qui vaut 2). On dit souvent qu'il s'agit d'un contre-exmple.
L 'implication : Condition nécessaire et condition suffisante
Quatre façons d'écrire la même chose :
Soit P et Q deux propositions (deux phrases simples, avec sujet, verbe, complément).
1. Si P est vraie alors Q est vraie
2. P ⇒ Q
3. Il suffit que P soit vraie pour que Q le soit aussi. (la réalisation de P est une conditon suffisante pour que la
réalisation de Q soit possible)
4. Il faut que Q soit vraie pour que P le soit aussi. (la réalisation de Q est une conditon nécessaire pour que la
réalisation de P soit possible)
Exemple : reprendre ces quatre façons d'écrire en remplaçant P par « x et y sont deux nombres positifs » et Q
par « le produit xy est positif ». Pour être sûr d'avoir compris, reprendre l'exemple en remplaçant P par « je
peux faire un quatre-quarts » et Q par « j'ai des oeufs ».
L'implication réciproque :
1. Si Q est vraie alors P est vraie
2. Q ⇒ P
3. Il faut que P soit vraie pour que Q le soit aussi.
4. Il suffit que Q soit vraie pour que P le soit aussi.
Deux implications réciproques ne sont généralement pas vraies en même temps (il ne suffit pas que le produit
xy soit positif pour pouvoir affirmer que x et y sont deux nombres positifs. Et il ne suffit pas d'avoir des œufs
pour pouvoir faire un quatre-quarts...)
La contraposée :
1. Si la négation de Q est vraie alors la négation de P est vraie
2. nonQ ⇒ nonP
Deux implications contraposées sont toujours vraies et fausses en même temps (« si le produit xy n'est pas
positif, alors x et y ne sont pas tous les deux positifs » est vrai au même titre que « si x et y sont deux
nombres positifs alors le produit xy est positif ». Et « si je n'ai pas d'oeufs alors je ne peux pas faire de
quatre-quatres » et aussi vrai que « si je peux faire un quatre-quarts alors (cela signifie que) j'ai des
oeufs ».)
Utiliser la contraposée peut s'avérer très pratique pour montrer une implication (par exemple, montrer que
« si