Notes provisoires LE202

Chapitre 1
1.1.1
Circuits linéaires en régime statique
Dipôle – caractéristique – loi d’Ohm
LE
1.1
2 02
Méthodes de base d’étude des dipôles
linéaires
res
Un dipôle est un circuit électrique accessible par deux bornes A et B à partir
desquelles sont définis :
– le courant I entrant par A ;
– la tension V = VAB = VA − VB aux bornes du dipôle.
Noter la convention récepteur dans laquelle le courant entre dans le dipôle par
son pôle + : le dipôle consomme de l’énergie quand P = V I > 0.
I
A
V
B
Fig. 1.1 – Dipôle
viso
i
La caractéristique statique du dipôle est la représentation I = f (V ) du courant continu dans le dipôle en fonction
de la tension V à ses bornes.
Le dipôle est qualifié de linéaire si sa caractéristique statique est une droite.
Le dipôle est dit passif si sa caractéristique passe par l’origine.
une résistance est un dipôle linéaire passif. Elle suit la loi d’Ohm :
V = RI
où R est la résistance en Ohm ou I = GV
I
I
P >0
0
P >0
V
tes
1/R
P <0
No
P <0
où G est la conductance en Siemens
pro
Exemple :
Fig. 1.2 – Caractéristique
d’une résistance R : une résistance est un dipôle linéaire passif. V = RI ou
I = GV où G est la conductance.
R=0
0
I
V
Fig. 1.3 – Caractéristique
d’un court-circuit :
V = 0 ∀I ⇐⇒ R = 0
1
R=∞
0
V
Fig. 1.4 – Caractéristique
d’un circuit ouvert :
I = 0 ∀V
⇐⇒ G = 0
Université Paris vi
1.1.2
2009–2010
Sources continues
La convention générateur est employée pour ces dipôles actifs : I et V dans le même sens dans le dipôle.
Sources parfaites
Source de tension idéale
I
+
A
V
E
Source de courant idéale
I
Fig. 1.5 – Source de tension idéale : impose la
tension V = E ∀I
A
+
Fig. 1.6 – Source de courant idéale : impose le
courant I = I0 ∀V
V
2 02
1.1.2.1
I0
B
B
I
générateur
LE
I
repos
repos
récepteur
V
E
générateur
V
res
récepteur
I0
Fig. 1.8 – Caractéristique d’une source de courant
idéale
viso
i
Fig. 1.7 – Caractéristique d’une source de tension
idéale
La puissance fournie est positive dans le premier quadrant seulement. Elle s’annule lorsque :
I = 0 pour la source de tension, donc quand elle
est en circuit ouvert.
V = 0 pour la source de courant, donc quand elle
est en court-circuit.
r
+
E
I
A
V
tes
Sources réelles
I
+
I0
No
1.1.2.2
pro
Extinction : éteindre une source idéale indépendante, c’est annuler le paramètre qu’elle impose.
Éteindre une source de tension idéale, c’est la
Éteindre une source de courant idéale, c’est la
transformer en court-circuit.
transformer en circuit ouvert.
V
B
B
Fig. 1.9 – Source de tension réelle : tend à imposer
la tension V = E − rI ; devient idéale si r → 0.
2
R
A
Fig. 1.10 – Source de courant réelle : tend à imposer le courant I = I0 − V /R ; devient idéale si
R → ∞.
LE202
c J. Lefrère
2009–2010
Université Paris vi
I
court-circuit
I
E/r
réelle
court-circuit
idéale
I0
0
E
circuit ouvert
V
−1/R
0
Fig. 1.11 – Caractéristique d’une source de tension
réelle
1.1.3
réelle
RI0
circuit ouvert
Fig. 1.12 – Caractéristique d’une source de courant réelle
Lois de Kirchhoff
LE
1.1.3.1 Loi des nœuds
La somme algébrique des courants arrivant sur un nœud est nulle.
