exercices sur les séries entières

EXERCICES
SUR LES SÉRIES ENTIÈRES
G.EGUETHER
8 mars 2016

Table des matières
Avertissement iii
1 RAYON ET DOMAINE DE CONVERGENCE 1
1.1 Règle d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Règle de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Avec des équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Par comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Séries paires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Séries incomplètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7 Séries diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 SOMMATION DE SÉRIES ENTIÈRES 49
2.1 Série de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Série du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3 Séries mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.4 Séries diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3 DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE 123
4 SOMME DE SÉRIES NUMÉRIQUES 155
5 CALCUL DE SUITES 179
6 EXERCICES THÉORIQUES 191
7 RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 229
8 SÉRIES ENTIÈRES ET INTÉGRALES 273
9 CONVERGENCE NORMALE ET UNIFORME 297
10 AUTRES EXERCICES 303
i

ii TABLE DES MATIÈRES

Avertissement
On trouvera dans ce qui suit de nombreux exercices sur les séries entières classés (grossièrement)
par thèmes. On s’est efforcé de rendre chaque exercice autonome. Cependant les trois premiers
exercices traités dans le chapitre « Exercices théoriques » seront admis comme résultats de cours.
Une même série entière peut se trouver traitée dans plusieurs exercices, suivant des points de
vue différents.
Ces exercices ayant été rédigés pour des publics divers, et à des moments divers, il existe, malgré
un effort d’uniformisation, certaines disparités dans les démonstrations. Par ailleurs, dans chaque
exercice, on propose une démonstration (parfois deux), mais il peut, bien sûr, y avoir d’autres
moyens de procéder.
Le théorème de convergence dominée sera utilisé sans hypothèse de convergence uniforme sur les
compacts.
Les formules suivantes seront utilisées sans démonstration.
arctan x+ arctan 1
x=π 2si x > 0.
n!∼n
en√2nπ (Formule de Stirling) .
∞
X
n=1
1
n2=π2 6.
n
X
p=1
p2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6.
n
X
p=1
1
p∼ln net lim
n→+∞
n
X
p=1
1
p−ln n
=γ(constante d’Euler) .
iii