TP. Circuits magnétiques

Université Joseph Fourier Grenoble 1 : Master Pro Ingéniérie des Systèmes Magnétiques
TP. Circuits magnétiques
On va retrouver quelques propriétés essentielles des circuits magnétiques. On terminera par l’application des
concepts sur un cas concret : le dimensionnement d’une inductance de lissage.
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Présentation théorique
On se propose d’illustrer l’analogie entre le comportement d’un circuit électrique et le comportement d’un
circuit magnétique. Le circuit électrique est constitué d’un générateur de force électromotrice ug et de
différentes résistances Ri . Le circuit magnétique est constitué d’un bobinage de n spires parcouru par un
courant i et de différents éléments magnétiques souvent réalisés à base de fer (cf figure). On supposera dans
la suite que les éléments magnétiques sont à section constante Si et caractérisés par une longueur li.
On montre que tout comme
élément 2
Rm2
φ
l’application d’une force
électromotrice Ug entraîne la
élément 1
élément 3
Ig
circulation d’un courant
Rm1
électrique I dans un circuit
Rm3
n spires
S3
électrique, la circulation
d’un courant Ig dans la nIg
φ
bobine génère une force
magnétomotrice
nIg qui
Rm4
élément 4
entraîne la circulation d’un
Représentation équivalente
Circuit magnétique
flux magnétique φ à travers
Figure 1 : principe de l’analogie magnétique-électrique
le circuit magnétique.
Le flux est canalisé dans les éléments magnétiques tout comme le courant i est canalisé dans les fils et
résistances. On peut définir dans chaque élément un champ H (analogue à E) appelé champ d’excitation
magnétique. H est relié à la densité de flux B -encore appelé induction magnétique- par la relation
Bi = φ / Si = µi Hi
(1)
µi = conductivité magnétique de l’élément i, encore appelée perméabilité, analogue à la conductivité
électrique σi définie par ji = I / Si = σi Ei où ji désigne la densité de courant dans l’élément i. On exprime
souvent la perméabilité sous la forme µi = µ0 µri où µ0 représente la perméabilité du vide égale à 4π 10-7
u.s.i. et µri la perméabilité relative de l’élément i. C’est une caractéristique du matériau; d’autant plus grande
que le matériau est bon conducteur du champ d’induction magnétique.
Chaque élément est caractérisé par sa reluctance Rmi, grandeur analogue à la résistance dans les circuits
électrique et donnée dans le cas de lignes de flux s’écoulant parallèlement dans l’élément par :
Rmi = li / (µi Si)
(2)
On peut rapprocher cette expression de la formulation de la résistance d’un fil électrique de section Si;
longueur li réalisé dans un matériau de conductivité électrique σi : Ri = li / (σi Si).
Remarque : La reluctance d’un élément constitué par de l’air s’écrira Rm = l / (µ0 S) et prendra donc une
valeur finie de sorte que le flux magnétique arrive à circuler à travers cet élément. L’air apparaît donc
simplement comme un mauvais conducteur du flux magnétique. C’est là une différence importante avec les
circuits électriques pour lesquels l’air a une résistivité pratiquement infinie.
Avec (1) et (2) on obtient Rmi φ = Hi li = différence de potentiel magnétique appliquée à l’élément i (3)
Enfin, par le jeu des reluctances équivalentes, on peut toujours se ramener à une juxtaposition d’éléments
magnétiques en série. La force magnétomotrice totale appliquée par la bobine au circuit s’écrira donc en
sommant les ddp sur tous les éléments de la maille :
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n Ig = ∑ Hi li
(4)
On retrouve ici le fameux théorème d’Ampère.
On retiendra de manière synthétique :
circuit
électrique
circuit
magnétique
densité de
courant j
champ
d’induction B
champ
électrique E
champ
d’excitation H
2
conductivité
σ
perméabilité
µ
courant
électrique i
flux
d’induction φ
fem u
résistance R
fmm
ni
reluctance
Rm
Partie pratique
Le circuit magnétique étudié est représenté ci-dessous. On dispose de deux bobines excitatrices (123 et 590
ou 855 spires suivant la maquette). On dispose de trois bobinages de mesures disposés sur le noyau (30 ou
10 spires suivant la maquettes) et sur les jambes de retour (13 spires). Une sonde à effet Hall permet; pour les
manips avec entrefer; de mesurer le champ dans l’air.
Dans tout le TP; on choisira d’alimenter la maquette à l’aide d’un courant de fréquence égale à 30 Hz.
