Université Paris Est Créteil L2 – Espaces Vectoriels 2010—2011 Feuille 6 Exercices de révision NB: Les exercices suivants portent sur des notions abordées en cours et TD de L1 Algèbre linéaire dans Rn . Vous devez ^ etre capables de les tra^ ıter sans problème ! Si ce n’est pas le cas, révisez impérativement le polycopié et les exercices de ce cours. Exercice 1 Reprendre la méthode de calcul de l’inverse d’une matrice A consistant à réaliser les opérations du pivot simultanément sur les lignes de A et sur In . Sur des exemples, vérifier que lorsqu’on réduit A à une matrice triangulaire T = P A, la matrice de passage P est aussi triangulaire. Calculer det A = det T / det P . Exercice 2 Calculer les déterminants suivants : 1 1 1 0 1 ∆1 = −1 −1 −1 0 0 1 1 ∆2 = 1 0 1 1 1 0 ∆3 = 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 α α2 Exercice 3 Soient α, β, γ ∈ C ; calculer le déterminant de A = 1 β β 2 et, dans le cas 1 γ γ2 −1 où A est inversible, déterminer A . α−2 2 −1 α 2 . Exercice 4 Soit α ∈ C et Aα = 2 2α 2(α + 1) α + 1 1. Calculer det(Aα ). 2. Déterminer l’ensemble Λ = {α ∈ C ; Aα inversible}. Calculer A−1 α , pour α ∈ Λ. 3. Déterminer, suivant les valeurs de α, le rang Aα . 1 Calcul de déterminants, compléments Exercice 5 En développant selon la première colonne, exprimer ∆n en fonction de ∆n−1 et ∆n−2 : 2 1 0 . . . . . . 0 1 2 1 0 . . . 0 0 . . . . . . . . . . . . ... ∆n = . . . . . . . . . . . . . . . . 0 .. .. .. .. . . . . 1 0 ... ... 0 1 2 1 En déduire ∆n − ∆n−1 puis ∆n . Exercice 6 Calculer les déterminants suivants : 0 1 1 1 a ∆1 = b + c c + a a + b ∆2 = bc b ca ab c a 0 c b Exercice 7 Exprimer le déterminant ∆n d’ordre n en ligne aux précédentes) : 1 + a1 1 1 1 1 + a2 1 .. . 1 1 ∆n = .. .. . .. . . 1 1 ... b c 0 a c b a 0 ∆3 = a b b a 0 b a b b 0 0 0 a a b a fonction de ∆n−1 (soustraire la dernière ... 1 ... 1 .. .. . . .. . 1 1 1 + an où les ai sont des réels non nuls. Calculer ∆1 et ∆2 puis ∆n par récurrence. 2 Formes linéaires, dualité Exercice 8 Hyperplans E est un K-espace vectoriel et H est un sous-espace de E. 1. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes: (a) H est supplémentaire d’une droite vectorielle (on dit que H est de codimension 1). (b) Il existe φ ∈ E ∗ − 0 telle que H = Kerφ. On dit alors que H est un hyperplan. 2. Dans ce cas montrer que pour toute droite vectorielle ∆ non incluse dans H, E = H ⊕ ∆. 3. Montrer que pour toutes formes linéaires non nulles φ et ψ, Kerφ = Kerψ ↔ ilexisteλ 6= 0 tel que ψ = λφ. Exercice 9 Dans K3 calculer la base duale associée aux bases suivantes: • la base canonique (e1 , e2 , e3 ) • {(1, 0, 0), (1, 2, 0), (1, 1, 1)} Exercice 10 Dans K3 on considère les formes linéaires suivantes: f1 (x, y, z) = x + y − z, f2 (x, y, z) = x − y + z, f3 (x, y, z) = x + y + z. 1. Montrer que (f1 , f2 , f3 ) est une base de (K3 )∗ . 2. Trouver la base duale. 2 Exercice 11 M^ emes questions avec f1 (x, y, z) = x + 2y + 3z, f2 (x, y, z) = 2x + 3y + 4z, f3 (x, y, z) = 3x + 4y + 6z. − − − Exercice 12 Pour → x = (x1 , ..., xn ) ∈ Kn on pose fi (→ x ) = xi + xi+1 si i ≤ n − 1 et fn (→ x) = xn + x1 . Déterminer si F = (f1 , ..., fn ) est une base de (Kn )∗ et, le cas échéant, déterminer la base duale. Exercice 13 Soit E = Kn [X]. Montrer que la famille F = (f0 , ..., fn ) est une base de E ∗ et donner la base duale lorsque: 1. fi (P ) = P (ai ) où a0 , ..., an sont des scalaires distincts. 