Exercice B5 Pour tout entier naturel non nul, les nombres 4 x 10 1°) a) 1 ; , et 2 x 10 sont définis par : 1 ; 2 x 10 1 4 x 10 1 39 2 x 10 1 19 2 x 10 1 21 4 x 10 1 399 2 x 10 1 199 2 x 10 1 201 4 x 10 1 3999 2 x 10 1 1999 2 x 10 1 2001 39 ; 19 ; b) On sait que 10 Donc 4 x 10 21 ; 199 ; 1 (3) donc 10 1 1 (3) donc 4 x 10 De même 2 x 10 Donc : 399 ; donc ∈ N*, pour tout 3999 ; 1999 ; 2001 1 (3) pour tout ∈ IN 1 0 (3) donc 0 (3) 2 x 10 et 201 ; 1 3 0 (3) donc 0 (3) sont divisibles par 3 . 1999. Pour démontrer que est un nombre premier, il suffit de démontrer qu'il n'a pas de c) On a diviseur premier inférieur ou égal à sa racine carrée. On constate, en écrivant les divisions euclidiennes que 1999 n'est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à 43. Comme 47 d) Pour tout entier naturel non nul , On obtient donc : 2209 > 1999 (2 x 10 x pour tout entier naturel non nul , 1)(2 x 10 en facteurs premiers est : 1) (2 x 10 ) 1 est premier 4 x 10 1 x x 1999 x 2001 On peut donc écrire La décomposition de 2001 en facteurs premiers est : 2001 Comme 1999 est un nombre premier, on en déduit que la décomposition de , on en déduit que 3 x 23 x 29 3 x 23 x 29 x 1999 e) Pour tout ∈ IN on peut écrire 2 x 10 1 2 x 10 Il est alors immédiat que si est un diviseur commun à et , alors est un diviseur de 2 , donc est un divisieur commun à et 2. Réciproquement si est un diviseur commun à et 2, alors est un diviseur de 2, donc est un divisieur commun à et .. L'ensemble des diviseurs communs à et est donc l'ensemble des diviseurs communs à et 2. On en déduit que PGCD( On a 1 2 x 10 2 ; ) PGCD( 1 avec On peut alors en déduire que PGCD( http://xmaths.free.fr/ ; 2) . ∈ IN, donc ; ) est un nombre impair, donc 1 , c'est-à-dire que TS − Arithmétique − Exercices et PGCD( ; 2) 1 sont premiers entre eux . page 1 / 2 2°) (E) est l'équation 1 c'est-à-dire 1999 2001 1. a) D'après la question précédente, et sont premiers entre eux. Le théorème de Bézout permet alors d'affirmer qu'il existe deux entiers relatifs 1. Le couple ( ; ) est alors une solution de l'équation (E). et tels que L'équation (E) possède donc au moins une solution . b) On peut écrire 2001 1999 2 et 1999 999 x 2 1 Donc 1 1999 999 x 2 1999 999 x (2001 1999) 1999 c'est-à-dire 1 1000 x 1999 999 x 2001 donc 1 1000 x 999 x 2001 999 x 999 x 1999 On en déduit que le couple (1000 ; 999) est une solution particulière de (E) . c) Soit ( ; ) une solution de (E). On peut écrire 1999 2001 1 donc 1999 2001 1000 x 1999 999 x 2001 Par conséquent 2001( 999) 1999(1000 ) étant un entier relatif, alors 2001 divise 2001( 999), donc 2001 divise 1999(1000 ). Comme 2001 est premier avec 1999, on en déduit que 2001 divise (1000 ) (théorème de Gauss) On peut donc écrire 1000 2001 avec ∈ ZZ , c'est-à-dire 1000 2001 ∈ ZZ . En reportant cette expression dans l'égalité 2001( 999) 1999(1000 ), on obtient 2001( 999) 1999 x 2001 c'est-à-dire 999 1999 donc 1999 999. On a donc obtenu 1000 2001 et 1999 999 avec ∈ ZZ . Donc tous les couples ( ; ) solutions de (E) sont de la forme (1000 2001 ; 1999 999) ; ∈ ZZ . Réciproquement considérons un couple de la forme ( ; ) (1000 2001 ; 1999 999) ; ∈ ZZ . On a 1999 + 2001 = 1999(1000 2001 ) 2001(1999 999) 1999000 1998999 1 Donc le couple ( ; ) est solution de l'équation (E). Donc tous les couples ( ; ) de la forme (1000 2001 ; 1999 999) ; ∈ ZZ , sont solutions de (E). L'ensemble des solutions de (E) est donc http://xmaths.free.fr/ (1000 2001 ; 1999 TS − Arithmétique − Exercices 999) avec ∈ ZZ page 2 / 2