Exercice B5 - XMaths

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Exercice B5
Pour tout entier naturel  non nul, les nombres  ,  et  sont définis par :
 4 x 10  1 ;   2 x 10  1 ;   2 x 10  1
1°) a)   4 x 10  1  39    2 x 10  1  19   2 x 10  1  21
 4 x 10  1  399   2 x 10  1  199   2 x 10  1  201
 4 x 10  1  3999   2 x 10  1  1999   2 x 10  1  2001
 39 ;   19 ;   21 ;   399 ;   199 ;   201 ;   3999 ;   1999 ;   2001
b) On sait que 10  1 (3) donc 10  1  1 (3) pour tout  ∈ IN
Donc 4 x 10 1 (3) donc 4 x 10  1  0 (3) donc   0 (3)
De même 2 x 10  donc 2 x 10  1  3  0 (3) donc   0 (3)
Donc : pour tout  ∈ N*,  et  sont divisibles par 3 .
c) On a   1999. Pour démontrer que  est un nombre premier, il suffit de démontrer qu'il n'a pas de
diviseur premier inférieur ou égal à sa racine carrée.
On constate, en écrivant les divisions euclidiennes que 1999 n'est divisible par aucun des nombres
premiers inférieurs ou égaux à 43. Comme 47  2209 > 1999   , on en déduit que  est premier
d) Pour tout entier naturel non nul ,  x  (2 x 10  1)(2 x 10  1)  (2 x 10 )  1  4 x 10  1
On obtient donc : pour tout entier naturel non nul ,  x 
On peut donc écrire  x   1999 x 2001
La décomposition de 2001 en facteurs premiers est : 2001  3 x 23 x 29
Comme 1999 est un nombre premier, on en déduit que
la décomposition de  en facteurs premiers est :   3 x 23 x 29 x 1999
e) Pour tout  ∈ IN on peut écrire   2 x 10  1  2 x 10
Il est alors immédiat que si  est un diviseur commun à  et  , alors  est un diviseur de 2   ,
donc  est un divisieur commun à  et 2.
Réciproquement si  est un diviseur commun à  et 2, alors  est un diviseur de   2 ,
donc  est un divisieur commun à  et  ..
L'ensemble des diviseurs communs à  et  est donc l'ensemble des diviseurs communs à  et 2.
On en déduit que PGCD( ;  )  PGCD( ; 2) .
On a   2 x 10  1  2  1 avec  ∈ IN, donc  est un nombre impair, donc PGCD( ; 2)  1
On peut alors en déduire que PGCD( ;  )  1 , c'est-à-dire que  et  sont premiers entre eux .

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2°) (E) est l'équation    1 c'est-à-dire 1999   2001   1 .
a) D'après la question précédente,  et  sont premiers entre eux.
Le théorème de Bézout permet alors d'affirmer qu'il existe deux entiers relatifs  et  tels que
  1. Le couple ( ; ) est alors une solution de l'équation (E).
L'équation (E) possède donc au moins une solution .
b) On peut écrire 2001  1999  2 et 1999  999 x 2  1
Donc 1  1999  999 x 2  1999  999 x (2001  1999)  1999  999 x 2001  999 x 1999
c'est-à-dire 1  1000 x 1999  999 x 2001 donc 1  1000 x   999 x 
On en déduit que le couple (1000 ; 999) est une solution particulière de (E) .
c) Soit ( ; ) une solution de (E).
On peut écrire 1999   2001   1 donc 1999   2001   1000 x 1999  999 x 2001
Par conséquent 2001(  999)  1999(1000  )
 étant un entier relatif, alors 2001 divise 2001(  999), donc 2001 divise 1999(1000  ).
Comme 2001 est premier avec 1999, on en déduit que 2001 divise (1000  ) (théorème de Gauss)
On peut donc écrire 1000  2001 avec  ∈ ZZ , c'est-à-dire  1000  2001  ∈ ZZ .
En reportant cette expression dans l'égalité 2001(  999)  1999(1000  ) ,
on obtient 2001(  999)  1999 x 2001 c'est-à-dire   999  1999 donc   1999  999.
On a donc obtenu   1000 2001 et   1999  999 avec  ∈ ZZ .
Donc tous les couples ( ; ) solutions de (E) sont de la forme (1000 2001; 1999  999) ;  ∈ ZZ .
Réciproquement considérons un couple de la forme ( ; )  (1000 2001; 1999  999) ;  ∈ ZZ .
On a 1999 + 2001 = 1999(1000 2001)  2001(1999  999)  1999000  1998999  1
Donc le couple ( ; ) est solution de l'équation (E).
Donc tous les couples ( ; ) de la forme (1000 2001; 1999  999) ;  ∈ ZZ , sont solutions de (E).
L'ensemble des solutions de (E) est donc  (1000 2001; 1999  999) avec  ∈ ZZ 