Les circuits à courant continu

Chapitre 8
Les circuits à courant continu
Objectif intermédiaire 3.4
Analyser les circuits électriques afin de déterminer la tension et le courant dans les éléments de
circuit à l'aide des lois de Kirchhoff pour les mailles et les nœuds.
Résistance interne et résistance de charge
Les piles (ou batteries) fournissent de l'énergie dans les circuits électriques. L'énergie des piles voltaïques
est d'origine chimique. Les réactions chimiques produisent une tension appelée force électromotrice
(f.é.m.).
Pour une pile idéale, la tension fournie est constante peu importe le courant; la force électromotrice est
constante et déterminée par les réactions chimiques. Pour une pile réelle, il y a une perte d'énergie par effet
Joule à l'intérieur; la tension fournie par une pile diminue lorsque le courant augmente.
Les pertes par effet Joule sont dues à la résistance interne de la pile. Le circuit équivalent d'une pile réelle
est composé d'une pile idéale en série avec une résistance. La tension aux bornes de la pile lorsqu’elle
fournit du courant est
V pile = E - r I pile
où
et
V pile
E
r
I pile
est la tension aux bornes de la pile en volts,
est la force électromotrice en volts,
est la résistance interne de la pile en ohms
est le courant fourni par la pile en ampères.
Pile réelle
Pile réelle
E
r
E
r
R
Vpile
Vpile
Le courant fourni par une pile en série avec une résistance est donnée par
 E = ( r + R ) I pile

V pile E - r I pile
=
⇒ 
I pile =
E
R
R
 I pile = r + R
où
I pile
est le courant fourni par la pile en ampères,
Ipile
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
et
V pile
R
E
r
Page C8-2
est la tension aux bornes de la pile en volts,
est la résistance du circuit en ohms,
est la force électromotrice en volts
est la résistance interne de la pile en ohms.
La puissance dissipée par la résistance du circuit est
PR = R I
où
et
2
pile
R E2
=
( r + R )2
PR
R
I pile
est la résistance du circuit en ohms,
est le courant fourni par la pile en ampères,
E
r
est la force électromotrice en volts
est la résistance interne de la pile en ohms.
est la puissance dissipée dans la résistance en watts,
On peut montrer que la puissance dissipée dans la résistance du circuit est maximale lorsque la résistance
du circuit est égale à la résistance interne de la pile; soit
 ∂PR
E2
2 R E2
 ∂R =

( r + R )2 ( r + R )3

∂PR

=0

∂R
où
et
∂PR
∂R
PR
R
E
r
⇒
R= r
est la dérivée partielle de la puissance dissipée par rapport à la résistance du circuit en
watts par ohms,
est la puissance dissipée dans la résistance en watts,
est la résistance du circuit en ohms,
est la force électromotrice en volts
est la résistance interne de la pile en ohms.
Notons que la dérivée seconde de la puissance dissipée par rapport à la résistance du circuit est négative
lorsque R=r ; donc la puissance dissipée est maximale pour R=r.
1.
Une pile, ayant une f.é.m. de 22 V et une résistance interne de 0,5 Ω, est en série avec une
résistance de 5 Ω.
a)
Quel est le courant fourni par la pile ?
b)
Quelle est la tension aux bornes de la pile ?
c)
Quelle est la puissance dissipée par la pile ?
2.
Une pile possède une f.é.m. de 100 V et une résistance interne de 25 Ω.
a)
Quelle est la puissance fournie par la pile si une résistance de 15 Ω est branchée avec la pile ?
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
b)
Page C8-3
Quelle est la valeur de la résistance, branchée en série avec la pile, pour laquelle la puissance
dissipée par la résistance est maximale ?
Groupement de résistances en série
Le courant qui traverse chaque résistance en série
est le même. Les tensions aux bornes de chaque
résistance en série s'additionnent. La tension aux
bornes du groupe de résistances en série est la
somme des tensions aux bornes de chaque
résistance.
I1
où
R3
IN R
N
V1
V2
V3
VN
et
= V1 + V 2 + V 3 + K + V N
I
I1 , I 2 , I 3
IN
V groupe
V1 , V 2 , V3
et
R2 I3
I
I = I 1 = I 2 = I 3 = K= I N
V groupe
R1 I2
VN
Réq
Vgroupe
est le courant en ampères,
sont les courants traversant les résistances no1, no2 et no3 en ampères,
est le courant traversant la nième résistance en ampères,
est la tension aux bornes du groupement série en volts,
sont les tensions aux bornes des résistances no1, no2 et no3 en volts
est la tension aux bornes de la nième résistance en volts.
Un groupe de résistances en série peut être remplacé par une résistance équivalente dont la valeur est
R éq = R1 + R 2 + R 3 + K + R N
où
Réq
R1 , R 2 , R3
et
RN
est la résistance équivalente du groupement en ohms,
sont les résistances no1, no2 et no3 en ohms
est la nième résistance en ohms.
La loi d'Ohm avec les équations pour le courant et la tension permettent de démontrer cette valeur de la
résistance équivalente.
Pour deux résistances, on a
 V 1 = R1 I 1

