DS°2 ( le 18/09/2010) PB 1 : IMAGES ET NOYAUX ITÉRÉS (d`après

– DS N°2 – PSI* 10-11
DS°2 ( le 18/09/2010)
PB 1 : IMAGES ET NOYAUX ITÉRÉS (d’après INA 1994)
Notations valables pour tout le problème :
•ndésigne un entier supérieur ou égal à 2 et E est un espace vectoriel de dimension nsur R.
•fest un endomorphisme de E.
•On pose f0=IdE(application identique de E) et, pour tout entier ksupérieur ou égal à 1 , on pose
fk=f◦fk−1.
PARTIE A :
Le but de cette partie est de démontrer que, pour tout endomorphisme f de E , il existe un entier p qui
vérifie :
(1)¨1¶p¶n
E=Ker fp⊕Im fp
1. Dans cette question, fest un endomorphisme bijectif de E. Donner une valeur de psatisfaisant (1).
Justifier la réponse.
2. Exemple 1 :
Dans cette question, n=3, E est l’espace vectoriel R3rapporté à une base (e1,e2,e3)et fest
l’endomorphisme représenté dans cette base par la matrice A =
4−1 5
−2−1−1
−4 1 −5
a) Déterminer une base de Ker fet une base de Im f. Peut-on choisir p=1 ?
b) Déterminer une base de Ker f2et une base de Im f2. Justifier l’égalité E =Ker f2⊕Im f2.
3. Exemple 2
Dans cette question, n=4, E est l’espace vectoriel R4rapporté à une base (e1,e2,e3,e4),mest un para-
mètre réel et fest l’endomorphisme représenté dans cette base par la matrice Am=
0−1 0 0
0m0 0
1 0 −m−1
0 1 0 0
a) Déterminer une base de Ker fet une base de Im f. Peut-on choisir p=1 ? On discutera selon les
valeurs de m.
b) Déterminer le plus petit entier pvérifiant (1).
4. Étude du cas général
Dans cette question, on suppose que l’endomorphisme fn’est pas bijectif.
a) Soit kun entier naturel, justifier : (Ker fk⊂Ker fk+1
Im fk⊃Im fk+1
b) Pour tout entier naturel k, on note akla dimension de Ker fk. Montrer que la suite (ak)est
croissante.
c) Soit F l’ensemble des entiers naturels ktels que ak=ak+1. Montrer que F est un ensemble non
vide.
d) En déduire l’existence d’un entier p, supérieur ou égal à 1, qui vérifie les deux conditions :
pour tout entier kvérifiant 0 ¶k¶p−1, on a : Ker fk6=Ker fk+1et Ker fp=Ker fp+1.
Problèmes – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 1/57 octobre 2010

