UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA

Algèbre 1
UNIVERSITE IBN ZOHR
Faculté des sciences
Agadir
Filière SMA & SMI
Semestre 1
Module : Algèbre 1
Année universitaire : 2011 -2012
A. Redouani & E. Elqorachi
1
Algèbre 1
Contenu du Module :
Chapitre 1 : Introduction





Logique
Ensembles
Applications
Relations binaires
Dénombrement & Dénombrabilité
Chapitre 2 : Structures algébriques




Lois de composition interne
Groupes
Anneaux
Corps
Chapitre 3 : Arithmétique dans Z




Division euclidienne dans Z
PGCD
Nombres premiers
Congruences
Chapitre 4 : Polynômes & Fractions rationnelles
 Définition formelle des polynômes
 Divisibilité, pgcd, Irréductibilité, racines…
 Fractions rationnelles, Décomposition en éléments simples
N.B : le contenu de ce polycopié sera enrichi, développé par d’autres exemples,
d’autres résultats,…, donc la présence aux séances du cours magistral est
obligatoire !!!
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Algèbre 1
Chapitre I : Introduction en Algèbre.
I.
Notion de Logique :
Définition :
On appelle assertion ou proposition simple un énoncé dont on peut affirmer sans ambiguïté
s‟il est vrai ou s‟il est faux.
Exemple :
« 3 < 10 » est une assertion vraie ; « 5 < 2 » est une assertion fausse. Par deux points
distincts il passe une droite et une seule : est une assertion vraie.
Définition :
On appelle prédicat ou proposition fonctionnelle un énoncé contenant des variables, qui sera
vrai pour certaines valeurs attribuées aux variables, faux pour les autres variables.
Exemple :
« 𝑃(𝑥) : 𝑥 > 10 » est vraie pour les réels strictement supérieurs à 10, fausse pour les autres.
Définition :
La négation d‟une proposition « 𝑃 » que l‟on note « 𝑛𝑜𝑛 𝑃 » est vraie lorsque 𝑃 est fausse,
fausse lorsque 𝑃 est vraie.
Exemple :
La négation d‟une fonction 𝑓 paire est une fonction 𝑓 telle qu‟il existe 𝑥0 ∈ ℝ vérifiant
f ( x0 )  f (  x0 ) .
Connecteurs :
Définitions :
 La conjonction de deux propositions 𝑃, 𝑄 qu‟on note « 𝑃 𝑒𝑡 𝑄 » est vraie ssi 𝑃 𝑒𝑡 𝑄
sont vraies simultanément et fausses dans tous les autres cas.
 La disjonction (inclusive) de deux propositions 𝑃 𝑒𝑡 𝑄 que l‟on note par « 𝑃 𝑜𝑢 𝑄 »
est vraie si au moins l‟une des propositions 𝑃 𝑜𝑢 𝑄 est vraie et fausse dans les autres
cas.
 La disjonction exclusive de deux propositions 𝑃 𝑒𝑡 𝑄 est « 𝑜𝑢 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑃 𝑜𝑢 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑄 » est
vraie ssi l‟une des propositions est vraie et l‟autre fausse. En mathématique, le sens du
mot « ou » est toujours le ou inclusive !!!
 L‟implication : la proposition P  Q est fausse si 𝑃 est vraie et 𝑄 fausse, elle est
vraie dans tous les autres cas ; sa réciproque est Q  P ; sa contraposée est
nonQ  nonP .
 L‟équivalence : la proposition P  Q est vraie si les deux propositions 𝑃 𝑒𝑡 𝑄 sont
vraies toutes les deux ou fausses toutes les deux.
Propriétés :
A l‟aide de la table de vérité, on vérifie que :
1. ( P  Q)  (nonP ou Q)  (nonQ  nonP)
2. non( PouQ)  (nonP)et (nonQ) …..
Quantificateurs :
Le symbole  s‟appelle le quantificateur universel, il signifie « pour tout », « quel que
soit » ; par exemple : x  R x 2  0 .
Le symbole  s‟appelle le quantificateur existentiel, il signifie « il existe au moins » ; si on a
l‟unicité de l‟existence on écrit ! ; par exemple : ! x  R tel que 2 x  1  0 .
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Algèbre 1
La négation de ( x  E P(x) ) est ( x  E nonP(x) ) ; par exemple la négation de
((∀𝑥 ∈ ℝ 𝑥 > 0) est (∃ 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ 0).
La négation de ( x  E P(x) ) est ( x  E nonP(x) ) ; exemple !!!
Remarque :
Si dans une expression on a les symboles  et  , il ne faut pas les permuter ; comme le
montre l‟exemple suivant :
x  R n  N / x  n est vrai mais n  N x  R x  n est faux.
Méthodes de raisonnement mathématique :
 Raisonnement par récurrence :
il consiste à montrer qu‟une propriété P(n) est vraie pour tout entier n  nO ; on vérifie que
P(n0 ) est vraie puis on montre que P(n)  P(n  1) pour tout n  n0 .
Exemple :
n
2
1) montrons que 2  n n  5 .
On a 25  32  52  25 , ensuite supposons 2 n  n 2 et montrons que 2 n1  (n  1) 2 . De
2 n  n 2 on obtient 2.2 n  2.n 2 , comme 2.n 2  (n  1) 2 pour même n  3 , on a le résultat.
2) Trouver l‟erreur dans la “ démonstration ” de l‟assertion suivante : “ Tout groupe de
personnes qui contient (au moins) une femme ne contient que des femmes”.
Démonstration :
1. 𝑃(1) est vraie.
2. Supposons que 𝑃(𝑛) est vraie et montrons qu’alors 𝑃(𝑛 + 1) est vraie.
Soit un groupe de (𝑛 + 1) personnes qui contient une femme. Notons (𝑒1 , 𝑒2 , … , 𝑒𝑛+1 ) ce
groupe, 𝑒1 désignant une femme. Le groupe (𝑒1 , … , 𝑒𝑛 ) de 𝑛 personnes contient une femme :
𝑒1 ; 𝑃(𝑛) étant supposée vraie, ce groupe ne contient que des femmes.
On en déduit que le groupe (𝑒2 , … , 𝑒𝑛+1 ) est un groupe de 𝑛 personnes qui contient au moins
une femme (𝑒𝑛 , par exemple). Il ne contient donc que des femmes (puisque 𝑃(𝑛) est vraie).
Par suite 𝑒𝑛+1 est une femme et donc 𝑃(𝑛 + 1) est vraie.
Conclusion : Par récurrence, 𝑃(𝑛) est vraie pour tout 𝑛𝜖ℕ∗ .
 Raisonnement par contraposée :
Il consiste à montrer que P  Q est vraie en montrant que sa contraposée nonQ  nonP est
vraie.
Exemple :
On montre facilement que n 2 est pair  n est pair à l‟aide de la contraposée.
 Raisonnement par l’absurde :
Pour montrer qu‟un énoncé est vrai on suppose le contraire et on aboutit à une contradiction,
par exemple pour montrer que P  Q est vraie on suppose que P est vraie et Q fausse et on
aboutit à une contradiction car la négation de P  Q est (P et non Q).
Exemple :
a
Montrons que ( a  R ,   0 a   )  (a  0) , en effet : sinon a  0 , alors pour  
2
a
on aurait a  , absurde. D‟où le résultat.
2
 Raisonnement par déduction directe : comme son nom l‟indique !!
Exemple : montrons que : le trinôme ax 2  bx  c possède une racine réelle x 0  le
b

