Plan du cours de Mathématiques

Plan du cours de Mathématiques
MPSI
Erwan Biland
Lycée Stanislas, classe de MPSI 1, 2009/2010

Voici le plan du cours délivré aux MPSI 1 en 2009-2010.
Ce document pourra servir aux élèves de support de révision avant
l’entrée en deuxième année, et plus largement de référence sur le
cours de MPSI tout au long de l’année de spéciale.
J’ai essayé, autant que possible, de justifier les choix de plans qui
m’ont semblé un peu originaux. J’ai parfois choisi d’aller plus loin
que le programme (dénombrabilité, groupes finis, codimension,
séries...). Ces dépassements sont toujours explicités, et justifiés,
auprès des élèves, à qui j’ai d’ailleurs distribué le programme officiel.
Cette démarche pourrait être utile à des candidats à l’Agrégation ou
au Capes, même si les chapitres de MPSI ne sont pas forcément
organisés comme des leçons d’oral de ces concours !
Ce cours doit beaucoup à celui qui m’a été délivré en 1997-1998 par
J-L.Liters au lycée Clemenceau de Nantes. Il a aussi bénéficié de
nombreuses discussions avec R.Antetomaso, A.Casamayou,
H.Lemberg, C.Rakotoniaina, S.Tatitscheff...
Erwan Biland - Plan du cours, MPSI 1 1

Table des matières
1 Techniques de calcul 6
1 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Systèmeslinéaires.................................... 6
3 Calcul de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Congruences....................................... 7
2 Fonctions usuelles 8
1 Fonctions,applications ................................. 8
2 Fonctionslogarithmes.................................. 8
3 Fonctionsexponentielles ................................ 8
4 Fonctionshyperboliques................................. 9
5 Fonctionscirculaires................................... 9
3 Nombres complexes 10
1 Images et antécédents, équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Le corps Cdesnombrescomplexes........................... 10
3 Exemples d’équations algébriques dans C....................... 11
4 Exponentiellecomplexe................................. 11
4 Groupes, anneaux, corps 12
1 Lois de compositions internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Groupes ......................................... 12
3 Anneauxetcorps .................................... 13
5 Equations différentielles linéaires 14
1 Equationshomogène .................................. 14
2 Equations avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Problème du raccordement de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Géométrie élémentaire du plan et de l’espace 15
1 Repéragedansleplan.................................. 15
2 Produit scalaire, déterminant dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Equations de droites dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Problèmes d’intersection et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Problèmes de lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2Erwan Biland - Plan du cours, MPSI 1

7 Courbes paramétrées 17
1 Paramétragecartésien ................................. 17
2 Paramétrage polaire, équation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8 Coniques 18
1 Approches géométriques des coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Tangentesauxconiques................................. 18
3 Courbes algébriques de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9 Ensembles de nombres 19
1 L’ensemble Ndesentiersnaturels ........................... 19
2 L’ensemble Rdesnombresréels ............................ 19
3 Intervalles de R..................................... 20
4 Partie entière, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Un peu de topologie dans R.............................. 20
10 Suites numériques 21
1 Généralités........................................ 21
2 Limites et ordre pour les suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Théorèmes opératoires sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Théorèmes d’existence de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Suites définies par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11 Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles 23
1 Définitions........................................ 23
2 Etudelocaledesfonctions ............................... 23
3 Compositiondeslimites................................. 24
4 Etude globale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Théorèmesfondamentaux................................ 24
12 Arithmétique dans Z25
1 Multiplesetdiviseurs .................................. 25
2 Calculmodulounentier................................. 25
3 Prolongement : arithmétique des entiers de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
13 Relations de comparaison, développements limités 26
1 Comparaisondesfonctions ............................... 26
2 Polynômes et fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Développementslimités................................. 27
4 Applications....................................... 27
14 Dérivation 28
1 Etudelocale....................................... 28
2 Etudeglobale ...................................... 28
3 Applications aux développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Table des matières 3

15 Espaces vectoriels 29
1 Espacesvectoriels.................................... 29
2 Applicationslinéaires .................................. 29
3 Opérations sur les sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Quelques endomorphismes remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Eléments de géométrie affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
16 Ensembles finis, dénombrement 31
1 Ensemblesfinis ..................................... 31
2 Ensembles quotients, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Dénombrement ..................................... 32
17 Espaces vectoriels de dimension finie 33
1 Famillesdevecteurs................................... 33
2 Bases, coordonnées, matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Dimensionfinie ..................................... 34
4 Rang........................................... 35
5 Codimension,hyperplans ................................ 35
18 Calcul matriciel 36
1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Rangd’unematrice................................... 37
3 Matricescarrées..................................... 37
4 Matrices carrées remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
19 Groupe symétrique et applications 38
1 Groupesymétrique ................................... 38
2 Prolongement : actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
20 Polynômes 39
1 Multiples et diviseurs dans K[X]............................ 39
2 Racinesd’unpolynôme ................................. 39
3 Factorisation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Fractionsrationnelles .................................. 40
21 Intégration, primitives 42
1 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Intégrale des fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Intégrationetdérivation ................................ 43
5 Calcul pratique de primitives ou d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
22 Outils supplémentaires pour l’analyse 44
1 Fonctionsconvexes ................................... 44
2 Méthodes d’approximation des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
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