X
Ik = 0
k
I5
res
1.1.3.2 Loi des mailles
La somme algébrique des différences de potentiel orientées dans une
maille est nulle :
X
Vk = 0
pro
I2
I4
Fig. 1.13 – Loi des
nœuds
I1
viso
i
Fig. 1.14 – Application de la loi des nœuds
Sans calculer les courants dans les branches en parallèle, on
peut affirmer que :
I1 = I2
I1
I3
N.-B. : la masse est un nœud électrique particulier qui n’est pas représenté explicitement comme un nœud du graphe.
k
V
2 02
−1/r
idéale
I2
V1
V4
V2
tes
Fig. 1.15 – Loi des mailles : V1 + V2 + V3 + V4 = 0
V3
V2
N.-B. : la maille peut se refermer via la
masse du circuit.
No
Fig. 1.16 – Loi des mailles avec la masse :
V1 = V2 + V3
c J. Lefrère
Ve
+
V1
LE202
V3
3
Université Paris vi
1.1.4
2009–2010
Impédance équivalente et diviseurs
1.1.4.1 Association série – diviseur de tension
Le courant I est commun aux dipôles en série ⇒ l’éliminer dans l’expression des tensions.
V2
V1 + V2
V
V1
=
=
=I=
R1
R2
R1 + R2
Réquiv.
On en déduit
Réquiv. = R1 + R2
V
V1
R1
=
V
R1 + R2
et
V2
R1
V1
I
2 02
Fig. 1.17 – Diviseur de tension
R2
N.-B.1 : Si R1 ≫ R2 , Réquiv. ≈ R1 : en série, c’est la plus grande résistance qui l’emporte.
N.-B.2 : si une des résistances devient un circuit ouvert, la résistance équivalente tend vers l’infini.
Dans le cas de n résistances en série,
X
Ri
Réquiv. =
Rk et Vi = P
V
k Rk
k
1.1.4.2
Association parallèle – diviseur de courant
LE
Généralisation :
I
et I = I1 + I2 = Y1 V + Y2 V = (Y1 + Y2 )V
On en déduit
Yéquiv. = Y1 + Y2
et
I1
Y1
=
I
Y1 + Y2
viso
i
R1 I1 = V = R2 I2 =
res
La tension V est commune aux dipôles en parallèle ⇒ l’éliminer dans l’expression
des courants.
I1
I2
V
R1
R2
Dans le cas de deux branches en parallèle, on peut écrire le diviseur de courant en
termes de résistances :
R2
I1
=
I
R1 + R2
pro
en plaçant au numérateur la resistance de la branche opposée à celle dont on calcule
le courant.
Réquiv. =
Fig. 1.18 – Diviseur de
courant
R1 R2
R1 + R2
N.-B.1 : Si R1 ≫ R2 , Réquiv. ≈ R2 : en parallèle, c’est la plus petite résistance qui l’emporte.
Généralisation :
tes
N.-B.2 : si une des résistances devient un court-circuit, la résistance équivalente tend vers zéro.
Dans le cas de n résistances en parallèle,
X
Yi
Yéquiv. =
I
Yk et Ii = P
k Yk
k
1 Par
No
L’expression du diviseur de courant en termes de résistances devient rapidement très complexe1 quand le nombre
de branches est supérieur à deux.
exemple pour trois branches,
R2 R3
I1
=
I
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
I1 s’annule dès que l’une des résistances (R2 ou R3 ) des autres branches s’annule.
4
LE202
c J. Lefrère
2009–2010
1.2
Université Paris vi
Représentation des dipôles linéaires : théorèmes de Thévenin et
de Norton
Le comportement d’un dipôle linéaire peut être représenté, vis à vis de l’extérieur, par un schéma
équivalent à deux éléments :
– série : schéma de Thévenin ;
– parallèle : schéma de Norton.
I A
circuit
linéaire
V
2 02
B
Fig. 1.19 – Dipôle linéaire : noter la convention générateur pour le courant.