 V 2 = R2 I 2
où
V1 , V 2
sont les tensions aux bornes des résistances no1 et no2 en volts,
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
et
R1 , R 2
I1 , I 2
Page C8-4
sont les résistances no1 et no2 en ohms
sont les courants traversant les résistances no1 et no2 en ampères.
Si les résistances sont en série, on a

I1= I 2 = I
⇒ V groupe = R1 I 1 + R 2 I 2 = ( R1 + R 2 ) I

 V groupe = V 1 + V 2
où
et
I1 , I 2
I
V groupe
sont les courants traversant les résistances no1 et no2 en ampères,
V1 , V2
R1 , R 2
sont les tensions aux bornes des condensateurs no1 et no2 en volts
est le courant en ampères,
est la tension aux bornes du groupement série en volts,
sont les résistances no1 et no2 en ohms.
Ainsi, la résistance équivalente est
R éq =
V groupe
I
= R1 + R 2
où
Réq
est la résistance équivalente du groupement en ohms,
est la tension aux bornes du groupement série en volts,
et
V groupe
I
R1 , R 2
est le courant en ampères
sont les résistances no1 et no2 en ohms.
En série, la tension se divise entre les résistances; soit
I=
V 1 V 2 V groupe
= =
R1 R 2
R éq

R1 V groupe R1 V groupe
=
 V 1=
R éq
R1 + R 2

⇒ 
 = R 2 V groupe = R 2 V groupe
V2
R éq
R1 + R 2

où
et
I
V1 , V2
R1 , R 2
V groupe
Réq
est le courant en ampères,
sont les tensions aux bornes des condensateurs no1 et no2 en volts,
sont les résistances no1 et no2 en ohms,
est la tension aux bornes du groupement série en volts
est la résistance équivalente du groupement en ohms.
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
Page C8-5
Note: On peut vérifier que plus la résistance est grande, plus la tension aux bornes d'une résistance est
grande. De plus, on peut vérifier que V groupe = V1 + V 2 .
3.
Un courant de 120 mA traverse un groupe de deux résistances en série. Les valeurs de
résistance sont de 50 Ω et de 150 Ω.
a)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance de 50 Ω ?
b)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance de 150 Ω ?
c)
Quelle est la résistance équivalente du groupe de résistances en série ?
d)
Quelle est la tension aux bornes du groupe de résistances en série ?
4.
Une tension de 10 V est appliquée aux bornes d'un groupe de deux résistances en série. Les
valeurs de résistance sont de 100 Ω et 400 Ω.
a)
Quelle est la résistance équivalente du groupe de résistances en série ?
b)
Quel est le courant traversant le groupe de résistances en série ?
c)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance de 100 Ω ?
d)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance de 400 Ω ?
Groupement de résistances en parallèle
La tension aux bornes de chaque résistance en
parallèle est la même. Les courants qui sortent de
chaque résistance en parallèle s'additionnent. Le
courant sortant du groupe de résistances en
parallèle est la somme des courants traversant
chaque résistance.
V = V 1 = V 2 = V 3 = K= V N
I groupe
où
V
V1 , V2 , V3
I groupe
I1 , I 2 , I 3
IN
I1
V1 R2
V2R3
V3R
I2
I3
IN
Igroupe
et
= I1 + I 2 + I 3 + K + I N
VN
et
R1
VN
Réq
V
est la tension entre les bornes en volts,
sont les tensions aux bornes des résistances no1, no2 et no3 en volts,
est la tension aux bornes de la nième résistance en volts,
est le courant entrant dans le groupement parallèle en ampères,
sont les courants traversant les résistances no1, no2 et no3 en ampères
est le courant traversant la nième résistance en ampères.
Un groupe de résistances en parallèle peut être remplacé par une résistance équivalente dont la valeur est
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
1
R éq
où
Réq
R1 , R 2 , R3
et
RN
=
Page C8-6
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
+ K+
1
RN
est la résistance équivalente du groupement en ohms,
sont les résistances no1, no2 et no3 en ohms
est la nième résistance en ohms.
La loi d'Ohm avec les équations pour le courant et la tension permettent de démontrer cette valeur de la
résistance équivalente.
Pour deux résistances, on a
 V 1 = R1 I 1

 V 2 = R2 I 2
où
et
V1 , V2
R1 , R 2
I1 , I 2
sont les tensions aux bornes des résistances no1 et no2 en volts,
sont les résistances no1 et no2 en ohms
sont les courants traversant les résistances no1 et no2 en ampères.
Si les résistances sont en parallèle, on a
 V 1 =V 2 = V
1 
 1
V V
⇒ I groupe = 1 + 2 = 
+
V