discriminant   b 2  4ac  0 ; ( ax02  bx0  c  0  .....  ( x0  ) 2  2 , donc   0 ).
2a
4a
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Algèbre 1
II.
Notion d’Ensembles :
La notion d‟ensemble est une notion élémentaire en mathématique qui n‟est donc pas
définissable par d‟autres notions plus simples. Par ensemble on entend une collection
d‟éléments possédant les mêmes propriétés caractéristiques. Pour indiquer qu‟un élément x
appartient à un ensemble E on écrit x  E , dans le cas contraire x  E .
Exemples d’ensembles : ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ, ℱ 𝐸, 𝐹 . . ; !!!!!
Définitions :
 Partie ou sous-ensemble d‟un ensemble : on dit que 𝐴 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝐸
si tout élément de 𝐴 est aussi élément de 𝐸, on écrit 𝐴 ⊂ 𝐸.
 Intersection de deux ensembles : 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐴 𝑒𝑡 𝑥 ∈ 𝐵}.
 Réunion de deux ensembles : 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵} .
 Le complémentaire d‟un sous-ensemble dans un ensemble : 𝐶𝐸𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐸 𝑒𝑡 𝑥 ∉ 𝐴}.
 La différence de deux ensembles : 𝐴\𝐵 = 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒𝑡 𝑥 ∉ 𝐵 .
 La différence symétrique de deux ensembles : 𝐴 △ 𝐵 = 𝐴\𝐵 ∪ 𝐵\𝐴 .
 L‟ensemble des parties d‟un ensemble : 𝒫 𝐸 = 𝐴 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐴 ⊂ 𝐸 , 𝜙 ⊂ 𝐸.
 Le produit cartésien de deux ensembles : 𝐸 × 𝐹 = 𝑥, 𝑦 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ∈ 𝐸 𝑒𝑡 𝑦 ∈ 𝐹 .
 Généralisation de l‟intersection et de la réunion d‟une famille de parties d‟un
ensemble : Soient 𝐸 un ensemble et (𝐴𝑖𝜖𝐼 ) une famille de parties de 𝐸, on appelle
réunion des 𝐴𝑖 l‟ensemble noté 𝑖𝜖𝐼 𝐴𝑖 = {𝑥𝜖𝐸 𝑡𝑞 ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑥 ∈ 𝐴𝑖 } (de même
l‟intersection)
Notion d’Applications :
Définitions : Soient E et F deux ensembles non vides.
a. On appelle application f de E dans F et l‟on note par f : E  F une règle
qui associe à chaque élément x  E un élément unique y  F appelé image de
x ; E est dit ensemble de départ, F ensemble d‟arrivée et x l‟antécédent de y .
b. L‟application f est dite injective si tout élément de F est image d‟au plus un
élément de E ; elle est dite surjective tout élément de F est image d‟au moins
un élément de E . Elle est dite bijective si elle est injective et surjective, i,e :
tout élément de F est image d‟un élément unique de E .
c. Soit g : F  G une application, on appelle le composé de f et g que l‟on
note par gof l‟application gof : E  G définie par gof ( x)  g ( f ( x)) .
d. On dit que l‟application f : E  F admet comme application réciproque
h : F  E si on a : hof  id E et foh  id F , on note h par f 1 .
e. Soient A  E , B  F et f : E  F une application ; on appelle image
directe de A par f l‟ensemble f ( A)   f ( x) / x  A, l‟image réciproque de
III.
B par f l‟ensemble f 1 ( B)  x  E / f ( x)  B
Exemples :
 L‟application identique : id E : x  E  x  E .
 L‟injection canonique : Soit A  E , i : x  A  x  A  E , l‟application i : A  E .
 L‟application 𝑓: ℤ ⟶ ℕ définie par f (n)  2n si n  0 et f (n)  2n  1 si n  0 est
bijective.
 Encore des exemples !!!
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Algèbre 1
Expression de l’application, l’injection, la surjection et de la bijection à l’aide des symboles :
 Une application : 𝑥 = 𝑦 ⟹ 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑦 .
 Une injection : 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑦 ⟹ 𝑥 = 𝑦 𝑜𝑢 𝑥 ≠ 𝑦 ⟹ 𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑦 .
 Une surjection : ∀𝑦𝜖𝐹 ∃𝑥 ∈ 𝐸 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑓 𝑥 .
 Une bijection : ∀𝑦𝜖𝐹 ∃! 𝑥 ∈ 𝐸 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑓 𝑥 .
Théorème :
Une application est bijective ssi elle admet une réciproque.
Pour la démonstration on utilise les deux lemmes suivants.
Lemme 1 :
si gof est injective alors f est injective.
Lemme 2 :
si gof est surjective alors g est surjective.
IV. Relations binaires : Relation d’équivalence & relation d’ordre.
Définitions :
 Une relation binaire ℛ sur un ensemble E est une règle qui permet de lier certains
éléments de E entre eux.
 La relation ℛ est dite réflexive si ∀ 𝑥𝜖𝐸 𝑜𝑛 𝑎 𝑥ℛ𝑥.
 La relation ℛ est dite symétrique si 𝑥ℛ𝑦 ⟹ 𝑦ℛ𝑥.
 La relation ℛ est dite antisymétrique si 𝑥ℛ𝑦 𝑒𝑡 𝑦ℛ𝑥 ⟹ 𝑥 = 𝑦.
 La relation ℛ est dite transitive si x ℛ𝑦 𝑒𝑡 𝑦ℛ𝑧 ⟹ 𝑥ℛ𝑧.
 La relation ℛ est dite d‟équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.
 La relation ℛ est dite d‟ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive.
Exemples :
 L‟inclusion dans 𝒫(𝐸) est une relation d‟ordre.
 L‟égalité dans 𝒫(𝐸) est une relation d‟équivalence.
 Dans ℝ la relation 𝑥ℛ𝑦 𝑠𝑖 𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝑥 − 𝑦 est une relation d‟équivalence ; cl(x) = ?
 !!!!!!
Définition :
Soit ℛ une relation d‟équivalence sur un ensemble 𝐸 et 𝑥 ∈ 𝐸, on appelle classe
d‟équivalence de 𝑥 l‟ensemble 𝑥 = 𝑦𝜖𝐸 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥ℛ 𝑦 .
L‟ensemble des classes s‟appelle l‟ensemble quotient et l‟on note par 𝐸 ℛ .
Exemple :
Sur ℤ la relation ℛ définie par 𝑛ℛ𝑚 𝑠𝑖 𝑛 − 𝑚 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑝
où 𝑝 ∈ ℕ 𝑒𝑡 𝑝 ≥ 2 est une relation d‟équivalence et on a ℤ ℛ = {0, 1, … , 𝑝 − 1 }, on le
note par ℤ 𝑝ℤ .
Propriété :
La famille des classes d‟équivalence forme une partition de 𝐸,i,e : les classes d‟équivalence
sont disjointes deux à deux et leur réunion est égale à 𝐸.
Il suffit de montrer que si 𝑥, 𝑦𝜖𝐸 𝑜𝑛 𝑎: 𝑜𝑢 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑥 = 𝑦 𝑜𝑢 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑥 ∩ 𝑦 = ∅, en effet :
Si 𝑥 ∩ 𝑦 ≠ ∅, ∃𝑧 ∈ 𝑥 ∩ 𝑦 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑥ℛ𝑧 𝑒𝑡 𝑧ℛ𝑦, par la transitivité on a 𝑥ℛ𝑦 donc 𝑥 = 𝑦 .
Réciproquement : soit (𝐴𝑖 )𝑖𝜖𝐼 une partition de 𝐸, alors il existe une relation d‟équivalence ℛ
sur 𝐸 tel que 𝐸 ℛ soit l‟ensemble des 𝐴𝑖 , 𝑖𝜖𝐼. On considère 𝑥ℛ𝑦 s‟il existe 𝑖𝜖𝐼 𝑡𝑞 𝑥, 𝑦𝜖𝐴𝑖 .
(vérification simple !)
Décomposition canonique d’une application :
Soit 𝑓: 𝐸 ⟶ 𝐹 une application ; la relation ℛ sur 𝐸 définie par 𝑥ℛ𝑦 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑦) est une
relation d‟équivalence, appelée relation d‟équivalence associée à 𝑓.
Théorème :
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Algèbre 1
Il existe une application unique 𝑓: 𝐸 ℛ ⟶ 𝑓(𝐸) telle que 𝑓 = 𝑖𝑜𝑓𝑜𝑠 où 𝑠: 𝐸 ⟶ 𝐸 ℛ est la
surjection canonique définie par 𝑠 𝑥 = 𝑥 et 𝑖: 𝑓(𝐸) ⟶ 𝐹 est l‟injection canonique définie
par 𝑖 𝑦 = 𝑦. De plus 𝑓 est bijective.
V.
Dénombrement & Dénombrabilité :
Permutations :
On note 𝐹𝑛 = {1, … , 𝑛}, on appelle permutation de 𝐹𝑛 toute bijection de 𝐹𝑛 dans lui-même.
On note par exemple par 𝜎 = (2 5 4 3 1) la permutation de 𝐹5 définie par 𝜎 1 = 2, 𝜎 2 =
5, 𝜎 3 = 4, 𝜎 4 = 3 𝑒𝑡 𝜎 5 = 1. L‟ensemble des permutations de 𝐹𝑛 est noté 𝑆𝑛 .
La donnée d‟un élément 𝜎 𝜖 𝑆𝑛 est définie par les données successives de 𝜎 1 𝜖𝐹𝑛 ,
𝜎 2 𝜖 𝐹𝑛 − 𝜎 1 , … , 𝜎 𝑛 . On en déduit : 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑆𝑛 = 𝑛 𝑛 − 1 … 1 = 𝑛! car on a
𝑛 possibiltés pour le choix de 𝜎(1) dans 𝐹𝑛 et une fois 𝜎(1) choisie il reste (𝑛 − 1)
possibilités pour le choix de 𝜎(2) dans 𝐹𝑛 − 𝜎 1 et ainsi de suite.
Arrangements :
Soient 𝑛, 𝑝𝜖ℕ∗ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑝 ≤ 𝑛. On appelle arrangement de 𝑝 éléments de 𝐹𝑛 (ou parmi 𝑛
éléments) tout 𝑝 − 𝑢𝑝𝑙𝑒𝑡 𝑥1 , … , 𝑥𝑝 𝑑𝑒 (𝐹𝑛 )𝑝 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥1 , … , 𝑥𝑝 soient distincts deux à deux.
La donnée d‟un arrangement (𝑥1 , … , 𝑥𝑝 ) revient aux données successives de 𝑥1 dans 𝐹𝑛 (donc
𝑛 choix), de 𝑥2 dans 𝐹𝑛 − {𝑥1 } (donc (𝑛 − 1) choix),…,𝑥𝑝 dans 𝐹𝑛 − {𝑥1 , … , 𝑥𝑝−1 } (donc
𝑛 − 𝑝 + 1) choix. On en déduit que le nombre d‟arrangements de 𝑝 éléments de 𝐹𝑛 est :
𝑛!
𝐴𝑝𝑛 = 𝑛 𝑛 − 1 … 𝑛 − 𝑝 + 1 = 𝑛 −𝑝 ! . C‟est aussi le nombre des injections de 𝐹𝑝 dans 𝐹𝑛 .
Combinaisons :
Soit (𝑛, 𝑝)𝜖ℕ2 . Si 𝑝 ≤ 𝑛, on appelle combinaison de 𝑝 éléments de 𝐹𝑛 toute partie de 𝐹𝑛 de
cardinal 𝑝. A chaque partie {𝑥1 , … , 𝑥𝑝 } de 𝐹𝑛 correspond 𝑝! arrangements, donc 𝐴𝑝𝑛 = 𝑝! 𝐶𝑛𝑝
𝑛!
où 𝐶𝑛𝑝 est le nombre des combinaisons de 𝑝 éléments de 𝐹𝑛 . On a : 𝐶𝑛𝑝 = 𝑝! 𝑛−𝑝 ! .
𝑝+1
Formule fondamentale : 𝐶𝑛𝑝 + 𝐶𝑛𝑝+1 = 𝐶𝑛+1
. (la vérifier !)
Triangle de Pascal : le dessiner !
Formule du binôme de Newton : l‟écrire et la prouver par récurrence !
Application : si 𝑐𝑎𝑟𝑑𝐸 = 𝑛, 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑑𝒫 𝐸 = 2𝑛 (partir de (1 + 1)𝑛 = ⋯ )
Définition :
Un ensemble 𝐸 est dit fini si le nombre de ses éléments est fini, on le note 𝑐𝑎𝑟𝑑𝐸. Il est infini
dans le cas contraire.
Proposition :
Soient 𝐸 un ensemble fini et 𝑓: 𝐸 ⟶ 𝐸 une application, alors 𝑓 est bijective ssi elle est
injective ssi elle est surjective.
Définition :
Un ensemble 𝐸 infini est dit dénombrable s‟il existe une bijection 𝑓: ℕ → 𝐸.
Théorème :
Toute partie de ℕ est finie ou dénombrable.
Preuve :
soit 𝐴 une partie ℕ infinie, on définit une application 𝑛 ∈ ℕ → 𝑥𝑛 ∈ 𝐴 ainsi : 𝑥0 est le plus
petit élément de 𝐴, 𝑥1 le plus petit élément de 𝐴 ∖ {𝑥0 }. Supposons 𝑥𝑛 défini, on pose
𝑥𝑛+1 = 𝑙𝑒 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐴 ∖ {𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 }. Comme par construction on a :
𝑖 < 𝑗 ⇒ 𝑥𝑖 < 𝑥𝑗 alors cette application est injective. Montrons qu‟elle est surjective : soit
𝑎𝜖𝐴, si 𝑎 = 𝑥0 pas de problème (a est image), sinon, soit 𝑚 le plus grand entier tq 𝑥𝑚 < 𝑎 ,
donc 𝑎 = 𝑥𝑚 +1 car 𝑎𝜖𝐴 ∖ {𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑚 } et si 𝑎 ≠ 𝑥𝑚 +1 on aurait 𝑥𝑚 +1 < 𝑎, ce qui
contredit la définition de 𝑚.
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Algèbre 1
Corollaire :
 Toute partie d‟un ensemble dénombrable est finie ou dénombrable.
 S‟il existe 𝑓: ℕ → 𝐸 surjective alors 𝐸 est fini ou dénombrable.
 S‟il existe 𝑓: 𝐸 → ℕ injective alors 𝐸 est fini ou dénombrable.
Théorème :
La réunion finie d‟ensembles dénombrables est dénombrable.
Preuve :
il suffit de le prouver pour deux ensembles dénombrables 𝐸 𝑒𝑡 𝐹 ; soient deux bijections :
𝑛 ∈ ℕ → 𝑥𝑛 ∈ 𝐸 𝑒𝑡 𝑛 ∈ ℕ → 𝑦𝑛 ∈ 𝐹, alors l‟application 𝑓: ℕ → 𝐸 ∪ 𝐹 définie par 𝑓 2𝑛 =
𝑥𝑛 𝑒𝑡 𝑓 2𝑛 + 1 = 𝑦𝑛 est surjective, comme 𝐸 ∪ 𝐹 est infini alors il est dénombrable.
Corollaire :
ℤ = ℕ ℤ− est dénombrable.
Théorème :
Tout produit fini d‟ensembles dénombrables est dénombrable.
Preuve :
Si 𝑓: ℕ → 𝐸 𝑒𝑡 𝑔: ℕ → 𝐹 sont deux bijections alors l‟application 𝑕: ℕ × ℕ → 𝐸 × 𝐹 définie
par 𝑕 𝑛, 𝑚 = (𝑓 𝑛 , 𝑔(𝑚)) est une bijection, donc il suffit de trouver une bijection entre
ℕ × ℕ et ℕ.
𝑛+𝑚 (𝑛+𝑚 +1)
Soit 𝑓: ℕ × ℕ → ℕ définie par 𝑓 𝑛, 𝑚 =
+ 𝑛 , c‟est une bijection en effet :
2
 Pour vérifier l‟injection : on montre 𝑛 + 𝑚 < 𝑠 + 𝑡 ⟹ 𝑓 𝑛, 𝑚 < 𝑓(𝑠, 𝑡) en utilisant
le fait suivant 𝑎, 𝑏𝜖ℕ 𝑒𝑡 𝑎 < 𝑏 ⟹ 𝑎 + 1 ≤ 𝑏.
𝑘 𝑘+1
 Pour la surjection : soit 𝑛𝜖ℕ 𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝐴𝑛 = {𝑘𝜖ℕ 𝑡𝑞 2 ≤ 𝑛}, expliciter 𝐴𝑛 pour
𝑛 = 1,2,3, … 6 . En posant 𝑝 = 𝑛 −
𝑚 (𝑚 +1)
2
, 𝑞 = 𝑚 − 𝑝 𝑜ù 𝑚 est le plus grand
élément de 𝐴𝑛 , montrer que 𝑝, 𝑞𝜖ℕ 𝑒𝑡 𝑓 𝑝, 𝑞 = 𝑛 .
 Faire un schéma de ce procédé d‟énumération des éléments ℕ × ℕ.
 Application : déterminer 𝑛, 𝑚 𝑡𝑞 𝑓 𝑛, 𝑚 = 2010 .
Corollaire :
ℚ est dénombrable.
Preuve :
𝑝
L‟application 𝑝, 𝑞 𝜖 ℤ × ℤ∗ → 𝑞 𝜖 ℚ est surjective.
Série de Travaux dirigés N0 1
Exercice 1 :
On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 𝑛 et tout réel > 0 , on a
(1 + 𝑥)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑥.
1. La récurrence porte-elle sur 𝑛 ? sur 𝑥 ? sur les deux ?
2. Enoncer l‟hypothèse de récurrence.
3. Vérifier que 1 + 𝑛𝑥 1 + 𝑥 = 1 + 𝑛 + 1 𝑥 + 𝑛𝑥 2 .
4. Rédiger la démonstration.
Exercice 2 :
Montrer que pour tout entier naturel non nul 𝑛 on a :
𝑛
𝑘
𝑘=1(−1) 𝑘
=
−1 𝑛 2𝑛 +1 −1
4
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Algèbre 1
Exercice 3 :
Démontrez que si vous rangez (𝑛 + 1) paires de chaussettes dans 𝑛 tiroirs distincts, il y a au
moins un tiroir contenant deux paires de chaussettes.
Exercice 4 :
Soit 𝑓: 𝐸 → 𝐹.
1. Montrer que 𝑓 est injective ssi pour tous 𝐴, 𝐵 ⊏ 𝐸 on a 𝑓 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑓(𝐴) ∩ 𝑓(𝐵).
2. Montrer que 𝑓 est bijective ssi pour tout 𝐴 ⊆ 𝐸 on a 𝑓 𝐶 𝐴 = 𝐶 𝑓(𝐴) .
3. Justifier les inclusions 𝑓 𝑓 −1 𝐵 ⊆ 𝐵 𝑒𝑡 𝐴 ⊆ 𝑓 −1 𝑓 𝐴 𝑜ù 𝐴 ⊆ 𝐸 𝑒𝑡 𝐵 ⊆ 𝐹. A-ton égalité en général ?
Exercice 5 :
Soit trois applications 𝑓: 𝐸 → 𝐹, 𝑔: 𝐹 → 𝐺, 𝑕: 𝐺 → 𝐸 telles que 𝑔𝑜𝑓 𝑒𝑡 𝑕𝑜𝑔 soient
bijectives, démontrer que 𝑓, 𝑔, 𝑕 sont bijectives.
Exercice 6 :
𝑦
𝑠𝑖 𝑦 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑖𝑟
Soient 𝑓, 𝑔: ℕ → ℕ définies par 𝑓 𝑥 = 2𝑥 et 𝑔 𝑦 = 𝑦−12
.
𝑠𝑖
𝑦
𝑒𝑠𝑡
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟
2
Etudier l‟injectivité, la surjectivité, la bijectivité de 𝑓 𝑒𝑡 𝑔; préciser 𝑔𝑜𝑓 𝑒𝑡𝑓𝑜𝑔.
Exercice 7 :
On définit sur ℤ la relation 𝑥ℛ𝑦 𝑠𝑠𝑖 𝑥 + 𝑦 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑖𝑟. Montrer qu‟on définit ainsi une relation
d‟équivalence puis expliciter ses classes d‟équivalence.
Exercice 8 :
On définit sur ℝ la relation 𝑥ℛ𝑦 𝑠𝑠𝑖 𝑥𝑒 𝑦 = 𝑦𝑒 𝑥 . Montrer qu‟on définit ainsi une relation
d‟équivalence puis expliciter ses classes d‟équivalence.
Exercice 9 :
Une relation ℛ sur un ensemble 𝐸 est dite circulaire si aℛ𝑏 𝑒𝑡 𝑏ℛ𝑐 ⟹ 𝑐ℛ𝑎. Montrer qu‟une
relation est une relation d‟équivalence ssi elle est réflexive et circulaire. Donner un exemple
de relation circulaire qui ne soit pas une relation d‟équivalence .
Exercice 10 :
On considère ℝ muni de l‟ordre usuel ≤.
1. Soit ℛ la relation définie sur ℝ2 par 𝑥, 𝑦 ℛ 𝑥 ′ , 𝑦 ′ 𝑠𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑥 ′ 𝑒𝑡 𝑦 ≤ 𝑦′. Vérifier que
c‟est une relation d‟ordre ; l‟ordre est-il total ? Est-ce que (ℝ∗−)2 admet une borne
supérieure dans ℝ2 , si oui, quelle est-elle ? (ordre produit)
2. Mêmes questions si on considère la relation 𝒮 définie sur ℝ2 par
𝑥, 𝑦 𝒮 𝑥 ′ , 𝑦 ′ 𝑠𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑥 ′ 𝑜𝑢 (𝑥 = 𝑥 ′ 𝑒𝑡 𝑦 ≤ 𝑦 ′ ) (ordre lexicographie)
Exercice 11 :
Soit 𝑛 un entier naturel. On se donne (𝑛 + 1) réels 𝑥0 , 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 de [0, 1] vérifiant :
𝑥0 ≤ 𝑥1 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑛 . On veut démontrer par l'absurde la propriété suivante :
« Il y a deux de ces réels qui sont distants de moins de 1/𝑛 »
a) Ecrire à l'aide de quantificateurs et des valeurs 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 une formule logique équivalente à
la propriété.
b) Ecrire la négation de cette formule logique.
c) Rédiger une démonstration par l'absurde de la propriété.(on montrera que 𝑥𝑛 − 𝑥0 > 1)
Exercice 12 :
Soient 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑒𝑡 𝑔, 𝑕: 𝐵 → 𝐴 trois applications telles que :
𝑔𝑜𝑓 = 𝑖𝑑𝐴 𝑒𝑡 𝑓𝑜𝑕 = 𝑖𝑑𝐵 .
Montrer que 𝑓 est bijective et que 𝑔 = 𝑕 = 𝑓 −1 .
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Algèbre 1
Exercice 13 :
Montrer qu‟un ensemble est infini ssi il est en bijection avec l‟un de ses sous-ensembles
propres.
Exercice 14 :
Soit 𝑓: ℕ𝑋ℕ → ℕ∗ définie par 𝑓 𝑝, 𝑞 = 2𝑝 (2𝑞 + 1). Montrer qu‟elle est bijective.
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Algèbre 1
Chapitre II : Structures algébriques
(Groupes - Anneaux – Corps)
I.
Lois de composition interne :
Définition :
On appelle loi de composition interne (lci) sur un ensemble 𝐸, notée ici par le signe ∗,
une application : 𝐸 × 𝐸 → 𝐸, qui à tout couple (𝑥, 𝑦) d‟éléments de 𝐸, associe un unique
élément 𝑧 𝑛𝑜𝑡é 𝑥 ∗ 𝑦, appelé le composé de 𝑥 𝑒𝑡 𝑦.
Exemples :
 L‟addition et la multiplication sur ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ.
 La soustraction n‟est pas une lci sur ℕ, la division n‟est pas aussi une lci sur ℤ.
 La réunion, l‟intersection et la différence symétrique d‟ensembles sont des lci sur
l‟ensemble des parties d‟un ensemble.
 La composition des fonctions est une lci sur l‟ensemble des fonctions numériques
ℱ(ℝ, ℝ). L‟addition et le produit aussi.
Propriétés des lci :
 Associativité :
Cette propriété exprime que le composé de trois éléments ne dépend pas des parenthèses ;
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐸 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 .
Conséquence :
il est possible de définir le composé de 3 éléments, 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐, et de proche en proche de n
éléments, si la loi est associative.
Comme exemples de lois associatives on cite l‟addition et la multiplication sur les ensembles
ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ. ainsi que l‟addition, la multiplication et la composition sur ℱ(ℝ, ℝ), la réunion,
l‟intersection et la différence symétrique d‟ensembles dans 𝒫 𝐸 .
 Commutativité : Le composé de deux éléments ne dépend pas de l‟ordre.
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐸 𝑜𝑛 𝑎:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎.
Exemples :
1) L‟addition et la multiplication dans ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ.
2) La soustraction n‟est pas commutative sur ℤ, ℚ, ℝ, ℂ.
3) La réunion, l‟intersection et la différence symétrique d‟ensembles sont commutatives.
4) La composition des applications n‟est pas commutatives.
 Elément neutre : 𝑒 est élément neutre pour la lci ∗ si ∀ 𝑥 ∈ 𝐸 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑥.
Exemples :
1) 0 est neutre pour l‟addition dans ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ ;
2) 1 neutre pour la multiplication dans ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ.
3) IdA neutre pour la composée des applications dans ℱ(𝐴, 𝐴).
4) Chercher l‟élément neutre ( s‟il en existe) pour les lci : intersection, réunion,
différence symétrique dans 𝒫 𝐸 .
propriété1 :
Si une lci possède un élément neutre celui-ci est unique . ( la preuve est facile !)
11
Algèbre 1
propriété2 :
Si une lci ∗ possède un élément neutre à droite 𝑒′ (i,e :∀𝑥𝜖𝐸 𝑥 ∗ 𝑒 ′ = 𝑥), (1) et un élément
neutre à gauche 𝑒" (i,e: ∀ xϵE e" ∗ 𝑥 = 𝑥) (2) alors 𝑒 ′ = 𝑒".
Preuve :
il suffit de faire 𝑥 = 𝑒′′ dans la (1) et 𝑥 = 𝑒′ dans la (2).
 Symétrique d’un élément : Soit une lci ∗ sur un ensemble 𝐸 ayant un élément neutre
𝑒, on dit qu‟un élément 𝑥𝜖𝐸 admet un symétrique 𝑥′𝜖𝐸 si 𝑥 ∗ 𝑥 ′ = 𝑥 ′ ∗ 𝑥 = 𝑒.
Si la loi est l‟addition, le symétrique s‟appelle l‟opposé. Si la loi est la multiplication, le
symétrique s‟appelle l‟inverse. Pour la composition des fonctions dans ℱ(ℝ, ℝ), les fonctions
qui ont un symétrique sont les bijections et le symétrique d‟une fonction bijective est la
bijection réciproque.
Propriété1 :
Soit une lci ∗ sur un ensemble 𝐸 associative et ayant un élément neutre 𝑒, si un élément 𝑥𝜖𝐸
admet un symétrique, celui-ci est unique.
Preuve :
Supposons que 𝑥 possède deux symétriques 𝑥 ′ 𝑒𝑡 𝑥", alors on a grâce à l‟associativité :
𝑥 ′ = 𝑥 ′ ∗ 𝑒 = 𝑥 ′ ∗ (𝑥 ∗ 𝑥" )=(x' *x) * x"=e * x" = 𝑥" , d‟où le résultat.
Remarque :
La preuve précédente montre aussi que si on a une lci ∗ sur un ensemble 𝐸 associative et
ayant un élément neutre 𝑒, et si un élément 𝑥𝜖𝐸 admet un symétrique x‟ à gauche (x‟ * x = e)
et un symétrique x „‟ à droite (x * x‟‟ = e) alors x‟= x‟‟.
Propriété2 :
Soit une lci ∗ sur un ensemble 𝐸 associative et ayant un élément neutre 𝑒, si un élément
𝑎 𝜖 𝐸 admet un symétrique a‟ alors l‟équation 𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑏 possède une solution unique
𝑥 = 𝑎′ ∗ 𝑏.
Propriété3 :
Soit une lci ∗ sur un ensemble 𝐸 associative et ayant un élément neutre 𝑒, si les éléments
𝑥, 𝑦𝜖𝐸 admettent des symétriques 𝑥 ′ 𝑒𝑡 𝑦′ alors le symétrique de 𝑥 ∗ 𝑦 est 𝑦 ′ ∗ 𝑥 ′ .
Remarque :
On connaît déjà cette propriété dans le cas où f et g sont des bijections
(fog)-1 = g-1of-1.
Dans la suite on va étudier des exemples de structures. Ce sont des ensembles avec des lci
ayant de « bonnes propriétés. »
II.
Groupes :
Définition :
On appelle groupe un ensemble G muni d’une lci notée ∗ vérifiant les axiomes suivants :
L’associativité, l’existence d’un élément neutre et l’existence de l’élément symétrique pour
tout élément de G. Si de plus la lci est commutative G est dit groupe commutatif.
Exemples :
 ℤ, ℚ, ℝ, ℂ pour l‟addition.
 ℤ∗ , ℚ∗ , ℝ∗ , ℂ∗ pour la multiplication.(on retire 0 car il n‟est pas inversible)
 ℱ(ℝ, ℝ) pour l‟addition.
 𝒫(𝐸) muni de la différence symétrique d‟ensembles.
 𝐿′ 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝐸 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐸 𝑚𝑢𝑛𝑖 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 des applications.
12
Algèbre 1
Définition :
Soit G un groupe pour la loi ∗, et F un sous-ensemble de G. On dit que F est un sous-groupe
de G si :
– F est stable par la loi i,e : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐹 ⟹ 𝑥 ∗ 𝑦𝜖𝐹.
– L’élément neutre appartient à F
– Le symétrique de tout élément de F est dans F.
Remarque :
Un sous-groupe F d’un groupe G est lui-même un groupe.
Exemple :
𝑒 𝑒𝑡 𝐺 sont des sous-groupes triviaux de G.
- L‟ensemble des fonctions dérivables sur ℝ est un sous-groupe de ℱ(ℝ, ℝ) pour
l‟addition.
- ℤ, ℚ sont des sous-groupes de ℝ pour l‟addition.
Propriété :
Les sous-groupes de (ℤ, +) sont n ℤ = {nk, k parcourt ℤ }, où n est un entier naturel.
Preuve :
a) On vérifie facilement que 𝑛ℤ est bien un sous-groupe de ℤ.
b) Réciproque : soit 𝐹 un sous-groupe 𝑑𝑒 ℤ. Si ce sous-groupe est 0 , on a 0 = 0ℤ.
Sinon, il existe 𝑎 ∈ 𝐹, 𝑎 ≠ 0, 𝑎 > 0 (𝑐𝑎𝑟 − 𝑎𝜖𝐹) ; soit 𝑛 le plus petit entier non nul dans 𝐹 .
Soit 𝑥 > 𝑜, 𝑒𝑡 𝑥𝜖𝐹 la division euclidienne de x par n donne : 𝑥 = 𝑛𝑞 + 𝑟 𝑒𝑡 0 ≤ 𝑟 < 𝑛,
comme
𝑛𝑞 = 𝑛 + ⋯ + 𝑛 𝑞 𝑓𝑜𝑖𝑠 , 𝑛𝜖𝐹 ⟹ 𝑛𝑞 , −𝑛𝑞 𝜖𝐹 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑟 = 𝑥 − 𝑛𝑞𝜖𝐹. Puisque n est le plus
petit entier non nul de F, on en conclut 𝑟 = 0, d‟où 𝐹 ⊏ 𝑛𝑍. Pour l‟inclusion inverse, elle
résulte du fait que 𝑛 ∈ 𝐹 𝑒𝑡 𝑘𝑛 = 𝑛 + ⋯ + 𝑛 𝑘 𝑓𝑜𝑖𝑠 ∈ 𝐹.
Propriété :
On vérifie facilement que l‟intersection de deux sous-groupes est un sous-groupe.
Remarque :
Si on prend 𝐻 = 2𝑍 𝑒𝑡 𝐺 = 3𝑍 𝑜𝑛 𝑎 𝐻 ∪ 𝐺 n‟est pas un sous-groupe de (ℤ , +).
Morphisme d’un groupe :
Définition :
Soient 𝐺, . , (𝐺 ′ ,∗) deux groupes et 𝑓: 𝐺 → 𝐺′ une application. On dit que 𝑓 est un
homomorphisme de groupe si : ∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐺 𝑜𝑛 𝑎 𝑓 𝑥. 𝑦 = 𝑓 𝑥 ∗ 𝑓 𝑦 . c-à-d : l‟image du
composé de deux éléments de G par f est le composé de leur image)
Exemple :
𝑙𝑛: (𝑅+∗ , . ) → (𝑅, +) .
Propriété :
Soit 𝑓: 𝐺 → 𝐺′ un homomorphisme de groupe, alors on a :
1. 𝑓 𝑒 = 𝑒′ où e (resp. e‟) est l‟élément neutre de 𝐺 (resp.𝐺’).
2. Le symétrique de f(x) est l‟image du symétrique de x.
3. L‟image réciproque par f de l‟élément neutre de 𝐺’ est un sous-groupe de 𝐺. Il est dit
noyau de f et noté 𝐾𝑒𝑟𝑓.
4. 𝑓 est injective ssi le noyau de 𝑓 est réduit à {e}.
5. L‟image d‟un sous-groupe de G par f est un sous-groupe de 𝐺’.
Preuve :
1) Soit 𝑥𝜖𝐺, 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑒 = 𝑓 𝑥 ∗ 𝑓 𝑒 , 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑓 𝑒 = 𝑒 ′ .
2) Soient 𝑥𝜖𝐺, 𝑥 −1 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑦𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓 𝑥 ∗ 𝑓 𝑥 −1 = 𝑓 𝑥. 𝑥 −1 = 𝑓 𝑒 = 𝑒′,
d‟où 2.
3) Le noyau de f se par N(f) ou kerf, il contient e l‟élément neutre de G ; on vérifie
facilement que c‟est un sous-groupe.
13
Algèbre 1
4) Supposons f injective ; puisque f(e) = e‟ on a bien Kerf = {e}.
Réciproquement, si 𝐾𝑒𝑟𝑓 = {e} alors 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑦 ⟹ 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 −1 = 𝑒 ′ = 𝑓 𝑥𝑦 −1 ⟹
𝑥𝑦 −1 = 𝑒 ⟹ 𝑥 = 𝑦.
5) Vérification simple.
Groupe quotient :
Soient G un groupe dont la loi est notée multiplicativement, H un sous-groupe de G et ℛ la
relation entre les éléments de G définie par 𝑥ℛ𝑦 𝑠𝑖 𝑥 −1 𝑦𝜖𝐻 ; alors les propriétés suivantes
sont faciles à vérifier :
i)
ℛ est une relation d‟équivalence.
ii)
𝐿𝑎 classe de 𝑥 𝑒𝑠𝑡 𝑥𝐻.
iii)
L‟application 𝑦 → 𝑥𝑦 𝑑𝑒 𝐻 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑥𝐻 est bijective.
Remarque :
Si l‟on considère la relation 𝑥𝑦 −1 ∈ 𝐻 on a des propriétés analogues aux précédentes, avec
𝐻𝑥 𝑎𝑢 𝑙𝑖𝑒𝑢 𝑑𝑒 𝑥𝐻. Les ensembles de la forme 𝑥𝐻 (resp. 𝐻𝑥 ) s‟appellent classes à gauche
(resp. à droite) suivant H ; si G est commutatif on parle seulement de classe suivant H.
Conséquence de iii) : (théorème de Lagrange)
Si G est un groupe fini (card(G) fini) , H un sous-groupe de G, alors card(H) divise card(G)
Supposons maintenant que G est commutatif, on va définir une lci sur l‟ensemble quotient
𝐺/ℛ par
𝑥. 𝑦 = 𝑥𝑦 où 𝑥 désigne la classe d‟équivalence de x. Il faut voir que la classe de xy ne
dépend pas du choix des représentants des classes de x et de y ; soient
𝑥1 𝜖 𝑥, 𝑦1 𝜖 𝑦, 𝑜𝑛 𝑎 𝑥1 = 𝑥𝑠, 𝑦1=𝑦𝑡, 𝑜ù 𝑠, 𝑡𝜖𝐻 donc 𝑥1 𝑦1 = 𝑥𝑠𝑦𝑡 = 𝑥𝑦 𝑠𝑡, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑠𝑡 𝜖 𝐻, car le
groupe est supposé commutatif, ce qui prouve que la lci est bien définie.
Théorème :
L‟ensemble quotient 𝐺/ℛ muni de cette loi est un groupe commutatif, on le note par 𝐺/𝐻. De
plus la surjection canonique 𝑠: 𝑥 𝜖 𝐺 → 𝑥 𝜖 𝐺/𝐻 est un homomorphisme de groupes.
La preuve :
On vérifie que l‟élément neutre est H, l‟inverse de xH est x-1H, l‟associativité et la
commutativité découlent de celles de la loi du groupe G ; la propriété d‟homomorphisme
résulte de la définition de la loi de G/H .
Exemple :
S i 𝐺 = ℤ, + , 𝐻 = 𝑝ℤ 𝑜𝑛 𝑎: 𝑥ℛ𝑦 𝑠𝑖 𝑥 − 𝑦 𝜖 𝑝ℤ 𝑒𝑡 ℤ 𝑝ℤ = {0, 1, … , (𝑝 − 1)}.
Dresser les tables des groupes (ℤ 𝑝ℤ , +) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑝 = 4, 5, 6.
Remarque :
Si G n‟est pas un groupe commutatif, on obtient un groupe quotient en supposant que H soit
un sous-groupe distingué i,e : ∀ 𝑥 𝜖 𝐺 𝑜𝑛 𝑎 𝑥𝐻 = 𝐻𝑥 (𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑖 𝑒𝑠𝑡 é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡 à 𝑥𝐻𝑥 −1 = 𝐻).
III.
Anneaux :
Définition :
On appelle anneau un ensemble 𝐴 muni de deux lci, la 1ère notée + et fait de 𝐴 un groupe
commutatif, la 2ème notée (.) et vérifie l‟associativité et la distributivité par rapport à la loi +
i,e :
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝐴 𝑜𝑛 𝑎: 𝑎. 𝑏 + 𝑐 = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 𝑒𝑡 𝑏 + 𝑐 . 𝑎 = 𝑏. 𝑎 + 𝑐. 𝑎, de plus si la loi (.) est
commutative (resp. admet un élément unité) on dit que l‟anneau A est commutatif (resp.
unitaire).
Exemples :
 ℤ, +, . est un anneau , de même ℚ, ℝ, ℂ.
14
Algèbre 1