Parallèle : schéma de Norton
Série : schéma de Thévenin
+
ETh
I
A
LE
RTh
V
+
INorton
res
B
Fig. 1.20 – Série : schéma
de Thévenin
I
YNorton
A
V
B
Fig. 1.21 – Parallèle :
schéma de Norton
viso
i
Équation linéaire associée
V = ETh − RTh I
I = INorton − YNorton V
Équivalence entre les deux schémas
ETh = RTh INorton
et RTh YNorton = 1
pro
I
No
tes
court-circuit
INorton
0
−YNorton = −1/RTh
circuit ouvert
V
ETh
Fig. 1.22 – Caractéristique
statique du dipôle
N.-B. 1 : Les sources idéales n’admettent qu’une représentation :
– source de tension : RTh = 0 ⇒ YNorton = ∞ Droite verticale. Thévenin seulement.
c J. Lefrère
LE202
5
Université Paris vi
2009–2010
– source de courant : YNorton = 0 ⇒ RTh = ∞ Droite horizontale. Norton seulement.
N.-B. 2 : Si ETh et INorton sont positifs, les dipôles fonctionnent en générateur pour les points du premier
quadrant (0 6 V 6 ETh ou 0 6 I 6 INorton ) et en récepteur dans les quadrants II et IV.
1.2.1
Détermination des éléments des schémas équivalents de Thévenin et Norton
1.2.1.1
Essai à vide
1.2.1.2
I =0
dipôle
I = INorton
A
A
charge nulle
V = ETh
B
I = 0 ⇒ V = ETh
V =0
B
V = 0 ⇒ I = INorton
Fig. 1.24 – Essai en
court-circuit
Extinction des sources indépendantes
I′
dipôle passivé
A
générateur
V
Ei = 0
Ik = 0
res
En éteignant toutes les sources indépendantes présentes dans
le circuit, on le rend passif. En changeant la convention de courant, maintenant orienté entrant dans le dipôle, on peut évaluer
sa résistance comme si on la mesurait (en continu) avec un ohmmètre (qui comporte bien un générateur).
V
RTh =
I ′ sources indépendantes éteintes
LE
Fig. 1.23 – Essai à vide
1.2.1.3
dipôle
2 02
charge infinie
Essai en court-circuit
auxilliaire
B
viso
i
Fig. 1.25 – Extinction des sources indépendantes
Conclusion : Les schémas équivalents ne comportent que 2 paramètres libres alors qu’une infinité d’essais
est envisageable en choisissant différentes valeurs pour la charge (dont les éléments du schéma équivalent ne
dépendent pas). Traditionnellement, on choisit les essais simplifiant les calculs, donc avec une charge infinie
ou nulle2 , sachant que l’on peut déterminer directement impédance de Thévenin ou admittance de Norton par
l’extinction des sources indépendantes. Selon les circuits, on peut choisir parmi les trois essais ci-dessus, les deux
qui présentent les calculs les plus simples. Le troisième essai permet alors une vérification.
Exemple 1
pro
1.2.1.4
– à vide : I = 0 donc I0 circule dans R
I
V = RI0 = ETh
– en court-circuit : V = 0
I0
+
R
tes
diviseur de courant INorton
R
= I0
R+ρ
A
ρ
V
– extinction de la source de courant I0 : ⇒ circuit ouvert
B
RTh = R + ρ
Fig. 1.26 – Théorème de Thévenin :
exemple 1
No
Vérification :
ETh
INorton
=R+ρ
2 Expérimentalement, on ne réalisera jamais un circuit ouvert parfait à cause de la résistance du voltmètre mesurant la tension
à vide, ni un vrai court-circuit parfait à cause de la résistance de l’ampèremètre mesurant le courant de court-circuit.
