante (12 − k)-connexe de Z2 \ Y contient exactement une unique composante (12 − k)-connexe de Z2 \ X. 41 Soit k ∈ {4, 8}. Définition : Soient X, Y ⊆ Z2 . X et Y sont dit k-homotopiquement equivalent s’il exists une suite d’ensembles Z0 , Z1 , ..., Zn telle que • Z0 = X, Zn = Y et • ( Zi \ Zi+1 = {xi } et xi est k-simple relativement à Zi ) ou ( Zi+1 \ Zi = {xi } et xi est k-simple relativement à Zi+1 ) pour tout entier i tel que 0 ≤ i < n. Théorème : Soient X, Y ⊆ Z2 . X et Y sont k-homotopiquement equivalent si et seulement si leurs arbes de composantes k-connexes sont isomorphes (c’est-à-dire que les deux arbres sont égaux à un renommage près des noeuds). 42 Pixel simple et nombres de Yokoı̈ ❀ (pixel noir ↔ 1) ; (pixel blanc ↔ 0) X7 X 8 = X0 X6 P X5 X4 X1 X2 X3 Voisinage dans l’image I du pixel P où les varibales Xi prennent les valeurs 0 ou 1 selon qu’ils sont pixel blanc ou pixel noir. Définition (Nombres de Yokoı̈) : • Y4,I (P ) = X0 (1 − X1 X2 ) + X2 (1 − X3 X4 ) + X4 (1 − X5 X6 ) + X6 (1 − X7 X8 ). • Y8,I (P ) = X0� (1 − X1� X2� ) + X2� (1 − X3� X4� ) + X4� (1 − X5� X6� ) + X6� (1 − X7� X8� ). où Xi� = 1 − Xi pour tout entier 0 ≤ i ≤ 7. Théorème : P est k-simple relativement à l’image binaire I si et seulement si Yk,I (P ) = 1. 43 44