Exercices de révision 1 Calcul de déterminants, compléments

Université Paris Est Créteil 2010—2011
L2 – Espaces Vectoriels
Feuille 6
Exercices de révision
NB: Les exercices suivants portent sur des notions abordées en cours et TD de L1
Algèbre linéaire dans Rn. Vous devez ^etre capables de les tra^ıter sans problème ! Si
ce n’est pas le cas, révisez impérativement le polycopié et les exercices de ce cours.
Exercice 1 Reprendre la méthode de calcul de l’inverse d’une matrice Aconsistant à réaliser
les opérations du pivot simultanément sur les lignes de Aet sur In. Sur des exemples, vérifier
que lorsqu’on réduit Aà une matrice triangulaire T=P A, la matrice de passage Pest aussi
triangulaire. Calculer det A= det T/ det P.
Exercice 2 Calculer les déterminants suivants :
∆1=
1 1 1
−1 0 1
−1−1 0
∆2=
011
101
110
∆3=
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
Exercice 3 Soient α,β,γ∈C; calculer le déterminant de A=
1α α2
1β β2
1γ γ2
et, dans le cas
où Aest inversible, déterminer A−1.
Exercice 4 Soit α∈Cet Aα=
α−2 2 −1
2α2
2α2(α+ 1) α+ 1
.
1. Calculer det(Aα).
2. Déterminer l’ensemble Λ = {α∈C;Aαinversible}. Calculer A−1
α, pour α∈Λ.
3. Déterminer, suivant les valeurs de α, le rang Aα.
1 Calcul de déterminants, compléments
Exercice 5 En développant selon la première colonne, exprimer ∆nen fonction de ∆n−1et
∆n−2:
∆n=
210. . . . . . 0
1210. . . 0
0.............
.
.
.
.
.............0
.
.
..........1
0. . . . . . 0 1 2
.
1

En déduire ∆n−∆n−1puis ∆n.
Exercice 6 Calculer les déterminants suivants :
∆1=
1 1 1
b+c c +a a +b
bc ca ab
∆2=
0a b c
a0c b
b c 0a
c b a 0
∆3=
a0b a
b b 0a
b a 0b
a b 0a
Exercice 7 Exprimer le déterminant ∆nd’ordre nen fonction de ∆n−1(soustraire la dernière
ligne aux précédentes) :
∆n=
1 + a11 1 . . . 1
1 1 + a21. . . 1
1 1 .......
.
.
.
.
..
.
.......1
1 1 . . . 1 1 + an
où les aisont des réels non nuls. Calculer ∆1et ∆2puis ∆npar récurrence.
2 Formes linéaires, dualité
Exercice 8 Hyperplans Eest un K-espace vectoriel et Hest un sous-espace de E.
1. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes:
(a) Hest supplémentaire d’une droite vectorielle (on dit que Hest de codimension 1).
(b) Il existe φ∈E∗−0telle que H=Kerφ.
On dit alors que Hest un hyperplan.
2. Dans ce cas montrer que pour toute droite vectorielle ∆non incluse dans H,E=H⊕∆.
3. Montrer que pour toutes formes linéaires non nulles φet ψ,Kerφ =Kerψ ↔ilexisteλ 6= 0
tel que ψ=λφ.
Exercice 9 Dans K3calculer la base duale associée aux bases suivantes:
•la base canonique (e1, e2, e3)
• {(1,0,0),(1,2,0),(1,1,1)}
Exercice 10 Dans K3on considère les formes linéaires suivantes: f1(x, y, z) = x+y−z,
f2(x, y, z) = x−y+z,f3(x, y, z) = x+y+z.
1. Montrer que (f1, f2, f3)est une base de (K3)∗.
2. Trouver la base duale.
2