R1 R 2  R1 R 2 
 I groupe = I 1 + I 2
où
et
V
V1 , V2
I groupe
est la différence de potentiel entre les bornes en volts,
sont les tensions aux bornes des résistances no1 et no2 en volts,
I1 , I 2
R1 , R 2
sont les courants traversant les résistances no1 et no2 en ampères
est le courant entrant dans le groupement parallèle en ampères,
sont les résistances no1 et no2 en ohms.
Ainsi, la résistance équivalente est
Réq =
où
Réq
V
I groupe
V
I groupe
=
V
=
1
1
1
1 
 1
+
+

V
R1 R 2
 R1 R 2 
1
1
1
⇒
= +
Réq R1 R 2
=
R1 R2
R1 + R2
est la résistance équivalente du groupement en ohms,
est la différence de potentiel entre les bornes en volts,
est le courant entrant dans le groupement parallèle en ampères
R1 , R 2
et
sont les résistances no1 et no2 en ohms.
En parallèle, le courant se divise entre les résistances; soit
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
Page C8-7
V = R1 I 1 = R 2 I 2 = R éq I groupe
I groupe

R éq I groupe
R 2 I groupe
=
=
 I 1=
1
1
+
R1

+
) R1 R 2
R1 (

R1 R 2
⇒ 
I groupe
R1 I groupe
 = R éq I groupe =
=
 I2
1
1
+
R2
+
) R1 R 2
R2 (

R1 R 2

où
V
R1 , R 2
I1 , I 2
Réq
et
I groupe
est la différence de potentiel entre les bornes en volts,
sont les résistances no1 et no2 en ohms,
sont les courants traversant les résistances no1 et no2 en ampères,
est la résistance équivalente du groupement en ohms
est le courant entrant dans le groupement parallèle en ampères.
Note: On peut vérifier que plus la résistance est petite, plus le courant traversant une résistance est grand.
De plus, on peut vérifier que I groupe = I 1 + I 2 .
5.
Une tension 60 V est appliquée aux bornes d'un groupe de deux résistances en parallèle. Les
valeurs de résistance sont de 80 Ω et de 240 Ω.
a)
Quel est le courant traversant la résistance de 80 Ω ?
b)
Quel est le courant traversant la résistance de 240 Ω ?
c)
Quelle est la résistance équivalente du groupe de résistances en parallèle ?
d)
Quel est le courant traversant le groupe de résistances en parallèle ?
6.
Un courant de 500 mA sort d'un groupe de deux résistances en parallèle. Les valeurs de
résistance sont de 25 Ω et 100 Ω.
a)
Quelle est la résistance équivalente du groupe de résistances en parallèle ?
b)
Quelle est la tension aux bornes du groupe de résistances en parallèle ?
c)
Quel est le courant traversant la résistance de 25 Ω ?
d)
Quel est le courant traversant la résistance de 100 Ω ?
Circuits mixtes
Lorsqu'une pile est branchée à un ensemble de groupements de résistances en série et en parallèle, tous
les courants et tensions peuvent être calculées lorsque les résistances sont connues et si un courant ou
tension est connu. Il faut appliquer alors la loi d'Ohm et les lois pour les groupements en série et en
parallèle dans un ordre approprié.
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
Page C8-8
À l'aide d'un tableau et les circuits équivalents, l'ordre approprié des calculs se déduit facilement. Il faut
calculer d'abord les résistances équivalentes pour les groupements de résistances. Les colonnes du
tableau sont V, R et I. On place les valeurs connues pour chaque résistance, les valeurs calculées des
groupements de résistances sur les lignes et on ajoute une ligne à la fin pour la tension et le courant de la
pile.
Élément de circuit
R
V
résistance no1
1Ω
résistance no2
2Ω
résistance no3
3Ω
résistance no4
4Ω
groupe no34
7Ω
groupe no234
14/9 Ω
groupe no1234
23/9 Ω
pile
1,5 V
I
---
Il suffit maintenant de remplir le tableau. Dès que deux valeurs d'une ligne sont connues, la loi d'Ohm donne
la troisième. Ensuite, une simple loi pour un groupement parallèle donne une nouvelle tension ou une
simple loi pour un groupement série donne un nouveau courant.
1Ω
2Ω
1.5 V
où
1Ω
3Ω
4Ω
1,5 V
2Ω
7Ω
1re étape
Vpile = 1,5 V
R1 = 1 Ω,
R3 = 3 Ω
et
R34 = R3 + R4
=3 + 4 = 7 Ω
R2 = 2 Ω,
R4 = 4 Ω.
1Ω
1,5 V
1,5 V
2e étape
14/9 Ω
3e étape
23/9 Ω
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
R 234 =
=
Page C8-9
R1234 = R1 + R 234
= 1 + 14/9 = 23/9 Ω
R 2 R34
R 2 + R34
2 ⋅7
= 14/9 Ω
2 +7
27/46 A
27/46 A
Vpile
1,5 V
R1234
1,5 V
Vpile
R1234
5e étape
I 1234 =
4e étape
V 1234 = V pile
= 1,5 V
=
6e étape
V 1234
R1234
1,5
= 27/46 A
23/9
I pile = I 1234
= 27/46 A
27/46 A
R1
R1
27/46 A
27/46 V
Vpile
R234
Vpile
1,5 V
R234
9e étape
7e étape
V 1 = R1 I 1
= 1 ⋅ (27/46) = 27/46 V
I 1 = I pile
10e étape
V 234 = R 234 I 234
= 27 / 46 A
8e étape
I 234 = I pile
= 27/46 A
= (14/9) ⋅ (27/46) = 21/23 V
11e étape
V pile = V 1 + V 234
= (27/46) + (21/23)
= 1,5 V
21/23 V
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
Page C8-10
R1
Vpile
R1
R2
21/23
V
R34
21/46
A
21/23
V
Vpile
R2
3/46
A
R34
14e étape
I2=
12e étape
=
V 2 = V 234
= 21/23 V
15e étape
V2
R2
21/23
= 21/46 A
2
V 34
R34
21/23  21   1 
=
=   ⋅   = 3/23 A
7
 23   7 
I 34 =
13e étape
V 34 = V 234
= 21/23 V
R1
3/23 A
R1
R3
3/23
A
Vpile
R2
R3
Vpile
R2
9/23
V
R4
18e étape
16e étape
I 3 = I 34
= 3/23 A
17e étape
19e étape
I 4 = I 34
= 3/23 A
V 3 = R3 I 3
 3 
= 3 ⋅   = 9/23 V
 23 
V 4 = R4 I 4
 3 
= 4 ⋅   = 12/23 V
 23 
R4
12/23
V
