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Chapitre 2. Nombres premiers
Résolution de problèmes
1 Le nombre de diviseurs positifs d’un entier
1. Non : 4 a 3 diviseurs et 5 n’en a que 2. 1 a un seul diviseur. 60, 72, 84, 90 et 96 ont 12 diviseurs.
2. a. Ils sont impairs à part 2.
b. Les paires de nombres premiers jumeaux sont : (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73).
c. Oui. Exemple : 84 = 5 + 79.
d.
est premier pour
, sinon, il admet plus de 2 diviseurs (1, 2,
au moins).
Pour
, 4k admet plus de 2 diviseurs (1, 2, 4 au moins).
Tout entier n s’écrit 4k ou 4k + 1 ou 4k + 2 ou 4k + 3 (il y a 4 restes possibles dans la division euclidienne par 4).
Pour n > 2, ni 4k ni 4k + 2 ne sont possibles.
La réciproque est fausse : 4 ¥ 12 + 1 n’est pas premier, ni 4 ¥ 12 + 3.
3. a. Les entiers dont le nombre de diviseurs est impair sont 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100.
Conjecture : ce sont des carrés.
En effet, soit n = p2. Pour trouver les diviseurs de n, on écrit n sous la forme d’un produit de n = a ¥ b. Chaque écriture
donne 2 diviseurs distincts sauf dans le cas n = p ¥ p. Le nombre de diviseurs est donc impair. Dans les autres cas, il est
pair.
b. Les entiers qui ont trois diviseurs sont : 4, 9, 25 et 49.
Conjecture : ce sont les carrés d’un nombre premier.
En effet si n = p2 avec p premier, les seuls diviseurs de n sont 1, p et p2 et c’est le seul cas où cela se produit.
Les entiers qui ont cinq diviseurs sont : 16 et 81.
Conjecture : ce sont les puissances quatrièmes d’un nombre premier.
En effet, si n = p4 avec p premier, les seuls diviseurs de n sont 1, p, p2, p3 et p4 et c’est le seul cas où cela se produit.
2 Le crible d’Ératosthène
1. Avec 5, le premier nombre à barrer est 52 et avec 7, le premier nombre à barrer est 72.
2. a. Si un nombre non barré n’était pas premier, son plus petit facteur premier serait 11. Il serait au moins égal à 112
qui n’est pas dans le tableau.
2. b. Il faut barrer les multiples jusqu’à 31. En effet si un nombre non barré n’était pas premier, son plus petit facteur
premier serait 37. Il serait au moins égal à 372 qui est supérieur à 1 000.
31 est l’entier p positif tel que :
soit
.
C’est la partie entière de
.
Nombres premiers 2
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