Corrigé - CAPES de Mathématiques/Rennes1

Pr´eparation au CAPES de Math´ematiques
Corrig´e rapide du probl`eme d’alg`ebre n◦1
Partie 1 : Valuation p-adique
1) Si x=c
d, on ´ecrit c=pk1ao`u a∧p= 1 et d=pk2b, avec b∧p= 1. On a donc x=pk1−k2a b. Pour l’unicit´e,
si l’on a x=pka
b=p`a0 b0, alors pkab0=p`a0b, et donc pk|p`a0b. Mais p∧a0b= 1 (un nombre premier est
premier avec tout nombre qu’il ne divise pas donc aussi avec tout produit de tels nombres) et le th´eor`eme
de Gauss assure que pk|p`, ou encore que k≤`. De mˆeme, on montre que `≤k, et donc k=`.
2) On a vp(1) = 0, ∀k∈Z∗, vp(pk) = k, et vp(0) = +∞. Ceci garantit que vpest surjective.
vpn’est par contre pas injective puisque par exemple vp(p) = vp(−p) = 1. Enfin, v−1
p({0}) est l’ensemble des
rationnels qui s’´ecrivent a
bavec aet bentiers premiers avec p.
3) Soient xet ydans Q.
a) Si x=pka
bet y=p`c d, on a : vp(xy) = vppk+`ac bd =k+`puisque ac et bd sont premiers avec p. D’o`u
vp(xy) = vp(x) + vp(y). Cette relation reste v´erifi´ee si xet/ou yest nul.
b) La relation propos´ee est claire si xou yest nul.
Ecrivons x=pka
bet y=p`c davec par exemple k≥`. On a : x+y=p` pk−`ad +cb bd !. Maintenant,
comme bd ∧p= 1, on a vp1
bd= 0. Puisque k≥`, on a pk−`ad +cb ∈Zet vp(pk−`ad +cb)≥0. On en
d´eduit que vp(x+y)≥`= min{vp(x), vp(y)}.
On a vp(p+ (p−1)p) = vp(p2) = 2 et vp(p) = vp((p−1)p) = 1. L’in´egalit´e propos´ee peut donc bien ˆetre
stricte.
c) On a vp(x
y) = vpx 1×1 y=vp(x) + vp(1 y) = vp(x)−vp(y).
Partie 2 : Formule de Legendre
1) Notons Fk={1≤j≤n, vp(j)≥k}. Soit j∈N.j∈Fksi et seulement si 1 ≤j≤net j=pkao`u a
est un entier c’est `a dire si et seulement si il existe un entier atel que j=pkaet 1
pk≤a≤n pk. Par suite,
Card(Fk) = n
pk. D’autre part, {j∈N,1≤j≤n, vp(j) = k}=Fk\Fk+1, et comme Fk+1 est inclus dans
Fk, le cardinal de cet ensemble vaut n
pk−n pk+1 .
2) On a vp(n!) = vp(1) + · · · +vp(n), que l’on r´e´ecrit en regroupant les termes qui ont mˆeme valuation p-
adique : vp(n!) = X
k>0
kCard ({1≤j≤n, vp(j) = k}) = X
k>0
kn
pk−n pk+1 . Finalement, par un simple
changement d’indice, vp(n!) = X
k>0n
pk.
3) Ce qui pr´ec`ede montre que v5(2009!) = 401 + 80 + 16 + 3 = 500 et comme il est clair que v2(2009!) >500,
on a 2009! = 10500yavec y∧5 = 1 et par suite 2009! se termine par 500 “0”.