ℱ ℝ, ℝ , +, . .
𝒫 𝐸 , ∆,∩ .
ℱ ℝ, ℝ , +, 𝑜 où o est la composition des applications n‟est pas un anneau par
manque de la distribution de la loi o pa rapport à l‟addition.
Règles de calcul dans un anneau : 𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝐴, +, . ) un anneau.
1) ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝐴 𝑜𝑛 𝑎: 𝑎 𝑏 − 𝑐 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 𝑒𝑡 𝑏 − 𝑐 𝑎 = 𝑏𝑐 − 𝑐𝑎.
2) ∀ 𝑎 𝜖 𝐴 𝑜𝑛 𝑎: 𝑎. 0 = 𝑂. 𝑎 = 0, 𝑜ù 0 est l‟élément neutre pour la loi + .
3) ∀ a, b ϵ A, on a: a −b = −ab = −a b.
4) Si A est commutatif la formule du binôme de Newton est encore valable.
Preuve :
1. 𝑎 𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑐 = 𝑎 𝑏 − 𝑐 + 𝑐 = 𝑎𝑏, 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑎 𝑏 − 𝑐 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐; de même pour
l‟autre …
2. 𝑎0 = 𝑎 𝑏 − 𝑏 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 = 0; de même pour 0a = 0.
3. 𝑎 −𝑏 = 𝑎 0 − 𝑏 = 𝑎0 − 𝑎𝑏 = 0 − 𝑎𝑏 = −𝑎𝑏; … …
𝑝 𝑛−𝑝 𝑝
4. 𝑃𝑎𝑟 𝑟é𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑛, 𝑜𝑛 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 (𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝑝=𝑛
𝑏 .
𝑝=0 𝐶𝑛 𝑎
La formule du binôme reste valable dans le cas où l‟anneau n‟est pas commutatif à condition
que a et b commutent.
Définition :
Soient (A, + ,. ) un anneau et B une partie de A.
 on dit que B est un sous-anneau de A, si (B,+) est sous-groupe de (A,+) et B stable
pour la loi . c-à-d : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐵 ⟹ 𝑥. 𝑦 𝜖 𝐵.
 On dit que B est un idéal de A, si (B,+) est sous-groupe de (A,+) et on a :
𝑥𝜖𝐴, 𝑦𝜖𝐵 ⟹ 𝑥𝑦 𝑒𝑡 𝑦𝑥 𝜖𝐵.
Remarque :
un idéal est bien un sous-anneau, mais la réciproque est fausse ; comme le montre l‟exemple
suivant : ℤ, +, . est un sous-anneau de ℚ, +, . mais pas un idéal.
Propriété :
Si (A, +, .) est anneau commutatif, unitaire et B une partie de A stable pour la loi + et vérifie
𝑥 𝜖 𝐴, 𝑦 𝜖 𝐵 ⟹ 𝑥𝑦 𝜖 𝐵, alors B est un idéal de A. (à vérifier)
Propriété :
Soit (A, +, .) est anneau commutatif et 𝑎𝜖𝐴. 𝐴𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎 = 𝑎𝐴 = {𝑎𝑥, 𝑥𝜖𝐴} est un idéal de A,
appelé idéal engendré par a. (à vérifier)
Un anneau A est dit principal si tout idéal de A est de cette forme, par exemple ℤ, K[X]
l‟ensemble des polynômes à coefficients dans un corps K (on le verra dans le chapitre des
polynômes !).
Soient maintenant (𝐴, +, . ) un anneau commutatif et 𝐼 un idéal de 𝐴 ; puisque (𝐼, +) est un
sous-groupe du groupe commutatif (𝐴, +) on a formé le groupe quotient 𝐴 𝐼 ; on définit une
multiplication par : 𝑥 . 𝑦 = 𝑥𝑦 ( elle est bien définie grâce au fait que 𝐼 est un idéal )
Théorème :
(𝐴
𝐴
𝐼 , +, . ) est un anneau commutatif. L‟application canonique 𝑠: 𝑥𝜖𝐴 → 𝑥 𝜖 𝐼 est un
homomorphisme d‟anneaux i,e : 𝑠 𝑥 + 𝑦 = 𝑠 𝑥 + 𝑠 𝑦 𝑒𝑡 𝑠 𝑥𝑦 = 𝑠 𝑥 𝑠 𝑦 .
La démonstration est analogue à celle du groupe quotient.
Exemple :
Dresser les tables de multiplications de (ℤ 𝑝ℤ , +, . ) pour p = 5 , 6.
15
Algèbre 1
Un anneau A est dit intègre si la relation ab = 0 entraine a = 0 ou b = 0 .
ℤ
𝑝ℤ est intègre ssi p est premier
Dans un anneau A un élément non nul a est dit diviseur de zéro s‟il existe b non nul dans A tel
que
ab = 0 ; donc un anneau intègre n‟a pas de diviseur de zéro. On a 2.3 = 0 dans ℤ 6ℤ .
Corps :
Définition :
Un anneau unitaire est un corps si tout élément non nul (i,e différent de l‟élément neutre pour
la première loi) est inversible.
Comme exemple on cite ℚ, ℝ, ℂ, ℤ 𝑝ℤ (𝑝 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟) .
On parle de sous-corps, d‟homomorphisme de corps ,…..
Série N° 2 de TD
STRUCTURES ALGEBRIQUES
EXERCICE 1:
Soit ∗ la loi de composition interne définie sur ℝ par :
𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑥 2 − 1 (𝑦 2 − 1).
Vérifier que cette loi est commutative, non associative, et admet un élément neutre.
EXERCICE 2 :
Soit 𝐸 un ensemble fini muni d‟une loi associative notée multiplicativement, possédant un
élément neutre. Démontrer que tout élément régulier admet un symétrique. A l‟aide d‟un
contre-exemple, montrer que ce résultat est faux si 𝐸 est infini.
EXERCICE 3:
(Axiomes faibles d‟un groupe)
Soit 𝐺 un monoïde (c-à-d la lci est associative) vérifiant les conditions suivantes :
1) Il existe dans 𝐺 au moins un élément neutre à droite, 𝑒.
2) Par rapport à 𝑒, tout 𝑥𝜖𝐺 admet au moins un inverse à droite 𝑥′.
On va montrer que 𝐺 est un groupe :
a) Soit 𝑥𝜖𝐺, on pose 𝑦 = 𝑥 ′ 𝑥. montrer que 𝑦 2 = 𝑦 puis 𝑦 = 𝑒 (utiliser son inverse à
droite 𝑦′). Conclusion.
b) Montrer que 𝑒 est aussi élément neutre à gauche. Conclusion.
EXERCICE 4:
Déterminer tous les groupes possibles à 1,2,3,4 éléments.
EXERCICE 5:
On définit sur ℝ la loi ∗ par 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦. Est-ce une loi de groupe ?
EXERCICE 6:
𝑥+𝑦
On considère sur −1, +1 la loi 𝑥 ∗ 𝑦 = 1+𝑥𝑦 ,
16
montrer
que ( −1, +1 ,∗) est un groupe.
Algèbre 1
EXERCICE 7:
Soit 𝐺, . un groupe tel que ∀ 𝑥 ∈ 𝐺, 𝑥. 𝑥 = 𝑒𝐺 . Montrer que 𝐺 est un groupe
commutatif.
EXERCICE 8:
Montrer qu‟un sous-ensemble 𝐻 d‟un groupe 𝐺,∗ est un sous-groupe ssi ∀ 𝑥, 𝑦 ∈
𝐻 𝑜𝑛 𝑎 𝑥 ∗ 𝑦′ ∈ 𝐻 où 𝑦′est le symétrique de 𝑦.
EXERCICE 9:
Montrer que la réunion de deux sous-groupes d‟un groupe est un sous –groupe ssi l‟un est
inclus dans l‟autre.
EXERCICE 10:
On pose 𝐺 = 𝑅 − 2 et on définit la loi suivante
∀ 𝑥, 𝑦 𝜖𝐺 × 𝐺 𝑥𝜏𝑦 = 𝑥𝑦 − 2 𝑥 + 𝑦 + 6.
1 . Montrer que (𝐺, 𝜏) est un groupe commutatif.
2. Montrer que 𝑓: 𝑥 → 𝑥 − 2 est un isomorphisme de (𝐺, 𝜏) sur (𝑅 ∗ ,×).
3. Montrer que ( 2, +∞ , 𝜏) est un sous-groupe de (𝐺, 𝜏).
EXERCICE 11 :
Démontrer que tout homomorphisme de (𝑄, +) dans (𝑍, +) est nul.
EXERCICE 12:
On munit 𝑅 des lois 𝜏 et ∗ de la façon suivante :
𝑥𝜏𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 1 et 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦 . Cela en fait-il un anneau ?
EXERCICE 13:
Soit 𝐸 un ensemble. Montrer que (𝑃 𝐸 , ∆,∩) est un anneau. En préciser les éléments
neutres, les éléments inversibles (et leur inverse) pour chacune des deux lois. Cet anneau est-il
intègre ? Si 𝐹𝐶𝐸, (𝑃 𝐹 , ∆,∩) est-il un sous-anneau de 𝑃(𝐸) ?
EXERCICE 14:
Un anneau 𝐴 est dit booléien ( ou anneau de Boole) si ∀𝑥𝜖𝐴, 𝑥 2 = 𝑥. Montrer que
∀𝑥𝜖𝐴, 2𝑥 = 0 et que 𝐴 est commutatif (indication : considérer (𝑥 + 𝑦)2 ) . Vérifier que
(𝑃 𝐸 , ∆,∩) est un tel anneau.
EXERCICE 15:
Montrer que dans un anneau à élément unité, l‟ensemble des éléments inversibles est un
groupe pour la multiplication.
EXERCICE 16:
Montrer qu‟un anneau fini intègre unitaire commutatif est un corps.
EXERCICE 17:
Dans 𝑅 2 on définit une addition et une multiplication par :
𝑎, 𝑏 + 𝑐, 𝑑 = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) et 𝑎, 𝑏 𝑐, 𝑑 = (𝑎𝑐, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐).
Montrer qu‟on obtient un anneau commutatif unitaire non intègre.
17
Algèbre 1
EXERCICE 18:
Soit (𝐺,∗) un groupe d‟élément neutre 𝑒 et 𝐻 une partie de 𝐺, non vide, finie et stable pour
la loi ∗. Pour 𝑎𝜖𝐻 on considère l‟application 𝑓: 𝑥 ∈ 𝐻 → 𝑎 ∗ 𝑥 ∈ 𝐻.
Montrer que 𝑓 est injective puis surjective ; en déduire que 𝐻 est un sous-groupe de 𝐺.
EXERCICE 19 :
On admettra que 2 ∉ ℚ . Soit 𝐻 = 𝑎 + 𝑏 2, 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ .
1. Montrer que H muni de l‟addition usuelle est un sous-groupe de ℝ, + .
2. Montrer que 0, +∞ muni de la multiplication usuelle est sous-groupe de ℝ∗ , . .
3. Soit 𝑥 ∈ 𝐻. Montrer qu‟il existe un unique couple 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ2 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 2.
4. Soit 𝑓: 𝐻 → 0, +∞ 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑓 𝑎 + 𝑏 2 = 3𝑎+𝑏 . Montrer que 𝑓 est un
homomorphisme de groupes, déterminer 𝑘𝑒𝑟𝑓 & 𝑖𝑚𝑓, 𝑓 est-il injectif, surjectif ?
EXERCICE 20 : (facultatif mais conseillé !!)
On se propose de munir ℝ4 d‟une structure de corps. Pour cela, on définit une addition et une
multiplication par :
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 + 𝑎′ , 𝑏 ′ , 𝑐 ′ , 𝑑 ′ = (𝑎 + 𝑎′ , 𝑏 + 𝑏 ′ , 𝑐 + 𝑐 ′ , 𝑑 + 𝑑′) (1)
et
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝑎′ , 𝑏 ′ , 𝑐 ′ , 𝑑′ =
(𝑎𝑎′ − 𝑏𝑏 ′ − 𝑐𝑐 ′ − 𝑑𝑑′ , 𝑎𝑏 ′ + 𝑏𝑎′ + 𝑐𝑑 ′ − 𝑑𝑐 ′ , 𝑎𝑐 ′ + 𝑐𝑎′ + 𝑑𝑏 ′ − 𝑏𝑑 ′ , 𝑎𝑑 ′ + 𝑑𝑎′ +
′
𝑏𝑐 − 𝑐𝑏′) (2)
1) Vérifier que (ℝ4 , +) est groupe abélien.
2) On pose : 1 = 1,0,0,0 , 𝑖 = 0,1,0,0 , 𝑗 = 0,0,1,0 , 𝑘 = (0,0,0,1) ; vérifier que
𝐺 = 1, 𝑖, 𝑗, 𝑘, −1, −𝑖, −𝑗, −𝑘 muni de la multiplication définie par (2) est un groupe
non commutatif (dresser sa table, on trouvera : 𝑖 2 = 𝑗 2 = 𝑘 2 = 1, et 𝑗 = −𝑗𝑖; 𝑗𝑘 =
−𝑘𝑗 = 𝑖; 𝑘𝑖 = −𝑖𝑘 = 𝑗.)
3) On identifie 𝑅 4 à l‟ensemble 𝐻 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐𝑗 + 𝑑𝑘, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑𝜖𝑅 ( penser à
l‟identification 𝑅 2 à 𝐶).
Pour 𝛼 = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)𝜖ℝ4 , on peut l‟écrire donc 𝛼 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐𝑗 + 𝑑𝑘. Soit 𝛼 ′ = 𝑎′ +
𝑏 ′ 𝑖 + 𝑐 ′ 𝑗 + 𝑑′𝑘, écrire le produit 𝛼𝛼′ en fonction de 𝑖, 𝑗, 𝑘.
4) On pose 𝛼 = (𝑎, −𝑏, −𝑐, −𝑑) (le conjugué de 𝛼 = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)) et 𝑁 𝛼 = 𝑎2 + 𝑏 2 +
𝑐 2 + 𝑑2 , montrer que 𝑁 𝛼 = 𝛼𝛼 , et que 𝑁 𝛼𝛽 = 𝑁 𝛼 𝑁(𝛽). ( un réel 𝑥 est
identifié à (𝑥, 0,0,0) !!!)
5) En déduire que tout élément non nul de ℝ4 est inversible.
6) Montrer que 𝑅 4 est un corps non commutatif
18
Algèbre 1
Chapitre III : Arithmétique dans ℤ
I.
Divisibilité :
Théorème de la division euclidienne :
Soient 𝑎 et 𝑏 deux éléments de ℤ, avec 𝑏 ≠ 0. Il existe un couple unique (𝑞, 𝑟) ∈ ℤ2
vérifiant 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 𝑒𝑡 0 ≤ 𝑟 < 𝑏 . On dit que q est le quotient et r le reste de la
division euclidienne de a par b.
Preuve :
- Existence :
On suppose d‟abord 𝑏 > 0 : L‟ensemble 𝐴 = {𝑎 − 𝑏𝑘, 𝑘𝜖 ℤ} ∩ ℕ n‟est pas vide, en
effet si 𝑎 ≥ 0, on prend 𝑘 = 0, et si 𝑎 ≤ −1, il suffit de prendre 𝑘 = 𝑎, de sorte que
𝑎 − 𝑏𝑘 = 𝑎(1 − 𝑏) ≥ 0. Soit 𝑟 le plus petit élément de 𝐴 et l‟entier 𝑞 de ℤ défini par
l‟égalité 𝑟 = 𝑎 − 𝑏𝑞, alors le couple (𝑞, 𝑟) convient. Sinon 𝑟 ≥ 𝑏, on écrit alors
0 ≤ r − b = a − bq − b = a − b(q + 1)ϵA, mais 0 ≤ r − b < 𝑟, ce qui est contredit
le fait que 𝑟 est le plus petit élément de 𝐴 .
Ensuite : Si 𝑏 < 0, on effectue la division euclidienne de 𝑎 par (– 𝑏), on obtient :
𝑎 = −𝑏 𝑞 + 𝑟 où 0 ≤ 𝑟 < −𝑏 = 𝑏 , donc 𝑎 = 𝑏(−𝑞) + 𝑟 où 0 ≤ 𝑟 < 𝑏
Unicité :
Supposons 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 = 𝑏𝑞 ′ + 𝑟 ′ 𝑎𝑣𝑒𝑐 0 ≤ 𝑟 < 𝑏 𝑒𝑡 0 ≤ 𝑟 ′ < 𝑏 . Si 𝑞 ≠ 𝑞′, supposons
par exemple 𝑞 − 𝑞′ ≥ 1, on écrit alors 𝑏 ≤ 𝑏 𝑞 − 𝑞 ′ = 𝑟 ′ − 𝑟 ≤ 𝑟′, ce qui contredit
l‟hypothèse 𝑟 ′ < 𝑏 . On en déduit 𝑞 = 𝑞′ et il s‟ensuit que 𝑟 = 𝑟′.
Exemples :
- −15 = −2 . 7 − 1 n‟est pas une division euclidienne.
- Division euclidienne de 17 par 5 :
17 = 5 × 3 + 2,
q = 3 et r = 2.
- Division euclidienne de −17 par 5 : −17 = 5 × (−4) + 3, q = −4 et r = 3.
- Division euclidienne de 18 par −4 : 18 = 4 × 4 + 2 = (−4) × (−4) + 2.
- Division euclidienne de −15 par −4 : −15 = 4 × (−4) + 1 = (−4) × 4 + 1.
Remarque importante :
Dans tous les cas le reste 𝑟 est positif ou nul.
Définition :
Si 𝑎, 𝑏 𝜖 ℤ, on dit que 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑏, et on note 𝑎 ∕ 𝑏 s‟il existe 𝑘 𝜖 ℤ tel que 𝑏 = 𝑎𝑘, i,e le
reste de la division euclidienne de 𝑏 𝑝𝑎𝑟 𝑎 est nul. On dit que a est un diviseur de b ou que b
est un multiple de a. Dans le cas contraire, on dit que a ne divise pas b et on note a ∤ 𝑏.
Exemples :
 Tout entier relatif divise 0.
 Les diviseurs de 20 sont : …..
 ….
Propriétés :
 Si 𝑎 ∕ 𝑏, alors 𝑎 𝑏𝑐 , ∀𝑐𝜖ℤ.
 Si 𝑎 ∕ 𝑏 et 𝑏 ∕ 𝑐, alors 𝑎 ∕ 𝑐.
 Si 𝑎 𝑏 et 𝑎 ∕ 𝑐, alors 𝑎 𝑏𝑘 + 𝑐𝑕, ∀𝑘, 𝑕𝜖 ℤ .
 Si 𝑎 𝑏 et 𝑏 𝑎 , alors 𝑎 = ±𝑏.
19
Algèbre 1

