bac blanc - maths

BAC BLANC MATHEMATIQUES
Terminale S, 2014, Lyc´ee Lap´erouse
Exercice 1. (5 points)
Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de sp´ecialit´e
Dans un centre animalier , se trouve un atelier nomm´e ”l’´ecole des chiens ”. D`es leur plus
jeune ˆage , les chiens apprennent `a effectuer r´eguli`erement le mˆeme parcours . Ce parcours est
constitu´e de haies et de tunnels que les chiens doivent franchir pour parvenir `a croquer une
friandise .
Un chien est dit ”performant” lorsqu’il parvient `a effectuer le parcours en franchissant tous les
obstacles.
Dans ce centre , les chiens sont entrain´es par trois dresseurs :
48% des chiens sont entrain´es par Camille. 16% par Daniel et les autres par Eric.
Apr`es deux mois d’entrainement , on sait que :
– Parmi les chiens de Camille , 60% sont performants.
– Parmi les chiens d’Eric , deux sur trois sont performants.
– La probabilit´e pour un chien d’ˆetre performant est de 0,656.
On note C,D,Eet Fles ´ev`enements suivants :
–C: ”le chien est entrain´e par Camille”
–D: ”le chien est entrain´e par Daniel”
–E: ”le chien est entrain´e par Eric”
–F: ”le chien est performant”
1. Traduire l’´enonc´e `a l’aide d’un arbre pond´er´e que l’on compl`etera au cours de l’exercice.
2. D´eterminer la probabilit´e de l’´ev`enement : ”le chien est entrain´e par Camille et est per-
formant”
3. D´eterminer la probabilit´e de l’´ev`enement : ”le chien est entrain´e par Daniel et est perfor-
mant
4. On choisit au hasard un chien parmi ceux qui sont entrain´es par Daniel . Quelle est la
probabilit´e qu’il soit performant ?
5. On choisit maintenant au hasard 8 chiens de cette ´ecole . On assimile ce choix `a un
tirage avec remise . On rappelle que la probabilit´e pour qu’un chien choisi au hasard
soit performant est 0,656. Soit Xla variable al´eatoire repr´esentant le nombre de chiens
performants dans ce lot.
Dans cette question , les r´esultats seront arrondis au milli`eme.
a. Quelle est la loi suivie par X ? Justifier.
b. Quelle est la probabilit´e d’obtenir exactement trois chiens performants ?
c. Quelle est la probabilit´e que plus de la moiti´e des chiens soient performants ?
6. En fait le parcours est compos´e d’un aller et d’un retour . Les chiens franchissent donc au
retour les mˆemes obstacles qu’`a l’aller mais dans l’autre sens. La probabilit´e qu’un chien
soit performant sur l’aller est de 0.82 et sur le retour de 0.80. Ces ´ev`enements sont-ils
ind´ependants ?
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Exercice 2. (5 points)
Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de sp´ecialit´e
Pour chaque proposition, pr´eciser si elle est vraie ou fausse et justifier votre r´eponse.
1. Affirmation : Le reste de la division euclidienne de 20132014 par 5est 2.
2. On consid`ere l’´equation 81x2−y2= 17.
Affirmation : Il existe un unique couple (x;y)d’entiers naturels solution de
cette ´equation.
3. Affirmation : Pour tout entier naturel n,n2+ 5n+ 6 n’est pas un nombre
premier.
4. On consid`ere l’´equation 42x−26y= 2 o`u xet ysont des entiers relatifs.
Affirmation : L’ensemble des solutions est l’ensemble des couples (5+26k; 8+42k)
avec k∈Z.
5. Codage : A chaque lettre de l’alphabet, on associe un entier xcompris entre 0 et 25 selon
le tableau :
Lettre A B C D E F G H I J K L M
Code 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Lettre N O P Q R S T U V W X Y Z
Code 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
A chaque entier x, on associe l’entier yreste de la division euclidienne de 7x+ 4 par 26.
On a donc y≡7x+ 4 [26] et 0 6y < 26.
A l’entier yon associe la lettre correspondante dans le tableau.
Affirmation : Le mot BAC se code LES
Exercice 3. (5 points)
Commun `a tous les candidats
On se propose de d´eterminer quels sont les nombres complexes solution de l’´equation :
z2−6z+ 12 = 0 not´ee (E) et de placer par une construction g´eom´etrique les images de ces
nombres dans le plan complexe.
