Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier

Cours arithmétique et groupes.
Licence première année, premier semestre
Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard,
Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret
Année 2006-2007

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Table des matières
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4TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1
Les ensembles de nombres
1.1 L’ensemble N
Naïvement, l’ensemble Ndes entiers positifs est l’ensemble des nombres
{0,1,2,3, . . .}.
Il est muni d’une relation d’ordre total notée ≤; cela signifie que, si a,bet csont trois entiers
quelconques, on a
a≤bet b≤c=⇒a≤c,
a≤a
a≤bet b≤a=⇒a=b,
et on a toujours a≤bou b≤a(Nous reviendrons sur les relations d’ordre dans le chapitre ??).
De façon plus rigoureuse, on peut démontrer que, à une bijection respectant l’ordre près, il
existe un seul ensemble vérifiant les quatre axiomes suivants :
Axiome 1 L’ensemble Nest totalement ordonné, c’est-à-dire muni d’une relation d’ordre totale.
Axiome 2 Toute partie non vide de Na un plus petit élément.
(Ceci veut dire : Pour tout x, y ∈N, x ≤you y≤x, et : pour toute partie A⊂N,∃x∈A
∀y∈A:x≤y.)
Axiome 3 L’ensemble Nn’a pas de plus grand élément.
Axiome 4 Tout élément Ndistinct du plus petit élément de Npossède un “prédécesseur”.
Rappelons qu’un prédécesseur de xest un entier y≤xtel que ∀z∈N,tel que y≤z≤x, on a
z=xou z=y; on le notera x−1(on montrera en exercice qu’un prédécesseur est nécessairement
unique).
1.1.1 Le Principe de récurrence
Soit f(n)une propriété dépendant de n.
Théorème 1.1.1 S’il existe un entier n0tel que f(n0)est vraie et si pour tout entier n,n≥n0,
f(n)entraîne f(n+ 1) alors pour tout entier n, n ≥n0, f(n)est vraie.
Soit en utilisant les quantificateurs :
[∃n0∈Nf(n0)et ∀n∈N, n ≥n0,(f(n)⇒f(n+ 1))] ⇒[∀n∈N, n ≥n0, f(n)].
Démonstration : On va effectuer un raisonnement par l’absurde : notons
A={n≥n0:f(n)est faux},
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