Oscillations libres dans un circuit RLC série

Terminale S
Physique – Partie C – Chapitre 8 : Oscillations libres dans un circuit RLC
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1. Décharge oscillante d’un condensateur dans une bobine
1.1. Étude expérimentale
On envisage le circuit RLC série schématisé ci-contre, constitué :
 d’un condensateur de capacité C initialement chargé sous une
tension E,
 d’une bobine de résistance r et d’inductance L
 et d’un rhéostat de résistance ajustable r’.
La résistance équivalente du montage est notée R = r + r’.
Comment évoluent les grandeurs électriques au cours du temps ?
1.2. Analyse des phénomènes physiques
Le condensateur stocke de l’énergie électrique. Lorsque l’interrupteur
K passe en position 2, il possède une tension E à ses bornes et l’énergie
électrique élec = 1
2.C.E2. Le circuit RL est donc soumis à une différence
de potentiel E : un courant électrique peut s’établir et les charges
portées par les armatures du condensateur peuvent circuler.
Rappel : La tension aux bornes du condensateur ne subit pas de discontinuité (étude du circuit RC).
L’intensité qui circule dans la bobine ne subit pas de discontinuité (étude du circuit RL).
En conséquence la tension uC(t) aux bornes du condensateur qui se décharge diminue depuis la valeur E : l’énergie
électrique stockée par le condensateur diminue.
L’intensité i du courant qui circule dans le circuit série augmente, en valeur absolue, depuis la valeur 0 : une partie
de l’énergie est dissipée, sous forme d’effet joule, dans la résistance équivalente R et une autre partie est
emmagasinée par la bobine sous forme d’énergie magnétique.
La bobine peut ensuite restituer son énergie magnétique, dont une partie sera dissipée par effet joule et une autre
partie stockée par le condensateur et ainsi de suite : le condensateur se charge et se décharge à intervalle de temps
régulier : on parle de décharge oscillante.
1.3. Formes de la tension aux bornes du condensateur
On observe, pour de faibles valeurs de la
résistance R, une tension oscillante amortie
(l’amortissement étant dû à l’énergie dissipée
par effet joule dans le conducteur ohmique) :
on parle de régime pseudopériodique.
Lorsque la résistance R augmente
l’amortissement est plus important.
Si la résistance R augmente encore, il existe
une valeur limite (La résistance est alors
appelée résistance critique) pour laquelle
l’amortissement est tellement important que les
oscillations ne sont plus possibles : on parle
alors de régime apériodique (non périodique).
Rem. : on peut montrer (la relation est hors
programme) que RC = 2 L
C
On appelle pseudopériode T, la durée
séparant deux passages consécutifs par la
valeur nulle de la tension uC(t), la tension
variant dans le même sens.
Chapitre 8 : Oscillations libres
dans un circuit RLC série
E
K
r’
(L,r)
C
1
2
R0
Circuit
RLC série
Circuit de
charge
i
T
T
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
t (ms)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
uC (V)
R faible : régime pseudopériodique
R plus élevée : régime pseudopériodique
R très élevé : régime apériodique

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2. Cas d’un amortissement négligeable : étude analytique
2.1. Tension aux bornes du condensateur dans un circuit LC
Lorsque la résistance équivalente R est négligeable et le condensateur initialement
chargé sous une tension E, quelle est l’évolution temporelle de la tension uC(t) aux
bornes du condensateur ?
2.1.1. Établissement de l’équation différentielle
D’après la loi des mailles : uC + uL = 0
Or uL = L.di
dt ; i = dq dt ; q = C.uC donc i = C.duC dt . Ainsi di dt = C.duC
dt.
Par conséquent : uC + LC.duC
dt = 0  duC
dt + 
LC.uC = 0 ou • •
uC + 1
LC.uC = 0
2.1.2. Résolution de l’équation différentielle
On peut montrer en mathématiques que la solution de cette équation
différentielle est de la forme : uC(t) = Um.cos(
T.t + )
Um représente l’amplitude des oscillations en volt (V) ;
 représente la période propre en seconde (s)
et  représente la phase en radian (rad) à l’origine des dates.
Montrons que la solution proposée est bien solution de l’équation
différentielle :
duC
dt = – Um.
T.sin T.t   et duC dt = – Um.( T)2.cos T.t  .
L’équation différentielle peut s’écrire : – Um.(
T)2.cos( T.t + ) + 
LC.Um.cos(
T.t + ) = 0
ou bien encore : ( 
LC – (
T)2).Um.cos( T.t + ) = 0
Cette dernière relation doit être vérifiée quelque soit Um et t donc 
LC – (
T)2 = 0 ainsi ( T)2 = 
LC  T0 = 2.LC.
T0 est appelée période propre des oscillations. L’expression de la période propre est : T0 = 2.LC
Si l’inductance L est exprimée en henry (H) et la capacité C en farad (F), la période propre T0 est en seconde (s) !
Analyse dimensionnelle : [T0] = [L]1/2.[C]1/2 = 
[U].[T]
[I]
1/2.
[I].[T]
[U]
1/2 = ([T]2)1/2 = T : dimension d’un temps !
Rem. : dans le cas d’un régime pseudopériodique (amortissement non nul) on peut assimiler la pseudopériode T à la
période propre T0 à condition que la résistance R soit très inférieure à la résistance critique RC : T T0
2.1.3. Utilisation des conditions initiales
Conditions initiales : à t = 0, uC(0) = E et donc i(0) = C.(duCt
dt )t = 0 = 0 donc duCt dt = 0 à t = 0 !
E = uC(0) = Um.cos() et 0 = – Um.
T.sin() donc sin() = 0 et cos() > 0 par conséquent  = 0.
Par conséquent la tension uC(t) peut s’écrire : uC(t) = E.cos(
T.t) avec T0 = 2.LC
Conséquence : la tension aux bornes du condensateur est une tension alternative sinusoïdale d’amplitude E et de
période : T0 : le régime est périodique !
2.2. Intensité du courant dans le circuit LC
i(t) = C.duC(t)
dt = – CE.2 T0.sin(2 T0.t) donc i(t) = 2 T0.CE.cos(2 T0.t +  2)
L’intensité du courant est donc déphasée de 
2 par rapport à la tension uC(t) et d’amplitude Im = 2 T0.CE
L’intensité i(t) du courant et la tension uC(t) aux bornes du condensateur sont en quadrature de phase (déphasé de 
2).
i
(L,r)
C
Circuit LC
uC
uL
i
Rappel mathématique :
d
dt
cos
T.t   = –  T.sin T.t  
en effet (cos(u))’ = – u’.sin(u)
d
dt
sin
T.t   =  T.cos T.t  
en effet (sin(u))’ = u’.cos(u)
sin  = – cos ( + 
2)