6
LE202
c J. Lefrère
2009–2010
1.2.1.5
Université Paris vi
Exemple 2
R
r
E
I
A
+
Fig. 1.27 – Schéma de Thévenin vu par ρ
V
+
I0
ρ
B
R
r
I0
I =0
I =0
ETh = E + RI0
+
ETh
+
I0
LE
E
en court-circuit
R
r
IN. − I0
IN.
res
E = rINorton + R(INorton − I0 )
+
⇒
+
I0
extinction des sources indépendantes
R
I′
I′
I′
V
RTh = R + r
Vérification :
ETh
=R+r
INorton
B
Cas particuliers
tes
1.2.1.6
I ′ 6= I
E0
c J. Lefrère
I
+
I
ETh = E0
+
R
No
Quand on prend le schéma équivalent de Thévenin d’une source de tension idéale E0 en parallèle
avec une résistance R, on fait « disparaître » la
résistance ! En effet, la source de tension impose la
tension à ses bornes, quelle que soit l’impédance
placée en parallèle. Du point de vue de l’extérieur,
tout se passe comme si la résistance disparaissait.
Mais ne pas croire qu’elle n’influe pas sur la source
initiale E0 , qui doit fournir le courant que la résistance consomme.
E + RI0
R+r
E ⇒ court circuit
I0 ⇒ circuit ouvert
A
pro
r
INorton =
INorton
viso
i
E
2 02
à vide
Fig. 1.28 – Schéma de Thévenin particulier
LE202
7
Université Paris vi
2009–2010
Quand on prend le schéma équivalent de
Norton d’une source de courant idéale I0
en série avec une résistance R, on fait « disparaître » la résistance ! En effet, la source
de courant impose le courant à ses bornes,
quelle que soit l’impédance placée en série. Du point de vue de l’extérieur, tout se
passe comme si la résistance disparaissait.
Mais ne pas croire qu’elle n’influe pas sur
la source initiale I0 , qui doit fournir la tension aux bornes de la résistance.
1.3.1
R
+
INorton = I0
+
Fig. 1.29 – Schéma de Norton particulier
Circuits linéaires en régime sinusoïdal permanent – Amplitude
et impédances complexes
2 02
1.3
I0
Amplitude complexe
LE
v(t) = V cos(ωt + ϕ) = ℜ V ej(ωt+ϕ) = ℜ V ejϕ ejωt
v(t) = ℜ V ejωt
e
V = V ejϕ est l’amplitude complexe de la la tension sinuoïdale v(t). Les courants peuvent être représentés de la
e
même
façon en régime sinusoïdal permanent.
Intégration et dérivation
res
1.3.2
viso
i
La dérivation d’une fonction sinusoïdale du temps se traduit par une multiplication par jω dans le domaine
des amplitudes complexes.
v(t) = ℜ V ejωt = V cos (ωt + ϕ)
e
dv
= −V ω sin (ωt + ϕ) = V ω cos (ωt + ϕ + π/2) = ℜ V ωej(ωt+ϕ+π/2) = ℜ jV ωej(ωt+ϕ) = ℜ jωV ejωt
dt
e
d
⇐⇒ ×jω
dt
pro
De même, l’intégration d’une fonction sinusoïdale du temps se traduit par une division par jω dans le domaine
des amplitudes complexes.
Z t
1
dt′ ⇐⇒ ×
jω
0
N.B. : la puissance instantannée comporte une composante continue et une partie sinusoïdale, mais à la
pulsation 2ω ; elle ne peut donc pas être représentée par une amplitude complexe.
Loi d’Ohm–impédance et admittance complexes
tes
1.3.3
1.3.3.1
No
impédance complexe
Résistances parfaites
V
Z= e
I
e
admittance complexe
I
Y = e
V
e
Aux bornes d’une résistance pure, courant et tensions sont en phase. La loi temporelle v(t) = Ri(t) (avec
R > 0) ou i(t) = Gv(t) (où G = 1/R > 0 est la conductance) se traduit en amplitudes complexes par V = RI
e
e
ou I = GV . L’impédance complexe d’une résistance pure est donc réelle ZR = R ainsi que son admittance
e
e
YR = G = 1/R.