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
Page C8-11
Élément de circuit
V
R
I
Résistance no1
27/46 V
1Ω
27/46 A
Résistance no2
21/23 V
2Ω
21/46 A
Résistance no3
9/23 V
3Ω
3/23 A
Résistance no4
12/23 V
4Ω
3/23 A
groupe no34
21/23 V
7Ω
3/23 A
groupe no234
21/23 V
14/9 Ω
27/46 A
groupe no1234
1,5 V
23/9 Ω
27/46 A
pile
1,5 V
---
27/46 A
Aux cours des étapes, les lois semblant les plus simples et les plus appropriées ont été employées. Les lois
qui restent peuvent servir à la vérification. De plus, certains raccourcis sont utiles pour les plus
expérimentés.
Les lois supplémentaires à vérifier dans le cas précédent concernent l'addition des tensions dans un
groupement de résistances en série et l'addition du courant dans une groupement de résistance en
parallèle.
Vous pouvez sauver du temps en employant le tableau et les circuits équivalents à fond. Noter tous les
calculs est inutile. L'ordre approprié des calculs est trouvé à l'aide du tableau. Une analyse du circuit avec
les résultats permet une vérification rapide.
Raccourcis pour les 9e et 10e étapes
Vpile
R1
R3
27/46
V
9/23
V
R2
27/46
A
21/23 R4
V
21/46
A
1 ⋅ 1,5
R1 V pile
=
R1 + R 234 1 + (14/9)
3  9 
= 1 ⋅   ⋅   = 27/46 V
 2   23 
V 1=
12/23
V
3/23
A
(14/9) ⋅ 1,5
R 234 V pile
=
1 + (14/9)
R1 + R 234
 14   3   9 
=   ⋅   ⋅   = 21/23 V
 9   2   23 
V 234 =
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
Page C8-12
Raccourcis pour les 14e et 15e étapes
Raccourcis pour les 18e et 19e étapes
R 34 I 1 = 7 ⋅ (27/46)
2 +7
R 2 + R34
 27   1 
= 7 ⋅   ⋅   = 21/46 A
 46   9 
R 2 I 1 = 2 ⋅ (27/46)
I 34 =
2+7
R 2 + R34
R3 V 2 = 3 ⋅ (21/23)
3+4
R3 + R4
 21   1 
= 3 ⋅   ⋅   = 9/23 V
 23   7 
R4 V 2 = 4 ⋅ (21/23)
V4 =
3+4
R3 + R4
 27   1 
= 2 ⋅   ⋅   = 3/23 A
 46   9 
 21   1 
= 4 ⋅   ⋅   = 12/23 V
 23   7 
I2=
V3=
Vérifications pour les 7e, 14e et 15e étapes
Vérifications pour les 12e, 18e et 19e étapes
I 1 = I 2 + I 34
= (21/46) + (3/23) = 27/46 A
V 2 = V 3 +V 4
= (9/23) + (12/23) = (21/23) V
7.
Soit le circuit électrique ci-joint. Les
valeurs des résistances dans le circuit
sont:
I3
R1
R1=30 Ω,
R3=24 Ω,
R5=30 Ω
et
R2=120 Ω,
R4=20 Ω,
R6=50 Ω.
On suppose que le courant traversant la
résistance R3 est:
I3= 1,5 A.
a)
Quel est le courant traversant les autres résistances ?
b)
Quelle est la tension aux bornes de chaque résistance ?
c)
Quelle est la tension aux bornes de la pile ?
d)
Quelle est la résistance équivalente du circuit ?
Vpile
R2
R3
R4
R5
R6
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
Suggestion:
Page C8-13
Complétez le tableau ci-dessous.
Élément de circuit
V
R
résistance no1
30 Ω
résistance no2
120 Ω
résistance no3
24 Ω
résistance no4
20 Ω
résistance no5
30 Ω
résistance no6
50 Ω
I
1,5 A
groupe no56
groupe no456
groupe no3456
groupe no23456
groupe no123456
Pile
---
Note: La loi d'Ohm permet de compléter une ligne ayant une inconnue. Les lois de Kirchhoff permettent de
trouver une inconnue à l'aide de valeurs connues dans la même colonne.
Lois de Kirchhoff
Une maille est une boucle contenant plusieurs éléments dans un circuit électrique. Un nœud est une
jonction entre plusieurs éléments dans un circuit électrique.
R1
E
V1
I1
R2
V2 R3
I2
I3
E
Ipile
R1
I1
V3
V1
I1
Circuit A
R3
R2
V3
V2
Circuit B
I23
Dans le circuit A, la pile, la résistance no1 et la résistance no2 forment une maille. De même, dans le
circuit A, la résistance no2 et la résistance no3 forment une autre maille. Tous les éléments du circuit sont
présents dans les mailles intérieures; alors il n'est pas nécessaire de considérer la maille extérieure en plus.
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
Page C8-14
La loi de Kirchhoff pour les mailles affime que la somme algébrique des tensions dans une maille est nulle.
Par convention, la tension aux bornes d'un élément dans une maille est comptée positivement si l'on passe
de la borne (-) à (+).
Pour la maille de gauche du circuit A, la loi de Kirchhoff pour les mailles donne
E -V 1 -V 2 = 0
où
et
E
V1 , V 2
est la force électromotrice en volts
sont les tensions entre les bornes des résistances no1 et no2 en volts.
Pour la maille de droite du circuit A, la loi de Kirchhoff pour les mailles donne
V 2 -V 3=0
où
V 2 , V3
sont les tensions entre les bornes des résistances no2 et no3 en volts.
La loi de Kirchhoff pour les nœuds affirme que la somme des courants qui entrent dans un nœud est égale
à la somme des courants qui sortent du nœud.
Dans le circuit A, il faut deux nœuds pour que les courants de toutes les branches soient présentes. Pour le
nœud du haut dans le circuit A, la loi de Kirchhoff pour les courants donne
I1= I 2 + I 3
où
I1 , I 2 , I 3
sont les courants traversant les résistances no1, no2 et no3 en ampères.
Puisque la pile et la résistance no1 du circuit A sont en série, le même courant traverse ces deux éléments
de circuit.
Dans le circuit B, la pile et la résistance n°1 forment une maille. De même, dans ce circuit, la résistance n°1,
la résistance n°2 et la résistance n°3 forment une autre maille. Pour le circuit B, on a
 E -V 1= 0