Si 𝑎 𝑏 et 𝑏 ≠ 0, alors 𝑎 ≤ 𝑏 .
Proposition et définition :
Soient 𝑎 et 𝑏 deux éléments de ℤ∗ , l‟ensemble des diviseurs communs à 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 dans ℕ
admet un plus grand élément appelé 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑎, 𝑏) .
En effet, les diviseurs de 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 dans ℕ sont majorés par 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 , donc sont en nombre
fini.
Algorithme d’Euclide (recherche du pgcd) :
Puisque 𝑝𝑔𝑐𝑑 𝑎, 𝑏 = 𝑝𝑔𝑐𝑑( 𝑎 , 𝑏 ), il suffit de prendre 𝑎, 𝑏𝜖ℕ∗ . On utilisera les lemmes
suivants faciles à démontrer :
Lemme 1 : Soient 𝑎, 𝑏𝜖ℕ∗ , si 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 est le résultat de la division euclidienne de 𝑎 par
𝑏, alors
𝑝𝑔𝑐𝑑 (𝑎, 𝑏) = 𝑝𝑔𝑐𝑑 (𝑏, 𝑟).
Lemme 2 : Soient 𝑎, 𝑏𝜖ℕ∗ , si 𝑎 𝑏 alors 𝑝𝑔𝑐𝑑 𝑎, 𝑏 = 𝑏.
Théorème (Algorithme d’Euclide ) :
Soient 𝑎, 𝑏𝜖ℕ∗ , avec 𝑎 ≥ 𝑏; en appliquant successivement et jusqu`à obtenir un reste nul, le
théorème de la division euclidienne, on obtient la suite d‟équations:
𝑎 = 𝑏𝑞1 + 𝑟1 ,
0 < 𝑟1 < 𝑏
𝑏 = 𝑟1 𝑞2 + 𝑟2 ,
0 < 𝑟2 < 𝑟1
𝑟1 = 𝑟2 𝑞3 + 𝑟3 ,
0 < 𝑟3 < 𝑟2
⋮
⋮
⋮
𝑟𝑗 −2 = 𝑟𝑗 −1 𝑞𝑗 + 𝑟𝑗 ,
0 < 𝑟𝑗 < 𝑟𝑗 −1
𝑟𝑗 −1 = 𝑟𝑗 𝑞𝑗 +1
Alors le 𝑝𝑔𝑐𝑑 𝑎, 𝑏 = 𝑟𝑗 : le dernier reste non nul.
Exemple : 𝑝𝑔𝑐𝑑 172,144 = 4 et 4 = ⋯ = 172. −5 + 144. 6 .
Théorème : Soient 𝑎, 𝑏𝜖ℕ∗ , alors 𝑑 = 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑎, 𝑏) ssi :
1. 𝑑 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑎 𝑒𝑡𝑏
2. ∃𝑢, 𝑣 ∈ ℤ 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 = 𝑑
Preuve :
Si 𝑑 = 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑎, 𝑏), on a bien 𝑑 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑎 𝑒𝑡𝑏 . Les entiers 𝑢 𝑒𝑡 𝑣 sont obtenus par substitution
des restes 𝑟𝑗 −1 , 𝑟𝑗 −2 , … , 𝑟1 de la suite d‟équations lors de l‟algorithme d‟Euclide. (exemple !!)
Réciproquement : si 𝑑 vérifie 1) et 2) montrons qu‟il est le plus grand diviseur de 𝑎 𝑒𝑡 𝑏. Soit
𝑐 un diviseur commun à 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 dans ℕ, ∃a1 , b1 ϵ ℤ 𝑡𝑞 𝑎 = a1 c, b = b1 c , d‟après 2), on a
𝑑 = 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 = a1 u + b1 v c , donc 𝑐 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑑.
Remarque :
Il faut absolument que d vérifie 1) et 2) : 8.4 − 9.3 = 5 mais 5 ne divise ni 8 ni 9.
Nombres premiers entre eux :
Définition :
Soient 𝑎, 𝑏 𝜖 ℤ∗ , 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 sont dits premiers entre eux si 𝑝𝑔𝑐𝑑 𝑎, 𝑏 = 1.
Donc a et b sont premiers entre eux ssi leurs seuls diviseurs communs sont (-1) et 1.
Théorème de Bézout:
a et b sont premiers entre eux ssi ∃ 𝑢, 𝑣 ∈ ℤ 𝑡𝑞 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 = 1.
La preuve résulte du théorème précédent .
Corollaire1 :(Théorème de Gauss)
Soient 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℤ∗ , si a est premier avec b et divise le produit bc, alors a divise c.
Démonstration :
𝑎 divise 𝑏𝑐 donc il existe 𝑘 ∈ ℤ tel que 𝑏𝑐 = 𝑘𝑎 ; a est premier avec b donc il existe
𝑢, 𝑣 ∈ ℤ 𝑡𝑞 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 = 1 . On multiplie cette égalité par 𝑐 on obtient
𝑎𝑢𝑐 + 𝑏𝑣𝑐 = 𝑐 , puis on remplace 𝑏𝑐 par 𝑘𝑎 on obtient 𝑎(𝑢𝑐 + 𝑘𝑣) = 𝑐 ; d‟où a divise c.
20
Algèbre 1
Corollaire2 : Soient 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℤ∗ .
Si a et b divisent c et 𝑝𝑔𝑐𝑑 𝑎, 𝑏 = 1, alors le produit ab divise aussi c.
Démonstration :
a et b divisent c donc ∃ 𝑕, 𝑘 ∈ ℤ tels que 𝑐 = 𝑎𝑕 = 𝑏𝑘 ; a est premier avec b donc il existe
𝑐. On multiplie cette égalité par 𝑐 on obtient
𝑎𝑢𝑐 + 𝑏𝑣𝑐 = 𝑐 , puis on remplace le premier 𝑐 par 𝑏𝑘 et le deuxième par 𝑎𝑕, on obtient
𝑎𝑏 𝑢𝑘 + 𝑣𝑕 = 𝑐 ; d‟où le résultat.
Application: Résolution des équations diophantiennes :
Il s‟agit de résoudre dans ℤ × ℤ des équations du type :
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, où 𝑎, 𝑏, 𝑐 sont trois entiers fixés.
Proposition :
L′ équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 admet des solutions ssi 𝑝𝑔𝑐𝑑 𝑎, 𝑏 divise 𝑐.
Démonstration :
La condition est évidemment nécessaire car le 𝑝𝑔𝑐𝑑 𝑎, 𝑏 divise tout nombre de la forme
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 donc il divise 𝑐.
Réciproquement : supposons que 𝑑 = 𝑝𝑔𝑐𝑑 𝑎, 𝑏 divise 𝑐 donc il existe 𝑘 ∈ ℤ tel que
𝑐 = 𝑘𝑑 ; d‟après la relation de Bézout il existe 𝑢, 𝑣 ∈ ℤ 𝑡𝑞 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 = 𝑑. En multipliant cette
égalité par 𝑘 on obtient une solution 𝑥0 , 𝑦0 = (𝑘𝑢, 𝑘𝑣).
Soit (𝑥, 𝑦) une autre solution, alors on a 𝑎 𝑥 − 𝑥0 = 𝑏(𝑦0 − 𝑦), on divise par 𝑑 on obtient
𝑎1 𝑥 − 𝑥0 = 𝑏1 (𝑦0 − 𝑦) avec 𝑎1 𝑒𝑡 𝑏1 premiers entre eux. Comme 𝑎1 divise 𝑏1 (𝑦0 − 𝑦)
alors il divise 𝑦0 − 𝑦 d′après le théorème de Gauss, donc 𝑦0 − 𝑦 = 𝑕𝑎1 ou encore
𝑦 = 𝑦0 + 𝑕′𝑎1 avec 𝑕′ ∈ ℤ ; de même on trouvera 𝑥 = 𝑥0 + 𝑘𝑏1 avec 𝑘 ∈ ℤ.
Proposition et définition :
Soient 𝑎 et 𝑏 deux éléments de ℤ∗ , l‟ensemble des multiples communs à 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 dans ℕ∗
admet un plus petit élément appelé 𝑝𝑝𝑐𝑚(𝑎, 𝑏) .
En effet l‟ensemble des multiples communs à 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 dans ℕ∗ contient 𝑎 𝑏 et minoré par
1, donc admet un plus petit élément.
Théorème :
Soient 𝑎, 𝑏𝜖ℕ∗ , alors 𝑎𝑏 = 𝑝𝑝𝑐𝑚 𝑎, 𝑏 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝑎, 𝑏).
II.
Nombres premiers :
Définition :
Soit 𝑝𝜖ℕ∗ , 𝑝 ≥ 2, 𝑝 est dit premier si ses seuls diviseurs dans ℕ sont 1 𝑒𝑡 𝑝.
Exemple :
1 n‟est pas premier, 2, 3, 5, 7, 11, 13,…sont des nombres premiers.
Proposition :
Soit 𝑎𝜖ℕ∗ , 𝑎 ≥ 2, alors a admet au moins un diviseur premier.
Démonstration :
Si 𝑎 est premier, 𝑎 est un diviseur premier de 𝑎.
Sinon a n‟est pas premier, et admet donc des diviseurs 𝑑 autres que 1 et a et qui vérifient
donc: 1 < 𝑑 < 𝑎. Soit p le plus petit de ces diviseurs de a autres que 1 et 𝑎, alors 𝑝 est
premier;
en effet, sinon, 𝑝 admettrait un diviseur 𝑑0 tel que 1 < 𝑑0 < 𝑝; alors d0 diviserait aussi a
avec 1 < 𝑑0 < 𝑝, ce qui est exclu par définition de 𝑝.
Proposition :
Soit 𝑝 un nombre premier et 𝑎𝜖ℤ∗ , alors 𝑝𝑔𝑐𝑑 𝑎, 𝑝 = 1 𝑠𝑠𝑖 𝑝 𝑛𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑠 𝑎.
Proposition :
Si 𝑝 est premier et 𝑝 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑎𝑏, alors 𝑝 𝑎 𝑜𝑢 𝑝 𝑏 .
21
Algèbre 1
En effet : si 𝑝 ne divise pas 𝑎 donc 𝑝 𝑒𝑡 𝑎 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑢𝑥 d‟après la proposition
précédente ; le théorème de Gauss entraine 𝑝 𝑏 .
Théorème :( Crible d’Eratostène)
Si 𝑛 n‟est pas premier, il admet un diviseur premier 𝑝 vérifiant: 𝑝 < 𝑛.
En effet, si 𝑝 est le plus petit diviseur premier de 𝑛, on a 𝑛 = 𝑝. 𝑝′ avec 𝑝 ≤ 𝑝′,
D‟où 𝑝2 = 𝑝. 𝑝 ≤ 𝑝. 𝑝′ = 𝑛.
On utilisera ce théorème pour déterminer si un entier 𝑛 est premier, il suffira donc de tester sa
Divisibilité par tout nombre premier 𝑝 ≤ 𝑛.
Exemple : 𝑛 = 569, 𝑛 = 23, 85...; or aucun des entiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23 ne
divise 𝑛, donc 569 est premier.
Théorème d’Euclide :
L‟ensemble 𝒫 des nombres premiers est infini.
Preuve :
Sinon 𝒫 = {𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛 } est fini, soit 𝑎 = 𝑝1 … 𝑝𝑛 + 1 ; on va montrer que 𝑎 est premier :
En effet, sinon 𝑎 admet un diviseur premier 𝑝𝑖 ; donc 𝑝𝑖 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 1 = 𝑎 − 𝑝1 … 𝑝𝑛 , ce qui est
absurde car 𝑝𝑖 ≥ 2.
Remarque :
La distribution des nombres premiers n‟est pas régulière : pour tout 𝑛𝜖ℕ∗ , il existe 𝑛 entiers
consécutifs non premiers ( 𝑛 + 1 ! + 𝑘 𝑜ù 2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 + 1 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑘).
Proposition :
Soit 𝑝 un nombre premier. Si 𝑝 divise un produit 𝑞1 . 𝑞2 … 𝑞𝑛 de 𝑛 entiers, il existe au moins
un indice 𝑖 𝜖 {1, 2, . . . , 𝑛} tel que 𝑝 divise 𝑞𝑖 .
Preuve :
Par récurrence. Supposons k = 2 et 𝑝 divise 𝑞1 𝑞2 .
Ou bien 𝑝 divise 𝑞2 ou bien 𝑝 est premier avec 𝑞2 donc divise 𝑞1 d'après le lemme de Gauss.
Supposons le résultat établi pour 𝑛 − 1, si 𝑝 divise 𝑞1 . 𝑞2 … 𝑞𝑛 , alors ou bien p divise 𝑞𝑛
ou bien 𝑝 est premier avec 𝑞𝑛 donc divise 𝑞1 . 𝑞2 … 𝑞𝑛−1 d'après le lemme de Gauss, le
résultat découle alors de l'hypothèse de récurrence.
Corollaire :
Soit 𝑝 un nombre premier. Si 𝑝 divise un produit 𝑝1 . 𝑝2 . . . 𝑝𝑛 de 𝑛 nombres premiers, il existe
un indice 𝑖 𝜖 {1, 2, . . . , 𝑛} tel que 𝑝 = 𝑝𝑖 .
Théorème : (Théorème fondamental de l'Arithmétique)
Tout entier 𝑎 > 1 s'écrit de façon unique sous la forme :
𝑛
𝑛 𝑛
𝑎 = 𝑝1 1 𝑝2 2 … 𝑝𝑚𝑚 où 𝑝1 < 𝑝2 < ⋯ < 𝑝𝑚 (des entiers premiers) et 𝑛1 , … , 𝑛𝑚 𝜖ℕ∗ .
Preuve :
Existence :
Soit 𝑝1 le plus petit diviseur premier de 𝑎. L'ensemble des entiers positifs 𝑘 tels que 𝑝1𝑘
divise 𝑎 est fini, soit 𝑛1 son plus grand élément, alors 𝑛1 est l'unique entier positif tel que
𝑛
𝑛 +1
𝑛
𝑝1 1 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑎 𝑒𝑡 𝑝1 1 𝑛𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑝𝑎𝑠 𝑎 ; on écrit alors 𝑎 = 𝑝1 1 𝑎1
Si 𝑎1 = 1, c'est terminé. Si 𝑎1 > 1, on recommence.
𝑛
Soit 𝑝2 le plus petit diviseur premier de 𝑎1 et 𝑛2 ≥ 1 le plus grand entier tel que 𝑝2 2 divise
𝑛 𝑛
𝑎1 . On pose 𝑎 = 𝑝1 1 𝑝2 2 𝑎2 , et on remarque que 𝑝1 < 𝑝2 et que 𝑎 > 𝑎1 > 𝑎2 ≥ 1.
On recommence l‟opération jusqu‟à obtenir 𝑎𝑛 = 1, ce qui arrive au bout d‟un nombre fini
d‟opérations puisque 𝑎 > 𝑎1 > 𝑎2 > ⋯ 𝑎𝑛 ≥ 1.
Unicité :
𝑛
𝑘
𝑛 𝑛
𝑘
𝑘
Supposons 𝑎 = 𝑝1 1 𝑝2 2 … 𝑝𝑚𝑚 = 𝑝′1 1 𝑝′2 2 … 𝑝′𝑠 𝑠 (1) où
𝑝1 < 𝑝2 < ⋯ < 𝑝𝑚 et
∗
𝑝′1 < 𝑝′2 < ⋯ < 𝑝′𝑠 et où les 𝑛𝑖 , 𝑘𝑗 𝜖ℕ . Il faut montrer que
22
Algèbre 1
1. 𝑚 = 𝑠;
2. ∀𝑖𝜖 1, 2, … , 𝑚 𝑝𝑖 = 𝑝′𝑖 ,
3. ∀𝑖𝜖 1, 2, … , 𝑚 , 𝑛𝑖 = 𝑘𝑖 .
Pour 1), d‟après le corollaire précédent, chaque 𝑝𝑖 est égal à l‟un des 𝑝′𝑖 et vice versa, donc
la famille des 𝑝𝑖 coïncide avec celle des 𝑝′𝑖 , d‟où 𝑚 = 𝑠.
Pour 2), comme les ∀𝑖𝜖 1, 2, … , 𝑚 et les 𝑝′𝑖 sont rangées par ordre croissant ; on a 𝑝𝑖 = 𝑝′𝑖
pour chaque 𝑖 = 1, … , 𝑚.
Pour 3), supposons qu‟il existe un indice 𝑖 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑖 ≠ 𝑘𝑖 , par exemple 𝑛𝑖 < 𝑘𝑖 . En divisant
𝑛
les deux membres de (1) par 𝑝𝑖 𝑖 , on en déduit que 𝑝𝑖 divise un produit de nombres premiers
tous différents de lui-même, ce qui est impossible d‟après le corollaire précédent.
Conséquence du théorème de la décomposition en facteurs premiers :
L‟application : (𝑛, 𝑚, 𝑝)𝜖 ℕ × ℕ × ℕ → 2𝒏 3𝒎 5𝒑 ∈ ℕ est injective, donc ℕ × ℕ × ℕ est
dénombrable.
III.
Congruences :
Définition :
Soit 𝑎𝜖ℕ∗ , 𝑎 ≥ 2 ; la relation d‟équivalence définie sur ℤ par :
𝑝ℛ𝑞 𝑠𝑖 ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝 − 𝑞 = 𝑘𝑎 est appelée congruence, on dit que 𝑝 ≡ 𝑞 𝑎 .
L‟ensemble quotient est noté ( ℤ 𝑎ℤ). Le fait qu‟il est muni par l‟addition :
.
.
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 et par la multiplication 𝑥 . 𝑦 = 𝑥𝑦 signifie que :
𝑥 ≡ 𝑦 𝑒𝑡 𝑥 ′ ≡ 𝑦 ′ ⟹ 𝑥 + 𝑥 ′ ≡ 𝑦 + 𝑦 ′ , 𝑥𝑥 ′ ≡ 𝑦𝑦 ′ 𝑒𝑡 𝑥 𝑘 ≡ 𝑦 𝑘 ∀𝑘𝜖 ℕ.
Applications :
1. Des critères de divisibilité : par exemple un nombre entier naturel 𝑛 = 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒 en base
dix, est divisible par 9 ssi la somme de ses chiffres 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 l‟est aussi. Cela
résulte du fait que 𝑛 = 𝑒 + 10𝑑 + 102 𝑐 + 103 𝑏 + 104 𝑎 et 10 ≡ 1 9 . De même la
divisibilité par 3. Pour la divisibilité par 11, elle l‟est ssi la somme alternée des
chiffres i,e : 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 𝑑 + 𝑒 l‟est aussi car 10𝑘 ≡ (−1)𝑘 11 .
2. Le reste de la division euclidienne par exemple de 275275 𝑝𝑎𝑟 7 :
on a 275 ≡ 2 7 donc 275275 ≡ 2275 7 , comme 23 ≡ 1 7 et 275 = 390 + 3 + 2 on
déduit que 275275 ≡ 2275 ≡ ⋯ ≡ 4 7 . D‟où le reste est 4.
3. Par exemple montrer que 17 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 26𝑛 +3 + 34𝑛+2 :
On a 26𝑛+3 + 34𝑛 +2 = (26 )𝑛 23 + (34 )𝑛 . 32 et 26 = 64 ≡ 13 17 , 23 = 81 ≡ 13 17
23 = 8 ≡ 8 17 , 32 = 9 ≡ 9 17 , donc (26 )𝑛 23 + (34 )𝑛 . 32 ≡ 13𝑛 (8 + 9) ≡ 0 17 .
D‟où le résultat désiré.
Systèmes de congruences :
Combien l'armée de Han Xing comporte-t-elle de soldats si, rangés par 3 colonnes, il reste deux
soldats, rangés par 5 colonnes, il reste trois soldats et, rangés par 7 colonnes, il reste deux soldats ?
Ce problème peut être formulé comme suit :
Chercher un entier naturel 𝑛 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑛 ≡ 2 3 , 𝑛 ≡ 3 5 𝑒𝑡 𝑛 ≡ 2[7] ; c‟est un système de