On prendra garde de toujours disposer le shunt de manière à ce qu’il présente un point à la masse.
n3
bobine de mesure
φ3 ←
i
Rc
bobine excitatrice
n1
A
entrefer
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Résistance de charge
Ampli de puissance
n2
Rsh
e2
φ2 ←
sonde à effet Hall et
coffret amplificateur
Figure 2 :
description de
la maquette
A’
e
a
Entrefer nul
Pour ces manips on prendra la précaution de maintenir les
différents éléments du circuit magnétique à l’aide d’un serrejoints. On choisira d’alimenter le bobinage de 123 spires.
211
A
G
prise d’information
Rc
générateur bf
Rsh shunt
→ φ1
noyau ferromagnétique
G
φ3 ←
c
d
Conservation du flux
On va vérifier le principe de la conservation du flux.
Pour mesurer le flux φi qui circule dans un élément
ferromagnétique on dispose autour de cet élément un bobinage
de mesure composé de ni spires et on enregistre la tension
délivrée reliée au flux par la relation de Faraday
ei = - ni dφi / dt
(5)
En fait, on se contentera de vérifier la conservation au niveau
des grandeurs dérivées.
2
→ φ1
φ2 ←
fig. 3 : flux de fuite entre le bras central et
les bras latéraux (entrefer nul)
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On choisira d’alimenter le bobinage de 123 spires pour des courants d’amplitude max. inférieures à 0,5 A et
on tracera les courbes dφ1/dt tmax = f(Imax) et d(φ2+φ3) / dt max = g(Imax).
Le déficit constaté sur φ2 + φ3 par rapport à φ1 correspond au flux magnétique qui ne se reboucle pas par les
bras du circuit. Il s’agit d’un flux de « fuites » dont la figure 3 donne une représentation. On donnera son
importance relative.
On vérifiera ensuite pour un courant donné que la conservation du flux est vérifiée de manière instantanée en
comparant les courbes dφ1 / dt et d(φ2 + φ3) / dt, les signaux étant enregistrés à l’aide du logiciel wavestar
avant d’être rapatriés sur ordinateurs puis dépouillés à l’aide des logiciel Kaléidagraph ou Origine.
Enfin, on procédera à l’enregistrement des signaux dans un cas ou le circuit magnétique est clairement saturé
et on analysera la forme des signaux obtenus.
212
Etude de l’hystérésis
On va tracer le cycle d’Hystérésis du matériau, à savoir la courbe B(H) dont la pente nous donne la
perméabilité en accord avec la relation (1). Pour cela, on sera amené à réaliser une intégration numérique du
signal ei = - ni dφi / dt à l’aide du logiciel Origine. A l’aide des dimensions indiquées, on remontera facilement à
a’
l’induction B(t).
a’ = 68 mm b = 30 mm c = 10 mm d = 38 mm
d
φ3 ←
Reste à déterminer H :
En vous aidant de la conservation du flux (on négligera les
fuites), montrez que l’induction B est la même en tout point du b
parcours pointillé. Compte tenu du fait que on reste toujours
dans le même matériau, il en va donc de même pour H. En
utilisant le théorème d’Ampère sur ce contour, montrez que
l’on a alors la relation :
n i = 2 H (a’ + b)
c
→ φ1
(6)
A partir des enregistrements ush(t) et e1(t), on déduira la
courbe B(H). On travaillera de préférence dans un cas saturé et
on déduira de la courbe la perméabilité relative du fer.
213
φ2 ←
Détermination de µr par la réluctance
Figure 4
φ1
Le schéma ci-contre représente la situation de la figure 4.
Montrez que la réluctance totale du circuit s’écrit finalement
a’+b
Rm =
µ0 µrf cd
(7)
Montrer par ailleurs que l’inductance L d’un bobinage de n
spires associé à un circuit magnétique de reluctance Rm s’écrit :
L = n2 / Rm
φ3
φ2
Rm1
Rm2
Rm3
nig
(8)
On vérifiera expérimentalement que la valeur de l’inductance est conforme au calcul.
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Entrefer non nul
On travaillera dans cette partie avec la bobine de 590 (ou 855) spires.
Pour mesurer le flux qui circule dans l’entrefer; on ne dispose pas de la place nécéssaire à la mise en place
d’une bobine de mesure. On utilise donc une sonde à effet Hall. Le coffret délivre sur la face arrière un signal
proportionnel au champ d’induction B. Un champ de 1T correspond à 1V.
2 2 1 Caractérisation des fuites
Comme on l’a vu plus haut, on qualifie de flux de fuite un flux qui ne traverse pas la région supposée. On va
ici pousser l’analyse des fuites et analyser plus précisément la situation en présence d’un entrefer variable
qui donne lieu à d’autres fuites qu’on se propose de quantifier.
