UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA

Algèbre 1
1
UNIVERSITE IBN ZOHR
Faculté des sciences
Agadir
Filière SMA & SMI
Semestre 1
Module : Algèbre 1
Année universitaire : 2011 -2012
A. Redouani & E. Elqorachi

Algèbre 1
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Contenu du Module :
Chapitre 1 : Introduction
 Logique
 Ensembles
 Applications
 Relations binaires
 Dénombrement & Dénombrabilité
Chapitre 2 : Structures algébriques
 Lois de composition interne
 Groupes
 Anneaux
 Corps
Chapitre 3 : Arithmétique dans Z
 Division euclidienne dans Z
 PGCD
 Nombres premiers
 Congruences
Chapitre 4 : Polynômes & Fractions rationnelles
 Définition formelle des polynômes
 Divisibilité, pgcd, Irréductibilité, racines…
 Fractions rationnelles, Décomposition en éléments simples
N.B : le contenu de ce polycopié sera enrichi, développé par d’autres exemples,
d’autres résultats,…, donc la présence aux séances du cours magistral est
obligatoire !!!

Algèbre 1
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Chapitre I : Introduction en Algèbre.
I. Notion de Logique :
Définition :
On appelle assertion ou proposition simple un énoncé dont on peut affirmer sans ambiguïté
s‟il est vrai ou s‟il est faux.
Exemple :
« 3 < 10 » est une assertion vraie ; « 5 < 2 » est une assertion fausse. Par deux points
distincts il passe une droite et une seule : est une assertion vraie.
Définition :
On appelle prédicat ou proposition fonctionnelle un énoncé contenant des variables, qui sera
vrai pour certaines valeurs attribuées aux variables, faux pour les autres variables.
Exemple :
« () :  > 10 » est vraie pour les réels strictement supérieurs à 10, fausse pour les autres.
Définition :
La négation d‟une proposition «  » que l‟on note «   » est vraie lorsque  est fausse,
fausse lorsque  est vraie.
Exemple :
La négation d‟une fonction  paire est une fonction  telle qu‟il existe 0 vérifiant
)()( 00 xfxf 
.
Connecteurs :
Définitions :
 La conjonction de deux propositions , qu‟on note «    » est vraie ssi   
sont vraies simultanément et fausses dans tous les autres cas.
 La disjonction (inclusive) de deux propositions    que l‟on note par «    »
est vraie si au moins l‟une des propositions    est vraie et fausse dans les autres
cas.
 La disjonction exclusive de deux propositions    est «       » est
vraie ssi l‟une des propositions est vraie et l‟autre fausse. En mathématique, le sens du
mot « ou » est toujours le ou inclusive !!!
 L‟implication : la proposition
QP 
est fausse si  est vraie et  fausse, elle est
vraie dans tous les autres cas ; sa réciproque est
PQ 
; sa contraposée est
nonPnonQ 
.
 L‟équivalence : la proposition
QP 
est vraie si les deux propositions    sont
vraies toutes les deux ou fausses toutes les deux.
Propriétés :
A l‟aide de la table de vérité, on vérifie que :
1.
nonPQP ()( 
ou
)Q
)( nonPnonQ 
2.
)()()( nonQetnonPPouQnon 
…..
Quantificateurs :
Le symbole s‟appelle le quantificateur universel, il signifie « pour tout », « quel que
soit » ; par exemple :
Rx
0
2x
.
Le symbole s‟appelle le quantificateur existentiel, il signifie « il existe au moins » ; si on a
l‟unicité de l‟existence on écrit
!
; par exemple :
Rx!
tel que
012 x
.