2. fi (P ) = P (i) (0). 3. fi (P ) = P (i) (ai ) où a0 , ..., an sont des scalaires quelconques (ne pas chercher la base duale pour cet exemple). Exercice 14 Soient f1 , ...fn des formes linéaires sur Kn telles qu’il existe un vecteur non nul → − − x ∈ Kn tel que fi (→ x ) = 0 pour tout i ∈ {1, ..., n}. Montrer que la famille (f1 , ...fn ) est liée. Exercice 15 Soit E = Kn [X]. On considère les formes linéaires fi : P −→ P 0 (i). Montrer que (f0 , ..., fn ) est liée. Exercice 16 E est un espace vectoriel et f1 , ..., fs sont des formes linéaires sur E. 1. On introduit l’application suivante: ρ : E → Rs . v 7→ (f1 (v), ..., fs (v)) 2. Déterminer le noyau de ρ. 3. Montrer que cette famille est libre si, et seulement si, ∀(x1 , ..., xs ) ∈ Ks , ∃v ∈ E tel que: f1 (v) = x1 , ..., fs (v) = xs . 4. Déterminer le rang de ρ. 5. E est maintenant de dimension finie. Notons B = (e1 , ..., en ) une base de E et B 0 = (χ1 , ..., χn ) sa duale. Donner la matrice de ρ dans ces bases. Retrouver le rang de ρ. 6. Prouver que f ∈ E ∗ est combinaison linéaire de (f1 , ...fs ) si, et seulement si, f s’annule sur Kerf1 ∩ ... ∩ Kerfs . On pourra introduire l’application: ρ0 : E → Rs+1 . v 7→ (f1 (v), ..., fs (v), f (v)) Exercice 17 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. On considère deux bases de E, notées B et B 0 . Si l’on note P la matrice de passage entre ces deux bases, quelle est la matrice de passage entre leurs bases duales? 3 3 Applications bilinéaires On considère deux K-espaces vectoriels E et F et une application bilinéaire b : E × E → F . Soit A ⊂ E, on pose A⊥ = {x ∈ E; ∀y ∈ A, b(x, y) = 0}. On dit que b est non dégénérée si E ⊥ = {0}. On dit que b est positive si b(x, x) ≥ 0 et définie positive si de plus b(x, x) = 0 entra^ıne x=0. Plus généralement, on dit qu’un vecteur x est isotrope si b(x, x) = 0. Exercice 18 Soit E un R-espace vectoriel muni d’une forme bilinéaire b : E × E → R. 1. Soit x = (xi )i∈I une famille orthogonale de vecteurs non isotropes de E (c.a.d. b(xi , xj ) = 0 si i 6= j et b(xi , xi ) 6= 0). Montrer que x est libre. 2. Montrer que, si 0 est le seul vecteur isotrope de E, alors b est non dégénérée. 3. Soit e = (ei )i∈I une base orthogonale de E. Montrer que si ∀i ∈ I, b(ei , ei ) ≥ 0, alors b est positive (c.a.d. ∀x ∈ E, b(x, x) ≥ 0). Exercice 19 On munit R3 de son produit scalaire usuel et on note e la base standard. Soient x1 = (−β, α, 0), x2 = (0, −γ, β), x3 = (α, β, γ) avec β 6= 0. 1. Comparer x1 ∧ x2 et x3 . En déduire que (x1 , x2 , x3 ) est une base de R3 . 2. Montrer que (x1 , x2 , x3 ) a m^ eme orientation que e si et seulement si β > 0. 3. Monter que x est orthogonale si, et seulement si, α = 0 ou γ = 0. Déterminer, dans ce cas, les triplets (λ1 , λ2 , λ3 ) ∈ R3 tels que x0 = (λ1 x1 , λ2 x2 , λ3 x3 ) soit orthonormée. Exercice 20 Soit b : E × E → F une application bilinéaire et A, B des parties de E. 1. Montrer que B ⊥ est un sous-espace vectoriel de E. Montrer que : (A ⊂ B) ⇒ (B ⊥ ⊂ A⊥ ). Montrer que A⊥ = (Vect(A))⊥ . 2. A tout x ∈ E on associe ux ∈ L(E, F ) définie par ux (y) = b(x, y). Montrer que l’application bb : E → L(E, F ) définie par bb(x) = ux est linéaire. Montrer que ker bb = E ⊥ . Dans le cas où F = K et E est de dimension finie, montrer que b est non dégénérée si, et seulement si, bb est bijective. 4