exercices sur le produit scalaire

EXERCICES
SUR LE PRODUIT SCALAIRE
G.EGUETHER
7 avril 2016

Table des matières
Avertissement iii
1 GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE DANS L’ESPACE AFFINE A31
2 PRODUIT SCALAIRE 39
2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Espaces Rnou Cn...................................... 64
2.3 Espaces de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4 Autres espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3 ADJOINT D’UN ENDOMORPHISME 99
3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2 Espaces de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3 Espaces de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4 ENDOMORPHISME NORMAL 125
4.1 Généalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2 Isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3 Endomorphismes autoadjoints - Matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.4 Endomorphismes antiautoadjoints - Matrices antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . 169
4.5 Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5 INÉGALITÉ DE CAUCHY-SCHWARZ POUR LES FONCTIONS 181
6 FORME QUADRATIQUE 191
6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.2 Valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.3 Réduction par la méthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.4 Réduction par deux méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.5 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
i

ii TABLE DES MATIÈRES

Avertissement
On trouvera dans ce qui suit de nombreux exercices sur le produit scalaire et ses applications classés
en cinq grands thèmes. On proposera pour chaque exercice une démonstration (parfois deux), mais il
peut, bien sûr, y avoir d’autres moyens de procéder.
Des résultats de cours figurent dans certains exercices et pourront être utilisés à d’autres endroits.
Notations
Les espaces vectoriels Esur Cou Rconsidérés sont munis d’un produit scalaire noté (|), linéaire par
rapport à la deuxième variable et semi-linéaire par rapport à la première. En particulier, si λest un
scalaire et Xet Ydeux vecteurs de E,
(i) (λX |Y) = λ(X|Y) et (X|λY ) = λ(X|Y)
ainsi que
(ii) (Y|X) = (X|Y).
La norme d’un vecteur Vest alors
kVk=p(V|V).
Si Fest un sous-espace de dimension finie nde E, et si B= (e1,...,en)est une base orthonormée de
F, alors, la projection orthogonale de Xsur Fest
prF(X) =
n
X
k=1
(ek|X)ek.
Si Eest de dimension finie n, et si B= (e1,...,en)est une base orthonormée de E, alors
X=
n
X
k=1
(ek|X)ek.
En confondant des vecteurs Xet Yavec la matrice colonne de leurs coordonnées dans une base
orthonormée, on a également
(X|Y) = tX Y .
Lorsque l’on construit une base orthonormée (E1,...,En)à partir d’une base (V1,...,Vn)par le
procédé de Schmidt, on notera
Ek=Vk−
k−1
X
r=1
(Er|Vk)Er,