Nombres premiers

1
Chapitre 2. Nombres premiers
Résolution de problèmes
1 Le nombre de diviseurs positifs d’un entier
1. Non : 4 a 3 diviseurs et 5 n’en a que 2. 1 a un seul diviseur. 60, 72, 84, 90 et 96 ont 12 diviseurs.
2. a. Ils sont impairs à part 2.
b. Les paires de nombres premiers jumeaux sont : (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73).
c. Oui. Exemple : 84 = 5 + 79.
d.
42k
est premier pour
k0
, sinon, il admet plus de 2 diviseurs (1, 2,
21k
au moins).
Pour
k0
, 4k admet plus de 2 diviseurs (1, 2, 4 au moins).
Tout entier n s’écrit 4k ou 4k + 1 ou 4k + 2 ou 4k + 3 (il y a 4 restes possibles dans la division euclidienne par 4).
Pour n > 2, ni 4k ni 4k + 2 ne sont possibles.
La réciproque est fausse : 4 ¥ 12 + 1 n’est pas premier, ni 4 ¥ 12 + 3.
3. a. Les entiers dont le nombre de diviseurs est impair sont 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100.
Conjecture : ce sont des carrés.
En effet, soit n = p2. Pour trouver les diviseurs de n, on écrit n sous la forme d’un produit de n = a ¥ b. Chaque écriture
donne 2 diviseurs distincts sauf dans le cas n = p ¥ p. Le nombre de diviseurs est donc impair. Dans les autres cas, il est
pair.
b. Les entiers qui ont trois diviseurs sont : 4, 9, 25 et 49.
Conjecture : ce sont les carrés d’un nombre premier.
En effet si n = p2 avec p premier, les seuls diviseurs de n sont 1, p et p2 et c’est le seul cas où cela se produit.
Les entiers qui ont cinq diviseurs sont : 16 et 81.
Conjecture : ce sont les puissances quatrièmes d’un nombre premier.
En effet, si n = p4 avec p premier, les seuls diviseurs de n sont 1, p, p2, p3 et p4 et c’est le seul cas où cela se produit.
2 Le crible d’Ératosthène
1. Avec 5, le premier nombre à barrer est 52 et avec 7, le premier nombre à barrer est 72.
2. a. Si un nombre non barré n’était pas premier, son plus petit facteur premier serait 11. Il serait au moins égal à 112
qui n’est pas dans le tableau.
2. b. Il faut barrer les multiples jusqu’à 31. En effet si un nombre non barré n’était pas premier, son plus petit facteur
premier serait 37. Il serait au moins égal à 372 qui est supérieur à 1 000.
31 est l’entier p positif tel que :
pp
22
1000 1
soit
pp
1000 1
.
C’est la partie entière de
1000
.
Nombres premiers 2
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2
3 Combien de nombres premiers ?
1. a. 2 ¥ 3 ¥ 5 + 1 = 31 qui est premier.
b. 2 ¥ 3 ¥ 5 ¥ 7 + 1 = 211 qui est premier.
2 ¥ 5 ¥ 37 + 1 = 371. Les diviseurs premiers sont 7 et 53.
Dans les trois cas, les nombres premiers trouvés ne font pas partie de la liste initiale.
2. Remplacer l’énoncé de la question a. par « Étudier et compléter la démonstration en termes modernes ci-dessous. »
a. 1er cas : N est strictement supérieur à chacun des pi (pour i Œ {1, 2, … r}).
b. 2e cas : si p est l’un des pi, p divise le produit p1p2 ..pr donc aussi la différence N – p1p2 … pr c’est-à-dire p divise 1
ce qui est absurde car p est premier.
4 La répartition des nombres premiers
1. a. Entre 0 et 10, il y a 4 nombres premiers, 4 également entre 100 et 110, aucun entre 200 et 210.
b. 7 Π]5 ; 10[, 23 Π]20 ; 40[, 277 Π]150 ; 300[.
2. a. 4 ! = 24 ; 4 ! + 2= 26, multiple de 2 ;
4 ! + 3 = 27, multiple de 3 ; 4 ! + 4 = 28, multiple de 4.
b. 5 ! est multiple de 2, 3, 4, 5. Pour k = 2, 3, 4, 5, on peut donc mettre k en facteur dans la somme
5!k
.
c. 16 ! + 2, 16 ! + 3, …, 16 ! + 16 sont respectivement multiples de 2, 3, …, 16.
d. Les n nombres consécutifs (n + 1) ! + 2, (n + 1) ! + 3, …, (n + 1) ! + n + 1 sont tous composés.