congruences !
23
Algèbre 1
Théorème chinois des restes :
Soient n1, ..., nk des entiers deux à deux premiers entre eux. Alors pour tous entiers a1, ..., ak, il existe
un entier x, unique modulo 𝑛 = 𝑘𝑖=1 𝑛𝑖 et tel que
𝑥 ≡ 𝑎1 𝑛1
…
𝑥 ≡ 𝑎𝑘 𝑛𝑘
Démonstration :
Unicité :
Si 𝑥 𝑒𝑡 𝑦 sont solutions alors 𝑥 − 𝑦 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑛𝑖 , ∀ 𝑖 = 1,2 … 𝑘, donc 𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑖 divisent
𝑥 − 𝑦 ; par suite leur produit divise aussi𝑥 − 𝑦 car ils sont premiers entre eux ; d‟où l‟unicité
modulo le produit des 𝑛𝑖 .
Existence :
𝑥 = 𝑎1 𝑛1
On commence par faire la démonstration pour le système de deux équations
𝑥 = 𝑎2 𝑛2
Puisque 𝑛1 𝑒𝑡 𝑛2 sont premiers entre eux ∃ 𝑢, 𝑣 ∈ ℤ 𝑡𝑞 𝑛1 𝑢 + 𝑛2 𝑣 = 1 (1) , alors l‟entier
𝑐 = 𝑎2 𝑛1 𝑢 + 𝑎1 𝑛2 𝑣 est bien solution en effet :
𝑐 = 𝑎2 𝑛1 𝑢 + 𝑎1 1 − 𝑛1 𝑢 = 𝑎1 + 𝑛1 𝑢 𝑎2 − 𝑎1 ≡ 𝑎1 𝑛1 , (on utilise l‟égalité (1))
𝑐 = 𝑎2 1 − 𝑛2 𝑣 + 𝑎1 𝑛2 𝑣 = 𝑎2 + 𝑛2 𝑣(𝑎1 − 𝑎2 ) ≡ 𝑎2 𝑛2 .
𝑥 = 𝑐 𝑛1 𝑛2
Ensuite on passe au système
et ainsi de suite.
𝑥 = 𝑎3 𝑛3
Exemple :
𝑛≡23
Résolvons le système 𝑛 ≡ 3 5
𝑛 ≡ 2[7]
La première équation donne 𝑛 = 3𝑘 + 2, 𝑘 ∈ ℤ (1) , on le porte dans la deuxième équation
3𝑘 + 2 ≡ 3 5 entraine 3𝑘 ≡ 1 5 , donc 𝑘 ≡ 2 5 car 3.2 = 1 5 , ainsi 𝑘 = 5𝑕 + 2, 𝑕 ∈ ℤ ; on le
porte dans (1) on obtient 𝑛 = 3 5𝑕 + 2 + 2 = 15𝑕 + 6 (2). La troisième équation donne
15𝑕 + 6 ≡ 2[7] i,e 𝑕 ≡ 4[7] car 15 ≡ 1[7], donc 𝑕 = 7𝑙 + 4, 𝑙 ∈ ℤ ; d‟où d‟après (2) on trouve
𝑛 = 15 7𝑙 + 4 + 6 = 105𝑙 + 66, 𝑙 ∈ ℤ .
Remarque :
Cela revient donc à faire les calculs dans ℤ 𝑝ℤ .
24
Algèbre 1
Série N° 3 de TD
Arithmétique dans ℤ & dans 𝕂 𝑿
Exercice 1:
Combien 15 ! admet-il de diviseurs dans ℕ?
Exercice 2 :
En utilisant les congruences, montrer que :
1. L‟entier 7𝑛 − 1 est divisible par 6 pour tout 𝑛 ∈ ℕ.
2. Un entier est divisible par 11 ssi la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11.
(la somme alternée des chiffres de 1728 est 1 − 7 + 2 − 8)
3. Quel est le reste de la division euclidienne de 6227 par 7 ?
Exercice 3 :
Calculer par l‟algorithme d‟Euclide le pgcd de 18480 et 9828, puis déduire la relation de
Bézout.
Exercice 4 :
Résoudre dans ℤ : 1665𝑥 + 1035𝑦 = 45.
Exercice 5 :
Une bande de 17 pirates possède un trésor constitué de pièces d'or d'égale valeur. Ils projettent
de se les partager également, et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait alors
3 pièces. Mais les pirates se querellent, et six d'entre eux sont tués. Un nouveau partage
donnerait au cuisinier 4 pièces. Dans un naufrage ultérieur, seuls le trésor, six pirates et le
cuisinier sont sauvés, et le partage donnerait alors 5 pièces d'or à ce dernier.
Soit 𝑥 le nombre de pièces d'or, écrire le système de congruences qui décrit ce problème puis
le résoudre et répondre à la question :
Quelle est la fortune minimale que peut espérer le cuisinier s'il décide d'empoisonner le reste
des pirates ?
Exercice 6 :
Montrer que ℤ 𝑝ℤ est un corps ssi 𝑝 est premier.
Exercice 7 :
On se propose de montrer que si 𝑛 ≥ 6 est non premier alors 𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑛 − 1 !.
a) Montrer que si 𝑛 = 𝑝𝑞 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑝, 𝑞 ≥ 2 alors 𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑛 − 1 !.
b) Montrer que si 𝑛 = 𝑝2 avec 𝑝 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑡 𝑝 ≠ 2 alors 2𝑝 < 𝑝2 , en déduire que
𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑛 − 1 !.
c) En déduire le résultat désiré.
d) Que se passe-t-il si 𝑛 < 6 ou 𝑛 est premier ?
Exercice 8 :
Un groupe de 48 personnes veut acheter des pâtisseries à raison d‟une par personne. Les
pâtisseries sont conditionnées en lots de 10 et en lots de 6.Quelle équation correspond à cette
situation ? La résoudre. Si le lot de 10 pâtisseries coûte 20dh et le lot de 6 coûte 15, quelle est
la solution la plus économique pour le groupe ?
Exercice 9 :
Soit 𝑝 𝑒𝑡 𝑘 deux entiers naturels tels que 𝑝 est premier et 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝 − 1.
1) Montrer que 𝑝 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝐶𝑝𝑘 (partir de 𝑝! = 𝑘! 𝑝 − 𝑘 ! 𝐶𝑝𝑘 ).
2) En déduire que (𝑎 + 𝑏)𝑝 = 𝑎𝑝 + 𝑏 𝑝 (𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑝) , ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ.
3) En déduire par récurrence sur 𝑛 que 𝑝 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑛𝑝 − 𝑛.
4) Application : déterminer tous les nombres premiers 𝑝 qui divisent 2𝑝 + 1.
25
Algèbre 1
Chapitre IV : Polynômes à une indéterminée
& Fractions rationnelles.
I.
Définitions, propriétés générales :
a) Définitions :
1) Soit A un anneau commutatif et unitaire. On appelle polynôme à coefficients dans A,
une suite (a0 ,a1 ,…..) d‟éléments de A n‟ayant qu‟un nombre fini de termes non nuls.
L‟ensemble de ces polynômes se note A[X] (on verra ultérieurement pourquoi cette notation).
2) Un polynôme est dit normalisé (ou unitaire) si son dernier coefficient non nul est égal à 1.
On définit deux opérations sur A[X] :
 Addition: P = (a0 , a1,….) ; Q = (b0,b1,….)
P+Q = (a0+b0, a1+b1, …..)
 Produit : PQ = (c0, c1, ……) où : c0 = a0b0, c1 = a0b1+a1b0, …..,
𝑐𝑘 = 𝑖+𝑗 =𝑘 𝑎𝑖 𝑏𝑗 = 𝑛𝑘=0 𝑎𝑘 𝑏𝑛−𝑘
On vérifie que la 2ème loi est bien définie (il est clair que la première l‟est aussi) en effet
si 𝑎𝑛 = 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ≥ 𝑠 𝑒𝑡 𝑏𝑛 = 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ≥ 𝑟 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑐𝑛 = 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ≥ 𝑠 + 𝑟.
Par exemple si 𝑃 = 2,1,0, … … . . 𝑒𝑡 𝑄 = 0,1,3,0, … … . 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑃𝑄 = (0,2,7,4,0, … … . ).
Ce résultat correspond à une vision théorique de 2 + 𝑋 𝑋 + 3𝑋 2 = 2𝑋 + 7𝑋 2 + 3𝑋 3 .
Théorème :
Muni de ces deux lois (A[X], +, .) est un anneau commutatif et unitaire. On l‟appelle anneau
des polynômes à une indéterminée à coefficients dans A. (le vérifier !)
Pour l‟associativité : si 𝑃 = (𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , … … ) , 𝑄 = (𝑏0 , 𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 , … … ) et
𝑅 = (𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐, … , 𝑐𝑛 , … … ) alors on a 𝑃𝑄 = (𝑑0 , 𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑛 , … … ) avec 𝑑𝑘 = 𝑖+𝑗 =𝑘 𝑎𝑖 𝑏𝑗
et 𝑃𝑄 𝑅 = (𝑒0 , 𝑒1 , 𝑒2 , … , 𝑒𝑛 , … … ) avec 𝑒𝑕 = 𝑘+𝑙=𝑕 𝑑𝑘 𝑐𝑙 = 𝑘+𝑙=𝑕 ( 𝑖+𝑗 =𝑘 𝑎𝑖 𝑏𝑗 ) 𝑐𝑙 =
𝑖+𝑗 +𝑙=𝑕 𝑎𝑖 𝑏𝑗 𝑐𝑙 ; de même on aura 𝑃 𝑄𝑅 = 𝑖+𝑗 +𝑙=𝑕 𝑎𝑖 𝑏𝑗 𝑐𝑙 .
La distributivité est facile à voir !!
Remarque :
L‟application 𝑖: 𝑎𝜖𝐴 ⟶ (𝑎, 0,0, … . )𝜖𝐴[𝑋] est un homomorphisme d‟anneaux, ce qui permet
d‟identifier les éléments de A à des polynômes .
b) Générateur de A[X] :
On pose X = (0,1,0,0,……) alors on obtient :
X2 = (0,0,1,0,0,….) ; X3 = X2X = (0,0,0,1,0,0,…..) ; ….. Xn = (0,0,0,…,0,1,0,…..) où
1 occupe la (n+1)ème position.
Ainsi 𝑃 = (𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , 0,0, … … )
= 𝑎0 1,0, … . + 𝑎1 0,1,0, … . + 𝑎2 0,0,1,0, … . . + ⋯ + 𝑎𝑛 (0,0, … . ,0,1,0, … … )
= 𝑎0 + 𝑎1 𝑋 + 𝑎2 𝑋 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑋 𝑛 .
X s‟appelle l‟indéterminée. (d‟où la justification de la notation)
On vérifie que cette notation correspond bien aux lois que l‟on connaît sur les polynômes.
Définition :
Le degré d‟un polynôme P noté degP est :
i)
Si P = 0
degP = −∞ (par convention).
𝑘
ii)
Si 𝑃 ≠ 0
𝑃 = 𝑘=𝑛
degP est le grand entier m tel que 𝑎𝑚 ≠ 0.
𝑘=0 𝑎𝑘 𝑋
Lemme :
Soit 𝑃, 𝑄 𝜖 𝐴[𝑋],on a :
deg 𝑃 + 𝑄 ≤ sup 𝑑𝑒𝑔𝑃, 𝑑𝑒𝑔𝑄 𝑒𝑡 deg 𝑃. 𝑄 ≤ 𝑑𝑒𝑔𝑃 + 𝑑𝑒𝑔𝑄.
En effet : Si 𝑃 = 0 𝑜𝑢 𝑄 = 0, c‟est évident. On peut donc supposer que 𝑃 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑄 ≠ 0.
𝑗
𝑃 = 𝑛𝑖=0 𝑎𝑖 𝑋 𝑖 ,
𝑄= 𝑚
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑𝑒𝑔𝑃 = 𝑛 𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑔𝑄 = 𝑚.
𝑗 =0 𝑏𝑗 𝑋
26
Algèbre 1
∗ 𝑚 = 𝑛. 𝑃 + 𝑄 = 𝑛𝑖=0 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 𝑋 𝑖 𝑑𝑜𝑛𝑐 deg 𝑃 + 𝑄 ≤ 𝑛 = sup 𝑛, 𝑚 .
𝑛
𝑖
𝑖
∗ 𝑚 < 𝑛. 𝑃 + 𝑄 = 𝑚
𝑑𝑜𝑛𝑐 deg 𝑃 + 𝑄 = 𝑛 ≤
𝑖=0 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 𝑋 + 𝑖=𝑚 +1 𝑎𝑖 𝑋
sup 𝑛, 𝑚 = 𝑛.
ii)
𝑃𝑄 = 𝑘𝑝=0 𝑐𝑝 𝑋 𝑝
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑐𝑝 = 𝑖+𝑗 =𝑝 𝑎𝑖 𝑏𝑗 .
i)
Si 𝑖 > 𝑛 𝑜𝑢 𝑗 > 𝑚 𝑜𝑛 𝑎 𝑎𝑖 𝑏𝑗 = 0, 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑖 + 𝑗 > 𝑛 + 𝑚 ⟹ 𝑎𝑖 𝑏𝑗 = 𝑂, 𝑑 ′ 𝑜ù 𝑝 > 𝑛 +
𝑚 ⟹ 𝑐𝑝 = 0 . Ainsi 𝑑𝑒𝑔𝑃𝑄 ≤ 𝑑𝑒𝑔𝑃 + 𝑑𝑒𝑔𝑄.
Remarque :
L‟anneau A peut être ℤ, ℚ, ℝ, 𝑜𝑢 ℤ 𝑛ℤ qui est anneau non intègre si n est non premier.
Théorème :
Si A est un anneau intègre alors A[X] est intègre.
De plus si 𝑃 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑄 ≠ 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑑𝑒𝑔𝑃𝑄 = 𝑑𝑒𝑔𝑃 + 𝑑𝑒𝑔𝑄
Démonstration :
𝑝
Avec les mêmes notations on a : 𝑃𝑄 = 𝑛+𝑚
𝑝=0 𝑐𝑝 𝑋 , 𝑑𝑒𝑔𝑃 = 𝑛 > 0, 𝑑𝑒𝑔𝑄 = 𝑚 > 0,
𝑐𝑛+𝑚 = 𝑎𝑛 . 𝑏𝑚 ≠ 0.
Donc 𝑃𝑄 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑔𝑃𝑄 = 𝑛 + 𝑚.
II.
Division euclidienne et propriétés de K[X] :
Dans la suite K désigne un corps commutatif.
Théorème : (la division euclidienne)
Soient 𝐴, 𝐵 𝜖 𝐾 𝑋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐵 ≠ 0. Alors, il existe 𝑃, 𝑄 𝜖 𝐾 𝑋 uniques tels que :
𝐴 = 𝐵𝑄 + 𝑅 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑𝑒𝑔𝑅 < 𝑑𝑒𝑔𝐵. (Q : le quotient, R : le reste.)
Preuve :
Unicité :
Soit 𝐴 = 𝐵𝑄 + 𝑅 = 𝐵𝑄1 + 𝑅1 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑𝑒𝑔𝑅 < 𝑑𝑒𝑔𝐵 𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑔𝑅1 < 𝑑𝑒𝑔𝐵.
Supposons 𝑄1 − 𝑄 ≠ 0.
Comme 𝑅1 − 𝑅 = 𝐵 𝑄 − 𝑄1 𝑜𝑛 𝑎 deg 𝑅1 − 𝑅 = 𝑑𝑒𝑔𝐵 + deg 𝑄 − 𝑄1 ≥ 𝑑𝑒𝑔𝐵.
Impossible ; donc 𝑄1 = 𝑄 et par suite 𝑅1 = 𝑅 . (un corps est un anneau intègre)
Existence :
Si 𝑑𝑒𝑔𝐴 < 𝑑𝑒𝑔𝐵, on prend 𝑄 = 0 𝑒𝑡 𝑅 = 𝐴. L‟égalité est vérifiée.
On suppose maintenant 𝑑𝑒𝑔𝐴 ≥ 𝑑𝑒𝑔𝐵:
𝐴 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑋 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑋 𝑛 , 𝐵 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑋 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑋 𝑚 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎𝑛 , 𝑏𝑚 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑛 ≥ 𝑚.
−1 𝑛 −𝑚
Soit 𝑄1 = 𝑎𝑛 𝑏𝑚
𝑋
𝑒𝑡 𝐴1 = 𝐴 − 𝐵𝑄1 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑑𝑒𝑔𝐴1 < 𝑑𝑒𝑔𝐴 , on a deux cas :
1) 𝑑𝑒𝑔𝐴1 < 𝑑𝑒𝑔𝐵 : on s‟arrête ( on prend 𝑄 = 𝑄1 𝑒𝑡 𝑅 = 𝐴 − 𝐵𝑄1 ) ;
2) 𝑑𝑒𝑔𝐴1 ≥ 𝑑𝑒𝑔𝐵 : de même que précédemment il existe un polynôme
𝑄2 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐴2 = 𝐴1 − 𝐵𝑄2 , 𝑑𝑒𝑔𝐴2 < 𝑑𝑒𝑔𝐴1 . Au bout d‟un nombre fini d‟opérations
on obtient : 𝐴𝑝 = 𝐴𝑝−1 − 𝐵𝑄𝑝 , 𝑑𝑒𝑔𝐴𝑝 < 𝑑𝑒𝑔𝐵. En additionnant ces égalités, on
trouve :
𝐴 − 𝐵 (𝑄1 + ⋯ + 𝑄𝑝 ) = 𝐴𝑝
𝑄
𝑅
Comme exemple d‟illustration on effectue la division euclidienne de 𝐴 = 𝑋 4 + 2𝑋 3 + 𝑋 − 1
par 𝐵 = 𝑋 2 + 𝑋 + 1 dans ℝ 𝑋 𝑒𝑡 ℤ 5ℤ.(On dit aussi division suivant les puissances
décroissantes).
27
Algèbre 1
Remarque :
L‟hypothèse K est un corps est essentielle, dans 𝑍 𝑋 on ne peut pas toujours faire de
division euclidienne.
Application :
Déterminer les restes de la division euclidiennes de 𝐴 = 𝑋 2007 + 𝑋 5 + 𝑋 par 𝐵1 = 𝑋 2 + 1
et par 𝐵2 = 𝑋 2 + 𝑋 + 1 ?
 La division euclidienne de 𝐴 𝑝𝑎𝑟 𝐵1 donne 𝐴 = (𝑋 2 + 1)𝑄1 + 𝑎𝑋 + 𝑏, on fait 𝑋 = 𝑖
pour déduire 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 .
 De même on aura 𝐴 = 𝑋 2 + 𝑋 + 1 𝑄2 + 𝑎𝑋 + 𝑏, on fait 𝑋 = 𝑗 pour déduire
𝑎 𝑒𝑡 𝑏 (𝑗 3 = 1).
Définitions :
1) On dit qu‟un polynôme B divise le polynôme A (ou A est multiple de B) s‟il existe
un polynôme 𝑄 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐴 = 𝐵𝑄.
2) Deux polynômes 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 sont dits associés s‟il existe 𝛼 ∈ 𝐾 ∗ tel que 𝐴 =∝ 𝐵.
Remarque : si 𝐵 divise 𝐴, alors tout polynôme associé à 𝐵, divise 𝐴. Deux polynômes 𝐴 𝑒𝑡 𝐵
tels que 𝐴/𝐵 et 𝐵/𝐴 sont associés.
Plus grand commun diviseur de deux polynômes:
Pour définir ce concept on utilise la notion d‟idéal d‟un anneau.
Théorème :
Les idéaux de 𝐾 𝑋 sont de la forme 𝐼 = 𝑃. 𝐾 𝑋 = 𝑃. 𝑄, 𝑄 ∈ 𝐾 𝑋
Démonstration :
On vérifie facilement que pour un polynôme 𝑃 ∈ 𝐾 𝑋 on a 𝐼 = 𝑃. 𝐾 𝑋 = 𝑃. 𝑄, 𝑄 ∈ 𝐾 𝑋
est bien un idéal de l‟anneau (𝐾 𝑋 , +, . ).
Réciproquement : soit 𝐼 un idéal de l‟anneau (𝐾 𝑋 , +, . ), si 𝐼 = 0 alors 𝐼 = 0. 𝐾 𝑋 .
Sinon, soit 𝐴 un polynôme non nul de degré minimal dans 𝐼 ; soit maintenant 𝐵 ∈ 𝐼 alors la
