bac blanc - maths

BAC BLANC MATHEMATIQUES
Terminale S, 2014, Lycée Lapérouse
Exercice 1. (5 points)
Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Dans un centre animalier , se trouve un atelier nommé ”l’école des chiens ”. Dès leur plus
jeune âge , les chiens apprennent à effectuer régulièrement le même parcours . Ce parcours est
constitué de haies et de tunnels que les chiens doivent franchir pour parvenir à croquer une
friandise .
Un chien est dit ”performant” lorsqu’il parvient à effectuer le parcours en franchissant tous les
obstacles.
Dans ce centre , les chiens sont entrainés par trois dresseurs :
48% des chiens sont entrainés par Camille. 16% par Daniel et les autres par Eric.
Après deux mois d’entrainement , on sait que :
– Parmi les chiens de Camille , 60% sont performants.
– Parmi les chiens d’Eric , deux sur trois sont performants.
– La probabilité pour un chien d’être performant est de 0, 656.
On note C , D , E et F les évènements suivants :
– C : ”le chien est entrainé par Camille”
– D : ”le chien est entrainé par Daniel”
– E : ”le chien est entrainé par Eric”
– F : ”le chien est performant”
1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré que l’on complètera au cours de l’exercice.
2. Déterminer la probabilité de l’évènement : ”le chien est entrainé par Camille et est performant”
3. Déterminer la probabilité de l’évènement : ”le chien est entrainé par Daniel et est performant
4. On choisit au hasard un chien parmi ceux qui sont entrainés par Daniel . Quelle est la
probabilité qu’il soit performant ?
5. On choisit maintenant au hasard 8 chiens de cette école . On assimile ce choix à un
tirage avec remise . On rappelle que la probabilité pour qu’un chien choisi au hasard
soit performant est 0, 656. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de chiens
performants dans ce lot.
Dans cette question , les résultats seront arrondis au millième.
a. Quelle est la loi suivie par X ? Justifier.
b. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement trois chiens performants ?
c. Quelle est la probabilité que plus de la moitié des chiens soient performants ?
6. En fait le parcours est composé d’un aller et d’un retour . Les chiens franchissent donc au
retour les mêmes obstacles qu’à l’aller mais dans l’autre sens. La probabilité qu’un chien
soit performant sur l’aller est de 0.82 et sur le retour de 0.80. Ces évènements sont-ils
indépendants ?
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Exercice 2. (5 points)
Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Pour chaque proposition, préciser si elle est vraie ou fausse et justifier votre réponse.
1. Affirmation : Le reste de la division euclidienne de 20132014 par 5 est 2.
2. On considère l’équation 81x2 − y 2 = 17.
Affirmation : Il existe un unique couple (x; y) d’entiers naturels solution de
cette équation.
3. Affirmation : Pour tout entier naturel n , n2 + 5n + 6 n’est pas un nombre
premier.
4. On considère l’équation 42x − 26y = 2 où x et y sont des entiers relatifs.
Affirmation : L’ensemble des solutions est l’ensemble des couples (5+26k; 8+42k)
avec k ∈ Z.
5. Codage : A chaque lettre de l’alphabet, on associe un entier x compris entre 0 et 25 selon
le tableau :
Lettre
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
Code
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Lettre
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Code
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
A chaque entier x, on associe l’entier y reste de la division euclidienne de 7x + 4 par 26.
On a donc y ≡ 7x + 4 [26] et 0 6 y < 26.
A l’entier y on associe la lettre correspondante dans le tableau.
Affirmation : Le mot BAC se code LES
Exercice 3. (5 points)
Commun à tous les candidats
On se propose de déterminer quels sont les nombres complexes solution de l’équation :
z 2 − 6z + 12 = 0 notée (E) et de placer par une construction géométrique les images de ces
nombres dans le plan complexe.