Exercice 11 M^emes questions avec f1(x, y, z) = x+ 2y+ 3z,f2(x, y, z)=2x+ 3y+ 4z,
f3(x, y, z)=3x+ 4y+ 6z.
Exercice 12 Pour −→ x= (x1, ..., xn)∈Knon pose fi(−→ x) = xi+xi+1 si i≤n−1et fn(−→ x) =
xn+x1. Déterminer si F= (f1, ..., fn)est une base de (Kn)∗et, le cas échéant, déterminer la
base duale.
Exercice 13 Soit E=Kn[X]. Montrer que la famille F= (f0, ..., fn)est une base de E∗et
donner la base duale lorsque:
1. fi(P) = P(ai)où a0, ..., ansont des scalaires distincts.
2. fi(P) = P(i)(0).
3. fi(P) = P(i)(ai)où a0, ..., ansont des scalaires quelconques (ne pas chercher la base duale
pour cet exemple).
Exercice 14 Soient f1, ...fndes formes linéaires sur Kntelles qu’il existe un vecteur non nul
−→
x∈Kntel que fi(−→ x)=0pour tout i∈ {1, ..., n}. Montrer que la famille (f1, ...fn)est liée.
Exercice 15 Soit E=Kn[X]. On considère les formes linéaires fi:P−→ P0(i). Montrer que
(f0, ..., fn)est liée.
Exercice 16 Eest un espace vectoriel et f1, ..., fssont des formes linéaires sur E.
1. On introduit l’application suivante:
ρ:E→Rs
v7→ (f1(v), ..., fs(v)) .
2. Déterminer le noyau de ρ.
3. Montrer que cette famille est libre si, et seulement si, ∀(x1, ..., xs)∈Ks,∃v∈Etel que:
f1(v) = x1, ..., fs(v) = xs.
4. Déterminer le rang de ρ.
5. Eest maintenant de dimension finie. Notons B= (e1, ..., en)une base de Eet B0=
(χ1, ..., χn)sa duale. Donner la matrice de ρdans ces bases. Retrouver le rang de ρ.
6. Prouver que f∈E∗est combinaison linéaire de (f1, ...fs)si, et seulement si, fs’annule sur
Kerf1∩... ∩Kerfs. On pourra introduire l’application:
ρ0:E→Rs+1
v7→ (f1(v), ..., fs(v), f(v)) .
Exercice 17 Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n. On considère deux bases de E,
notées Bet B0. Si l’on note Pla matrice de passage entre ces deux bases, quelle est la matrice
de passage entre leurs bases duales?
3

3 Applications bilinéaires
On considère deux K-espaces vectoriels Eet Fet une application bilinéaire b:E×E→F.
Soit A⊂E, on pose A⊥={x∈E;∀y∈A, b(x, y) = 0}. On dit que best non dégénérée
si E⊥={0}. On dit que best positive si b(x, x)≥0et définie positive si de plus b(x, x) = 0
entra^ıne x=0. Plus généralement, on dit qu’un vecteur xest isotrope si b(x, x)=0.
Exercice 18 Soit Eun R-espace vectoriel muni d’une forme bilinéaire b:E×E→R.
1. Soit x= (xi)i∈Iune famille orthogonale de vecteurs non isotropes de E(c.a.d. b(xi, xj) = 0
si i6=jet b(xi, xi)6= 0). Montrer que xest libre.
2. Montrer que, si 0est le seul vecteur isotrope de E, alors best non dégénérée.
3. Soit e= (ei)i∈Iune base orthogonale de E. Montrer que si ∀i∈I, b(ei, ei)≥0, alors best
positive (c.a.d. ∀x∈E, b(x, x)≥0).
Exercice 19 On munit R3de son produit scalaire usuel et on note ela base standard. Soient
x1= (−β, α, 0),x2= (0,−γ, β),x3= (α, β, γ)avec β6= 0.
1. Comparer x1∧x2et x3. En déduire que (x1, x2, x3)est une base de R3.
2. Montrer que (x1, x2, x3)a m^eme orientation que esi et seulement si β > 0.
3. Monter que xest orthogonale si, et seulement si, α= 0 ou γ= 0. Déterminer, dans ce cas,
les triplets (λ1, λ2, λ3)∈R3tels que x0= (λ1x1, λ2x2, λ3x3)soit orthonormée.
Exercice 20 Soit b:E×E→Fune application bilinéaire et A,Bdes parties de E.
1. Montrer que B⊥est un sous-espace vectoriel de E. Montrer que : (A⊂B)⇒(B⊥⊂A⊥).
Montrer que A⊥= (Vect(A))⊥.
2. A tout x∈Eon associe ux∈ L(E, F )définie par ux(y) = b(x, y). Montrer que l’application
b
b:E→ L(E, F )définie par b b(x) = uxest linéaire. Montrer que kerb b=E⊥. Dans le cas
où F=Ket Eest de dimension finie, montrer que best non dégénérée si, et seulement si,
b
best bijective.
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