Ensembles de nombres : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

Ensembles de nombres : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R
Denis Vekemans ∗
1 Structures algébriques
Voici une présentation rapide de certaines propriétés relatives aux structures algébriques.
Dans la suite, Eest un ensemble (exemple : l’ensemble des entiers naturels) ; ∗ou †sont des lois
(exemples usuels : l’addition, la multiplication, la soustraction ou la division).
1.1 La loi interne
Soit Eun ensemble, on dit que la loi ∗est interne si, lorsque l’on se donne aet bdans E, alors a∗b
est également dans E.
1.2 La loi associative
Soit Eun ensemble, on dit que la loi ∗est associative si, lorsque l’on se donne a,bet cdans E, alors
(a∗b)∗c=a∗(b∗c). On note alors cette quantité a∗b∗c.
1.3 L’élément neutre
Soit Eun ensemble, on dit que la loi ∗admet comme élément neutre esi, lorsque l’on se donne adans
E, alors a∗e=e∗a=a.
Note : si eest un élément neutre pour une loi interne associative, il est l’unique.
1.4 L’élément symétrique
Soit Eun ensemble, on dit que ade Eadmet un élément symétrique a−1de Epour la loi ∗si
a∗a−1=a−1∗a=eoù eest élément neutre pour la loi ∗.
Note : si a−1est un élément symétrique de apour une loi interne associative, il est l’unique.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
1

1.5 La loi commutative
Soit Eun ensemble, on dit que la loi ∗est commutative si, lorsque l’on se donne aet bdans E, alors
a∗b=b∗a.
1.6 La distributivité
Soit Eun ensemble, on dit que la loi †est distributive par rapport à la loi ∗dans Esi, lorsque l’on se
donne a,bet cdans E, alors (a∗b)†c= (a†c)∗(b†c) et c†(a∗b) = (c†a)∗(c†b).
Analyse de productions d’élèves [Créteil, Paris, Versailles (2000)]
Sujet
Solution
Volet didactique [Amiens (2001)]
Sujet
Solution
1.7 Ensembles de nombres
On a déjà défini les ensembles d’entiers naturels (N) : 0 est un entier naturel ; et, si nest un entier
naturel, alors n+ 1 aussi.
1. N={0,1,2, ...}
+ est-elle interne dans N?
Oui : si aet bsont entiers naturels, a+baussi.
−est-elle interne dans N?
Non : 2 et 5 sont entiers naturels mais pas 2 −5.
2. On construit un ensemble contenant Npour lequel la loi −soit interne : l’ensemble Zdes entiers rela-
tifs contient les entiers naturels ainsi que leurs symétriques pour la loi +. Z={..., −2,−1,0,1,2, ...}
+ est-elle interne dans Z?
Oui : si aet bsont entiers relatifs, a+baussi.
−est-elle interne dans Z?
Oui : si aet bsont entiers relatifs, a−baussi.
×est-elle interne dans N?
Oui : si aet bsont entiers naturels, a×baussi.
×est-elle interne dans Z?
Oui : si aet bsont entiers relatifs, a×baussi.
÷est-elle interne dans Nprivé de 0 ?
Non : 1 et 2 sont entiers naturels non nuls, mais pas 1 ÷2.
2

÷est-elle interne dans Zprivé de 0 ?
Non : 1 et 2 sont entiers relatifs non nuls, mais pas 1 ÷2.
3. On construit un ensemble contenant Zpour lequel la loi ÷soit interne : l’ensemble Qdes rationnels
contient les nombres de la forme a×b−1(noté a
b) où aest un entier relatif et b−1le symétrique de
l’entier naturel (non nul) bpour la loi ×.
+ est-elle interne dans Q?
Oui : a
b+c d=a×d+b×c b×d(addition de deux rationnels), bet dsont non nuls, a×d+b×cest
entier relatif et b×dest entier naturel non nul.
−est-elle interne dans Q?
Oui : a
b−c d=a×d−b×c b×d(soustraction de deux rationnels), bet dsont non nuls, a×d−b×c
est entier relatif et b×dest entier naturel non nul.
×est-elle interne dans Q?
Oui : a
b×c d=a×c b×d(produit de deux rationnels), bet dsont non nuls, a×cest entier relatif et
b×dest entier naturel non nul.
÷est-elle interne dans Qprivé de 0 ?
Oui : a
b÷c d=
a×d
b×csi c > 0,
a×(−d)
b×(−c)si c < 0.(division de deux rationnels) a,b,cet dsont non nuls,
(a) si c > 0, a×dest entier relatif non nul et b×cest entier naturel non nul.
(b) si c < 0, a×(−d) est entier relatif non nul et b×(−c) est entier naturel non nul.
Soit p
qun élément de Q, où pest entier relatif et qest entier naturel non nul. Soit d=P GCD(p, q)
si p≥0 et d=P GCD(−p, q) si p < 0, la fraction p
d
q
dest dite irréductible, avec p
dentier relatif
et q
dentier naturel non nul. La forme irréductible d’un rationnel positif est unique.
p
qest irréductible ⇐⇒ pet qsont premiers entre eux.
N⊂Z⊂Q.
Cependant, certains nombres n’entrent dans aucune de ces catégories. C’est le cas du nombre d’or, de
√2 (la racine carrée de deux), π,...
1. On appelle nombre d’or le nombre positif xqui satisfait l’équation x2+x−1 = 0. Ce nombre est
irrationnel.
Démonstration par l’absurde, si p
qest un rationnel positif irréductible, alors p2+p×q−q2= 0.
Maintenant, par disjonction de cas,
3

