TD d`Analyse Spectrale 1 Distance d`un point à un sous

FIMFA, Avril 2006
Rachel Ollivier
TD d’Analyse Spectrale
-II-
1 Distance d’un point à un sous-espace
Dans un espace de Banach, la distance d’un point à un sous-espace fermé est-elle toujours
atteinte ?
2 Convergences
On munit l’espace `2(N)des suites de nombres complexes de carré sommables de sa structure
hilbertienne canonique.
1. Donner une base hilbertienne de `2(N).
2. Soit Tl’endomorphisme de `2(N)défini par (an)n∈N7→ (an+1)n∈N. Donner l’adjoint de
T.
3. Montrer que pour tout a∈`2(N),Tnatend vers 0. A-t-on kTnk −−−→
n→∞ 0?
4. Est-il possible qu’une suite Tnd’opérateurs continus sur Econverge simplement vers 0
sans converger en norme si l’espace Eest de dimension finie ?
5. Si Eest un espace vectoriel normé de dimension infinie, est-il possible qu’une suite Tn
d’opérateurs continus sur Econverge simplement vers 0et que kTnktende vers +∞?
3 Spectre et valeurs propres
Donner un exemple d’opérateur d’un espace de Hilbert ayant [0,1] pour spectre, sans avoir de
valeur propre.
4 Etude de l’opérateur de Volterra
L’espace de Hilbert des fonctions de carré intégrable pour la mesure de Lebesgue sur [0,1] est
noté L2([0,1]). Soit Tl’opérateur de L2([0,1]) donné par la formule (T f )(x) = Zx
0
f(t)dt.
1. Décrire T∗.
2. Quel est le spectre de T+T∗?
3. Soit fun opérateur d’un espace de Hilbert Hmuni d’une base Hilbertienne (en)n∈Z
vérifiant
∀n∈Z, f(en) = λnen,
où la suite (λn)∈CZtend vers 0en ±∞. Montrer que le spectre de fest {λn;n∈
Z}∪{0}.
4. Quel est le spectre de T−T∗? (On commencera par chercher les valeurs propres non
nulles et les vecteurs propres associés).
5. Quel est le spectre de T? (On pourra majorer la norme de Tn.)
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5 Relations entre Tet T∗
Soit Tun opérateur d’un espace hilbertien H.
1. Montrer que le noyau de T∗est l’orthogonal de l’image de T.
2. Montrer que si Test normal et surjectif, il est bijectif. Quel est le spectre résiduel d’un
opérateur normal ?
3. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) T∗est surjectif ;
(b) Il existe c > 0tel que pour tout x∈Hon ait kT xk ≥ ckxk.
4. On suppose que Test normal. Soit λ∈C. Montrer que λappartient au spectre de Tsi
et seulement si inf{kT x −λxk;x∈H, kxk= 1}= 0.
5. Montrer que si Test autoadjoint alors Sp T⊂R.
6 Suites décroissantes d’opérateurs positifs
Soit Hun espace hilbertien.
1. Soit (Tn)n∈Nune suite décroissante d’opérateurs autoadjoints positifs de H. On suppose
qu’elle est décroissante c’est-à-dire que Tn−Tn+1 est un opérateur positif pour tout
n∈N. Montrer que Tnconverge faiblement (c’est-à-dire qu’il existe S∈ L(H)tel que
pour tout x, y ∈Hon a lim
n→∞hx, Tnyi=hx, Syi).
2. Soit Tun opérateur auto-adjoint de spectre contenu dans R+. Montrer que Test positif
(on pourra commencer par considérer le cas où le spectre est contenu dans R+∗).
3. Soit Tun opérateur positif agissant sur un espace Hilbertien Htel que kTk ≤ 1.
(a) Montrer que 1−Test un opérateur positif et comparer hT x, T xiavec hT x, xi.
(b) Montrer que la suite Tnconverge faiblement. En déduire qu’elle converge simple-
ment vers le projecteur orthogonal de Hsur Ker(1 −T). A-t-on la convergence
forte ?
4. Soient pet qdeux projecteurs orthogonaux de H. Montrer que (pq)nconverge simplement
et calculer sa limite.
7 Décomposition polaire
Soit Hun espace hilbertien.
1. Soit Tun opérateur de H. Montrer qu’il existe S∈ L(H)tel que SS∗S=T.
2. Soit Aune sous-C∗-algèbre de L(H)et T∈A; notons T=u|T|sa décomposition
polaire. Montrer que |T| ∈ A; a-t-on toujours u∈A?
8 Structure complexe
Montrer qu’un endomorphisme Td’un espace vectoriel réel de dimension finie, sans valeur
propre (réelle) préserve une structure complexe de Ec’est-à-dire qu’il existe un endomorphisme
Jde Ecommutant avec Tet vérifiant J2=−1.Cet exercice se traite avec le calcul fonctionnel
ou bien par des considérations d’algèbre linéaire en dimension finie. Le résultat s’étend-t-il au
cas d’un espace de Banach réel ?
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