∑ = ∑

1
Rappels d’algèbre linéaire
Soit A
mxn
une matrice de dimension m x n, donc composée de m lignes et n colonnes,
dans laquelle l’élément a
ij
se trouve à l’intersection de la i
e
ligne et de la j
e
colonne.
Soit x ∈ ℜ
n
un vecteur colonne composé de n éléments définis sur le corps des nombres
réels. Le vecteur x peut aussi être vu comme une matrice de dimension n x 1.
Définition. Une matrice A
mxn
est une matrice carrée si m = n.
Définition. Une matrice identité, notée I, de dimension n x n est une matrice carrée telle
que a
ii
= 1, i = 1,…, n et a
ij
= 0, i = 1, …, n; j = 1, …, n; i ≠ j.
Définition. Soit A
nxn
une matrice carrée et soit A
ij
la matrice de dimension (n-1) x (n-1)
obtenue à partir de A en retirant la i
e
ligne et la j
e
colonne. Alors, le déterminant de la
matrice A, noté |A|, est obtenu ainsi :
ijij
ji
n
1j
Aa)1(A
+
=
−Σ= , pour i quelconque
ou
ijij
ji
n
1i
Aa)1(A
+
=
−Σ= , pour j quelconque.
Définition. Soit A
mxn
. La matrice transposée de A, notée A
T
, est une matrice de
dimension n x m où
T
ji
ij aa =,
i = 1,…, m ; j = 1, …, n .
Définition. Le produit scalaire des vecteurs x et y ∈ ℜ
n
est
∑
=
=
n
1j
jj
Tyxyx .
Définition. Soit A
mxn
et B
mxn
. Le résultat de la somme de A et B, notée A+B, est une
matrice C
mxn
où c
ij
= a
ij
+ b
ij
, i = 1,…, m ; j = 1, …, n .
Définition. Soit A
mxn
. Le résultat du produit de la matrice A par un scalaire λ, notée λA,
est une matrice C
mxn
où c
ij
= λa
ij
, i = 1,…, m ; j = 1, …, n .
Définition. Soit A
mxn
et B
nxp
. Le résultat du produit de A et B, notée A · B, est une matrice
C
mxp
où j
T
i
n
1k
kjikij
babac
••
=
==
∑
, i = 1,…, m; j = 1, …, p.
(avec
•
i
a ∈ ℜ
n
, le vecteur formé des éléments de la i
e
ligne de la matrice A et
j
b
•
∈ ℜ
n
,
le vecteur formé des éléments de la j
e
colonne de la matrice B)
Définition. Soit A
nxn
une matrice carrée. La matrice inverse de A, notée A
-1
, est une
matrice carrée de dimension n x n telle que A·A
-1
= A
-1
·A = I.

2
Définition. Un ensemble de vecteurs x
1
, x
2
, …, x
k
∈ ℜ
n
sont linéairement dépendants
s’il existe k scalaires λ
1
, λ
2
, … λ
k
, non tous nuls, tels que λ
1
x
1
+ λ
2
x
2
+ ... + λ
k
x
k
= 0
(où 0 ∈ ℜ
n
est un vecteur ne contenant que des zéros). S’il n’existe pas de tels scalaires,
les vecteurs sont dits linéairement indépendants.
Définition. Le rang d’une matrice est le nombre maximum de lignes (colonnes),
considérées comme des vecteurs, qui sont linéairement indépendantes.
Définition. Soit A
mxn
. La matrice A est de plein rang si son rang correspond à min{m, n}.
Définition. Une matrice carrée A
nxn
est non singulière si l’une ou l’autre des propriétés
suivantes (qui sont équivalentes) est vérifiée :
• Les lignes (colonnes) de A, considérées comme des vecteurs, sont toutes
linéairement indépendantes.
• A est de plein rang.
• |A| ≠ 0.
• La matrice A possède une matrice inverse A
-1
.