ÉLÉMENTS D`ANALYSE ET D`ALGÈBRE

Pierre COLMEZ
ÉLÉMENTS D’ANALYSE ET
D’ALGÈBRE

Pierre COLMEZ
C.M.L.S., École Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, France.

ÉLÉMENTS D’ANALYSE ET D’ALGÈBRE
Pierre COLMEZ

TABLE DES MATIÈRES
Vocabulaire Mathématique .................................................................... 1
1. Grammaire élémentaire ...................................................................... 2
1.1. L’anneau Zdes entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Parallélisme entre logique élémentaire et langage ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Ensembles dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Produits, sommes et quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1. Produits et sommes ...................................................................... 7
2.1.1. Produits et sommes directes de groupes commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2. Le cas des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3. Produit et somme dans une catégorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1. Relations d’équivalence et partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2. Passage au quotient par une relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. L’anneau Z/DZdes entiers relatifs modulo D............................................ 11
2.4. Quotients d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 14
2.5. Anneaux quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6. Groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6.1. Groupe opérant sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6.2. Classes de conjugaison .............................................................. 18
2.6.3. Quotients de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. Groupes finis ................................................................................ 20
3.1. Généralités sur les groupes .............................................................. 20
3.2. Groupes cycliques ........................................................................ 21
3.2.1. Structure des groupes cycliques, ordre d’un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2. Sous-groupes des groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3. Groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4. Le théorème de Lagrange et ses variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5. Le groupe symétrique Sn................................................................ 24
3.5.1. Permutations ........................................................................ 24
3.5.2. Signature d’une permutation ........................................................ 27
3.5.3. Groupe alterné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 27
3.6. Les théorèmes de Sylow .................................................................. 29