division euclidienne de 𝐵 𝑝𝑎𝑟 𝐴 donne 𝐵 = 𝐴𝑄 + 𝑅, 𝑑𝑒𝑔𝑅 < 𝑑𝑒𝑔𝐴 ;
comme 𝑅 = 𝐵 − 𝐴𝑄 ∈ 𝐼 (idéal) on a : 𝑅 = 0, sinon 𝑑𝑒𝑔𝑅 < 𝑑𝑒𝑔𝐴 entraine une
contradiction avec le choix de 𝐴 un polynôme non nul de degré minimal dans 𝐼. D‟où le
résultat voulu.
Définition :
 Un élément de l‟idéal 𝐴. 𝐾 𝑋 ∩ 𝐵. 𝐾 𝑋 est, à la fois un multiple de 𝐴 𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝐵.
On appelle plus petit multiple commun de 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 tout générateur de 𝐴. 𝐾 𝑋 ∩ 𝐵. 𝐾 𝑋
 On appelle plus grand commun diviseur 𝐷 de deux polynômes 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 tout générateur
de l‟idéal 𝐴. 𝐾 𝑋 + 𝐵. 𝐾 𝑋 = 𝐴. 𝑃 + 𝐵. 𝑄, 𝑃, 𝑄𝜖𝐾 𝑋 , on le note 𝑝𝑔𝑐𝑑 𝐴, 𝐵 𝑜𝑢 𝐴⋁𝐵.
Proposition :
1) 𝐷 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝐴 𝑒𝑡 𝐵
𝐷 = 𝑝𝑔𝑐𝑑(𝐴, 𝐵) ssi
2) ∃ 𝑈, 𝑉 ∈ 𝐾 𝑋 𝑡𝑞 𝐴𝑈 + 𝐵𝑉 = 𝐷
Démonstration :
De 𝐴. 𝐾 𝑋 + 𝐵. 𝐾 𝑋 ⊆ 𝐷. 𝐾 𝑋 on a : 𝐴. 1 + 𝐵. 0 ∈ 𝐷. 𝐾 𝑋 , donc il existe 𝑃 ∈ 𝐾 𝑋 𝑡𝑞
𝐴 = 𝐷𝑃 , de même il existe 𝑄 ∈ 𝐾 𝑋 𝑡𝑞 𝐵 = 𝐷𝑄 ; d‟où 1).
De 𝐷. 𝐾 𝑋 ⊆ 𝐴. 𝐾 𝑋 + 𝐵. 𝐾 𝑋 on a : 𝐷. 1 ∈ 𝐴. 𝐾 𝑋 + 𝐵. 𝐾 𝑋 , donc
∃ 𝑈, 𝑉 ∈ 𝐾 𝑋 𝑡𝑞 𝐴𝑈 + 𝐵𝑉 = 𝐷 ; d‟où 2).
Réciproquement :
Soit 𝐶 ∈ 𝐾 𝑋 tel que l‟idéal 𝐴. 𝐾 𝑋 + 𝐵. 𝐾 𝑋 = 𝐶. 𝐾 𝑋 (1). Montrons que 𝐶 = 𝜆 𝐷, 𝜆𝜖𝐾 ∗ .
De 1) on déduit que 𝐷 divise 𝐴. 𝑃 + 𝐵. 𝑄, ∀𝑃, 𝑄𝜖𝐾 𝑋 , donc il divise aussi 𝐶.
De 2) on déduit que 𝐶 divise 𝐷 car (1) entraine 𝐶 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝐴 𝑒𝑡 𝐵. D‟où 𝐶 𝑒𝑡 𝐷 sont associés.
Remarque :
28
Algèbre 1
1) tout polynôme associé à 𝐷 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑔𝑐𝑑 𝑑𝑒 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 ; on prend donc 𝐷 normalisé pour dire
le pgcd.
2) De même que pour les entiers, l‟Algorithme d‟Euclide permet de calculer 𝐷 et de
trouver deux polynômes 𝑈 et 𝑉 tels que 𝐴𝑈 + 𝐵𝑉 = 𝐷 (équation de Bézout).
On peut introduire la notion du pgcd de deux polynômes d’une manière analogue à celle
des entiers :
Proposition :
Soient 𝐴, 𝐵 𝜖 𝐾 𝑋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐵 ≠ 0, il existe un unique polynôme unitaire 𝐷 dont les diviseurs
sont les diviseurs communs à 𝐴 𝑒𝑡 𝐵, c‟est-à-dire tel que l‟on ait :
∀𝑃𝜖𝐾 𝑋 (𝑃 𝐴 𝑒𝑡 𝑃 𝐵 ⟺ 𝑃 𝐷 ) . De plus ∃ 𝑈, 𝑉 ∈ 𝐾 𝑋 𝑡𝑞 𝐴𝑈 + 𝐵𝑉 = 𝐷 .
La démonstration est basée sur le lemme suivant et l‟Algorithme d‟Euclide.
Lemme :
Soient 𝐴, 𝐵 𝜖 𝐾 𝑋 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐵 ≠ 0 et 𝐴 = 𝐵𝑄 + 𝑅 la division euclidienne de A par B. Alors les
diviseurs communs à A et B sont les mêmes que les diviseurs communs à B et R.
Démonstration :
C‟est une conséquence des égalités 𝐴 = 𝐵𝑄 + 𝑅 et 𝑅 = 𝐴 − 𝐵𝑄.
Définition :
On dit que deux polynômes 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 sont premiers entre eux si leur pgcd est 1.
On a donc équivalence entre 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 premiers entre eux et l‟existence de deux polynômes 𝑈 et
𝑉 tels que 𝐴𝑈 + 𝐵𝑉 = 1 ; c‟est le théorème de Bézout.
Le théorème de Gauss pour les entiers est aussi vrai pour polynômes (même énoncé et
démonstration).
Comme exemple de calcul du pgcd de deux polynômes par l‟algorithme d‟Euclide on a pour :
𝐴 = 𝑋 5 + 𝑋 4 + 2𝑋 3 − 2𝑋 + 3,
𝐵 = 𝑋 4 − 3𝑋 3 + 7𝑋 2 + 8𝑋 − 6 𝐷 = 𝑋 2 + 𝑋 + 3.
III.
Polynômes irréductibles : (on suppose dans la suite que 𝑲 = ℝ 𝒐𝒖 ℂ )
La notion du nombre premier pour les entiers est remplacée par le polynôme irréductible.
Définition : Un polynôme 𝑃 ∈ 𝐾[𝑋] est dit irréductible si 𝑑𝑒𝑔𝑃 ≥ 1 et tout diviseur de 𝑃
est associé à 𝑃 𝑜𝑢 à 1.
Exemples :
1) Tout polynôme de degré 1 est irréductible.
2) 𝑋 2 + 1 est irréductible dans ℝ[𝑋].
3) 𝑋 2 − 2 est irréductible dans ℚ 𝑋 .
Théorème de la décomposition en facteurs irréductibles :
Soit 𝑃 ∈ 𝐾[𝑋] de degré > 0, il existe une famille finie de polynômes irréductibles normalisés
∝
(𝑃𝑖 )1≤𝑖≤𝑛 et des entiers ∝1 , ∝2 , … . , ∝𝑛 > 0 tels que 𝑃 = 𝛽 𝑛𝑖=1 𝑃𝑖 𝑖 , 𝛽 ∈ 𝐾. Une telle
décomposition est unique.
Preuve :
Existence : On raisonne par récurrence sur le degré de P.
Si 𝑑𝑒𝑔𝑃 = 1 c‟est clair.
H.R pour les polynômes de 𝑑𝑒𝑔 < 𝑛. Soit 𝑃 tel que 𝑑𝑒𝑔𝑃 = 𝑛.
On considère 𝐸 = {𝑄 ∈ 𝐾[𝑋]/ 𝑄𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑃 , 𝑑𝑒𝑔𝑄 ≥ 1} alors 𝐸 ≠ ∅ 𝑐𝑎𝑟 𝑃 ∈ 𝐸 . Il existe un
polynôme de degré minimal 𝑄 ∈ 𝐸 ; c‟est un polynôme irréductible et
𝛼
𝑃 = 𝑄𝑅 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑𝑒𝑔𝑅 < 𝑛. L‟H.R appliquée à R entraine que 𝑅 = 𝛽 𝑠𝑖=1 𝑃𝑖 𝑖 . Soit 𝑄1 le
𝛼
polynôme normalisé déduit de 𝑄, alors 𝑃 = 𝛽′𝑄1 𝑠𝑖=1 𝑃𝑖 𝑖 .
29
Algèbre 1
Unicité : De même par récurrence sur le degré on a l‟unicité pour deg P = 1.
H.R pour les polynômes de deg < n. Soit P tel que degP = n.
𝜎𝑗
∝
∗
Si 𝑃 = 𝛽 𝑛𝑖=1 𝑃𝑖 𝑖 = 𝜇 𝑚
𝑗 =1 𝑄𝑗 , 𝛽, 𝜇 ∈ 𝐾. 𝛼𝑖 , 𝜎𝑗 𝜖𝑁 avec 𝑃𝑖 , 𝑄𝑗 irréductibles ; alors 𝑃𝑛
divise le 2ème produit (celui des Qj) donc il est égal à l‟un des facteurs 𝑄𝑗 (à cause de
𝑃
l‟irréductibilité). L‟H.R appliquée au polynôme 𝑃 qui est de degré < n entraine le résultat.
𝑛
Définition d’une fonction polynômiale :
Soit 𝑃 = 𝑛𝑖=0 𝑎𝑖 𝑋 𝑖 ∈ 𝐾 𝑋 , on appelle fonction polynômiale associée à P l‟application :
𝑃 : 𝑥 ∈ 𝐾 → 𝑃 𝑥 = 𝑛𝑖=0 𝑎𝑖 𝑥 𝑖 ∈ 𝐾. ( on note souvent 𝑃 𝑥 par P(x) )
Définition :
Soit 𝑃 ∈ 𝐾[𝑋] , 𝑎 ∈ 𝐾. On dit que a est une racine de P si 𝑃 𝑎 = 0.
Propriété immédiate :
a est une racine de P ssi 𝑋 − 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒 𝑃.
En effet la division euclidienne de 𝑃 𝑝𝑎𝑟 𝑋 − 𝑎 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑃 = 𝑋 − 𝑎 𝑄 + 𝑅 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑𝑒𝑔𝑅 < 1
Donc 𝑅 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 = 𝑃 (𝑎). D‟où la propriété.
Théorème et définition:
Soient 𝑃 ∈ 𝐾[𝑋] , 𝑎 ∈ 𝐾 et 𝑚 ∈ ℕ∗ .
𝑋 − 𝑎 𝑚 𝑃 𝑒𝑡 (𝑋 − 𝑎)𝑚 +1 ∤ 𝑃 ⟺ 𝑃 = (𝑋 − 𝑎)𝑚 𝑄 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑄(𝑎) ≠ 0.
On dit dans ce cas que a est une racine d‟ordre de multiplicité 𝑚 de P
Si m = 1, on dit que a est racine simple.
Si m = 2, on dit que a est racine double. Si m = 3, racine triple, …..
La démonstration :
⟹) on a bien 𝑃 = (𝑋 − 𝑎)𝑚 𝑄 car 𝑋 − 𝑎 𝑚 𝑃 . Supposons 𝑄 𝑎 = 0 :
la division euclidienne de 𝑄 𝑝𝑎𝑟 𝑋 − 𝑎 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑄 = 𝑋 − 𝑎 𝑄1 + 𝑅 où R est une constante
car 𝑑𝑒𝑔𝑅 < deg 𝑋 − 𝑎 donc 𝑅 = 0, par suite 𝑋 − 𝑎 𝑚 +1 𝑃, ce qui est absurde.
⟸) on a bien 𝑋 − 𝑎 𝑚 𝑃 car 𝑃 = (𝑋 − 𝑎)𝑚 𝑄. Supposons 𝑋 − 𝑎 𝑚 +1 𝑃 on aurait
𝑃 = (𝑋 − 𝑎)𝑚 +1 𝑄1 donc 𝑄 = (𝑋 − 𝑎)𝑄1 , par suite 𝑄 𝑎 = 0 ; ce qui est absurde.
Polynômes dérivés :
Définition :
Soit 𝑃 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑋 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑋 𝑛 un polynôme. On appelle polynôme dérivée de 𝑃 et on note
𝑃′ le polynôme défini par 𝑃′ = 𝑎1 + 2𝑎2 𝑋 + ⋯ + 𝑛𝑎𝑛 𝑋 𝑛 −1 .
On définit de manière récursive la dérivée 𝑛𝑖è𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑃 :
𝑃(𝑛) = (𝑃 𝑛−1 )′ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑃(0) = 𝑃
Propriété :
Les règles de la dérivation usuelles pour les fonctions sont encore valables (la dérivée de la
somme, du produit des polynômes, la formule de Leibnitz,…)
Proposition (formule de Taylor)
Soit 𝑃 un polynôme de degré 𝑛 et 𝑎 𝜖 𝐾. Alors
𝑃 = 𝑃 𝑎 + 𝑃′ 𝑎
(𝑋−𝑎)
1!
+ ⋯+ 𝑃
𝑛−1
𝑎
(𝑋−𝑎)(𝑛 −1)
𝑛 −1 !
+𝑃
𝑛
𝑎
(𝑋−𝑎)𝑛
𝑛!
.
Preuve :
Puisque si la proposition est vraie pour deux polynômes 𝑃 𝑒𝑡 𝑄 elle l‟est aussi pour
𝑃 + 𝑄 𝑒𝑡 𝛼𝑃, 𝛼 ∈ 𝐾 alors il suffit de la vérifier pour 𝑃 = 𝑋 𝑝 , ∀𝑝 ∈ 𝑁.
On a 𝑋 𝑝 = (𝑋 − 𝑎 + 𝑎)𝑝 = 𝑝𝑖=1 𝐶𝑝𝑖 𝑎𝑝−𝑖 (𝑋 − 𝑎)𝑖 =
binôme et la dérivée 𝑖è𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑋 𝑝 𝑒𝑛 𝑎.
30
𝑖
𝑝
(𝑖) (𝑋−𝑎)
𝑃
𝑖=1
𝑖!
, d‟après la formule du
Algèbre 1
Proposition :
𝑎 est une racine d‟ordre de multiplicité 𝑚 de 𝑃 ssi 𝑃 𝑎 = 𝑃′ 𝑎 = ⋯ = 𝑃 𝑚 −1 𝑎 = 0 et
𝑃 𝑚 𝑎 ≠ 0.
En effet si 𝑃 = (𝑋 − 𝑎)𝑚 𝑄 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑄(𝑎) ≠ 0 on a pour tout 𝑘 ≤ (𝑚 − 1) la dérivée 𝑃(𝑘)
contient le terme (𝑋 − 𝑎) en facteur (on utilise la formule de Leibnitz), donc
𝑃 𝑎 = 𝑃′ 𝑎 = ⋯ = 𝑃 𝑚 −1 𝑎 = 0 . La dérivée 𝑚𝑖è𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑃 est de la forme
𝑃(𝑚 ) = 𝑚! 𝑄 + 𝑋 − 𝑎 𝑅 où 𝑅 est un polynôme (on utilise encore la formule de Leibnitz).
D‟où 𝑄 𝑎 ≠ 0 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑒 𝑃 𝑚 𝑎 ≠ 0.
Réciproquement : on utilise la formule de Taylor précédente.
Théorème :
Soit 𝑃 ∈ 𝐾[𝑋] , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐾 des racines distinctes de P d‟ordre de multiplicité
𝑚1 , 𝑚2 , … , 𝑚𝑛 ∈ 𝑁, alors : 𝑃 = 𝑛𝑖=1(𝑋 − 𝑎𝑖 )𝑚 𝑖 𝑄 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑄 𝑎𝑖 ≠ 0, ∀ 𝑖.
Corollaire : Si P est un polynôme de degré n, il admet au plus n racines distinctes.
Application : Décomposition des polynômes dans ℝ 𝑋 𝑒𝑡 ℂ 𝑋 :
 Cas de ℂ 𝑋 : On admet que tout polynôme non constant de ℂ 𝑋 possède ( au moins)
une racine dans . ( c‟est le théorème de D‟Alembert) Donc les seuls polynômes
irréductibles sont de degré 1.
 Cas de ℝ 𝑋 : Soit 𝑃𝜖ℝ[𝑋] et 𝑎1 , … . 𝑎𝑛 les racines de P dans , alors
𝑃 = 𝛽 𝑛𝑖=1(𝑋 − 𝑎𝑖 ) . Comme si a est une racine de P, 𝑎 est aussi racine de P, on a le
nombre des racines purement complexe de P est pair. Réindexons les 𝑎𝑖 ainsi :
𝑎1 , . . , 𝑎𝑟 racines réelles, 𝑎𝑟+1 , … , 𝑎𝑟+𝑠 , 𝑎𝑟+1 , … , 𝑎𝑟+𝑠 les racines purement complexes,
alors on obtient :
𝑃 = 𝛽 𝑟𝑖=1(𝑋 − 𝑎𝑖 ) 𝑠𝑗 =1 𝑋 − 𝑎𝑟+𝑗 𝑋 − 𝑎𝑟+𝑗
= 𝛽 𝑟𝑖=1(𝑋 − 𝑎𝑖 ) 𝑠𝑗=1(𝑋 2 − 2𝛼𝑗 𝑋 + 𝛾𝑗 )
2
Où 2 ∝𝑗 = 𝑎𝑟+𝑗 + 𝑎𝑟+𝑗 = 2𝑟𝑒 𝑎𝑟+𝑗 ∈ 𝑅 𝑒𝑡 𝛾𝑗 = 𝑎𝑟+𝑗 . 𝑎𝑟+𝑗 = 𝑎𝑟+𝑗 ∈ 𝑅.
Remarque : (∝𝑗 )2 − 𝛾𝑗 < 0. D‟où le théorème :
Les seuls polynômes irréductibles de ℝ 𝑋 sont les polynômes de degré 1 et les
polynômes de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif.
IV.
Fractions rationnelles :
Soit A un anneau unitaire intègre et commutatif. Sur 𝐴 × 𝐴∗ on définit une relation
d‟équivalence, par 𝑥, 𝑦 ℛ 𝑥 ′ , 𝑦 ′ 𝑠𝑠𝑖 𝑥𝑦 ′ = 𝑥 ′ 𝑦. Soit l‟ensemble quotient
𝑥
𝐾 = 𝐴 × 𝐴∗ ℛ , on note (𝑥, 𝑦) la classe d‟équivalence de (x,y) par 𝑦 (une fraction) et
on définit sur K deux lois de composition interne comme suit :
𝑥
𝑥′
+ 𝑦′ =
𝑦
𝑥𝑦 ′ +𝑥′𝑦
𝑦𝑦 ′
𝑒𝑡
𝑥 𝑥′
.
𝑦 𝑦′
𝑥𝑥 ′
= 𝑦𝑦 ′ , on vérifie facilement que (K,+,.) est un
corps commutatif .
Exemple :
 Si 𝐴 = ℤ on obtient 𝐾 = ℚ.
 Pour 𝐴 𝑋 on a 𝐾 = 𝐴 𝑋 le corps des fractions rationnelles i,e
𝑃
𝑄
, 𝑃, 𝑄𝜖 𝐴 𝑋 𝑒𝑡 𝑄 ≠ 0
si l‟anneau 𝐴 𝑋 est unitaire intègre et commutatif
( penser à 𝑍 𝑛𝑍).
L‟application 𝑖: 𝑎𝜖𝐴 → (𝑎, 1) 𝜖 𝐾 est une injection, elle permet de plonger A dans K.
Dans la suite 𝐾(𝑋) désigne ℝ 𝑋 𝑜𝑢 ℂ(𝑋) et on considère les fractions rationnelles réduites
i,e dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
31
Algèbre 1
Proposition1 :
Toute fraction de 𝐾(𝑋) se décompose de manière unique en la somme d‟un polynôme (appelé
partie entière) et d‟une fraction pure (fraction dont le degré du numérateur est strictement
inférieur à celui du dénominateur).
Preuve :
𝐴
Existence : soit 𝐹 = 𝐵 𝜖 𝐾(𝑋), la division euclidienne de 𝐴 𝑝𝑎𝑟 𝐵 entraine l‟existence de
𝑄, 𝑅 𝜖 𝐾[𝑋] tq
𝑅
𝑅
𝐴 = 𝐵𝑄 + 𝑅 avec 𝑑𝑒𝑔𝑅 < 𝑑𝑒𝑔𝐵, donc 𝐹 = 𝑄 + 𝐵 où 𝑄 : partie entière et 𝐵 : fraction pure.
Unicité :
𝑅 𝑈
On suppose qu‟il existe deux polynômes 𝑃, 𝑄 et deux fractions pures 𝑇 , 𝑉 tels que
𝐴
𝑅
𝑈
𝑈
𝑅
𝐹 = 𝐵 = 𝑃 + 𝑇 = 𝑄 + 𝑉 ; donc 𝑃 − 𝑄 = 𝑉 − 𝑇 . Si 𝑃 − 𝑄 ≠ 0, il serait une fraction pure
(vérifier que la somme de deux fractions pures est une fraction pure) impossible ! donc
𝑈
𝑅
𝑃 − 𝑄 = 0 et par suite = .
𝑉
𝑇
Proposition2 :
𝐴
Soit une fraction pure 𝐹 = 𝐵 𝐵 où 𝐵1 𝑒𝑡 𝐵2 sont premiers entre eux, alors elle s‟écrit d‟une
1 2
𝐴
𝐴
manière unique comme la somme de deux fractions pures uniques 𝐹 = 𝐵1 + 𝐵2 .
1
2
Preuve :
Existence : 𝐵1 𝑒𝑡 𝐵2 sont premiers entre eux, donc ∃ 𝑈, 𝑉 ∈ 𝐾 𝑋 𝑡𝑞 𝐵1 𝑈 + 𝐵2 𝑉 = 1, par
𝐴
𝐴𝐵 𝑈+𝐴𝐵 𝑉
𝐴𝑉
𝐴𝑈
suite 𝐴𝐵1 𝑈 + 𝐴𝐵2 𝑉 = 𝐴 , ce qui entraine 𝐹 = 𝐵 𝐵 = 1𝐵 𝐵 2 = 𝐵 + 𝐵 ; la
proposition1) appliquée à la fraction
𝐴
𝐹 = 𝐸 + 𝐵1 +
1
𝐴𝑈
𝐵2
𝐴
𝐴
𝐴𝑉
𝐵1
1 2
𝐴𝑉
entraine
𝐵1
1 2
𝐴1
2
= 𝐸 + 𝐵 , donc
1
= 𝐵1 + 𝐵2 où 𝐴2 = 𝐸𝐵2 + 𝐴𝑈 et la fraction
1
1
2
𝐴2
𝐵2
𝐴
= 𝐹 − 𝐵1
1
est pure comme différence de deux fractions pures.
Unicité :
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
On suppose 𝐹 = 𝐵1 + 𝐵2 = 𝐵1 + 𝐵2 , donc
1
2
1
2
𝐴1 −𝐴1
𝐵1
=
𝐴2 −𝐴2
𝐵2
, par suite
𝐴1 − 𝐴1 𝐵2 = 𝐴2 − 𝐴2 𝐵1 . Or 𝐵1 𝑒𝑡 𝐵2 sont premiers entre eux, donc 𝐵1 divise
𝐴1 − 𝐴1 ; absurde avec le fait que 𝑑𝑒𝑔𝐴1 , 𝑑𝑒𝑔𝐴1 < 𝑑𝑒𝑔𝐵1 (si bien sûr 𝐴1 − 𝐴1 ≠ 0) ; d‟où
𝐴1 − 𝐴1 = 0. De même pour 𝐴2 − 𝐴2 = 0 .
Définition :
On appelle élément simple une fraction de la forme :
 Soit un polynôme.