 V 1 -V 2 -V 3 = 0
 I =I +I
1
23
 pile
où
E
V1 , V 2 . V3
I pile
I1
I 23
est la force électromotrice en volts,
sont les tensions entre les bornes des résistances no1, no2 et no3 en volts,
est le courant fourni par la pile en ampères,
est le courant traversant la résistance no1 en ampères
est le courant traversant les résistances no2 et no3 en ampères.
8.
Soit le circuit A avec les valeurs suivantes: R1 = 4 kΩ, R2 = 1 kΩ et R3 = 2 kΩ. On suppose que la
résistance no3 est traversée par un courant I3=1,5 mA.
a)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance no3 ?
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
Page C8-15
b)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance no2 ?
c)
Quel est le courant traversant la résistance no2 ?
d)
Quel est le courant traversant la résistance no1 ?
e)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance no1 ?
f)
Quelle est la tension aux bornes de la pile ?
g)
Quel est le courant traversant la pile ?
9.
Soit le circuit B avec les valeurs suivantes: R1 = 4,4 kΩ, R2 = 10 kΩ et R3 = 12 kΩ. On suppose
que la résistance no3 est traversée par un courant I3 = 1 mA.
a)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance no3 ?
b)
Quel est le courant traversant la résistance no2 ?
c)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance no2 ?
d)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance no1 ?
e)
Quelle est la tension aux bornes de la pile ?
f)
Quel est le courant traversant le résistance no1 ?
g)
Quel est le courant traversant la pile ?
10.
Soit le circuit A avec les valeurs suivantes: R1 = 6 kΩ, R2 = 5 kΩ et R3 = 20 kΩ. On suppose que la
tension aux bornes de la pile est de 50 V.
a)
Quelle est la résistance équivalente R23 du groupe de résistances no2 et no3 en parallèle ?
b)
Quelle est la résistance équivalente R123 du groupe de résistances no1, no2 et no 3 du circuit A ?
c)
Quel est le courant fourni par la pile du circuit A ?
d)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance no1 ?
e)
Quelle est la tension aux bornes des résistances no2 et no3 ?
f)
Quel est le courant traversant la résistance no2 ?
g)
Quel est le courant traversant la résistance no3 ?
11.
Soit le circuit B avec les valeurs suivantes: R1 = 4 kΩ, R2 = 2 kΩ et R3 = 10 kΩ. On suppose que la
tension aux bornes de la pile est de 60 V.
a)
Quelle est la résistance équivalente R23 du groupe de résistances no2 et no3 en série ?
b)
Quelle est la résistance équivalente R123 du groupe de résistances no1, no2 et no3 du circuit B ?
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
Page C8-16
c)
Quel est le courant fourni par la pile du circuit B ?
d)
Quel est le courant traversant la résistance no1 ?
e)
Quel est le courant traversant les résistances no2 et no3 ?
f)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance no2 ?
g)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance no3 ?
Analyse de circuits
Lorsqu'il y a plusieurs piles ou résistances qui ne peuvent être regroupées, la méthode employée jusqu'à
maintenant conduit parfois à un système d'équations couplées. Les lois de Kirchhoff fournissent un nombre
d'équations suffisant afin de trouver tous les courants inconnus dans le circuit. La loi d'Ohm est subtituée
dans la loi de Kirchhoff pour les mailles pour chaque élévation ou chute de tension.
I1
Généralement, les valeurs connues dans un circuit
électrique sont les forces électromotrices des piles et
les résistances. Par exemple, pour le circuit ci-joint,
on a
E1 = 12 V,
E 2 = 3 V,
E3 = 6 V
et
R1 = 300 Ω,
R2 = 100 Ω,
R3 = 200 Ω.
I2
I3
R1
V1 R2
V2 R2
E1
E2
E3
V3
Dans ce circuit, les courants circulant dans les trois branches sont inconnus. Les lois de Kirchhoff donnent
 E1 + V 2 = V 1 + E2

