Platitude, lissité, approximation d`Artin and so on

Platitude, lissité, approximation
d’Artin and so on
Une approche constructive
H. Lombardi, 16 mai 2016
Chantier en construction, commentaires bienvenus
http://hlombardi.free.fr/Luminy-Artin.pdf
Ce survey est dédié à Dorin Popescu (page web http://www.imar.ro/
organization/people/PRS/PRS_8.php?PAG=RG ), à la suite de son cours
à Luminy sur un de ses plus fameux théorèmes. On étudie ici quelques
aspects constructifs de notions développées dans les cours de Dorin Popescu,
Herwig Hauser et Guillaume Rond à Luminy. Nous ne nous limitons pas
aux méthodes usuelles du calcul formel, qui fonctionnent surtout pour
les algèbres de présentation finie sur les corps discrets (via les bases de
Gröbner).
Voici les principales références utilisées. Les cinq premiers items sont en
algèbre constructive.
[ACMC] Lombardi H. & Quitté C. Algèbre Commutative. Mé-
thodes constructives. Calvage&Mounet (2011). Deuxième édition en
préparation : http://hlombardi.free.fr/ACMC-1.pdf
[CACM] English version. http://hlombardi.free.fr/CACM.pdf
[FFR] Résolutions libres finies. (version provisoire)
http://hlombardi.free.fr/ACMC-FFR.pdf
[MRR] Mines R., Richman F. et Ruitenburg W. A course in
constructive algebra. http://hlombardi.free.fr/MRR.pdf (si quel-
qu’un dispose d’un pdf moins lourd, je suis preneur.)
[Tête] Tête C. Profondeur, dimension et résolutions en algèbre com-
mutative : quelques aspects effectifs. Thèse de doctorat (2014).
http://hlombardi.free.fr/LaTotale.pdf
[HR] Hauser H., Rond G. Artin Approximation (survey, version
provisoire) repris dans http://arxiv.org/pdf/1506.04717.pdf
[Pop] Notes du cours de Dorin Popescu à Luminy en 2015.
http://hlombardi.free.fr/Popescu-Luminy2015.pdf
[Stacks] Chapitre 10, Commutative Algebra. Chapitre 15, More on
Algebra. Chapitre 16, Smoothing Ring Maps.
http://stacks.math.columbia.edu/browse

Survey: approximation d’Artin
Les auteurs
16 mai 2016 [9:55] Fichier:Luminy-Artin chapitre:0
2
[Quarez] Quarez R. The Artin conjecture for Q-algebras, Rev. Mat.
Univ. Complut. Madrid, 10, (1997), no. 2, 229–263.
http://hlombardi.free.fr/Quarez-popescuThm.pdf
[Swan] Swan. Néron-Popescu desingularization. Algebra and geometry
(Taipei, 1995), 135–192, Lect. Algebra Geom., 2, Internat. Press,
Cambridge, MA, 1998.
http://hlombardi.free.fr/Swan-NeronPopescu.pdf
Dans tout le texte on donne des définitions et résultats d’algèbre commuta-
tive formulés de manière constructive.
La section I est essentiellement un rappel de résultats et méthodes de
[ACMC], utilisés dans la suite. Elle aborde les anneaux et modules cohé-
rents, les modules de présentation finie, le principe local-global, les modules
projectifs de type fini, les systèmes polynomiaux, les algèbres strictement
étales, la dimension de Krull, et enfin les machineries locales-globales.
La section II aborde la théorie de la protondeur et des intersections complètes.
Elle rend compte de quelques résultats traités dans [FFR].
La section III traite des algèbres plates.
La section IV aborde les anneaux locaux henséliens.
La section V aborde le Zariski main theorem (ou théorème de Zariski-
Grothendieck).
La section VI expose la théorie des algèbres lisses.
La section VIII est une annexe regroupant quelques démonstrations.
La lectrice peut éventuellement sauter directement à la section VI et ne
revenir aux sections précédentes que lorsqu’elle en ressent le besoin.
Dans tout ce texte on notera kun anneau commutatif arbitraire ;
pour un corps, on notera K, ou , ou K.
Je remercie Claude Quitté et Claire Tête pour leurs notes et leurs suggestions
sur les sujets abordés dans ce survey.