— il est impossible que pet qsoient tous deux impairs car les deux termes de l’égalité ne sont pas
de même parité
p2
|{z}
impair
+p×q
|{z }
impair −q2
|{z}
impair
|{z }
impair
= 0
|{z}
pair
,
— il est impossible que et que psoit impair et qsoit pair car les deux termes de l’égalité ne sont
pas de même parité
p2
|{z}
impair
+p×q
|{z }
pair −q2
|{z}
pair
|{z }
impair
= 0
|{z}
pair
,
— il est impossible que et que psoit pair et qsoit impair car les deux termes de l’égalité ne sont
pas de même parité
p2
|{z}
pair
+p×q
|{z }
pair −q2
|{z}
impair
|{z }
impair
= 0
|{z}
pair
,
— et il est impossible que pet qsoient tous deux pairs car le rationnel p
qest supposé irréductible.
2. √2 est irrationnel.
Démonstration par l’absurde, si p
qest un rationnel positif irréductible valant √2, alors p2= 2×q2.
De cette écriture multiplicative, il vient que 2 est un diviseur de p(d’après le théorème de Gauss),
et donc que 4 est un diviseur de p2.
Par suite, 2 est un diviseur de q.
Mais dès lors, pet qsont donc tous deux pairs, et ceci contredit le fait que p
qsoit irréductible, d’où
l’absurdité.
2 Le développement décimal
L’ensemble des réels Rest l’ensemble des nombres admettant un développement décimal.1
Mais qu’est-ce qu’un développement décimal ?
Nous utilisons habituellement la base décimale pour décrire les entiers, comme nous l’avons déjà vu
précédemment. Prolongeons cette définition ...
Soit run nombre réel, alors on peut écrire
r=σ×ak×10k+...+a1×101+a0×100+a−1×10−1+a−2×10−2+...+a−p×10−p+...,
où les entiers naturels ak,...,a1,a0,a−1,...,a−p,... sont strictement inférieurs à 10 (ils sont appelés
chiffres) et où σest le signe de r.
1. Il aurait fallu définir l’ensemble des réels comme l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire comme limites de rationnels,
et montrer que ces nombres admettent un développement décimal, mais ce n’est pas l’objectif de ce cours.
4

On rappelle : 100= 1 ; 101= 10 ; 10−p=1
10p.
Cette écriture peut aussi être abrégée comme suit : r=σ×ak. . . a2a1a0, a−1a−2. . . a−p...(10).
Définition. L’ensemble des nombres décimaux est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire avec un
développement décimal fini (i.e. pouvant s’écrire avec un nombre fini de chiffres) 2.
L’ensemble des nombres décimaux est noté D.
Pour un décimal d, il existe donc un entier naturel ptel que d=σ×ak. . . a2a1a0, a−1a−2. . . a−p(10) et
d=σ×ak. . . a2a1a0a−1a−2. . . a−p(10)
10p. Ceci revient à dire que l’on peut écrire tout décimal dsous la forme
d=n
10poù nest un entier relatif et pest un entier naturel.
Théorème 2.1
Un nombre rationnel irréductible p
qoù pest entier relatif et qest entier naturel non nul est décimal si
q= 2α×5β, où αet βsont des entiers naturels. Réciproquement, si un nombre rationnel irréductible p
qoù
pest entier relatif et qest entier naturel non nul est décimal, alors q= 2α×5β, où αet βsont des entiers
naturels. 3
Théorème 2.2
Si un nombre réel admet un développement décimal périodique à partir d’un certain rang, alors il est
rationnel. Réciproquement, si un nombre réel est rationnel, alors il admet un développement décimal est
périodique à partir d’un certain rang. 4
Soit run rationnel positif dont un développement décimal est :
r= 10ν×ak. . . a2a1a0, a−1a−2. . . a−p
|{z }
a−1a−2. . . a−p
| {z }
. . . a−1a−2. . . a−p
| {z }
...(10)
où νest un entier relatif et pest la longueur de la période. Le calcul de 10p×r−r, donne 10p×r−r
10ν=
ak. . . a2a1a0a−1a−2. . . a−p(10) −ak. . . a2a1a0(10) qui est entier naturel. Ceci permet de trouver rsous sa
forme p
qoù pest entier relatif et qest entier naturel non nul.
Théorème 2.3
On a
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R.
Analyse de productions d’élèves [Créteil, Paris, Versailles (2001)]
Sujet
Solution
Volet didactique [Créteil, Paris, Versailles (1999)]
2. Les nombres décimaux sont en fait les seuls nombres réels qui possèdent deux développements décimaux.
3. Cela provient directement du fait que la base est 10 et que les seuls diviseurs premiers de 10 sont 2 et 5.
4. Cela provient directement du fait que dans une division d’un entier par un autre, au bout d’un moment, on se retrouve
dans une situation déjà rencontrée : même reste et même quotient.
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