 E2 + V 3 = V 2 + E3

 I1 + I 2 + I3 = 0
En substituant la loi d'Ohm, on a le système d'équations
 12 - 300 I 1 + 100 I 2 - 3 = 0
 E1 - R1 I 1 + R 2 I 2 - E2 = 0


 E2 - R 2 I 2 + R3 I 3 - E3 = 0 ⇒  3 - 100 I 2 + 200 I 3 - 6 = 0


I1+ I 2 + I3= 0
I1+ I 2 + I3= 0


Celui-ci est équivalent à
 R1 I 1 + R2 I 2 + 0 I 3 = E2 - E1

 0 I 1 − R2 I 2 + R3 I 3 = E3 - E2

I1 + I 2 + I 3 = 0

 − 300 I 1 + 100 I 2 + 0 I 3 = ( + 3) - ( + 12)

⇒  0 I 1 − 100I 2 + 200I 3 = ( + 6) - ( + 3)

I1 + I 2 + I 3 = 0

Chapitre 8: Les circuits à courant continu
Page C8-17
Ceci est un système de trois équations à trois inconnues. Ce système est représenté, sous forme
matricielle, par
 − R1
 0

 + 1
+ R2
− R2
+1
0   I 1   E2 − E1
+ R3   I 2  =  E2 − E2
  
0
+ 1   I 3  

 ⇒


0
 − 300 + 100
 0
− 100 + 200

+1
+1
 + 1
La solution, par la méthode de Cramer, est
•
pour le courant dans la 1re branche :
0
E2 − E1 + R2
E3 − E 2 − R2 + R3
+1
+1
0
I1 =
− R1 + R2
0
− R2 + R3
0
+1 +1
+1
•
=
0
+1
− 300 + 100
0
+1
+1
0
− 100 + 200
+1
+1
pour le courant dans la 2e branche :
− R1 E2 − E1
0
0
E3 − E2 + R3
+1
+1
0
I2 =
− R1 + R2
0
− R2 + R3
0
+1 +1
+1
•
− 9 + 100
0
+ 3 − 100 + 200
− 300 − 9
0
=
0
+ 3 + 200
+1
0
− 300 + 100
+1
0
− 100 + 200
0
+1
+1
+1
pour le courant dans la 3e branche :
− R1 + R2 E2 − E1
− R2 E3 − E2
0
+1 +1
0
I3 =
− R1 + R2
0
− R2 + R3
0
+1 +1
+1
− 300 + 100 − 9
0
=
− 100
+1
+1
− 300 + 100
0
+1
+3
0
0
− 100 + 200
+1
+1
Ainsi, les courants, traversant les résistances, sont
2 400

