Exercice : Amortissement et facteur de qualité circuit RLC

¤ PCSI ¤ 2012 / 2013. TD Séance 6.
Amortissement et facteur de qualité d’un circuit RLC.
On considère le circuit RLC série représenté sur la figure ci-dessous. On définit les quantités suivantes : la
pulsation propre
1
o
LC
et le facteur de qualité 1
L
Q
R C
.
L’interrupteur Kest fermé à un instant t= 0 choisi comme origine des temps. Le condensateur est
initialement chargé : u(t= 0-) = uo.
1. Etablir l’équation différentielle vérifiée par u(t) pour
0
t
. On y fera apparaître
o
et Q. Préciser les
différents régimes d’évolution possibles selon les valeurs de Q. On suppose
1
2
Q
dans la suite.
2. Etablir l’expression de u(t) pour
0
t
, compte tenu des conditions initiales que vous expliciterez et
justifierez. On introduira la pseudo-pulsation des oscillations libres en fonction de
o
et Q.
Définir le temps caractéristique d’amortissement des oscillations libres en fonction de
o
et Q.
3. On souhaite visualiser la tension u(t) sur l’écran d’un oscilloscope dont l’entrée est modélisée par
l’association en parallèle d’une résistance
1,0 M
o
R et d’une capacité Co=11 pF.
3.1 Montrer que si l’on tient compte de l’oscilloscope, l’équation différentielle vérifiée par u(t)
devient :
2
2
1 0
o o
o o
d u L du R
L C C RC RC u
dt R dt R
3.2 Quelles relations qualitatives doivent vérifier
, , , et
o o
R L C R C
pour que la mise en place de
l’oscilloscope ait une influence négligeable sur les oscillations étudiées. On suppose pour la
suite de l’exercice ces conditions réalisées.
3.3 On définit le décrément logarithmique comme étant la quantité
ln
mu t
d
u t mT
où
2
T
et mest un entier strictement positif. Exprimer
m
d
en fonction de met Q.
3.4 On réalise un montage expérimental où le circuit RLC est excité par un générateur basses
fréquences. Comment faut-il choisir le signal délivré par le générateur pour observer les
oscillations libres du circuit ?
La tension aux bornes du condensateur est enregistrée par un logiciel d’acquisition. Le signal
obtenu est représenté sur la figure suivante :
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Estimer le facteur de qualité Qdu circuit.
4. On suppose
1
2
Q
: la dissipation d’énergie par effet Joule est traitée comme une perturbation par
rapport au cas du circuit non dissipatif (R= 0).
4.1 Dans le cas où R= 0, établir l’expression de la valeur moyenne temporelle
E
de l’énergie
stockée dans le circuit.
4.2 Dans le cas où
0
R , montrer qu’au premier ordre en 1/Q, l’énergie
J
W
dissipée par effet
Joule dans le circuit RLC, pendant une période, vérifie la relation : 2
.
J
W E
Q
On donne :
22
0
0
1
exp sin 2 sin2 cos2 exp
1 4
o
o
T
To o
o o o
o
t t
Q
t Q t t
Q Q Q
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