𝑃
Soit une fraction de la forme 𝑄 𝑛
où 𝑛𝜖ℕ∗ , 𝑄 un polynôme irréductible et
𝑑𝑒𝑔𝑃 < 𝑑𝑒𝑔𝑄.
Remarques :
𝑎
 Les éléments simples de ℂ(𝑋) sont : soit un polynôme, soit (𝑥−𝑐)𝑛 où
𝑛𝜖ℕ∗ 𝑒𝑡 𝑎, 𝑐 𝜖 ℂ.

𝑎
Les éléments simples de ℝ 𝑋 sont : soit un polynôme, soit (𝑥−𝑐)𝑛 où
𝑛𝜖ℕ∗ 𝑒𝑡 𝑎, 𝑐 𝜖 ℝ, ou soit
𝑎𝑋 +𝑏
𝑄𝑛
où 𝑛𝜖ℕ∗ , 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ 𝑒𝑡 𝑄 un trinôme du second degré à
discriminant strictement négatif.
32
Algèbre 1
Proposition3 :
𝐴
Si 𝐹 = 𝐵 𝑛 est une fraction rationnelle pure où 𝑛𝜖ℕ∗ et 𝐵 un polynôme irréductible, alors elle
𝐴
𝐴
𝐴
se décompose de manière unique sous la forme 𝐹 = 𝐵1 + 𝐵22 + ⋯ + 𝐵𝑛𝑛 où chacune de ces
fractions est un élément simple.
Preuve :
Existence : Par récurrence sur 𝑛. Pour 𝑛 = 1 on n‟a rien à vérifier.
On suppose que c‟est vrai pour 𝑛 − 1 et montrons qu‟elle est vraie pour 𝑛 .
𝐴
Soit 𝐹 = 𝐵 𝑛 , on effectue la division euclidienne de 𝐴 𝑝𝑎𝑟 𝐵:
𝐴
∃ 𝑄, 𝑅 𝑡𝑞 𝐴 = 𝐵𝑄 + 𝑅 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑𝑒𝑔𝑅 < 𝑑𝑒𝑔𝐵 , donc 𝐹 = 𝐵 𝑛 =
𝑅
𝑄
𝐵𝑄+𝑅
𝐵𝑛
𝑅
𝑄
= 𝐵 𝑛 + 𝐵 𝑛 −1 , on a bien
est un élément simple ; on applique l‟HR à 𝐵 𝑛 −1 et on déduit le résultat désiré.
Unicité : Par récurrence sur 𝑛. Pour 𝑛 = 1 on n‟a rien à vérifier.
On suppose que c‟est vrai pour 𝑛 − 1 et montrons qu‟elle est vraie pour 𝑛 .
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐶
𝐶
𝐶
𝐹 = 𝐵 𝑛 = 𝐵1 + 𝐵22 + ⋯ + 𝐵𝑛𝑛 = 𝐵1 + 𝐵22 + ⋯ + 𝐵𝑛𝑛 , on multiplie ces égalités par 𝐵 𝑛 on obtient
𝐴 = ⋯ = 𝐵𝑃 + 𝐴𝑛 = 𝐵𝑄 + 𝐶𝑛 , comme 𝑑𝑒𝑔𝐴𝑛 𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑔𝐶𝑛 < 𝑑𝑒𝑔𝐵 on a 𝐴𝑛 et 𝐶𝑛 sont des
restes de la division euclidienne de 𝐴 par 𝐵, donc 𝐴𝑛 = 𝐶𝑛 d‟après l‟unicité dans la division
euclidienne de reste et du quotient.
𝐵𝑛
Théorème de la DES :
Toute fraction rationnelle de ℝ 𝑋 𝑜𝑢 ℂ(𝑋) admet une décomposition unique en éléments
simples c-à-d :
𝑃
Si une fraction réduite 𝐹 = 𝐴 𝑛 𝐵 𝑚 …𝐶 𝑘 où 𝐴, 𝐵, … , 𝐶 sont des polynômes irréductibles et
𝑛, 𝑚, … 𝑘𝜖ℕ∗ , alors elle a une décomposition unique en éléments simples sous la forme :
𝐴
𝐴
𝐴
𝐵
𝐵
𝐵
𝐶
𝐶
𝐶
𝐹 = 𝐸 + 𝐴1 + 𝐴22 + ⋯ + 𝐴 𝑛𝑛 + 𝐵1 + 𝐵22 + ⋯ + 𝐵𝑚𝑚 + ⋯ + 𝐶1 + 𝐶22 + ⋯ + 𝐶 𝑘𝑘 tels que :
𝑑𝑒𝑔𝐴𝑖 < 𝑑𝑒𝑔𝐴, 𝑑𝑒𝑔𝐵𝑗 < 𝑑𝑒𝑔𝐵, … . . , 𝑑𝑒𝑔𝐶𝑙 < 𝑑𝑒𝑔𝐶 et 𝐸 est la partie entière de 𝐹.
La démonstration découle des trois propositions précédentes !!!
Pratique de la DES par des exemples :
Exemple1 :
1
𝑎
𝑏
𝑐
Pour 𝐹 = (𝑋+3)(𝑋−1)2 = 𝑋+3 + 𝑋−1 + (𝑋−1)2