 I 1 = 110 000 A = + 0,021 818 A

- 2 700

A = - 0,024 545 A
 I2 =
110 000

300

 I 3 = 110 000 A = + 0,002 727 A
Note: Le courant négatif signifie que le courant est dans le sens inverse à celui illustré.
  I1   − 9 
  I  =  +3 
 2  

  I 3   0 
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
12.
Page C8-18
Soit le circuit ci-joint avec
R1
E1 = 20 V,
E2 = 60 V,
et
R1 = 400 Ω,
R2 = 1 kΩ
R3 = 500 Ω.
Quels sont la grandeur et le sens du courant dans la résistance R1 ?
b)
Quels sont la grandeur et le sens du courant dans la résistance R2 ?
c)
Quels sont la grandeur et le sens du courant dans la résistance R3 ?
13.
Soit le circuit ci-joint avec
et
R1=400 Ω,
R2=500 Ω
R3=1 kΩ.
R2
E1
a)
E1=60 V,
E2=10 V,
E3= 5 V
R3
E2
R3
R1
E2
E1
R2
a)
Quels sont la grandeur et le sens du courant dans la résistance R1 ?
b)
Quels sont la grandeur et le sens du courant dans la résistance R2 ?
c)
Quels sont la grandeur et le sens du courant dans la résistance R3 ?
E3
Circuits RC
Un condensateur accumule des charges sur ses armatures lorsqu'un courant entre par sa borne positive;
on dit alors que le condensateur se charge. On condensateur libère les charges sur ses armatures lorsqu'un
courant sort par sa borne positive; on dit alors que le condensateur se décharge.
R
Sur le circuit ci-joint, le condensateur se charge
lorsque le commutateur est à la position A; puis, le
condensateur se vide lorsque le commutateur est à
la position C. Lorsque le condensateur est à la
position B, la quantité charge accumulée sur les
armatures du condensateur demeure fixe.
E
A
C
B
C
R
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
Page C8-19
V(V)
Si le condensateur est vide avant que le
commutateur soit placé en A, la tension aux bornes
du condensateur, pendant qu'il se charge, est
V(t) = V0 { 1 − e − t / RC
Charge d'un condensateur
V0
0,63V0
}
τ
où
et
V(t)
Vo
t
R
C
2τ
3τ
4τ 5τ
t(s)
est la tension aux bornes du condensateur (en fonction du temps) en volts,
est la tension maximale aux bornes du condensateur en volts,
est le temps écoulé en secondes,
est la résistance du circuit en ohms
est la capacité du circuit en farads.
On définit la constante de temps comme
τ=RC
où
et
τ
R
C
est la constante de temps en secondes,
est la résistance du circuit en ohms
est la capacité du circuit en farads.
Lorsque le condensateur est complètement chargé, la tension est égale à la force électromotrice de la pile.
V ( ∞) = V0 = E
où
et
V(∞)
Vo
E
est la tension aux bornes du condensateur après un temps infini en volts,
est la tension maximale aux bornes du condensateur en volts
est la force électromotrice en volts.
Après un temps égal à une (1) constante de temps, la tension aux bornes du condensateur vaut 63,2% de
sa valeur finale.
V(τ) = { 1 − e −1 }V0 = 0,632 V0
où
et
V(τ)
Vo
est la tension aux bornes du condensateur après une (1) constante de temps en volts
est la tension maximale aux bornes du condensateur en volts.
Après un temps égal à deux (2) constantes de temps, la tension aux bornes du condensateur vaut 86,5% de
sa valeur finale.
V(2τ) = { 1 − e −2 }V0 = 0,865 V0
où
et
V(2τ)
Vo
est la tension aux bornes du condensateur après deux (2) constantes de temps en volts
est la tension maximale aux bornes du condensateur en volts.
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
Page C8-20
Après un temps égal à trois (3) constantes de temps, la tension aux bornes du condensateur vaut 95,0% de
sa valeur finale.
V(3τ) = { 1 − e −3 }V0 = 0,950 V0
où
et
V(3τ)
Vo
est la tension aux bornes du condensateur après trois (3) constantes de temps en volts
est la tension maximale aux bornes du condensateur en volts.
Après un temps égal à quatre (4) constantes de temps, la tension aux bornes du condensateur vaut 98,2%
de sa valeur finale.
V(4 τ) = { 1 − e −4 }V0 = 0,982 V0
où
V(4 τ)
et
Vo
est la tension aux bornes du condensateur après quatre (4) constantes de temps en
volts
est la tension maximale aux bornes du condensateur en volts.
