Notes provisoires LE202

Notes provisoires LE202
Chapitre 1
Méthodes de base d’étude des dipôles
linéaires
1.1 Circuits linéaires en régime statique
1.1.1 Dipôle – caractéristique – loi d’Ohm
Un dipôle est un circuit électrique accessible par deux bornes A et B à partir
desquelles sont définis :
– le courant Ientrant par A ;
– la tension V=VAB =VA−VBaux bornes du dipôle.
Noter la convention récepteur dans laquelle le courant entre dans le dipôle par
son pôle + : le dipôle consomme de l’énergie quand P=V I > 0.
IA
B
V
Fig. 1.1 – Dipôle
La caractéristique statique du dipôle est la représentation I=f(V) du courant continu dans le dipôle en fonction
de la tension Và ses bornes.
Le dipôle est qualifié de linéaire si sa caractéristique statique est une droite.
Le dipôle est dit passif si sa caractéristique passe par l’origine.
Exemple : une résistance est un dipôle linéaire passif. Elle suit la loi d’Ohm :
V=RI où Rest la résistance en Ohm ou I=GV où Gest la conductance en Siemens
0
1/R V
I
P > 0P < 0
P > 0P < 0
Fig. 1.2 – Caractéristique
d’une résistance R: une ré-
sistance est un dipôle li-
néaire passif. V=RI ou
I=GV où Gest la conduc-
tance.
0V
I
R= 0
Fig. 1.3 – Caractéristique
d’un court-circuit :
V= 0 ∀I⇐⇒ R= 0
0V
I
R=∞
Fig. 1.4 – Caractéristique
d’un circuit ouvert :
I= 0 ∀V⇐⇒ G= 0
1

Notes provisoires LE202
Université Paris vi 2009–2010
1.1.2 Sources continues
La convention générateur est employée pour ces dipôles actifs : Iet Vdans le même sens dans le dipôle.
1.1.2.1 Sources parfaites
Source de tension idéale
+V
A
B
I
E
Fig. 1.5 – Source de ten-
sion idéale : impose la
tension V=E∀I
Source de courant idéale
V
IA
B
+
I0
Fig. 1.6 – Source de cou-
rant idéale : impose le
courant I=I0∀V
I
V
récepteur
E
générateur repos
Fig. 1.7 – Caractéristique d’une source de tension
idéale
I
V
récepteur générateur
repos I0
Fig. 1.8 – Caractéristique d’une source de courant
idéale
La puissance fournie est positive dans le premier quadrant seulement. Elle s’annule lorsque :
I= 0 pour la source de tension, donc quand elle
est en circuit ouvert.
V= 0 pour la source de courant, donc quand elle
est en court-circuit.
Extinction : éteindre une source idéale indépendante, c’est annuler le paramètre qu’elle impose.
Éteindre une source de tension idéale, c’est la
transformer en court-circuit.
Éteindre une source de courant idéale, c’est la
transformer en circuit ouvert.
1.1.2.2 Sources réelles
+V
A
B
I
E
r
Fig. 1.9 – Source de tension réelle : tend à imposer
la tension V=E−rI ; devient idéale si r→0.
+
V
IA
B
RI0
Fig. 1.10 – Source de courant réelle : tend à im-
poser le courant I=I0−V/R ; devient idéale si
R→ ∞.
2 LE202 c J. Lefrère

Notes provisoires LE202
2009–2010 Université Paris vi
0V
I
E/r
court-circuit
E
−1/r circuit ouvert
idéaleréelle
Fig. 1.11 – Caractéristique d’une source de tension
réelle
0V
I
idéale
réelle
−1/R
I0
court-circuit
RI0
circuit ouvert
Fig. 1.12 – Caractéristique d’une source de cou-
rant réelle
1.1.3 Lois de Kirchhoff
1.1.3.1 Loi des nœuds
La somme algébrique des courants arrivant sur un nœud est nulle.
X
k
Ik= 0
N.-B. : la masse est un nœud électrique particulier qui n’est pas représenté explici-
tement comme un nœud du graphe.
I1I2
I3
I4 I5
Fig. 1.13 – Loi des
nœuds
Fig. 1.14 – Application de la loi des nœuds
Sans calculer les courants dans les branches en parallèle, on
peut affirmer que :
I1=I2
I1I2
1.1.3.2 Loi des mailles
La somme algébrique des différences de potentiel orientées dans une
maille est nulle : X
k
Vk= 0
Fig. 1.15 – Loi des mailles : V1+V2+V3+V4= 0
V1
V4
V3
V2
N.-B. : la maille peut se refermer via la
masse du circuit.
Fig. 1.16 – Loi des mailles avec la masse :
V1=V2+V3+
Ve
V2
V3 V1
c
J. Lefrère LE202 3

