E:\Balayage TPbenico.rap

TP balayage
On considère la fonction fdéfinie sur ℝpar fx=x
3
−3x−3
Montrer que l’équation fx=0admet une unique solution αsur ℝ.
fest une fonction polynôme donc elle est dérivable sur ℝ
∀x∈ℝf
′
x=3x
2
−3
On en déduit le tableau suivant :
x−∞ −1 1 +∞
signe de 3x
2
−3+0−0+
−1+∞
variations de f↗↘↗
−∞ −5
signe de a=3à l’extérieur des racines
x→−∞
lim x
3
−3x−3=
x→−∞
lim x
3
=−∞ (limite à l’infini de fonction polynôme)
x→+∞
lim x
3
−3x−3=
x→+∞
lim x
3
= +∞
La fonction fest continue.
On observe que fx=0n’est possible que sur un seul intervalle : sur 1;+∞
Algorithme :Encadrement de αpar balayage
On considère l’algorithme ci-dessous.
Variables a,x,hnombres réels ; ffonction
Entrée Saisir h
Initialisation aprend la valeur 1
xprend la valeur a
Traitement Tant que fa×fx>0faire
xprend la valeur x+h
Fin tant que
Sortie Afficher x−h≤α≤x
a) Justifier la pertinence du choix a=2.
Comme f2=−1on s’arrêtera dès que le résultat deviendra positif donc quand on aura
juste dépassé 0.
b) On choisit h=0,1
Compléter le tableau d’étapes ci-dessous :
Etape a x fa(arrondie à 10
−2
près) fx(arrondie à 10
−2
près) Test fa
Initialisation 2 2 −1−1
oui
Etape 1 2 2.1 −1−0.039
oui
Etape 2 2 2.2 −1 1. 048
non
..............
f2=−1
f2.1=−0.039
f2.2=1. 048
1

Quel est le résultat affiché ?
2.1 ≤α≤2.2
c) Que teste la ligne "Tant que fa×fx>0" de l’algorithme ?
Elle permet de savoir quand fxest devenu positif.
d) Que permet d’obtenir cet algorithme ?
Cet algorithme permet de trouver un encadrement à la valeur αtelle que fα=0
e) Ecrire le programme balayage sous algobox puis l’exécuter pour h=0,01. Quel
est le résultat affiché ?
2.1 ≤α≤2.11
f) Modifier le programme précédent pour compter le nombre de fois nque la boucle
"tant que" est exécutée. Quelle est la valeur affichée pour nlorsqu’on choisit h=0,01 ?
2