1. a. Résoudre l’équation (E) . On note ω et ω les solutions, ω étant celle dont la partie
imaginaire est positive.
b. Calculer le module et un argument de ω. En déduire le module et un argument de ω
2. a. On considère le nombre complexe ω − 4 , écrire ce nombre sous forme algébrique puis
sous forme exponentielle.
ω
b. Calculer le module et un argument du nombre
. En déduire le module et un
ω−4
ω
argument de
ω−4
3. Dans le plan complexe (O; ~u, ~v ) (unité=2cm) , on note A le point d’affixe 4 , M et N sont
les points d’affixe ω et ω.
a. En interprétant géométriquement les résultats de la question 2. , démontrer que les
points O , A , M et N sont sur un même cercle que l’on précisera.
2/5
→
b. Montrer que les points M et N sont sur une même droite parallèle à l’axe (0; −
v ).
c. Dans le plan complexe, construire les points M et N en utilisant les questions précédentes.
Exercice 4. (3 points)
Commun à tous les candidats
Dans cet exercice , toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non
fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
La courbe représentative de la fonction exponentielle est-elle située au-dessus ou en-dessous
de ses tangentes ? Justifier votre réponse.
Exercice 5. (7 points)
Commun à tous les candidats
PARTIE A
On considère la fonction fλ définie sur [0; 1] par fλ (x) = λx(1 − x) avec λ réel fixé dans
l’intervalle ]0; 4]. On note Cλ la courbe représentative de la fonction fλ .
1. Déterminer fλ′ (x).
2. Dresser le tableau de variations de la fonction fλ .
3. Montrer que pour λ > 1, les solutions de l’équation fλ (x) = x sont 0 et
λ−1
.
λ
PARTIE B
Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats obtenus dans la Partie A.
Les lemmings sont des petits rongeurs des régions arctiques.
Leur population suit un modèle de croissance dont le cycle de reproduction est saisonnier et
peut être modélisé par une suite (un ) définie pour n ∈ N par un+1 = λun (1 − un ) où un
représente la proportion d’individus présents à la période n par rapport à la population maximale possible et λ est un paramètre dépendant des conditions environnementales appelé taux
de croissance appartenant à l’intervalle ]0; 4]
La proportion initiale est donc notée u0 et pour tout n ∈ N, un ∈ [0; 1].
1. Dans cette question , on suppose que λ ∈ ]0; 1[ et u0 ∈ ]0; 1[.
a. Montrer que pour tout n ∈ N , 0 6 un+1 6 λun 6 1.
b. En déduire que pour tout n ∈ N , 0 6 un 6 λn u0
c. Déterminer la limite de la suite (un ).
d. Que peut-on en déduire pour la population de lemmings ?
2. Dans cette question , on suppose que λ = 2 et u0 = 0.2.
Sur l’annexe sont tracées la courbe représentative C2 de la fonction f2 de la Partie A avec
λ = 2 et la droite D d’équation y = x.
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a. Sur l’annexe, représenter les quatre premiers termes de la suite (un ) sur l’axe des
abscisses.
Quelles conjectures peut-on émettre sur les variations et la limite de la suite (un ) ?
1
b. Montrer que la suite (un ) est majorée par .
2
c. Montrer que la suite (un ) est croissante.
d. En déduire la convergence de la suite (un ).
e. Déterminer la limite de la suite (un ).
f. Voici un algorithme.
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
Affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 0.2
Tant que u 6 0.495 :
Affecter à n la valeur n + 1
Affecter à u la valeur 2 × u × (1 − u)
Fin Tant que
Afficher n
Quel est le résultat affiché par cet algorithme ?
Que représente ce résultat par rapport à la population de lemmings ?
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N OM : · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
CLASSE : · · · · · · · · · · · ·
ANNEXE Exercice 4
1.0
D
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
C2
0.1
1
L. JAUNATRE
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Terminale S, BAC BLANC MATHEMATIQUES
0.9
1.0
5/5