Propriétés de R 1 Les rationnels Q 2 Maximum, minimum, borne

Biblioth`eque d’exercices ´ Enonc´es
L1 Feuille n◦9
Propri´et´es de R
1 Les rationnels Q
Exercice 1 1. D´emontrer que si r∈Qet x6∈ Qalors r+x6∈ Qet si r6= 0 r.x 6∈ Q.
2. Montrer que √26∈ Q,
3. En d´eduire : entre 2 nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. (On pourra
utiliser la propri´et´e : pour tout r´eel a > 0, il existe un entier ntel que n>a.)
Exercice 2 Soit p(x) = Pn
i=0 aixi. On suppose que tous les aisont des entiers.
1. Montrer que si pa une racine rationnelle α
βalors αdivise a0et βdivise an.
2. On consid`ere le nombre √2 + √3. En calculant son carr´e, montrer que ce carr´e est racine
d’un polynˆome de degr´e 2. En d´eduire, `a l’aide du r´esultat pr´ec´edent qu’il n’est pas
rationnel.
Exercice 3 1. Soit Nn= 0,1997 1997 . . . 1997 (nfois). Mettre Nnsous la forme p
qavec
p, q ∈N∗.
2. Soit M= 0,1997 1997 1997 . . . . . . Donner le rationnel dont l’´ecriture d´ecimale est M.
3. Mˆeme question avec : P= 0,11111 . . .+0,22222 . . .+0,33333 . . .+0,44444 . . .+0,55555 . . .+
0,66666 . . . + 0,77777 . . . + 0,88888 . . . + 0,99999 . . .
Exercice 4 Montrer que ln 3
ln 2 est irrationnel.
2 Maximum, minimum, borne sup´erieure...
Exercice 5 Le maximum de 2 nombres x, y (c’est-`a-dire le plus grand des 2) est not´e max(x, y).
De mˆeme on notera min(x, y) le plus petit des 2 nombres x, y. D´emontrer que :
max(x, y) = x+y+|x−y|
2et min(x, y) = x+y− |x−y| 2.
Trouver une formule pour max(x, y, z).
Exercice 6 D´eterminer la borne sup´erieure et inf´erieure (´eventuellement infinies) de : A=
{un, n ∈N}en posant un= 2nsi nest pair et un= 2−nsinon.
Exercice 7 D´eterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne sup´erieure, la
borne inf´erieure, le plus grand ´el´ement, le plus petit ´el´ement des ensembles suivants :
[0,1] ∩Q,]0,1[∩Q,N,(−1)n+1
n, n ∈N∗.
1

Exercice 8 Soient Aet Bdeux parties born´ees de R. On note A+B={a+b|(a, b)∈A×B}.
1. Montrer que sup A+ sup Best un majorant de A+B.
2. Montrer que sup(A+B) = sup A+ sup B.
Exercice 9 Soit Aet Bdeux parties born´ees de R.Vrai ou faux ?
1. A⊂B⇒sup A6sup B,
2. B⊂A⇒inf A6inf B,
3. sup A∪B= max(sup A, sup B),
4. sup(A+B)<sup A+ sup B,
5. sup(−A) = −inf A,
6. sup A+ inf B6sup(A+B).
3 Divers
Exercice 10 Si aet bsont des r´eels >0, montrer que :
√a+√b62√a+b.
Exercice 11 Soit f:R→Rcroissante telle que ∀(x, y)∈R2f(x+y) = f(x) + f(y). Montrer
que
1. ∀n∈Nf(n) = nf(1).
2. ∀n∈Zf(n) = nf(1).
3. ∀q∈Qf(q) = qf(1).
4. ∀x∈Rf(x) = xf(1) (on pourra utiliser la densit´e de Qdans Rpour encadrer xpar
des rationnels de plus en plus proches de x).
2