1. a. R´esoudre l’´equation (E) . On note ωet ωles solutions, ω´etant celle dont la partie
imaginaire est positive.
b. Calculer le module et un argument de ω. En d´eduire le module et un argument de ω
2. a. On consid`ere le nombre complexe ω−4 , ´ecrire ce nombre sous forme alg´ebrique puis
sous forme exponentielle.
b. Calculer le module et un argument du nombre ω
ω−4. En d´eduire le module et un
argument de ω
ω−4
3. Dans le plan complexe (O;~u, ~v) (unit´e=2cm) , on note Ale point d’affixe 4 , Met Nsont
les points d’affixe ωet ω.
a. En interpr´etant g´eom´etriquement les r´esultats de la question 2., d´emontrer que les
points O,A,Met Nsont sur un mˆeme cercle que l’on pr´ecisera.
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b. Montrer que les points Met Nsont sur une mˆeme droite parall`ele `a l’axe (0; −→ v).
c. Dans le plan complexe, construire les points Met Nen utilisant les questions pr´ec´edentes.
Exercice 4. (3 points)
Commun `a tous les candidats
Dans cet exercice , toute trace de recherche, mˆeme incompl`ete, ou d’initiative mˆeme non
fructueuse, sera prise en compte dans l’´evaluation.
La courbe repr´esentative de la fonction exponentielle est-elle situ´ee au-dessus ou en-dessous
de ses tangentes ? Justifier votre r´eponse.
Exercice 5. (7 points)
Commun `a tous les candidats
PARTIE A
On consid`ere la fonction fλd´efinie sur [0; 1] par fλ(x) = λx(1 −x) avec λr´eel fix´e dans
l’intervalle ]0; 4]. On note Cλla courbe repr´esentative de la fonction fλ.
1. D´eterminer f′
λ(x).
2. Dresser le tableau de variations de la fonction fλ.
3. Montrer que pour λ > 1, les solutions de l’´equation fλ(x) = xsont 0 et λ−1
λ.
PARTIE B
Dans cette partie, on pourra utiliser les r´esultats obtenus dans la Partie A.
Les lemmings sont des petits rongeurs des r´egions arctiques.
Leur population suit un mod`ele de croissance dont le cycle de reproduction est saisonnier et
peut ˆetre mod´elis´e par une suite (un) d´efinie pour n∈Npar un+1 =λun(1 −un) o`u un
repr´esente la proportion d’individus pr´esents `a la p´eriode npar rapport `a la population maxi-
male possible et λest un param`etre d´ependant des conditions environnementales appel´e taux
de croissance appartenant `a l’intervalle ]0; 4]
La proportion initiale est donc not´ee u0et pour tout n∈N,un∈[0; 1].
1. Dans cette question , on suppose que λ∈]0; 1[ et u0∈]0; 1[.
a. Montrer que pour tout n∈N, 0 6un+1 6λun61.
b. En d´eduire que pour tout n∈N, 0 6un6λnu0
c. D´eterminer la limite de la suite (un).
d. Que peut-on en d´eduire pour la population de lemmings ?
2. Dans cette question , on suppose que λ= 2 et u0= 0.2.
Sur l’annexe sont trac´ees la courbe repr´esentative C2de la fonction f2de la Partie A avec
λ= 2 et la droite Dd’´equation y=x.
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a. Sur l’annexe, repr´esenter les quatre premiers termes de la suite (un) sur l’axe des
abscisses.
Quelles conjectures peut-on ´emettre sur les variations et la limite de la suite (un) ?
b. Montrer que la suite (un) est major´ee par 1
2.
c. Montrer que la suite (un) est croissante.
d. En d´eduire la convergence de la suite (un).
e. D´eterminer la limite de la suite (un).
f. Voici un algorithme.
Initialisation : Affecter `a nla valeur 0
Affecter `a ula valeur 0.2
Traitement : Tant que u60.495 :
Affecter `a nla valeur n+ 1
Affecter `a ula valeur 2×u×(1 −u)
Fin Tant que
Sortie : Afficher n
Quel est le r´esultat affich´e par cet algorithme ?
Que repr´esente ce r´esultat par rapport `a la population de lemmings ?
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NOM :·················· CLASSE :············
ANNEXE Exercice 4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.01
C2
D
L. JAUNATRE Terminale S, BAC BLANC MATHEMATIQUES 5/5