Devoir Maison - Électrocinétique II

Devoir Maison - Électrocinétique II - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012
Devoir Maison - Électrocinétique II
I - Étude d’une bobine réelle
On dispose d’une bobine B que l’on assimilera à l’association série
d’une inductance L et d’une résistance r (L et r sont des constantes
positives, indépendantes de la fréquence).
A. Détermination de r
1La bobine est parcourue par un courant i(t). Exprimer la tension u(t) à ses bornes en fonction de r, L, i(t) et
de sa dérivée par rapport au temps.
2On réalise le circuit suivant, en plaçant, en série
avec la bobine, un résistor de résistance R = 40 Ω.
L’alimentation est un générateur de tension continue,
constante, de force électromotrice E0= 1,0 V et de
résistance interne r0= 2,0 Ω. On mesure, en régime
permanent, la tension URaux bornes de R. Exprimer
r en fonction des données de cette question. Calculer
r avec UR= 0,56 V.
B. Détermination de r et L à partir d’un oscillogramme
On place, en série avec la bobine, un résistor de résistance
R = 40 Ωet un condensateur de capacité C = 10 µF. Le
GBF (générateur basses fréquences) est réglé pour délivrer
une tension sinusoïdale de fréquence f = 250 Hz (la pulsa-
tion sera notée ω) et de valeur crête à crête de 10 V.
Deux tensions sont visualisées sur un oscilloscope numérique. On obtient l’oscillogramme suivant.
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3Déterminer l’amplitude Uede la ten-
sion ueet l’amplitude URde la tension uR.
Déterminer l’amplitude I du courant i.
4Rappeler l’expression générale de l’im-
pédance Z d’un dipôle quelconque (module
de l’impédance complexe). Calculer alors
l’impédance ZAM du dipôle AM.
5Des deux tensions, uR(t) et ue(t), laquelle, et pourquoi d’après l’oscillogramme, est en avance sur l’autre ?
Déterminer précisément, à partir de l’oscillogramme, le déphasage ϕentre ueet i, (c’est-à-dire entre ueet uR).
6Ecrire l’expression générale de l’impédance complexe ZAM en fonction de r, R, L, C, ωpuis ZAM en fonction
de son module ZAM et du déphasage ϕ.
7Exprimer r en fonction de R, ZAM et ϕ. Calculer sa valeur.
8Exprimer L en fonction de C, ω, ZAM et ϕ. Calculer sa valeur.
C. Etude de la fonction de transfert
9Rappeler la définition de la fonction de transfert Hdu filtre ainsi formé avec uepour tension d’entrée et uR
pour tension de sortie.
10 Proposer un schéma équivalent en basses puis en hautes fréquences et en déduire la nature probable du filtre.
11 Exprimer Hen fonction de r, R, L, C, ω. Mettre Hsous la forme H=Hmax
1+jQω
ω0
−
ω0
ω. On exprimera
littéralement Hmax, le paramètre ω0ainsi que le facteur de qualité Q de ce circuit en fonction de r, R, L, C.
12 La figure 5 à la fin du sujet représente (en partie) le diagramme de Bode du filtre précédent. Rappeler la
définition du diagramme de Bode. Déterminer, à partir du graphe et des données initiales, les valeurs de r et L.
D. Facteur de puissance
On reprend le montage figure 3 avec f = 250 Hz.
13 Rappeler la définition du facteur de puissance d’un circuit.
14 On place alors, en parallèle sur AD une boîte de
condensateurs à décades (figure 6) et l’on fait varier cette
capacité C’ jusqu’à ce que, en observant l’oscilloscope, uR
et uesoient en phase. Quelle est alors la valeur du facteur
de puissance du circuit AM ? Du facteur de puissance du
circuit AD ? Quelle particularité présente alors l’admittance
complexe YAD du circuit AD ?
15 Exprimer YAD en fonction de r, L, C, C’ et de la
pulsation ω.
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16 Déterminer C’ en fonction de r, L, C, ω. Faire l’application numérique avec les valeurs de r et L calculées
précédemment.
II - Filtrage ADSL
Les signaux transmis sur une ligne téléphonique utilisent une large gamme de fréquences divisée en deux parties :
les signaux vocaux (transmettant la voix, entre 0 et 4 kHz) et les signaux ADSL (pour Internet ou la VoIP, entre 25
kHz et 2MHz). On considèrera dans ce second cas que les signaux ADSL utilisent toutes les fréquences supérieures
à 25 kHz.
1Quels types de filtre faut-il utiliser pour récupérer chacun des deux types de signaux ? On précisera les éventuelles
fréquences de coupure.
2On réalise le filtre suivant. Déterminer sa nature
grâce aux schémas équivalents et sans calculs. Quels
signaux va-t-il permettre de récupérer ?
3En posant x=ω
ω0
, déterminer ω0pour que Hse mette sous la forme H(x) = −x2
1 + 3jx−x2
4Tracer le diagramme de Bode en gain asymptotique, puis esquisser l’allure réelle en la justifiant.
5On prend R= 100 Ω, quelle valeur de L faut-il choisir pour réaliser le filtre voulu ? On considèrera que la
fréquence de coupure retenue est associée à la pulsation ω0et vaut 10kHz.
6Par accident, un signal carré de fréquence fondamentale f0= 3 kHz est envoyé à l’entrée du filtre. Quelles
seront les harmoniques présentes à la sortie ?
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III - Condensateurs et bobines variables
L’utilisation de montages à amplificateurs opérationnels (AO) permet de réaliser des circuits équivalents à des
condensateurs de capacité C variable ou des bobines d’inductance L ajustable. Dans toute cette partie, les AO sont
supposés idéaux et fonctionnent en régime linéaire. Les résistances R1et R2sont des résistances réglables et on
note C la capacité du condensateur.
Le premier montage proposé utilise deux AO connectés selon le
schéma suivant.
1Quelle est la fonction réalisée par l’AO1?
2Exprimer Us2en fonction de Us1puis de Ue.
3Calculer l’impédance d’entrée du montage Ze=Ue/Ie.
4En déduire que ce dispositif est équivalent à un condensateur
de capacité Cedont on donnera l’expression en fonction de C, R1
et R2. Quel est l’intérêt d’un tel montage plutôt que d’utiliser un
simple condensateur ?
On propose le deuxième montage ci-contre pour réaliser une bo-
bine d’inductance variable.
5Exprimer Usen fonction Ue.
6Calculer l’admittance d’entrée du montage Ye=Ie/Ue. Á
quelle association composée d’une résistance Req et d’une induc-
tance pure Lcette admittance d’entrée est-elle équivalente ?
7Quel est l’intérêt d’un tel montage plutôt que d’utiliser une
simple inductance ?
Les bobines et condensateurs réglables sont particulièrement utilisés pour réa-
liser l’équilibre de « montage en pont ». Soit le montage en pont ci-dessus. On
dit que le « pont est équilibré » lorsque la condition VA=VBest réalisée.
8Montrer que cela équivaut à Z1Z4=Z2Z3.
On se place dans le cas où Z1=R1,Z2=R2,Z3est constitué par l’asso-
ciation série d’une résistance R et d’un condensateur de capacité C et Z4est
l’association parallèle de la même résistance R et d’un condensateur de même
capacité C. On suppose R1, R et C connues.
9Quelles relations existe-t-il entre R1et R2d’une part et entre R, C et ω
d’autre part lorsque le pont est équilibré ?
10 Pourquoi appelle-t-on ce montage « pont mesureur de fréquence » ?
11 Application numérique : R1= 33 kΩ ;C= 5 nF et R= 10 kΩ. Calculer
R2et ω.
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