Nombres complexes

CHAPITRE
9Nombres
complexes
Sommaire
Partie A (s14) 2
1 Rappels de première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Forme algébrique 2
1.2 Forme trigonométrique 3
2 Forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 Définition 4
2.2 Règles de calcul en notation exponentielle 5

Ch.09 Nombres complexes Tale STI2D
Partie A (s14)
L’histoire des nombres complexes débute avec l’apparition de quan-
tités négatives sous un radical, au xviesiècle avec le mathématicien
italien Jérôme Cardan. Raphaël Bombelli, un autre mathématicien
italien, détermine des règles de calcul sur ces nombres appelés alors
« impossibles ».
Ce n’est qu’à partir du xixesiècle que se développe l’aspect géomé-
trique des nombres complexes, sous l’impulsion de l’abbé Buée de
Jean-Robert Argand, puis avec les travaux de Gauss et de Cauchy.
Ils sont actuellement utilisés en algèbre et en analyse, mais surtout
en tant qu’outil pour les physiciens, en optique ou en électricité.
Ensemble de Mandelbrot
1Rappels de première
1.1 Forme algébrique
L’ensemble Cdes nombres complexes a les caractéristiques suivantes :
•il contient le nombre ivérifiant i2=−1 ;
•chaque élément zs’écrit de manière unique z=a+ib où aest la partie
réelle de z:Re(z) et bla partie imaginaire : Im(z) ;
•le conjugué du nombre complexe z=a+ib est le nombre z=a−ib.
Définition 1.
Représentation graphique dans
le repère (O, U, V ) :
O U
V
M(z=a+ib)
a
b
partie réelle
partie imaginaire
On pose z=a+ib,z′=a′+ib′deux nombres complexes et kun réel :
•z±z′= (a+a′)±i(b+b′)•zz′= (aa′−bb′) + i(ab′+a′b)
•z+z′=z+z′•z×z′=z×z′
•z
z′=zz′
z′z′=(a+ib)(a′−ib′)
a′2+b′2•z z′=z z′
•z∈R⇐⇒ z=z•z∈iR⇐⇒ z=−z
Proriété 2.
on multiplie par
l’expression
conjuguée
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Exemple 3
Soit z= 2 + 3iet z′=i−5, on a :
•2z−3z′= 2(2 + 3i)−3(i−5) = 4 + 6i−3i+ 15 = 19 + 3i;
•zz′= (2 + 3i)(i−5) = 2i−10 + 3i2−15i= 2i−10 −3−15i=−13 −13i;
•z+z′= (2 −3i) + (−i−5) = −3−4i;
•2 + i
−3 + i=(2 + i)(−3−i) (−3 + i)(−3−i)=−6−2i−3i+ 1 10 =−5−5i 10 =−1 2−1 2i.
Si Ma pour affixe z=a+ib et M′a pour affixe z′=a′+ib′, alors :
•le vecteur −−−→ MM′a pour affixe z′−z;
• ||−−−→ MM′|| =q(a′−a)2+ (b′−b)2;
•le milieu Ide [MM′] a pour affixe zI=z+z′
2.
Proriété 4.
Ces propriétés sont utiles pour les démonstrations dans le cadre de la géométrie avec
utilisation des nombres complexes.
1.2 Forme trigonométrique
Soit z=a+ib un nombre complexe non nul et Mle point d’affixe z.
•le module de zest le réel positif |z|=√z z =√a2+b2;
•l’argument de zest le nombre réel θtel que arg(z) = θ= (−→ u , −−→ OM)[ 2π] ;
on a cos θ=a
|z|et sin θ=b |z|.
Tout nombre complexe non nul zpeut s’écrire z=|z|(cos θ+isin θ).
Cette écriture s’appelle la forme trigonométrique de z.
Définition 5.
on note aussi
z=r(cosθ +isin θ)
avec r=|z|
0U
V
|z|=r=√a2+b2
M(z)
θ
a=rcos θ
b=rsin θ
Pour trouver la forme trigonométrique d’un nombre z, il faut calculer successivement
le module et l’argument de z.
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Exemple 6
•
1 + i√3 =q12+√32=√1 + 3 = √4 = 2 ;
•arg(1 + i√3) : 
cos θ=1
2
sin θ=√3
2
⇒θ=π
3⇒arg(1 + i√3) = π 3.
•1 + i√3 = 2 hcos π
3+ sin π 3i
• |z|= 0 ⇐⇒ z= 0 • |−z|=|z|=|z|
•arg(zz′) = arg(z) + arg(z′) [2π]•arg z
z′= arg(z)−arg(z′) [2π]
Proriété 7.
2Forme exponentielle
2.1 Définition
Pour tout nombre réel θ, on pose :
cos θ+isin θ= eiθ
edésigne le nombre
d’Euler
Tout nombre complexe znon nul de module ret d’argument θpeut s’écrire
sous la forme z=r eiθ .
Cette écriture, avec r > 0, est appelée forme exponentielle du nombre z.
Définition 8.
ei×0= 1 et eiπ
2=i
Remarque 9
On a alors z=r eiθ =r(cos θ+isin θ) = rcos θ+ir sin θ=a+ib.
Exemple 10
Différentes écritures du nombre complexe 1 + i√3 :
Forme algébrique Forme trigonométrique Forme exponentielle
1 + i√3 2 hcos π
3+isin π 3i 2 eiπ
3
Exemple 11
Passage de la forme exponentielle à la forme trigonométrique, puis algébrique de z= 4 ei3π
4:
•z= 4 cos 3π
4+isin 3π 4
•z= 4 −√2
2+i√2 2
=−2√2 + 2i√2
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2.2 Règles de calcul en notation exponentielle
Remarque 12
Pour les calculs du type « somme » ou « différence », on utilisera la forme algébrique.
On préférera la forme exponentielle pour les calculs de produits ou de quotients.
Soit θet θ′des nombres réels et nun nombre entier :
•produit : eiθ ×eiθ′= ei(θ+θ′);
•puissance : eiθ n
= einθ ;
•inverse : 1
eiθ = e−iθ ;
•quotient : eiθ
eiθ′= ei(θ−θ′);
•conjugué : eiθ = e−iθ .
Proriété 13.
Démonstration de la première propriété :
eiθ ×eiθ′= (cos θ+isin θ)×(cos θ′+isin θ′)
= cos θcos θ′+icos θsin θ′+isin θcos θ′−sin θsin θ′
= (cos θcos θ′−sin θsin θ′) + i(cos θsin θ′+ sin θcos θ′)
= cos(θ+θ′) + isin(θ+θ′)
= ei(θ+θ′).
on utilise les
formules d’addition
Exemple 14
On considère les nombres complexes z1= 2 eiπ
3et z2= 2√3 eiπ 6:
•z1z2= 2 ×2√3×eiπ
3×eiπ 6
= 4√3 ei(π
3+π 6)
= 4√3 eiπ
2;
•z4
2=2√3 eiπ
64
=2√34ei4π
6
= 144 e2iπ
3;
•z2
z1
=2√3 eiπ
6
2 eiπ
3
=2√3
2ei(π
6−π 3)
=√3 e−iπ
6.
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