On multiplie par (𝑋 + 3) les deux membres de l‟égalité puis on fait 𝑋 = −3. On
1
trouve 𝑎 = 16 .
On multiplie par (𝑋 − 1)2 les deux membres de l‟égalité puis on fait 𝑋 = 1. On
1
obtient 𝑏 = 4 .
On multiplie par 𝑋 − 1 les deux membres de l‟égalité puis on fait 𝑋 → ∞. On
1
obtient 𝑐 = − 16 .
Exemple 2 :
1
𝑎𝑋 +𝑏
𝑐
𝑑
Pour 𝐹 = (𝑋 2 +𝑋+1)(𝑋−1)2 = 𝑋 2 +𝑋+1 + 𝑋−1 + (𝑋−1)2 (DES dans ℝ 𝑋 )

On multiplie par (𝑋 − 1)2 les deux membres de l‟égalité puis on fait 𝑋 = 1. On
1
obtient 𝑑 = 3 .
33
Algèbre 1

On multiplie par 𝑋 − 1 les deux membres de l‟égalité puis on fait 𝑋 → ∞. On
obtient 0 = 𝑎 + 𝑐.
On fait 𝑋 = 0 𝑒𝑡 𝑋 = −1 dans les deux membres de l‟égalité on trouve les relations
1
𝑐
𝑑
−1
1
1 = 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 et 4 = 𝑏 − 𝑎 − 2 + 4 , donc : 𝑐 = 3 , 𝑎 = 𝑏 = 3 .

Exemple 3 :
𝑋 4 −1
𝑎𝑋 +𝑏
𝑐𝑋+𝑑
𝑒𝑋 +𝑓
𝐹 = (𝑋 2 +𝑋+1)3 = 𝑋 2 +𝑋+1 + (𝑋 2 +𝑋+1)2 + (𝑋 2 +𝑋+1)3

4
(DES dans ℝ 𝑋 )
2
La division euclidienne de (𝑋 − 1) par (𝑋 + 𝑋 + 1) fournit :
𝑋 2 −𝑋
𝑋−1
𝑋 4 − 1 = (𝑋 2 + 𝑋 + 1) 𝑋 2 − 𝑋 + 𝑋 − 1, donc 𝐹 = (𝑋 2 +𝑋+1)2 + (𝑋 2 +𝑋+1)3

La division euclidienne de 𝑋 2 − 𝑋 𝑝𝑎𝑟 (𝑋 2 + 𝑋 + 1) donne :
𝑋 2 −𝑋
1
−2𝑋−1
𝑋 2 − 𝑋 = (𝑋 2 + 𝑋 + 1).1 + (−2𝑋 − 1), donc (𝑋 2 +𝑋+1)2 = 𝑋 2 +𝑋+1 + (𝑋 2 +𝑋+1)2
𝑋 4 −1
1
−2𝑋−1
𝑋−1
D‟où finalement 𝐹 = (𝑋 2 +𝑋+1)3 = 𝑋 2 +𝑋+1 + (𝑋 2 +𝑋+1)2 + (𝑋 2 +𝑋+1)3 .
Exemple 4 :
𝐹=
2𝑋 7 +𝑋 6 −𝑋 3 +3
𝐴
= 𝐵 3 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐵 = 𝑋 2 + 𝑋 + 1
(𝑋 2 +𝑋+1)3
On développe 𝐵 3 et on effectue la division euclidienne de 𝐴 𝑝𝑎𝑟 𝐵 3 , on obtient
𝐴
𝑅
𝐴 = 𝐵 3 𝑄 + 𝑅, donc 𝐵 3 = 𝑄 + 𝐵 3 on trouve la partie entière 𝐸 = 𝑄 = 2𝑋 − 5 ; puis on
𝑅
𝑄
𝑅
divise 𝑅 𝑝𝑎𝑟 𝐵, 𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑅 = 𝐵𝑄1 + 𝑅1 , donc 𝐵 3 = 𝐵12 + 𝐵13 . Comme 𝑑𝑒𝑔𝑅1 < 𝑑𝑒𝑔𝐵 on
a
𝑄1
𝑅1
𝐵3
est un élément simple. On divise 𝑄1 𝑝𝑎𝑟 𝐵, 𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑄1 = 𝐵𝑄2 + 𝑅2 , donc
𝑄
𝑅
= 𝐵2 + 𝐵22 . Comme 𝑑𝑒𝑔𝑅2 < 𝑑𝑒𝑔𝐵 on a
on obtient :
𝐵2
𝐹=
2𝑋 7 +𝑋 6 −𝑋 3 +3
3𝑋+10
𝑅2
𝐵2
est un élément simple.
−9𝑋−15
12𝑋+13
= 2𝑋 − 5 + 𝑋 2 +𝑋+1 + (𝑋 2 +𝑋+1)2 + (𝑋 2 +𝑋+1)3 .
(𝑋 2 +𝑋+1)3
Exemple 5 :
1
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝐹 = (𝑋 2 −1)2 = (𝑋+1) + (𝑋+1)2 + (𝑋−1) + (𝑋−1)2 , la parité de la fraction (elle est paire) et
l‟unicité de la D.E.S donnent 𝑎 = −𝑐 𝑒𝑡 𝑏 = 𝑑.Par multiplication et remplacement on obtient
𝑑 = 1 ; puis on fait 𝑋 = 0, on trouve 𝑎 = 1.
Exemple 6 :
1
𝐹 = 𝑋 6 (𝑋+1) =
𝑎1
𝑋
𝑎
𝑏
+ ⋯ + 𝑋66 + 𝑋+1, on obtient 𝑏 et les coefficients 𝑎1 , … , 𝑎6 par la division
suivant les puissances croissantes de 1 𝑝𝑎𝑟 𝑋 + 1 jusqu‟à l‟ordre 6.
34
Algèbre 1
Série N° 4 de TD
Arithmétique dans 𝕂 𝑿
Exercice 1 :
1) Trouver le reste de la division euclidienne dans ℝ 𝑋 de :
a) (𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝑋𝑠𝑖𝑛𝑎)𝑛 𝑝𝑎𝑟 1 + 𝑋 2 .
b) 𝑋 𝑛 + 𝑋 + 1 𝑝𝑎𝑟 𝑋 2 − 𝑎2 , 𝑛 ≥ 2 𝑒𝑡 𝑎 𝑟é𝑒𝑙.
c) 𝑋 𝑛 + 𝑋 + 1 𝑝𝑎𝑟 (𝑋 − 𝑎)2 , 𝑛 ≥ 2 𝑒𝑡 𝑎 𝑟é𝑒𝑙.
d) 𝑋 𝑛 − 1 𝑝𝑎𝑟 𝑋 𝑚 − 1, 𝑛, 𝑚 ≥ 1 (utiliser la div.eucl.de n par m).
2) Montrer que le polynôme
𝑃 𝑋 = 𝑛𝑋 𝑛+1 − 𝑛 + 1 𝑋 𝑛 + 1 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 (𝑋 − 1)2 et calculer le quotient.
Exercice 2 :
Soient ∝1 , ∝2 , ∝3 les trois racines du polynôme 𝑃 𝑋 = 𝑋 3 + 𝑝𝑋 2 + 𝑞𝑥 + 𝑟 dans ℂ 𝑋 .
Calculer 𝑝, 𝑞, 𝑟 en fonction de ∝1 , ∝2 , ∝3 , puis résoudre dans ℂ le système suivant :
∝1 + ∝2 + ∝3 = 1
∝1 ∝2 +∝1 ∝3 +∝2 ∝3 = 1
∝1 ∝2 ∝3 = 1
Exercice 3 :
Soit 𝑃 𝑋 = 𝑋 7 − 5𝑋 6 + 8𝑋 5 − 4𝑋 4 − 4𝑋 3 + 8𝑋 2 − 5𝑋 + 1 dans ℂ 𝑋 , déterminer le
polynôme 𝑃1 tel que 𝑃 𝑋 = 𝑋 − 1 𝑛 𝑋 + 1 𝑚 𝑃1 𝑋 𝑜ù 𝑃1 1 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑃1 −1 ≠ 0, puis
1
montrer que 𝑃1 𝑧 = 0 𝑠𝑠𝑖 𝑧 + 𝑧 est racine d‟un certain polynôme du second degré que l‟on
déterminera; en déduire la décomposition de 𝑃 𝑋 dans ℂ 𝑋 .
Exercice 4 :
2𝑋 5
Soit 𝐹 = 2
(𝑋 −1)3
1) Ecrire la forme de la décomposition en éléments simples (DES) de F dans ℝ[𝑋].
2) En utilisant la parité de 𝐹 et l‟unicité de la DES, trouver des relations entre les
constantes à déterminer.
3) En déduire la DES de 𝐹.
Exercice 5 :
Décomposer en éléments simples les fractions suivantes :
1
1
dans ℂ 𝑋
(𝑋 2 +1)2
(𝑋 𝑛 −1)
1
𝑋 5 +1
(𝑋 2 −1)2
(𝑋 2 +𝑋+1)10
dans ℝ[𝑋].
Exercice 6 :
Quels sont les polynômes 𝑃 de ℂ 𝑋 divisibles par 𝑃′.
Exercice 7 :
1) Donner sous forme exponentielle les racines cinquièmes de l‟unité.
1
2) Montrer que 𝑥0 est solution de l‟équation 𝑥 4 + 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 + 1 = 0 ssi 𝑥0 + 𝑥 est
solution d‟un certain trinôme que l‟on déterminera.
2𝜋
4𝜋
3) En déduire la valeur de 𝑐𝑜𝑠 5 et de 𝑐𝑜𝑠 5 .
4) Décomposer dans ℂ 𝑋 puis dans ℝ[𝑋] la fraction rationnelle
35
0
1
𝑥 5 −1
.
Algèbre 1
Exercice 8 :
Montrer que deux polynômes de ℝ[𝑋] ou de ℂ 𝑋 sont premiers entre eux ssi ils n‟ont pas de
racines communes dans ℂ.
Exercice 9 :
𝑋𝑘
Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ et 𝑃 = 𝑛𝑘=0 𝑘! . Calculer 𝑃 − 𝑃′ puis en déduire que tous les racines de 𝑃 sont
simples.
Exercice 10 :
Soit 𝑃 = 𝑋 6 + 𝑋 4 et 𝑄 = 𝑋 25 − 𝑋 + 1.
1) Montrer sans calcul que les racines communes dans ℂ de 𝑃 𝑒𝑡 𝑄 sont exactement ceux
de leur 𝑝𝑔𝑐𝑑.
2) Quelles sont les racines de 𝑃 ? En déduire que 𝑃 𝑒𝑡 𝑄 sont premiers entre eux.
Exercice 12 :
Soit 𝑃 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑋 + 𝑎2 𝑋 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑋 𝑛 ∈ ℝ[𝑋].
1) Montrer que le polynôme 𝑃 est divisible par (𝑋 − 1)𝑘+1 ssi 𝑃′ est divisible par
(𝑋 − 1)𝑘 et 𝑃 1 = 0.
2) Soit 𝑃 1 = 0. Montrer que 𝑃 est divisible par (𝑋 − 1)𝑘+1 ssi 𝑃1 = 𝑛𝑃 − 𝑋𝑃′ est
divisible par (𝑋 − 1)𝑘 .
3) Déduire que la condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme 𝑃 soit divisible
par (𝑋 − 1)𝑘+1 est que l‟on ait
𝑎0 + 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 0,
𝑎1 + 2𝑎2 + ⋯ + 𝑛𝑎𝑛 = 0,
… … … … … … … …,
𝑎1 + 2𝑘 𝑎2 + ⋯ + 𝑛𝑘 𝑎𝑛 = 0.
Exercice 13 :
Déterminer les polynômes 𝑃 ∈ ℝ[𝑋] vérifiant 𝑃 𝑋 2 = 𝑋 2 𝑃(𝑋). (raisonner sur le degré)
Exercice 14 :
Soit 𝑃 ∈ ℂ[𝑋] un polynôme tel que 𝑋𝑃(𝑋 − 1) = (𝑋 − 2)𝑃(𝑋).
a. Montrer que 0 et 1 sont racines de 𝑃.
b. On suppose que 𝑃 admet une racine 𝑥 ∈ ℂ non entière.
i) Montrer que 𝑥 − 1 et 𝑥 + 1 sont aussi racines.
ii) Montrer que P admet une infinité de racines.
iii) En déduire que 𝑃 = 0.
On suppose maintenant que 𝑃 est non nul ; il ne peut donc pas avoir de racine non entière.
c. Montrer comme à la question précédente que 0 et 1 sont les seules racines de 𝑃.
d. En déduire que 𝑃 est de la forme 𝛼𝑋 𝑘 (𝑋 − 1)𝑙 avec 𝛼 ∈ ℂ et 𝑘, 𝑙 ∈ ℕ.
e. Quel est l'ensemble des polynômes 𝑃 ∈ ℂ[𝑋] tels que 𝑋𝑃(𝑋 − 1) = (𝑋 − 2)𝑃(𝑋) ?
36
Algèbre 1
37