b g b g.

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HACHEUR 32
On considère un hacheur à stockage inductif dont le schéma est le suivant :
De t = 0 à t = αT, l’interrupteur commandé est fermé et la diode bloquée. De t = αT à t = T,
l’interrupteur commandé est ouvert et la diode passante.
On suppose que l’intensité dans la bobine ne s’annule jamais et l’on néglige les ondulations
de la tension v
S
devant sa valeur moyenne que l’on notera V
S
.
1) En étudiant la valeur moyenne de la tension v
L
, établir la relation entre V
S
et E. Conclure.
2) Exprimer l’ondulation du courant dans la bobine en fonction de α, L, E et la fréquence
de hachage f.
3) Tracer les chronogrammes des fonctions i
E
(t), i
L
(t) et i
D
(t). Quelle est la relation entre les valeurs moyennes sur une période des
intensités i
L
(t) et i
D
(t) ? En déduire l’expression de I
L
en fonction de α, V
S
et R.
4) On prend maintenant en compte la résistance de la bobine en la modélisant par l’association série d’une bobine parfaite d’inductance
propre L et d’un résistor de résistance r.
a) Montrer que, compte tenu de l’ordre de grandeur prévisible de r, les chronogrammes tracés à la question 3 ne sont pas
modifiés. En déduire la relation entre les valeurs moyennes sur une période des intensités i
L
(t) et i
E
(t) ainsi qu’entre les valeurs moyennes sur une
période des intensités i
L
(t) et i
D
(t) .
b) Exprimer rI
L
en fonction de α, E et V
S
et en déduire l’expression de V
S
en fonction de R, r, α et E. Conclure.
c) Exprimer le rendement η de la conversion.
Corrigé
1) La tension aux bornes de la bobine est v
L
= E pendant la première phase puis v
L
= –V
S
pendant la deuxième. Sa valeur moyenne est donc
V
T
E T V T T
L S
= + − −
1
α α( )( ) = Eα - V
S
(1 - α).
Mais, en valeurs instantanées, v t L
di
t
dt
LL
( )
(
)
= donc
V
L
di
t
dt
LL
= < >
(
)
. Comme i
L
(t) est
périodique, < >=
di
t
dt
L
(
)
0. On en déduit la relation
V
E
S
=
−
α
α
1
.
La fonction f( )α
α
α
=
−
1
varie de 0 à l’infini pour α ∈ [0, 1[ donc, suivant les valeurs de α,
on aura V
S
< E ou V
S
> E. Ce type hacheur est parfois appelé survolteur-dévolteur.
2)  0 < t < αT : Le circuit se redessine suivant le schéma :
On a E L
di
t
dt
=
L
(
)
. E est positif, donc i
L
(t) est croissant à partir de la valeur
nécessairement minimale I
MIN
et l’on peut écrire : i t
E
L
t I
L MIN
( ) = + .
À t = αT
-
, on a donc : i T
E
L
T I
L MIN
( )α α
−
= +
 αT < t < T : Le circuit se redessine ainsi :
On a − =V L
di
t
dt
SL
(
)
qui s’intègre en i t
V
L
t T I
LSMAX
( ) =
−
− +α
b
g
car i
L
est nécessairement décroissante donc on peut noter I
MAX
= i
L
(t = αT
+
).
La fonction i
L
(t) représente l’intensité du courant dans une branche contenant une bobine
donc c’est une fonction continue quel que soit t. On peut écrire i
L
(αT
+
) = i
L
(αT
–
) soit
I
E
L
T I
MAX MIN
= +α . On en déduit l’ondulation du courant ∆I I I
E
L
T= − =
MAX MIN
α soit
∆I
E
Lf
=
α
.
3) Les chronogrammes des courants sont les suivants :
La valeur moyenne sur une période de i
L
( t ) est
<
i
T
i t dt
T
L L
>=
z
1
0
( ) . Or , A =
z
i t dt
T
L
( )
0
est l’aire sous la courbe
i
L
( t ), on trouve donc: < >= + −
L
N
M
O
Q
P
iTI T I I T
L MIN MAX MIN
1 1
2
b
g
< >= +i I I
L MAX MIN
1
2
b
g
.
i
C
i
S
L
i
L
E
i
E
R
Cv
S
i
D
v
L
E L
T
i
L
i
E
V
S
L
D
i
L
t
i
E
(t)
T
α
T
I
m
I
M
t
T
α
T
I
m
I
M
t
i
D
(t)
α
T
I
m
I
M
i
L
(t)