Biblioth`eque d’exercices Indications
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Propri´et´es de R
Indication 1 1. Raisonner par l’absurde.
2. Raisonner par l’absurde en ´ecrivant √2 = p
qavec pet qpremiers entre eux. Puis essayer
de montrer que pet qsont tous les deux pairs.
3. Utiliser les deux questions pr´ec´edentes.
Indication 2 1. Calculer βnp(α
β) et utiliser le th´eor`eme de Gauss.
2. Utiliser la premi`ere question avec p(x) = (x2−5)5−24.
Indication 3 1. Mutiplier Nnpar une puissance de 10 suffisament grande pour obtenir un
nombre entier.
2. Mutiplier Npar une puissance de 10 suffisament grande (pas trop grande) puis soustraire
Npour obtenir un nombre entier.
Indication 4 C’est le mˆeme type de d´emonstration que pour prouver que √2 n’est pas ra-
tionnel.
Indication 6 sup A= +∞, inf A= 0.
Indication 10 ´ Elever l’in´egalit´e au carr´e.
Indication 11 1. f(2) = f(1 + 1) = ···, faire une r´ecurrence.
2. f((−n) + n) = ···.
3. Si q=a
b, calculer f(a b+a b+··· +a b) avec btermes dans cette somme.
4. Pour x∈Rfix´e, prendre une suite de rationnels qui croit vers x, et une autre qui d´ecroit
vers x.
1

Biblioth`eque d’exercices Corrections
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Correction 1 1. Soit r=p
q∈Qet x /∈Q. Par l’absurde supposons que r+x∈Qalors
il existe deux entiers p0, q0tels que r+x=p0
q0. Donc x=p0 q0−p q=qp0−pq0 qq0∈Qce qui est
absurde car x /∈Q.
De la mˆeme fa¸con si rx ∈Qalors rx =p0
q0Et donc x=p0 q0
q
p. Ce qui est absurde.
2. Supposons que √2∈Qalors il existe deux entiers p, q tels que √2 = p
q. De plus nous
pouvons supposer que la fraction est irr´eductible (pet qsont premiers entre eux). En
´elevant l’´egalit´e au carr´e nous obtenons q2×2 = p2. Donc p2est un nombre pair, cela
implique que pest un nombre pair (si vous n’ˆetes pas convaincu ´ecrivez la contrapos´ee
“pimpair ⇒p2impair”). Donc p= 2 ×p0avec p0∈N, d’o`u p2= 4 ×p02. Nous obtenons
q2= 2 ×p02. Nous en d´eduisons maintenant que q2est pair et comme ci-dessus que qest
pair. Nous obtenons ainsi une contradiction car pet q´etant tous les deux pairs la fraction
p
qn’est pas irr´eductible et aurait pu ˆetre simplifier. Donc √2/∈Q.
3. Soient r, r0deux rationnels avec r < r0. Notons a=√2(r0−r). Choisissons n∈Ntel que
n > √2. Et posons
x=r+a
n.
D’une part x∈]r, r0[ et d’apr`es les deux premi`eres questions √2r0−r
n/∈Q. Et donc xest
un nombre irrationnel compris entre ret r0.
Correction 2 1. Soit α
β∈Qavec α∧β= 1. Pour p(α β) = 0, alors Pn
i=1 aiα
βi
= 0. Apr`es
multiplication par βnnous obtenons l’´egalit´e suivante :
anαn+an−1αn−1β+··· +a1αβn−1+a0βn.
En factorisant les derniers termes de cette somme par β, nous ´ecrivons anαn+βq = 0. Ceci
entraˆıne que βdivise anαn, mais comme βet αnsont premier entre eux (car α∧β= 1)
alors par le th´eor`eme de Gauss βdivise an. De mˆeme en factorisant les premiers termes de
la somme ci-dessus par αnous obtenons αq0+a0βn= 0 et par un raisonnement similaire
αdivise a0.
2. Notons γ=√2 + √3. Alors γ2= 5 + 2√2√3 Et donc (γ2−5)2= 4 ×2×3, Nous
choisissons p(x) = (x2−5)5−24, qui s’´ecrit aussi p(x) = x4−10x2+ 1. Vu notre choix de
p, nous avons p(γ) = 0. Si nous supposons que γest rationnel, alors γ=α
βet d’apr`es la
premi`ere question αdivise le terme constant de p, c’est-`a-dire 1. Donc α=±1. De mˆeme
βdivise le coefficient du terme de plus au degr´e de p, donc βdivise 1, soit β= 1. Ainsi
γ=±1, ce qui est ´evidemment absurde !
Correction 3 1. Soit p= 2001 2001 . . . 2001 et q= 10000 0000 . . . 0000 = 104n. Alors
Nn=p
q.
2. Remarquons que 10 000 ×M= 2001,2001 2001 . . . Alors 10 000 ×M−M= 2001 ; donc
9999 ×M= 2001 d’o`u M=2001
9999 .
1