8
LE202
c J. Lefrère
2009–2010
1.3.3.2
Université Paris vi
Self-inductances parfaites
di
, donc VL = jLωIL . L’impédance complexe d’une
dt
f
f
self-inductance parfaite est imaginaire pure : ZL = jLω et YL = 1/jLω.
Une self se comporte comme un vrai court-circuit en continu, et tend vers un circuit ouvert à très haute
fréquence.
Aux bornes d’une self-inductance parfaite, v(t) = L
1.3.3.3
Condensateurs parfaits
dv
, donc IC = jCωVC . L’impédance complexe
dt
f
f
d’un condensateur parfait est imaginaire pure : ZC = 1/jCω et YC = jCω.
Une capacité se comporte comme un vrai circuit ouvert en continu, et tend vers un court-circuit à très haute
fréquence : une capacité de liaison placée en série entre deux parties de circuit permet de laisser passer le courant
alternatif mais pas le continu.
1.3.3.4
2 02
Aux bornes d’un condensateur parfait de capacité C, i(t) = C
Associations d’impédances complexes
LE
Les lois d’association des résistances se généralisent aux impédances complexes de même que les notions de
diviseurs de tension et de courant :
P
– en association série, les impédances s’ajoutent : Z = k ZP
k
– en association parallèle, les admittances s’ajoutent : Y = k Yk
En particulier, la capacité équivalente à plusieurs condensateurs en parallèle est la somme de leurs capacités.
1.3.3.5.1
Exemples d’application
Diviseur de tension
e(t) = E cos ωt
C
viso
i
1.3.3.5
res
N.-B. : Ne pas oublier que l’impédance complexe dépend de la fréquence et donc que si le circuit comporte
plusieurs générateurs de fréquences différentes, il faut traiter séparément ces fréquences et utiliser (si le circuit
est linéaire) le théorème de superposition (cf. 1.4.2) pour calculer les courants et tensions composites.
V
jRCω
R
=
e =
1
E
1 + jRCω
R+
e
jCω
e(t)
v(t)
+
R
1.3.3.5.2
pro
Fig. 1.30 – Diviseur de tension sinusoïdal
Circuits résonnants
Circuit résonnant série
C
R
L
1
Z = R + j Lω −
Cω
R
tes
L
No
C
Circuit résonnant parallèle
|Z| minimale si LCω 2 = 1.
c J. Lefrère
Y =
1
1
+ jCω +
R
jLω
|Y | minimale (circuit bouchon) si LCω 2 = 1.
LE202
9
Université Paris vi
1.4.1
Autres théorèmes
Théorème de Millmann
Association de n dipôles linéaires en parallèle représentés chacun par :
– leur schéma équivalent de Thévenin (ek , Zk ) pour les
branches actives ;
– leur impédance équivalente Zk pour les branches passives ;
Orienter tous les courants et toutes les sources de tension dans
le même sens et écrire la loi des nœuds.
X
Ik = 0 où VAB = Ek − Zk Ik
A
VAB
Z2
Z1
I1
+
E1
k
Ik = Yk (Ek − VAB )
B
Fig. 1.31 – Théorème de Millmann
P Ek
P
k
Y
E
k
k
Z
k
= P k
= P
1
Y
k k
k
Zk
S’il existe des branches passives, le numérateur comporte moins de termes que le dénominateur.
viso
i
N.-B. 1 :
Ik
+
Ek
res
VAB
I2
+
LE
donc
E2
Zk
2 02
1.4
2009–2010
N.-B. 2 : L’utilisation des impédances complexes repose sur l’hypothèse que toutes les sources sont à la même
fréquence dès lors que l’une des impédances n’est pas réelle : dans le cas contraire, il faut faire appel au théorème
de superposition (cf. 1.4.2).
