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LYCEE MARIEN N’GOUABI
CLASSE: 1ère C
Professeur : Zoungrana
ANNEE SCOLAIRE 2009-2010
DATE: 3/11/2009
Durée: 2 heures
DEVOIR N°2 DE MAHTEMATIQUES (1er Trimestre)
Exercice 1(5 points)
On veut organiser un pont aérien pour transporter 1600 personnes et 90 tonne
de bagages .
Les avions disponibles sont de deux types 12 du type A et 9 du type B.
A pleine charge ,un avion « A » peut transporter 200 personnes et 6 tonnes de
bagages et un avion « B » 100 personnes et 15 tonnes de bagages .
La location d’un avion « A »coûte 4 millions de francs ,celle un avion « B » coûte 1
million de francs.
1) Représenter toutes les manière possibles de réaliser un tel transport.
2) Comment réaliser le transport à moindre coût ?
Exercice 2(7points)
Soit a, b,c,d et e des nombres réels ,a un nombre réel non nul et f le polynôme
4
3
2
défini pour tout nombre réel x par : f ( x ) = ax + bx + cx + dx + e.
1-On considère la propriété ( P ) : ∀x ∈ ∗
⎛ 1 ⎞ f ( x)
f ⎜ ⎟=
.
x
⎝ x⎠
4
a) Démontrer que si f vérifie la propriété ( P ) et si α est une racine non nul de f
,alors
1
α
est également une racine de f.
⎧a = e
b) Démontrer que si f vérifie la propriété ( P ) si et seulement si ⎨
⎩b = d
En déduire
en particulier que 0 n’est pas racine de f.
4
3
2
c) on donne : f ( x ) = 2 x − 13 x + 24 x − 13 x + 2 .
Mettre f sous forme d’un produis de quatre polynômes de degré 1 .
2-On suppose désormais que f vérifie la propriété ( P ) .
a) Démontrer que ,pour tout nombre réel x non nul :
f ( x)
1
⎛
= a⎜ x +
x
x
⎝
2
2
2
1⎞
⎞ ⎛
+
b
x
+
⎟ ⎜
⎟ + c.
x⎠
⎠ ⎝
b) Soit α un nombre réel nom nul. Démontrer que α est une racine de f si et
seulement si α
+
par : g ( x ) = ax
2
1
α
est une racine du polynôme g définis pour tout nombre réel
+ bx + c − 2a .
x
c) On donne : f ( x ) = 6 x − 35 x + 62 x
déterminer les racines de g puis de f.
4
3
2
− 35 x + 6 et g ( x) = 6 x − 35 x + 50
2
Exercice3 (8 points)
1)
⎧2 x − y − z − t = 1
⎪− x + 2 y − z − t = 1
⎪
soit le système linéaire définie par : ⎨
⎪− x − y + 2 z − t = 1
⎪⎩− x − y − z + 2t = 1
a) Additionner les quatre égalités du système .quelle valeur obtient-on pour
x+ y+ z+t ?
b) Ajouter l’égalité obtenue à la première question ,a chacune des égalités
définissant le système ;résoudre alors celui-ci.
⎧x + 2 y + z + t = 7
⎪
⎪2 x − y + 4 z − t = −7
2) Résoudre le système suivant par substitution : ⎨
.
−
x
−
4
y
+
t
=
−
6
⎪
⎪⎩3 x − z − 2t = −2
3) Résoudre le système suivant par la méthode du pivot de Gauss :
⎧ x + 10 y − 3 z = 5
⎪
⎨2 x − y + 2 z = 2 .
⎪− x + y + z = −3
⎩
l’inéquation : x + 1 + x + 2 ≥ 3 .
5) Développer ( 2 x + 3)
4) Résoudre dans
7