Concours blanc - Mathématiques 2

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Concours blanc - Math´ematiques 2
(adapt´e de CCP 2006)
Dur´ee : 4 heures
Les calculatrices sont autoris´ees
* * *
Le candidat attachera la plus grande importance `a la clart´e, `a la pr´ecision et `a la concision de la
r´edaction.
Si un candidat est amen´e `a rep´erer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera
sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´et´e
amen´e `a prendre.
* * *
Probl`eme
Ce probl`eme comporte quatre parties. La partie Aest ind´ependante des parties B,Cet D.
Partie A (R´esolution d’une ´equation diff´erentielle)
1. On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E1) : xy′−y= ln x, d´efinie sur R∗
+.
(a) R´esoudre l’´equation homog`ene associ´ee.
(b) D´eterminer une solution particuli`ere de l’´equation compl`ete.
(c) Exprimer l’ensemble des solutions de l’´equation (E1).
(d) Pr´eciser la solution fde l’´equation (E1) telle que f(1) = 0.
2. On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E2) : x2y′′ −xy′+y= 1 −ln x, d´efinie sur R∗
+.
(a) D´eterminer une solution de l’´equation homog`ene associ´ee de la forme x7→ xα,α∈R.
(b) Chercher une autre solution de l’´equation homog`ene associ´ee de la forme y(x) = K(x)xα
en donnant `a αla valeur trouv´ee `a la question pr´ec´edente. On montrera que K′v´erifie
une ´equation diff´erentielle du premier ordre.
(c) En d´eduire l’ensemble des solutions de l’´equation homog`ene associ´ee.
(d) V´erifier que la fonction y0d´efinie par y0(x) = −1−ln xest une solution particuli`ere de
l’´equation (E2).
(e) En d´eduire l’ensemble des solutions de l’´equation (E2).
(f) D´emontrer que la fonction fd´efinie `a la question 1d est l’unique solution de l’´equation
(E2) telle que y(1) = y′(1) = 0.
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Concours blanc - Math´ematiques 2
(adapt´e de CCP 2006)
Partie B (´ Etude de la fonction f)
On consid`ere la fonction fd´efinie sur R∗
+par f(x) = x−1−ln x.
1. ´ Etudier les variations de la fonction f.
2. Repr´esenter graphiquement la fonction f.
3. D´eduire de l’´etude des variations de fque ln x6x−1 pour tout x∈R∗
+.
4. D´eterminer une primitive de la fonction fsur R∗
+.
5. ´ Etudier lim
ǫ→0
ǫ>0Z1
ǫ
f(x) dx.
6. ´ Etudier lim
M→+∞ZM
1
f(x) dx.
Partie C (Comparaison des moyennes)
On consid`ere nnombres r´eels strictement positifs a1,a2,...,an.
On appelle moyenne arithm´etique de ces nombres le nombre r´eel ma=a1+a2+···+an
n.
On appelle moyenne g´eom´etrique de ces nombres le nombre r´eel mg=n
√a1a2. . . an.
On appelle moyenne harmonique de ces nombres le nombre r´eel mh=n
1
a1+1 a2+···+1 an
.
1. En appliquant l’in´egalit´e montr´ee `a la question 3 partie Baux r´eels ai
ma
, montrer que mg6ma.
2. Dans quel cas a-t-on mg=ma?
3. D´emontrer que pour tout triplet (x, y, z) de r´eels, on a x4y2z2+x2y4z2+x2y2z4−4x2y2z2+ 1 >0.
4. En appliquant l’in´egalit´e vue `a la question 1 aux r´eels 1
ai
, montrer que mh6mg.
5. Dans quel cas a-t-on mh=mg?
6. D´eduire des questions pr´ec´edentes que mh6ma. En d´eduire que, pour tous nombres r´eels
strictement positifs x1, x2,...,xn, on a (x1+x2+···+xn)1
x1
+1
x2
+···+1
xn>n2.
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(adapt´e de CCP 2006)
Partie D (D´etermination d’un ´equivalent de n
√n!)
1. D´eduire de l’in´egalit´e mg6maque pour tout n∈N∗, on a n
√n!6n+ 1
2.
2. Montrer que pour tout entier k>2, on a 1
k6Zk
k−1
dx
x.
3. En d´eduire que pour tout entier naturel nnon nul, on a
k=n
X
k=1
1
k61 + Zn
1
dx
x.
4. En d´eduire que pour tout entier naturel nnon nul, on a n
1 + ln n6n
√n! .
5. D´eterminer la limite de n
√n! quand ntend vers +∞.
6. D´emontrer que la suite n
√n!n>0est croissante, on pourra consid´erer la suite ln( n √n!)n>0.
7. Montrer que la suite n
√n!
n!n>0
est born´ee et en donner un encadrement `a l’aide des questions
pr´ec´edentes.
8. D´eterminer, pour kun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2, un encadrement de ln kpar deux
int´egrales de la fonction ln. En d´eduire que Zn
1
ln xdx6
k=n
X
k=1
ln k6Zn+1
1
ln xdx.
9. En d´eduire un ´equivalent de n
√n! quand ntend vers +∞.
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