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De même, on obtient < >= − + − −
L
N
M
O
Q
P
iTI T T I I T T
D MIN MAX MIN
1 1
2
( ) ( )α α
b
g
= + −
1
2
1I I
MAX MIN
b
g
( )α. On peut donc écrire I
D
= (1 – α)I
L
.
Par ailleurs, la loi des nœuds permet d’écrire i
D
= i
S
+ i
C
avec i t
v
t
R
SS
( )
(
)
= et
i t C
dv
t
dt
CS
( )
(
)
= donc, en valeurs moyenne <I
D
> = <I
S
> car < >=
dv
t
dt
S
(
)
0 puisque v
S
(t) est
périodique. Comme on a I
v
t
R
SS
=
<
>
(
)
=
V
R
S
, il reste I
V
R
DS
= d’où , si α ≠ 1, I
V
R
LS
=−
( )1 α
.
4-a) Le schéma du circuit est maintenant :
La loi des mailles s’écrit E L
di
t
dt
ri t= +
LL
(
)
( ) pendant la première
phase. La solution est i t E
r
ae
t
L
( ) = +
−τ
avec τ =
L
r
. Comme la résistance r est
très faible, on peut supposer τ >> T donc
t
τ
<<
1
quel que soit t et l’on peut
faire le développement limité i t E
rat
L
( ) = + −
F
H
G
I
K
J
1
τ
. Comme on note i
L
(0
+
) = I
MIN
puisque l’on est
dans une phase de croissance de i
L
( t ) [la présence de r ne change rien à l’analyse de la question 2],
il vient I
E
r
a
MIN
= + soit i t E
rIE r
t
L MIN
( ) = + −
F
H
G
I
K
J
−
F
H
G
I
K
J
1
τ
= − −
F
H
G
I
K
J
ItIE
r
MIN MIN
τ
. Comme I
E
r
MIN
<<
puisque r est petit, on a pratiquement i t I
t
E
r
L MIN
( ) = +
τ
soit i t
E
L
t I
L MIN
( ) = + . On peut conclure
que la présence de la résistance r ne change pas l’allure des fonctions i
L
( t ), i
E
( t ) et i
D
( t ). En utilisant
les chronogrammes tracés à la question 3, on obtient
< >= + −
L
N
M
O
Q
P
iTI T I I T
E MIN MAX MIN
1 1
2
α α
b
g
= +
1
2
I I
MAX MIN
b
g
α d’où I
E
= αI
L
.
Le même calcul qu’en 3 conduit à
I
V
R
LS
=−
( )1 α
.
b) La loi des mailles pendant la première phase E L
di
t
dt
ri t= +
LL
(
)
( ) permet d’écrire
Edt L
di
t
dt
dt ri t dt
T T T
0 0 0
α α α
z
z
z
= +
LL
(
)
( ) .
Pendant la deuxième phase, on a − = +V L
di
t
dt
ri t
SLL
(
)
( ) donc
( )
(
)
( )− = +
z
z
z
V dt L
di
t
dt
dt ri t dt
T
T
T
T
T
T
SLL
α α α
.
La somme des deux équations conduit à Edt V dt L
di
t
dt
dt ri t dt
T
T
T T T
0 0 0
α
α
z
z
z
z
+ − = +( )
(
)
( )
SLL
soit
EαT – V
S
( T – αT ) = LT
di
t
dt
< >
L
(
)
+ rT < i
L
>. Comme i
L
( t ) est une
fonction périodique, < >=
di
t
dt
L
(
)
0 et il reste Eα – V
S
(1 –
α ) = rI
L
. Avec l’expression de I
L
obtenue à la question
v
L
L
i
L
E
i
E
v
S
i
D
r
α
V
E
S
ρ
= 1
ρ
= 10
ρ
= 100
ρ
=
∞

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précédente, on obtient
rV
RE V
SS
( ) ( ) 11 −= − − αα α
d’où
r
RV E ( ) ( ) 11 −+ −
F
H
G
I
K
J
=
αα α
S soit
V
R
r
R
r
E
S
=
−
+ −
F
H
GI
K
J
( )
( )
1
1 1
2
α α
α
.
On peut tracer la courbe
V
E
f
S
=( )α pour différentes valeurs du paramètres ρ =
R
r
. Le cas
idéal étudié à la question 1 correspond à ρ = ∞.
On constate pour ρ ≠ ∞ un comportement très différent du cas idéal. Quand α tend vers 1, la
tension V S tend vers 0 au lieu de tendre vers l’infini et le hacheur n’est jamais survolteur.
c) La puissance instantanée fournie par la source est P
E
(t) = E.i
E
(t) soit en valeur
moyenne P
E
= E.I
E
. La puissance instantanée reçue par la charge est P’(t) = V
S
.i
D
(t) soit en valeur
moyenne P’ = V
S
.I
D
. Le rendement est donc
η =
P
P
'
E
=
V
I
EI
S D
E
=
−
+ −
F
H
GI
K
J
−
(
)
( )
1
1 1
1
2
α
α
α
α
α
R
r
d’après les expressions
précédentes soit ηα
α
=−
+ −
F
H
GI
K
J
( )
( )
1
1 1
2
2
R
r
.
On trouve un rendement . inférieur à 1 pour α = 0 et tendant
vers 0 quand α tend vers 1. Le convertisseur est loin d’être parfait.
La courbe correspondant à ρ = 1 est tracée ci-contre.
α
η
T