1.4.2
V
C
R
e1
+
ρ
e2
+
tes
pro
Fig. 1.32 – Exemple
de Millmann avec
d’application
du théorème
jωt
jωt
e1 (t) = ℜ E1 e
e2 (t) = ℜ E2 e
f
f
E1
+ jCωE2
V = R
1
1
+ + jCω
R ρ
Théorème de superposition
No
Dès que l’on travaille avec des sources à plusieurs fréquences et en particulier avec du continu et une source
sinusoïdale, pour lesquels les éléments passifs non résistifs ne présentent pas la même impédance complexe, on
ne peut pas traiter globalement les différentes fréquences.
Si le circuit est linéaire, on peut calculer les contributions de chacune des sources en éteignant toutes les
autres, puis faire la somme de leurs contributions : c’est le théorème de superposition. Ce théorème est bien
entendu applicable aux circuits linéaires comportant plusieurs sources de même fréquence.
10
LE202
c J. Lefrère
2009–2010
1.4.2.1
Université Paris vi
Exemple
Z1
Fig. 1.33 – Utilisation du théorème de superposition
e1 (t) = ℜ E1 ejω1 t
f
e2 (t) = ℜ E2 ejω2 t
f
Avec des sources à des fréquences différentes (sinon, on peut utiliser Millmann), on recherche la tension V aux bornes de Z.
Z2
V
+
e1
e2
Z
2 02
Z1
Fig. 1.34 – Contribution de e1
e1
e2 est remplacée par un court-circuit.
LE
Z//Z2
V1 = E1
f f Z1 + Z//Z2
Fig. 1.35 – Contribution de e2
res
e1 est remplacée par un court-circuit.
Application du théorème de superposition
Z2
V1
+
Z
Z1
Z2
V2
e2
+
Z
viso
i
Z//Z1
V2 = E2
Z
+ Z//Z1
2
f f
+
V = V1 + V2
e f f
1.5.1
Sources commandées
Définition – usage
pro
1.5
tes
Pour représenter des dispositifs électroniques actifs au niveau des composants (transistors, amplificateurs
opérationnels, ...) ou des systèmes (étage amplificateur par exemple), dans lesquels une tension ou un courant
dépend uniquement d’un autre paramètre (courant ou tension) du circuit, on introduit la notion de source
dépendante, liée ou commandée par ce paramètre.
1.5.2
No
N.-B. : On n’étudiera ici que les dépendances linéaires.
Les quatre types de sources commandées
Suivant la nature (courant ou tension) de la source et du paramètre de commande, on distingue quatre types
de sources commandées caractérisées par une constante de type résistance, conductance, gain en tension ou en
courant.
c J. Lefrère
LE202
11
Université Paris vi
2009–2010
Paramètre de
commande
Source de tension v
+
tension u
v = ku
SVCV
k gain en tension
1.5.3
+
j = gu
SICV
g conductance
v = ρi
+
j = ki
2 02
+
courant i
Source de courant j
SVCI
ρ résistance
SICI
k gain en courant
Méthodes d’étude des circuits avec sources commandées
N.-B. 1 :
res
LE
Principe Le paramètre de commande de la source commandée prend diverses valeurs suivant les essais auxquels on soummet le circuit : il faut alors éliminer ce paramètre (qui est une variable muette) pour exprimer
le résulatat final en fonction des sources indépendantes et des dipôles passifs. En particulier, dans l’application
des théorèmes de Thévenin ou Norton, il est prudent de modifier la notation indiquant la valeur du paramètre
de commande à chaque essai.
La méthode de calcul de RTh en rendant passif le circuit est applicable à condition de n’éteindre que les
sources indépendantes (et de calculer les sources commandées).
Une source commandée linéairement ne s’éteint que quand son paramètre de commande s’annule.
viso
i
N.-B. 2 : Dans les transformations de schéma, ne pas modifier (ou laisser disparaître) la définition d’un
paramètre de commande d’une source liée.