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On appelle souvent « flux utile » le flux canalisé dans la région dont l’extension latérale coïncide avec la
surface des éléments ferromagnétiques en vis-à-vis. On donnera une estimation de l’amplitude du flux φu
canalisé par cette région et on comparera au flux φ2 obtenu dans la même branche à l’aide du bobinage. Le
déficit correspond à la portion de flux qui n’est pas confinée dans cette région et qui transite en débordant de
l’entrefer comme indiqué sur la figure ci-dessous. Elle constitue elle aussi un flux de fuite et sera notée φσ.
On mettra en évidence son existence à l’aide de la sonde à effet Hall.
La détermination analytique de ces fuites est un exercice délicat. On comparera pour différentes valeurs
d’entrefer et un courant de 1 A sur le bobinage de 590 spires la mesure à l’expression approchée :
pe
φσ / φu = 1,7 S
a
a+e
a = 27 mm
c = 10 mm
d = 38 mm
222
Détermination de la réluctance
Rmiu
1 + φσ/φu
→ φ1
φ2 ←
Fig. 6
(10)
φ1
On établira à l’aide de (10) l’expression de Rm1 et Rm2 = Rm3 en
fonction des grandeurs a, c, d. On passera alors à l’application
numérique en exprimant toutes les longueurs en mm et on vérifiera
l’expression de la reluctance totale
1
1
Rm = Rm1 + Rm2 / 2 ≈ 7,35 106 e ( 27 + 8e + 27 + 12,6e )
φ3
φ2
Rm1
Rm2
(11)
( e en mm )
Etude d’une inductance de lissage
i
L
ug
On veut réaliser une inductance L destinée à lisser un courant ondulé:
On se propose d’illustrer la fonction de lissage en étudiant le courant
qui traverse une charge - représentée ici par une résistance Rc = 12 Ωdans la situation suivante :
Rm3
nig
Vérification expérimentale : on tracera la courbe Rm = n ig / φ1 pour 1
< e < 3 mm et on comparera à la courbe théorique.
223
d
φ3 ←
c
On va déterminer la réluctance du circuit de la figure 6. Les arcs de
cercle figurent les flux de fuite associés aux entrefers.
On considère dans un premier temps que la perméabilité du fer est
suffisamment grande pour que l’on puisse négliger la réluctance des
noyaux de fer devant celle des régions entrefer. Le circuit étudié se
représente alors sous la forme ci-dessous où Rm1, Rm2 et Rm3
représentent les réluctances associées aux différents entrefers.
En remarquant que chaque réluctance se présente comme la mise en
parallèle de deux reluctances Rmiσ (correspondant aux fuites) et Rmiu
(flux canalisé dans l’entrefer); on établira l’expression :
Rmi =
e
a
p = périmètre du bras = 2 (c+d) S = section du bras = cd
(9)
Rc
Figure 7 :
illustration de la fonction de lissage
La tension d’alimentation est de type continue avec une composante sinusoïdale « parasite » u = U0 + ∆U
cos2πft f = 30 Hz U0 = 12 V
Cette tension provoque la circulation d’un courant continu I0 superposé à une composante alternative parasite
d’amplitude ∆IL. On veut minimiser cette ondulation. Quelle valeur d’inductance faut-il pour obtenir ∆IL/∆I
= 12 %, ∆I désignant l’amplitude de l’ondulation en l’absence de L ?
Réalisation de l’inductance
A partir de la géométrie de la figure 2 on envisage différentes solutions techniques :
* Inductance à noyau de fer sans entrefer
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Etudiez les performances de la self obtenue avec le bobinage de 123 spires et le circuit sans entrefer sur une
onde alternative sur laquelle on a superposé un courant continu.
Conclure sur les limites de cette solution.
* Inductance à noyau de fer avec entrefer
On envisage maintenant de réaliser notre inductance en ménageant un entrefer de longueur e dans le circuit.
Comme on l’a vu, la présence de cet entrefer conduit à une forte augmentation de la réluctance du circuit ce
qui conduit à augmenter le nombre de spires du bobinage pour réaliser la valeur de L désirée.
Cette contrainte est largement compensée par le fait que cette augmentation de Rm conduit à une forte
diminution du flux qui circule sous l’action du courant continu I0 de sorte que le matériau magnétique
travaille à un niveau d’induction B0 en deça du coude de saturation, donc avec une perméabilité bien définie.
Reste à dimensionner l’inductance, c’est-à-dire à choisir les valeurs de n et e les mieux adaptées pour obtenir
la valeur de L recherchée. N étant fixé (590 spires), c’est donc e qu’on fera varier pour obtenir la self désirée.
Le réglage se fera de manière expérimentale sur une onde de tension alternative.
Etudiez les performances de la self obtenue sur une onde alternative sur laquelle on a superposé un courant
continu.
Conclure sur l’intérêt de cette solution.
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