¤ PCSI ¤ 2012 / 2013. TD Séance 6. m o c . b Amortissement et facteur de qualité d’un circuit RLC. On considère le circuit RLC série représenté sur la figure ci-dessous. On définit les quantités suivantes : la 1 L 1 pulsation propre o et le facteur de qualité Q . R C LC e w a l o h L’interrupteur K est fermé à un instant t = 0 choisi comme origine des temps. Le condensateur est initialement chargé : u(t = 0-) = uo. k . w 1. Etablir l’équation différentielle vérifiée par u(t) pour t 0 . On y fera apparaître o et Q. Préciser les 1 différents régimes d’évolution possibles selon les valeurs de Q. On suppose Q dans la suite. 2 2. Etablir l’expression de u(t) pour t 0 , compte tenu des conditions initiales que vous expliciterez et justifierez. On introduira la pseudo-pulsation des oscillations libres en fonction de o et Q. Définir le temps caractéristique d’amortissement des oscillations libres en fonction de o et Q. 3. On souhaite visualiser la tension u(t) sur l’écran d’un oscilloscope dont l’entrée est modélisée par l’association en parallèle d’une résistance Ro 1, 0 M et d’une capacité Co =11 pF. 3.1 Montrer que si l’on tient compte de l’oscilloscope, l’équation différentielle vérifiée par u(t) du d 2u L R devient : L C Co 2 RC RCo 1 u 0 dt Ro dt Ro w w 3.2 Quelles relations qualitatives doivent vérifier R, L, C , Ro et Co pour que la mise en place de l’oscilloscope ait une influence négligeable sur les oscillations étudiées. On suppose pour la suite de l’exercice ces conditions réalisées. u t 2 3.3 On définit le décrément logarithmique comme étant la quantité d m ln où T u t mT et m est un entier strictement positif. Exprimer d m en fonction de m et Q. 3.4 On réalise un montage expérimental où le circuit RLC est excité par un générateur basses fréquences. Comment faut-il choisir le signal délivré par le générateur pour observer les oscillations libres du circuit ? La tension aux bornes du condensateur est enregistrée par un logiciel d’acquisition. Le signal obtenu est représenté sur la figure suivante : m o c . b e w a l o h k . w w w Estimer le facteur de qualité Q du circuit. 1 4. On suppose Q : la dissipation d’énergie par effet Joule est traitée comme une perturbation par 2 rapport au cas du circuit non dissipatif (R = 0). 4.1 Dans le cas où R = 0, établir l’expression de la valeur moyenne temporelle E de l’énergie stockée dans le circuit. 4.2 Dans le cas où R 0 , montrer qu’au premier ordre en 1/Q, l’énergie WJ dissipée par effet 2 Joule dans le circuit RLC, pendant une période, vérifie la relation : WJ E . Q To t t Q 1 On donne : exp o sin 2 o t 2Q sin 2o t cos 2o t exp o 2 o 1 4Q Q Q 0 0 To