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e) Montrer que pour tout entier ksupérieur ou égal à p, on a Ker fk=Ker fp.
f) Déduire de ce qui précède l’égalité : E =Ker fp⊕Im fp.
Dans toute la suite du problème, p désigne le plus petit entier vérifiant (1) et on admet que c’est celui qui a
été obtenu à la question 4 de la partie A.
PARTIE B :
Dans cette partie, on étudie deux cas particuliers.
1. a) On suppose p=n. Montrer que fnest l’endomorphisme nul. Quelle est la dimension de Ker f?
b) Un exemple
Dans cette question, n=3, E est l’espace vectoriel R3rapporté à une base (e1,e2,e3)et fest
l’endomorphisme représenté dans cette base par la matrice 
1 0 −1
−1−2 3
0−1 1 
Déterminer une base (ǫ1,ǫ2,ǫ3)de E telle que : 
f(ǫ1) = 0
f(ǫ2) = ǫ1
f(ǫ3) = ǫ2
Écrire la matrice de fdans cette base et vérifier que p=3.
2. On suppose ici que pest supérieur ou égal à 2 et que l’on a de plus : Ker fp=E.
a) Montrer que pour tout entier kvérifiant 0 ¶k¶p−1, on peut définir un sous-espace vectoriel, non
réduit au vecteur nul, supplémentaire de Ker fkdans Ker fk+1.
b) En déduire l’existence d’une base de E dans laquelle fest représentée par une matrice triangulaire
supérieure dont tous les termes de la diagonale sont nuls.
c) On reprend l’exemple de la question 3 de la partie A, avec m=0.
Déterminer, par permutation des vecteurs e1,e2,e3et e4, une base dans laquelle la matrice de
l’endomorphisme associé à A0a les propriétés définies à la question 2.b .
PARTIE C :
Le but de cette partie est la détermination de p lorsque f vérifie une certaine équation polynômiale.
adésigne un réel non nul et fest un endomorphisme de E qui vérifie :
(2)
f6=aIdE
fn−16=0
fn−1◦(f−aIdE) = 0
∀k∈N,(0¶k¶n−2) =⇒fk◦(f−aIdE)6=0
1. Question réservée aux 5/2Montrer que 0 et asont des valeurs propres de fet que ce sont les seules.
2. a) Montrer que pour tout entier naturel k, on a : Ker fk∩Ker(f−aIdE) = {0}.
b) En déduire que Ker fn−1et Ker(f−aIdE)sont supplémentaires dans E (on pourra considérer leurs
dimensions et utiliser l’égalité fn−1◦(f−aIdE) = 0).
3. On se propose ici de démontrer l’égalité p=n−1.
a) Supposant vérifiée l’hypothèse p<n−1, justifier qu’alors Ker fpet Ker(f−aIdE)sont supplémen-
taires dans E. En déduire une contradiction avec (2).
b) Montrer que pne peut être égal à net conclure.
Problèmes – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 2/57 octobre 2010

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PB 2 : GROUPES MULTIPLICATIFS DE MATRICES (d’après X 1986)
Toutes les matrices considérées dans ce problème sont à coefficients réels. On note Mn(R)l’algèbre de
celles d’entre elles qui sont carrées à n2éléments (n¾1)et, pour toute matrice A ∈ Mn(R), on identifie A
et l’endomorphisme de Rnqu’elle définit dans la base canonique de cet espace, ce qui autorise à considérer
l’image Im A et le noyau KerA de la matrice. Pour tout exposant entier d¾1 on définit Adpar Ad=AAd−1,
avec A0=In, matrice unité de l’algèbre Mn(R).
Pour toute matrice A ∈ Mn(R)inversible, c’est-à-dire appartenant au groupe linéaire de GLn(R), on note
A−1l’inverse de A.
Question préliminaire : Démontrer que, si A et B sont deux matrices de Mn(R):
rg(AB)¶min(rg A,rg B)
Que peut-on dire si l’une des matrices A ou B est inversible ?
I
Dans cette partie, on considère un groupe multiplicatif Gnon réduit à {0}, et contenu dans Mn(R). On
souligne qu’en général Gn’est pas un sous-groupe de GLn(R)et peut ainsi contenir des matrices de rang r<n.
Cependant toute matrice A ∈ G admet, pour la multiplication des matrices, un inverse dans G; on notera A′
cet inverse. Autrement dit, il existe dans Gun élément neutre E, éventuellement différent de In, et tel que,
pour tout A ∈ G , on ait AE =EA =A et AA′=A′A=E.
1. Montrer que tous les éléments de Gont le même rang r¾1.
2. a) Montrer que Rnest la somme directe de Im E et de Ker E.
b) Montrer que si r<n, alors E est semblable à une matrice de la forme
Ir0
0 0
où Irest la matrice unité de Mr(R).
Que vaut E si r=n?
c) En déduire que, si r<n, toute matrice A ∈ G est semblable à une matrice de la forme
A10
0 0
où A1∈GLr(R).
Pour chaque entier r∈[[1, n]], caractériser les groupes Gde matrices de rang rà l’aide des sous-
groupes de GLr(R).
3. a) Soit A une matrice non nulle de Mn(R). Établir l’équivalence des cinq propriétés suivantes :
(i) A appartient à un groupe multiplicatif G.
(ii) A et A2ont le même rang.
(iii) A et A2ont la même image.
(iv) A et A2ont le même noyau.
(v) Rnest somme directe de Im A et Ker A
b) Donner, pour n=2, un exemple de matrice non nulle n’appartenant à aucun sous-groupe multipli-
catif de M2(R).
c) Prouver que, pour que les cinq propriétés de I.3.a soient vérifiées par A, il faut et il suffit qu’il existe
une matrice X ∈ Mn(R)telle que :
AX =XA, X2A=X et A2X=A.
d) Établir que dans ce cas la matrice X est unique.
Problèmes – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 3/57 octobre 2010

