A.Étude du filtre passe bande

A.Étude du filtre passe bande
1.Calcul de la fonction de transfert du filtre
Afin de faciliter le calcul de la fonction de transfert, nous considérerons le filtre comme l'association
deux deux éléments Z1 et Z2 comme représenté ci-après :
À présent, calculons les fonctions de transfert des blocs Z1 et Z2 :
Z1=R1
jC =1jRC  jC 
et
Z2=1
1
R1 1
jC 
=1
1
RjC 
=R
1jRC 
Appliquons désormais le théorème de Millman au point A (Vs) :
Vs=
Ve
Z1
1
Z1
1
Z2
⇔Vs
Ve =1
Z11
Z1
1
Z2
=1
1Z1
Z2
Illustration 1: Filtre passe bande
Illustration 2: Schéma de simplification du filtre passe-
bande

Nous pouvons maintenant procéder au calcul complet de la fonction de transfert :
Vs
Ve =1
1Z1
Z2
=1
11jRC 
jC ∗1jRC 
R
=1
jRC 12jRC− RC 2
jRC 
=jRC 
13jRC− RC 2
En posant :
0=1
RC
, on a bien :
Vs
Ve =1 3∗
3j 
0
13j 
0
−2
0
2
2.Déterminons le rapport
Vs
Ve
à la fréquence de coupure en utilisant
Pspice.
Afin de calculer ce rapport, nous avons fait tracé la fonction de transfert
Vs
Ve
par pspice.
La courbe obtenue ci-dessous nous montre bien que l'on est présence d'un filtre passe bande car les
fréquences les moins atténuées sont celles proches de
0
. Par ailleurs, à la fréquence de coupure
0≈158.5Hz
, le filtre à un gain de -9,5dB. À partir de la fonction de transfert précédemment
calculée, et en posant
=0
, on a bien
Vs
Ve =1 3
or
20 log 1
3≈−9,54
.
Illustration 3: Représentation du gain du filtre en fonction de la pulsation du signal d'entrée
Frequency
10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1. 0KHz 3. 0KHz 10KHz
VDB( Vs)
-40
-20
0
( 158. 489, -9. 543)

3.Déterminons le déphasage entre Vs et Ve à la fréquence de
coupure
Notons
ce décalage à la fréquence de coupure, on a :
=arg Vs
Ve =arg 1 3=0[2]
En demandant à Pspice de tracer le décalage entre Vs et Ve en fonction de la pulsation du signal en
entrée, on obtient la courbe ci-dessous.
On peut donc bien vérifier que le déphasage entre Vs et Ve est nul à la fréquence de coupure.
B.Étude de l'oscillateur
1.Calculons la valeur de R4 afin d'obtenir un fonctionnement en
oscillateur du montage ci-dessus
Afin de reéaliser un oscillateur avec ce montage, il faut que celui satisfassse des conditions
d'oscillations bien déterminées. En effet, comme nous sommes en présence d'un système bouclé où la
sortie est rebouclée sur l'entrée, afin d'obtenir en sortie des oscillations périodiques, le système doit
avoir un gain total et un déphasage nul. En notant
HF0
la fonction de transfert de l'oscillateur et
HR
celle du filtre passe bande précédemment calculée, la condition d'osillation se traduit par :
HF0∗HR=1⇔∣HF0 ∣∗∣HR∣=1
et
arg HF0 arg HR=0[2]
Comme nous avons montré le déphasage du filtre est nul à la fréquence de coupure comme l'est celui
de l'amplificateur non inverseur, la condition concernant le déphasage est déjà réalisée.
En oûtre, nous avons
∣HR ∣= 1
3
à la fréquence de coupure, nous devons donc calculer
∣HF0∣
tel
que :
∣HF0∣∗1
3=1⇔∣HF0∣=3
Illustration 4: Représentation du déphasage du filtre en fonction de la fréquence du signal d'entrée
Frequency
10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1. 0KHz 3. 0KHz 10KHz
VP( Vs)
-100d
0d
100d

Or, nous savons que
HF0=R3R4
R3
Nous devons donc choisir
R4
tel que :
R3R4
R3
=3
R3R4
R3
=3⇔R3R4=3R3⇔R4=2R3
On obtient donc :
R4=20k 
2.Organisation de la structure et schéma fonctionnel équivalent
On remarque que le montage correspond bien à un système bouclé composé d'un amplificateur et d'un
filtre passe bande. Le filtre va permettre de ne garder que le fondamental désigné par la fréquence de
coupure. Ensuite, l'amplificateur va amplifier cette fréquence de manière à compenser l'atténuation du
filtre. La sortie de l'amplificateur étant rebouclée sur l'entrée du filtre, le fondamental du signal sera en
permanance filtré puis amplifié de manière à générer des oscillations propres à la fréquence de
coupure du filtre.
Illustration 5: Schéma de l'oscillateur à pont de
Wienn
Illustration 6: Représentation du
système bouclé de l'oscillateur

3.Simulation de la structure
En simulant le montage précédent à l'aide de Pspice, on obtient en sortie la tension suivante :
On observe que l'on a effectivement des oscillations de période 6,37ms. On obtient donc un signal
sinusoïdal de fréquence 157Hz. Cette fréquence est bien la fréquence à la pulsation de coupure car
fC=
2=103 2≈159Hz
Néanmoins, on observe que sur une période plus longue, l'amplitude des oscillations diminuent avec le
temps jusqu'à devenir nulle comme le montre la courbe suivante :
Illustration 7: Représentation temporelle du signal généré
Ti me
0s 5ms 10ms 15ms 20ms
V( Vs)
-10V
0V
10V
Illustration 8: Autre représentation temporelle du signal généré
Time
0s 0. 4s 0. 8s 1. 2s 1. 6s 2. 0s
V( Vs)
-10V
0V
10V