3. 0,111 . . . =1
9, 0,222 . . . =2 9, etc. D’o`u P=1 9+2 9+··· +9 9=1+2+···+9 9=45 9= 5.
Correction 4 Par l’absurde supposons que ln 3
ln 2 est un rationnel. Il s’´ecrit p qavec p>0, q > 0
des entiers. On obtient qln 3 = pln 2. En prenant l’exponentielle : exp(qln 3) = exp(pln 2) soit
3q= 2p. Si p > 1 alors 2 divise 3q, ce qui est absurde. Donc p= 0 ou p= 1. Donc 3q= 2
ou 3q= 1. La seule solution possible est p= 0, q= 0. Ce qui contredit q6= 0. Donc ln 3
ln 2 est
irrationnel.
Correction 5 Explicitons la formule pour max(x, y). Si x>y, alors |x−y|=x−ydonc
1
2(x+y+|x−y|) = 1 2(x+y+x−y) = x. De mˆeme si x6y, alors |x−y|=−x+ydonc
1
2(x+y+|x−y|) = 1 2(x+y−x+y) = y.
Pour 3 ´el´ement, nous avons max(x, y, z) = max max(x, y), z, donc d’apr`es les formules pour
2 ´el´ements :
max(x, y, z) = max(x, y) + z+|max(x, y)−z|
2
=
1
2(x+y+|x−y|) + z+
1
2(x+y+|x−y|)−z
2.
Correction 6 (u2k)ktend vers +∞et donc le seul majorant de Aest +∞et donc sup A=
+∞. D’autre part toutes les valeurs de (un) sont positives et (u2k+1)ktend vers 0, donc inf A= 0.
Correction 7 1. [0,1] ∩Q. Les majorants : [1,+∞[. Les minorants : ] − ∞,0]. La borne
sup´erieure : 1. La borne inf´erieure : 0. Le plus grand ´el´ement : 1. Le plus petit ´el´ement 0.
2. ]0,1[∩Q. Les majorants : [1,+∞[. Les minorants : ] − ∞,0]. La borne sup´erieure : 1. La
borne inf´erieure : 0. Il nexiste pas de plus grand ´el´ement ni de plus petit ´el´ement.
3. N. Pas de majorants, pas de borne sup´erieure, ni de plus grand ´el´ement. Les minorants :
]− ∞,0]. La borne inf´erieure : 0. Le plus petit ´el´ement : 0.
4. n(−1)n+1
n2, n ∈N∗o. Les majorants : [5 4,+∞[. Les minorants : ] − ∞,−1]. La borne
sup´erieure : 5
4. La borne inf´erieure : −1. Le plus grand ´el´ement : 5 4. Pas de plus petit
´el´ement.
Correction 8 1. Soient Aet Bdeux parties born´ees de R. On sait que Sup Aest un
majorant de A, c’est `a dire, ∀a∈A, a 6Sup A. De mˆeme, ∀b∈B, b 6Sup B. On veut
montrer que Sup A+ Sup Best un majorant de A+B. Soit donc x∈A+B. Cela signifie
que xest de la forme a+bpour un a∈Aet un b∈B. Or a6Sup A, et b6Sup B, donc
x=a+b6Sup A+ Sup B. Comme ce raisonnement est valide pour tout x∈A+Bcela
signifie que Sup A+ Sup Best un majorant de A+B.
2. On veut montrer que, quel que soit ε > 0, Sup A+ Sup B−εn’est pas un majorant de
A+B. On prend donc un ε > 0 quelconque, et on veut montrer que Sup A+ Sup B−ε
ne majore pas A+B. On s’interdit donc dans la suite de modifier ε. Comme Sup Aest
le plus petit des majorants de A, Sup A−ε/2 n’est pas un majorant de A. Cela signifie
qu’il existe un ´el´ement ade Atel que a > Sup A−ε/2. Attention : Sup A−εn’est
pas forc´ement dans A.Sup Anon plus. Et il n’est pas non plus vrai que ∀a∈A a >
Sup A−ε/2. On ne choisit donc pas ce a.De la mˆeme mani`ere, il existe b∈Btel que
b > Sup B−ε/2. Or l’´el´ement xd´efini par x=a+best un ´el´ement de A+B, et il
v´erifie x > (Sup A−ε/2) + (Sup B−ε/2) = Sup A+ Sup B−ε. Ceci implique que
Sup A+ Sup B−εn’est pas un majorant de A+B.
2