TP1. Des algorithmes pour trouver les facteurs premiers
A. 1. n = 1 400 Fact = [2, 2, 2, 5, 5, 7].
2. Il est clair que les valeurs de Div ajoutées à la liste Fact sont des diviseurs de n.
Si la décomposition de n comprend pa avec p premier, l’algorithme ajoute a fois la valeur p en procédant ainsi :
Div Fact n
p [p] pa-1
p [p, p] pa-2
…
p [p, p, …, p] 1
p + 1
B. 1. On commence par traiter le cas de Div = 2 puis, à partir de 3, Div prend la valeur Div + 2.
Saisir n
Fact prend la valeur [ ]
Tant que 2 est un diviseur de n, Faire
ajouter 2 à la liste Fact ; n prend la valeur n/2
FinTantque
Div prend la valeur 3.
Tant que n > 1, Faire
Si Div est un diviseur de n, ajouter Div à la liste Fact ; n prend la valeur n/Div ;
Sinon Div prend la valeur Div + 2 ; FinSi
FinTantque
Affichier la liste Fact.
3. On teste comme ci-dessus les cas de 2 et 3.
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3
Chapitre 2. Nombres premiers
Saisir n
Fact prend la valeur [ ]
Tant que 2 est un diviseur de n, Faire
ajouter 2 à la liste Fact ; n prend la valeur n/2
FinTantque
Tant que 3 est un diviseur de n, Faire
ajouter 3 à la liste Fact ; n prend la valeur n/3
FinTantque
k prend la valeur 1
Tant que n > 1, Faire
Div prend la valeur 6k – 1
Tant que Div est un diviseur de n, Faire
ajouter Div à la liste Fact ; n prend la valeur n/Div
FinTantque
Div prend la valeur 6k + 1
Tant que Div est un diviseur de n, Faire
ajouter Div à la liste Fract ; n prend la valeur n/Div
FinTantque
k prend la valeur k + 1
FinTantque
Afficher la liste Fact
TP2. Les sommes d’entiers consécutifs
A. 1.
21 10 11 678
. Mais 21 n’est pas la somme de quatre entiers consécutifs.
16 ne peut s’écrire comme somme de deux, trois ou quatre entiers consécutifs.
2. a. Les cases B15, C10 et F4 contiennent 27.
La case F4 correspond à n = 2 et m = 5. Donc 27 est la somme de 5 + 1 = 6 entiers consécutifs en partant de 2 :
27 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.
De même 27 = 8 + 9 + 10 (pour la case C10) et 27 = 13 + 14 (pour la case B15).
b. Dans la colonne B figurent tous les nombres impairs supérieurs ou égaux à 3. En effet un nombre impair s’écrit 2n + 1
= n + (n + 1). Il est donc bien la somme de deux nombres consécutifs.
c. Dans le tableau figurent tous les nombres inférieurs à 35 sauf 1, 2, 4, 16 et 32. Il semble que seules les puissances de
2 ne puissent s’écrire comme sommes d’entiers consécutifs.
B. 1. x = n + (n + 1) + … + (n +m) est la somme de (m + 1) termes d’une suite arithmétique de premier terme n et de
raison 1. On a donc : xm
nnm
1
2
soit 2x = (m +1)(m + 2n).
2. Si x est une puissance de 2, il en est de même de 2x.
Or, si m est pair, alors m + 1 est impair. Inversement, si m est impair, m + 2n est impair. Dans les deux cas, un des facteurs
de 2x est impair. Ce qui est impossible si x est une puissance de 2.
3. a. Si x = 34, alors 2x = 68 qui s’écrit 4 ¥ 17.
Par identification avec l’écriture (m + 1)(m + 2n), on en déduit m = 3 et n = 7. Donc x est la somme de 3 + 1 = 4 entiers
consécutifs en partant de 7 : x = 7 + 8 + 9 + 10.
b. Soit x pair non puissance de 2. La décomposition de x en facteurs premiers comporte 2 (puisque x est pair) et au
moins un autre facteur impair sinon x serait une puissance de 2. On a bien, si a est l’exposant de 2 dans la décomposition,
x = 2a ¥ N avec N impair.
Par suite, 2x = 2a+1¥ N.
D’autre part, 2x = (m + 1)(m + 2n).
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Distinguons deux cas.
• 2a+1 ¥ N : dans ce cas, on identifie m + 1 = 2a+1 et m + 2n = N. On en tire m = 2a+1 – 1 qui est impair.
N – m est pair et on en déduit l’entier nm
N–
2
.
• 2a+1 > N : dans ce cas, on identifie m + 1 = N et m + 2n = 2a+1. On en tire m = N – 1 qui est pair.
2a+1 – m est pair et on en déduit l’entier nm
2
2
1a
–.
Dans les deux cas, on a bien pu trouver deux entiers m et n tels que x = n + (n + 1) + … + (n + m).
C. D’après ce qui précède, tous les entiers supérieurs ou égaux à 3, à l’exception des puissances de 2, peuvent s’écrire
comme sommes d’entiers consécutifs.