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e) Comparer X à A′et en déduire, avec les notations du I.2.c que A′est semblable à
A−1
10
0 0
où A−1
1est l’inverse de A1dans GLr(R).
Pour A fixé, A′dépend-il du groupe Gauquel A appartient ?
4. a) Soit B =B1B2
0 0 ∈ Mn(R)avec B1∈GLr(R)et r<n. Montrer que B appartient à un groupe
multiplicatif de matrices et que B′est de la forme C1C2
0 0 où on calculera C1∈GLr(R)et C2en
fonction de B1et B2.
b) Calculer A′pour A =
1 2 1
2 4 2
1 0 0
∈ M3(R).
II
Dans cette partie, on se fixe une matrice A ∈ Mn(R)et on cherche les matrices X ∈ Mn(R)vérifiant les
égalités
AX =XA et X2A=X
et telles que, de plus, il existe un entier i¾0 pour lequel Ai+1X=Ai.
1. a) Établir que pour tout entier ℓ¾0 on a Xℓ+1Aℓ=X.
b) Soit Y une matrice de Mn(R)qui commute avec A et qui vérifie les égalités Y2A=Y et, pour un
entier j¾0 convenable, Aj+1Y=Aj; montrer que le produit Xm+1Am+1Y est commutatif pour m
entier assez grand. En déduire l’unicité de X.
c) Quelle est la matrice X dans chacun des deux cas ImA =Rnet ImA =Im A26={0}?
d) Quelle est la matrice X si A est nilpotente ?
2. Dans toute la fin de cette partie II, on suppose que A n’est pas nilpotente et n’appartient pas à GLn(R).
a) Le résultat de cette question est admis : il a été démontré dans le Problème I ! !
Montrer que la suite Im Akk∈Nest stationnaire à partir d’un certain indice ket que Rnest somme
directe de ImAket de Ker Ak.
b) Soit sle rang de Ak. L’entier speut-il être égal à 0 ou à n? établir l’existence d’une matrice
R∈GLn(R)telle que :
R−1AR =C10
0 N1
où C1∈GLs(R)et Nk
1=0.
En posant :
C=RC10
0 0R−1et N =R0 0 0 N1R−1
calculer CN et NC, comparer A et C +N, ainsi que Im C et ImC2.
c) En déduire l’existence de la matrice X, qu’on notera désormais A′′ , en comparant cette matrice à C′.
La fin du problème est réservée aux 5/2 !
Problèmes – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 4/57 octobre 2010

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d) Comparer les valeurs propres de A′′ à celles de A.
3. Soit pun polynôme à coefficients réels.
a) Quelles valeurs doivent avoir les polynômes matriciels p(C1)et p(N1)pour que p(A) = A′′ ?
b) Soit q1le polynôme caractéristique de C1. Montrer qu’il existe deux polynômes uet vd’une variable
ξà coefficients réels tels que
u(ξ)q1(ξ) + v(ξ)ξi+1=1.
En déduire à l’aide de vl’expression d’un polynôme ptel que p(A) = A′′ .
c) Quelle relation y a-t-il entre q1et le polynôme caractéristique qde A ? Décrire une méthode de
calcul de A′′ =p(A)et appliquer cette méthode au cas de
A=
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 −1
0 0 1 2
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Problèmes – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 5/57 octobre 2010