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La négation de (
Ex
)(xP
) est (
Ex
)(xnonP
) ; par exemple la négation de
(( > 0) est (  0).
La négation de (
Ex
)(xP
) est (
Ex
)(xnonP
) ; exemple !!!
Remarque :
Si dans une expression on a les symboles et , il ne faut pas les permuter ; comme le
montre l‟exemple suivant :
Rx
Nn
/
nx 
est vrai mais
Nn
Rx
nx 
est faux.
Méthodes de raisonnement mathématique :
 Raisonnement par récurrence :
il consiste à montrer qu‟une propriété P(n) est vraie pour tout entier
O
nn 
; on vérifie que
)( 0 nP
est vraie puis on montre que
)1()(  nPnP
pour tout
0
nn 
.
Exemple :
1) montrons que
2
2n
n
5n
.
On a
25532225 
, ensuite supposons
2
2n
n
et montrons que
21 )1(2  n n
. De
2
2n
n
on obtient
2
.22.2 n
n
, comme
22 )1(.2  nn
pour même
3n
, on a le résultat.
2) Trouver l‟erreur dans la “ démonstration ” de l‟assertion suivante : “ Tout groupe de
personnes qui contient (au moins) une femme ne contient que des femmes”.
Démonstration :
1.(1) est vraie.
2. Supposons que () est vraie et montrons qu’alors (+ 1) est vraie.
Soit un groupe de (+ 1) personnes qui contient une femme. Notons (1,2,,+1) ce
groupe, 1 désignant une femme. Le groupe (1,,) de  personnes contient une femme :
1 ; () étant supposée vraie, ce groupe ne contient que des femmes.
On en déduit que le groupe (2,,+1) est un groupe de  personnes qui contient au moins
une femme ( , par exemple). Il ne contient donc que des femmes (puisque () est vraie).
Par suite +1 est une femme et donc ( + 1) est vraie.
Conclusion : Par récurrence, () est vraie pour tout .
 Raisonnement par contraposée :
Il consiste à montrer que
QP 
est vraie en montrant que sa contraposée
nonPnonQ 
est
vraie.
Exemple :
On montre facilement que
2
n
est pair
n
est pair à l‟aide de la contraposée.
 Raisonnement par l’absurde :
Pour montrer qu‟un énoncé est vrai on suppose le contraire et on aboutit à une contradiction,
par exemple pour montrer que
QP 
est vraie on suppose que P est vraie et Q fausse et on
aboutit à une contradiction car la négation de
QP 
est (P et non Q).
Exemple :
Montrons que (
Ra
,
0
a
)
)0(  a
, en effet : sinon
0a
, alors pour
2
a
on aurait
2
a
a
, absurde. D‟où le résultat.
 Raisonnement par déduction directe : comme son nom l‟indique !!
Exemple : montrons que : le trinôme
cbxax 
2
possède une racine réelle
0
x
le
discriminant
04
2 acb
; (
2
2
00
2
04
)
2
(.....0a
a
b
xcbxax 
, donc
0
).

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II. Notion d’Ensembles :
La notion d‟ensemble est une notion élémentaire en mathématique qui n‟est donc pas
définissable par d‟autres notions plus simples. Par ensemble on entend une collection
d‟éléments possédant les mêmes propriétés caractéristiques. Pour indiquer qu‟un élément
x
appartient à un ensemble
E
on écrit
Ex
, dans le cas contraire
Ex
.
Exemples d’ensembles : ,,,,, ,..; !!!!!
Définitions :
 Partie ou sous-ensemble d‟un ensemble : on dit que      
si tout élément de  est aussi élément de , on écrit .
 Intersection de deux ensembles : = {  }.
 Réunion de deux ensembles : = {  } .
 Le complémentaire d‟un sous-ensemble dans un ensemble : 
= {  }.
 La différence de deux ensembles : \=  .
 La différence symétrique de deux ensembles : =\\.
 L‟ensemble des parties d‟un ensemble : =   ,.
 Le produit cartésien de deux ensembles : ×=,    .
 Généralisation de l‟intersection et de la réunion d‟une famille de parties d‟un
ensemble : Soient  un ensemble et () une famille de parties de , on appelle
réunion des  l‟ensemble noté  = {    } (de même
l‟intersection)
III. Notion d’Applications :
Définitions : Soient
E
et
F
deux ensembles non vides.
a. On appelle application
f
de
E
dans
F
et l‟on note par
FEf :
une règle
qui associe à chaque élément
Ex
un élément unique
Fy
appelé image de
x
;
E
est dit ensemble de départ,
F
ensemble d‟arrivée et
x
l‟antécédent de
y
.
b. L‟application
f
est dite injective si tout élément de
F
est image d‟au plus un
élément de
E
; elle est dite surjective tout élément de
F
est image d‟au moins
un élément de
E
. Elle est dite bijective si elle est injective et surjective, i,e :
tout élément de
F
est image d‟un élément unique de
E
.
c. Soit
GFg :
une application, on appelle le composé de
f
et
g
que l‟on
note par
gof
l‟application
GEgof :
définie par
))(()( xfgxgof 
.
d. On dit que l‟application
FEf :
admet comme application réciproque
EFh :
si on a :
E
idhof 
et
F
idfoh 
, on note
h
par
1
f
.
e. Soient
EA 
, et
FEf :
une application ; on appelle image
directe de
A
par
f
l‟ensemble
AxxfAf  /)()(
, l‟image réciproque de
B
par
f
l‟ensemble
BxfExBf 
)(/)( 1
Exemples :
 L‟application identique :
ExExidE :
.
 L‟injection canonique : Soit
EA 
,
EAxAxi  :
, l‟application
EAi :
.
 L‟application : définie par
nnf 2)( 
si
0n
et
12)(  nnf
si
0n
est
bijective.
 Encore des exemples !!!
FB 