1.5.4
Circuits à sources commandées équivalents à une impédance
1.5.4.1
Impédance simple : deux formes
i
+
i
v = ρi
v
i
r
+
12
i = gv
v
i
v
1/g
+
Multiplicateur d’impédance à SVCV
w
u
v = ku
No
1.5.4.2
tes
ρ
pro
Une source de tension commandée par le courant qui la traverse ou une source de courant commandée par
la tension à ses bornes est équivalente à une résistance... qui peut être négative suivant l’orientation des courant
et tension.
w = u + ku
w
puis éliminer u avec :
i
u = ri
(1 + k)r
w = (1 + k)ri
d’où une résistance apparente de (1 + k)r.
LE202
c J. Lefrère
2009–2010
1.5.4.3
Université Paris vi
Diviseur d’impédance à SICI
i
i = j + kj
j
i
kj
v
r
v = rj
r
1+k
éliminer j
v
i = (1 + k)v/r
d’où une résistance apparente de
Exemples de circuits actifs à sources commandées
1.5.5.1
Exemple élémentaire à SICV
2 02
1.5.5
v
Essai à vide
e
+
A
eTh
i1 = gv1
+
A
vAB = 0
i2 = gv2
pro
B
viso
i
e
iN
i = gv
B
i′1 = i1 = gv1 = 0
⇒
v1 = 0
Ce qui élimine v1 , donc :
B
Essai en court-circuit
v2
A
+
res
i′1 = 0
v1
e
LE
On cherche à déterminer les schémas de Thévenin et de
Norton entre les bornes A et B du circuit ci-contre qui
comporte une source indépendante e et une source de
courant commandée en tension i = gv.
r
.
1+k
eTh = e − v1
et
eTh = e
iN = i2 = gv2
Éliminer v2 :
v2 = e
donc
iN = ge
Extinction des sources indépendantes
i′
v3
A
vAB
vAB = −v3
Donc
tes
i3 = gv3
La seule source indépendante est la source de
tension e ; elle s’éteint en court-circuit. Alors,
B
1/g
e
+
A
ge
+
1/g
B
B
c J. Lefrère
VAB
−V3
1
=
=
′
I
−gV3
g
A
No
Conclusion
ZTh =
LE202
13
Université Paris vi
1.5.5.2
2009–2010
Exemple de circuit à SVCV
+
v = ku
On cherche à déterminer les schémas de Thévenin et de
Norton entre les bornes A et B du circuit ci-contre qui
comporte une source de courant indépendante i0 et une
source de tension commandée en tension v = ku.
A
+
i0
u
ρ
r
B
i0
i′ = 0
+
v1 = ku1
eTh = u1 + ku1
A
+
u1
ρ
r
eTh
eTh
B
reste à éliminer u1 :
1 1+k
eTh
u1
+
= u1
+
i0 =
ρ
r
ρ
r
r
= (1 + k) ρ//
i0 donc eTh = [(1 + k)ρ//r] i0
1+k
2 02
Essai à vide
Essai en court-circuit
+
v2 = ku2
u2 = −v2
+
u2
ρ
LE
i0
iNorton = i0 − u2 /ρ reste à éliminer u2 :
A
⇒ u2 = v2 = 0
iNorton
r
donc RTh =
B
Extinction des sources indépendantes
u3
iNorton
La seule source indépendante est la source
de courant i0 ; elle s’éteint en circuit ouvert.
Alors,
w′ = u + ku
A
w′
r
donc iNorton = i0
eTh
= r//(1 + k)ρ
res
ρ
i′
Donc
B
viso
i
+
v3 = ku3
i′′
u2 (1 + k) = 0
⇒
RTh =
W′
W′
=
r/
/
= r//(1 + k)ρ
I′
I′
Remarque : ne pas éteindre la source dépendante v = ku, ce qui donnerait RTh = r//ρ.
Conclusion
+
[(1 + k)ρ//r] i0
Schéma équivalent de Norton
A
i0
+
(1 + k)ρ//r
B
No
tes
B
pro
Schéma équivalent de Thévenin
(1 + k)ρ//r
A
14
LE202
c J. Lefrère