Notes provisoires LE202
Université Paris vi 2009–2010
1.1.4 Impédance équivalente et diviseurs
1.1.4.1 Association série – diviseur de tension
Le courant Iest commun aux dipôles en série ⇒l’éliminer dans l’expression des tensions.
V1
R1
=V2
R2
=V1+V2
R1+R2
=I=V
Réquiv.
On en déduit
Réquiv. =R1+R2et V1
V=R1 R1+R2
Fig. 1.17 – Diviseur de tension
R2
R1
V2
V1
IV
N.-B.1 : Si R1≫R2,Réquiv. ≈R1: en série, c’est la plus grande résistance qui l’emporte.
N.-B.2 : si une des résistances devient un circuit ouvert, la résistance équivalente tend vers l’infini.
Généralisation : Dans le cas de nrésistances en série,
Réquiv. =X
k
Rket Vi=Ri
PkRk
V
1.1.4.2 Association parallèle – diviseur de courant
La tension Vest commune aux dipôles en parallèle ⇒l’éliminer dans l’expression
des courants.
R1I1=V=R2I2= et I=I1+I2=Y1V+Y2V= (Y1+Y2)V
On en déduit
Yéquiv. =Y1+Y2et I1
I=Y1 Y1+Y2
Dans le cas de deux branches en parallèle, on peut écrire le diviseur de courant en
termes de résistances : I1
I=R2 R1+R2
en plaçant au numérateur la resistance de la branche opposée à celle dont on calcule
le courant.
R1R2
I
I1I2
V
Fig. 1.18 – Diviseur de
courant
Réquiv. =R1R2
R1+R2
N.-B.1 : Si R1≫R2,Réquiv. ≈R2: en parallèle, c’est la plus petite résistance qui l’emporte.
N.-B.2 : si une des résistances devient un court-circuit, la résistance équivalente tend vers zéro.
Généralisation : Dans le cas de nrésistances en parallèle,
Yéquiv. =X
k
Yket Ii=Yi
PkYk
I
L’expression du diviseur de courant en termes de résistances devient rapidement très complexe1quand le nombre
de branches est supérieur à deux.
1Par exemple pour trois branches,
I1
I=R2R3 R1R2+R2R3+R3R1
I1s’annule dès que l’une des résistances (R2ou R3) des autres branches s’annule.
4 LE202 c J. Lefrère

Notes provisoires LE202
2009–2010 Université Paris vi
1.2 Représentation des dipôles linéaires : théorèmes de Thévenin et
de Norton
Le comportement d’un dipôle linéaire peut être représenté, vis à vis de l’extérieur, par un schéma
équivalent à deux éléments :
– série : schéma de Thévenin ;
– parallèle : schéma de Norton.
B
A
V
I
circuit
linéaire
Fig. 1.19 – Dipôle linéaire : noter la convention générateur pour le courant.
Série : schéma de Thévenin
+V
A
B
I
ETh
RTh
Fig. 1.20 – Série : schéma
de Thévenin
Parallèle : schéma de Norton
+
V
IA
B
YNorton INorton
Fig. 1.21 – Parallèle :
schéma de Norton
Équation linéaire associée
V=ETh −RThI I =INorton −YNortonV
Équivalence entre les deux schémas
ETh =RThINorton et RThYNorton = 1
0V
I
INorton
court-circuit
−YNorton =−1/RTh
ETh
circuit ouvert
Fig. 1.22 – Caractéristique
statique du dipôle
N.-B. 1 : Les sources idéales n’admettent qu’une représentation :
– source de tension : RTh = 0 ⇒YNorton =∞Droite verticale. Thévenin seulement.
c
J. Lefrère LE202 5