Survey: approximation d’Artin
Les auteurs
16 mai 2016 [9:55] Fichier:Luminy-Artin chapitre:0
Table des matières
I Quelques définitions et résultats constructifs
1 Cohérence ............................... 6
2 Modules de présentation finie ..................... 6
3 Principes local-globals ......................... 11
4 Modules projectifs de type fini .................... 13
5 Systèmes d’équations polynomiales .................. 16
6 Algèbres strictement finies séparables ................ 23
7 Dimension de Krull .......................... 26
8 Machineries locales-globales ...................... 29
II Régularité, profondeur, intersections complètes
1 Profondeur ............................... 35
2 Profondeur et dimension de Krull .................. 38
3 Principes local-globals ......................... 39
4 Intersections complètes ........................ 40
5 Questions en suspens ......................... 45
III Algèbres plates
1 Modules plats ............................. 47
2 Algèbres plates ............................. 49
3 Algèbres fidèlement plates ...................... 50
IV Anneaux locaux henséliens
1 Définitions de base ........................... 53
2 Le lemme de Hensel multivarié .................... 61
3 Le lemme de Hensel multivarié générique .............. 62
4 Questions en suspens ......................... 64
V Notes sur le Zariski main theorem
1 Une version hh localeii ......................... 65
2 Morphismes quasi-finis ........................ 66
3 Questions en suspens ......................... 70
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Survey: approximation d’Artin
Les auteurs
16 mai 2016 [9:55] Fichier:Luminy-Artin chapitre:0
4 Table des matières
VI Algèbres lisses
1 Considérations informelles ...................... 71
2 Deux lemmes préparatoires ...................... 72
3 Systèmes polynomiaux lisses, étales ................. 73
4 Premiers résultats importants .................... 77
5 Systèmes polynomiaux lisses standard ................ 79
6 Algèbres lisses et étales ........................ 82
7 Théorèmes de structure locale .................... 87
8 L’idéal qui contrôle la lissité ..................... 90
9 Algèbres formellement lisses ..................... 91
10 Questions en suspens ......................... 92
VII Remarques concernant l’approximation d’Artin
1 Énoncés constructifs élémentaires .................. 95
2 Premiers commentaires ........................ 97
VIII Annexe : quelques démonstrations

Survey: approximation d’Artin
Les auteurs
16 mai 2016 [9:55] Fichier:LumAR-1 chapitre:I
I Quelques définitions et résultats
dans le style constructif
Sommaire
1 Cohérence .......................... 6
2 Modules de présentation finie .............. 6
Idéaux déterminantiels et lemme de la liberté ........ 7
Matrices de présentation ................... 8
Idéal résultant ......................... 9
3 Principes local-globals .................. 11
4 Modules projectifs de type fini ............. 13
Le déterminant et le rang ................... 13
Théorème de structure locale ................. 14
Matrice de présentation d’un module projectif de type fini 15
5 Systèmes d’équations polynomiales ........... 16
Zéros des systèmes polynomiaux ............... 16
Schéma affine défini par un système polynomial ..... 17
Nullstellensatz faible et mise en position de Noether . . . . 18
La matrice jacobienne d’un système polynomial ...... 19
La méthode de Newton en algèbre .............. 20
Le module des différentielles d’une algèbre ......... 21
Un autre Nullstellensatz faible ................ 22
6 Algèbres strictement finies séparables ......... 23
Algèbres strictement finies séparables sur un corps discret 24
7 Dimension de Krull .................... 26
Dimension de Krull et dimension de Noether ........ 27
Dimension de Krull des morphismes ............. 28
8 Machineries locales-globales ............... 29
Un corps est dit discret si la disjonction
hh
tout x est nul ou inversible
ii
est
explicite 1.
1 . Naturellement, l’élément x doit être
hh
sous forme canonique
ii
, c’est-à-dire donné
conformément à la définition du corps. Par exemple l’élément x défini comme égal à 0si
ZF est consistant et égal à 1sinon, n’est pas un élément canonique de Q . Le corps Q est
donc discret, tandis que R ou C ne peuvent pas être prouvés discrets en mathématiques
constructives. On s’aperçoit par ailleurs que la condition 0 6 = 1 ne joue jamais aucun
rôle dans les démonstrations : seule importe la disjonction explicite
hh
tout x est nul ou
inversible ii.
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