TP3. Le test de Fermat et les nombres de Carmichaël
A. 1. 52 – 5 = 20  0 (2), 56 – 5 = 15 620  2 (6), 58 – 5 = 390 620  4 (8).
2. Dans le tableau, les lignes sont composées de 0 quand n est premier.
Conjecture : si n est premier et a entier naturel, alors an  a (n).
B. 1. a. 211 = 2 048 = 6 ¥ 341 + 2.
b. 31 = 2 ¥ 11 + 9 donc 231 = (211)2 ¥ 29.
Par suite 231  22 ¥ 29 (341) soit 231  211 (341) et enfin 231  2 (341).
Par ailleurs 2341 = (211)31. Donc 2341  231 (341) d’où 2341  2 (341).
c. Non. 341 n’est pas premier.
2. a. et b. On vérifie à l’aide d’un logiciel de calcul formel.
c. m sert à garder en mémoire la valeur initiale de r.
Pour chaque valeur de a comprise entre 2 et 560, r prend successivement les valeurs du reste de ak modulo 561, avec
k = 1, …, 561. La dernière valeur de r est le reste de a561 modulo 561.
Si a561 n’est pas congru à a modulo 561, t prend la valeur 1.
Si on obtient l’affichage « pseudopremier », c’est que, pour tout a entier de 2 à 560, on a a561 ≡ a (561).
d. Voir le Point Info.
TP4. De Mersenne à Lucas Lehmer
A. 1. Mn est premier pour :
nΠ235713 17 19;;;; ;;
.
Si n est composé, Mn est composé. Si Mn est premier, n est premier.
2. Indication : utiliser une suite géométrique.
Si n est composé,
nab
,
21
212122 1
12nabaab ab
- - -º
--
avec
a1
donc
213
a-
.
21
n-
est composé.
3. On a 210
n
d
- 
donc
21
n
d .
B. 1.
21
1d
d
-
donc
d-Œ1I
, I n’est pas vide. Toute partie de
•
non vide est minorée par 0 et admet un plus petit
élément p0 avec
p01
car 21  1(d).
2. Soit n élément de I ; on a nq
pr
0
avec
00
rp
et
22 2
0
np
qr
¥
.
Comme
21
0
pd,
 21
0
pqd et 21
r
d
donc
r0
par définition de
p0
et de r. On a donc
nqp0
.
3. En particulier
pqp0
avec p premier donc
pp0
. Comme
d-1
appartient à I,
d-1
est un multiple de p.
Si d divise Mpp
-
2
1
avec premier,
dk
p
-
1 donc dkp
1
. Or d et p sont impairs donc k est pair et dkp
¢21
.
C. 1. a. Il y a 19 entiers d de la forme
38 1k
avec
d747
et
k0
.
b. • Si
km31
,
dm33813
.
• Si
km53
,
dm53823
.
• Si
km72
,
dm73811
.
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Chapitre 2. Nombres premiers
c. Les valeurs de k possibles sont : 5 ; 6 ; 11 ; 12 ; 14 ; 15 et 17.
Celle de d sont :191 ; 229 ; 419 ; 457 ; 533 ; 571 ; 647.
M19 n’est divisible par aucun de ces sept nombres : il est premier.
2. D’après la question B.3, le premier diviseur possible de M23 est
2231¥
soit 47 et 47 divise M23.
M23 n’est pas premier.
D. 1. Récurrence immédiate.
2. a.
RSM
iip
donc
RS
M
iip
22
et RSM
iip
22
22- - 
d’où RR M
ii p
-
1
2
2 .
b.
c. C’est
p11
et M11 = 2 047 = 23 ¥ 89 n’est pas premier.
d. Quand un des restes est nul c’est au rang p – 2. On vérifie que ces Mp sont alors premiers.
e. Les restes sont égaux à 2.
f. Si S
r
p
-
02 1 alors SS
rr
p
-- --- 2
22 2
2202 22
21  
, puis on fait une récurrence.
3. a. Si s = 0 alors Afficher « M est premier ».
Sinon Afficher « M est composé ».
b. c. Voir fichiers sur le site Math’x.
Exercices
ENTRAÎNEMENT
1 8 191 est premier.
2
n0
ou
n1
ou il existe un entier p strictement
supérieur à 1 tel que le quotient
n
p soit entier stricte-
ment supérieur à 1.
3 1. Si le premier chiffre d’un des termes d’une paire
est pair, le deuxième terme de la paire sera pair.
2. {13, 31}, {17, 71}, {37, 73} et {79, 97}.
4 a. Non b. Oui.
5 Exercice corrigé en fin de manuel.
6 1.
ENTRÉE : entier naturel inférieur à 50.
TRAITEMENT : n ¨ 2n + 1
Tant que n non premier faire n ¨ 2n + 1 ;
FinTantque
Programme Xcas
Pour
n43
, l’algorithme s’arrête au bout de 24 étapes.
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