Après un temps égal à cinq (5) constantes de temps, la tension aux bornes du condensateur vaut 99,3% de
sa valeur finale.
V(5 τ) = { 1 − e −5 }V0 = 0,993 V0
où
et
V(5τ)
Vo
est la tension aux bornes du condensateur après cinq (5) constantes de temps en volts
est la tension maximale aux bornes du condensateur en volts.
V(t)
Si le condensateur est chargé avant que le
commutateur soit placé en C, la tension aux bornes
du condensateur, pendant qu'il se vide, est
V(t) = V0 e − t / RC
Décharge d'un condensateur
V0
0,37V0
τ
où
et
V(t)
Vo
t
R
C
2τ
3τ
4τ
est la tension aux bornes du condensateur (en fonction du temps) en volts,
est la tension maximale aux bornes du condensateur en volts,
est le temps écoulé en secondes,
est la résistance du circuit en ohms
est la capacité du circuit en farads.
5τ
t(s)
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
Page C8-21
I(t)
Charge ou décharge
d'un condensateur
I0
Si le condensateur est déchargé avant que le
commutateur soit placé en A, le courant entrant dans
le condensateur, pendant qu'il se charge, est
0,37I0
I(t) = I 0 e − t / RC
τ
où
et
I(t)
I0
t
R
C
2τ
3τ
4τ
5τ
t(s)
est le courant traversant le condensateur (en fonction du temps) en ampères,
est le courant maximal traversant le condensateur en ampères,
est le temps pendant lequel le condensateur se charge en secondes,
est la résistance du circuit en ohms
est la capacité du circuit en farads.
Le courant initial, lorsque le condensateur commence à se charger est
I0 =
où
I0
E
R
E
R
est le courant maximal traversant le condensateur en ampères,
est la force électromotrice en volts
est la résistance du circuit en ohms
Si le condensateur est chargé avant que le commutateur soit placé en C, le courant sortant du
condensateur, durant qu'il se vide, est
I(t) = I 0 e − t / RC
où
et
I(t)
I0
t
R
C
est le courant traversant le condensateur (en fonction du temps) en ampères,
est le courant maximal traversant le condensateur en ampères,
est le temps pendant lequel le condensateur se charge en secondes,
est la résistance du circuit en ohms
est la capacité du circuit en farads.
Le courant initial, lorsque le condensateur commence à se charger est
I0 =
où
et
I0
E
R
E
R
est le courant maximal traversant le condensateur en ampères,
est la force électromotrice en volts
est la résistance du circuit en ohms.
Chapitre 8: Les circuits à courant continu
Page C8-22
14.
Un condensateur de 12 µF commence à se charger au-travers d'une résistance de 300 kΩ à
l'aide d'une pile de 24 V.
a)
Quelle est la constante de temps ?
b)
Quelle est la tension aux bornes du condensateur après un temps de 4 s ?
c)
Quel est le courant entrant dans le condensateur après 4 s ?
d)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance après 4 s ?
15.
Un condensateur chargé de 2 mF possède une tension de 5 V à ses bornes. Le condensateur
commence à se vider au travers d'une résistance de 600 Ω.
a)
Quelle est la constante de temps ?
b)
Quelle est la tension aux bornes du condensateur après un temps de 2 s ?
c)
Quel est le courant sortant du condensateur après 2 s ?
d)
Quelle est la tension aux bornes de la résistance après 2 s ?
Réponses
1. a) 4 A b) 20 V c) 80 W
2. a) 93,75 W b) 25 Ω
3. a) 6 V b) 18 V c) 200 Ω d) 24 V
4. a) 500 Ω b) 20 mA c) 2 V d) 8 V
5. a) 750 mA b) 250 mA c) 60 Ω d) 1 A
6. a) 20 Ω b) 10 V c) 400 mA d) 100 mA
7. a) I1=2 A, I2=0,5 A, I4=1,2 A, I5=0,3 A, I6=0,3 A
7. b) V1= 60 V, V2=60 V, V3=36 V, V4=24 V, V5=9 V, V6=15 V
7. c) 120 V
7. d) 60 Ω
8. a) 3 V b) 3 V c) 3 mA d) 4,5 mA e) 18 V f) 21 V g) 4,5 mA
9. a) 12 V b) 1 mA c) 10 V d) 22 V e) 22 V f) 5 mA g) 6 mA
10. a) 4 kΩ b) 10 kΩ c) 5 mA d) 30 V e) 20 V f) 4 mA g) 1 mA
11. a) 12 kΩ b) 3 kΩ c) 20 mA d) 15 mA e) 5 mA f) 10 V g) 50 V
12. a) 0 A b) 0,04 A vers le haut c) 0,04 A vers le bas
13. a) 0,1625 A vers le bas b) 0,01 A vers le haut c) 0,055 A vers le bas
14. a) 3,6 s b) 16,10 V c) 26,34 µA d) 7,90 V
15. a) 1,2 s b) 944 mV c) 1,574 mA d) 944 mV
Tous droits réservés, Richard Fradette.