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élec : énergie stockée par le condensateur
magn : énergie emmagasinée par la bobine
totale : somme des énergies dans le condensateur et la bobine
0
t
Énergie (cas du régime pseudopériodique)
t1
t3
t4
Rem. : La perte d’énergie par effet joule est plus
importante lorsque le courant est grand (i(t)
maximale en valeur absolue) car PJ = R.i(t)2.
Ainsi la courbe bleue (l’énergie totale) décroit
fortement autour de t1, t3, etc.
t2
À t0, uC(t) = E et i(t) = 0.
Entre t0 et t1 : la tension uC(t) diminue : le condensateur se décharge ; l’intensité augmente en valeur absolue.
À t1 = T
, la tension aux bornes du condensateur est nulle (uC(t) = 0), l’intensité est maximale, en valeur absolue.
Entre t1 et t2 : la tension uC(t) augmente, en valeur
absolue : le condensateur se charge.
À t2 = T
, l’intensité du courant est nulle (i(t) =0),
la tension aux bornes du condensateur est, en
valeur absolue, maximale (uC(t) = – E).
Entre t2 et t3 : la tension uC(t) diminue : le
condensateur se décharge.
À t3 = .T
, la tension aux bornes du condensateur
est nulle (uC(t) = 0), l’intensité est maximale.
Entre t3 et t4 : la tension uC(t) augmente : le
condensateur se charge.
À t4 = T0, la tension aux bornes du condensateur
est maximale (uC(t) = E), l’intensité du courant
est nulle (i(t) = 0).
3. Étude des échanges d’énergies dans un circuit RLC
3.1. Amortissement négligeable : cas du circuit LC
Dans un circuit LC, l’énergie totale est égale à la
somme de l’énergie électrique stockée dans le
condensateur et de l’énergie magnétique
emmagasinée dans la bobine :
totale = élec + magn = 1
2.C.u2
C(t) + 1
2.L.i2(t).
L’énergie n’est pas dissipée (pas d’effet joule), et
donc l’énergie totale se conserve :
totale = cste = 1
2.C.E2 = 1 2.L.Im2 : échange d’énergie incessant entre la bobine et le condensateur.
3.2. Cas d’un amortissement
non négligeable
Dans un circuit RLC, l’énergie totale
du circuit est égale à la somme de
l’énergie électrique stockée dans le
condensateur et de l’énergie
magnétique emmagasinée dans la
bobine :
totale = élec + magn  1
2C.E2
L’énergie est progressivement
dissipée par effet joule dans la
résistance, donc l’énergie totale du
circuit RLC ne se conserve pas.
À t0 : élec est max et magn = 0
À t1 : élec = 0 et magn est max
À t2 : élec est max et magn = 0
À t3 : élec = 0 et magn est max
À t4 : élec est max et magn = 0
de t0 et t1 : élec ↓ et magn ↑
de t1 et t2 : élec ↑ et magn ↓
de t2 et t3 : élec ↓ et magn ↑
de t3 et t4 : élec ↑ et magn ↓
élec
magn
totale
0
t
Énergie
t1
t3
t4
t2
i (A)
t (s)
0
uC (V)
t1
t2
t3
t4
T0
T0

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4. Oscillations entretenues
Nous avons vu que lorsque la résistance équivalente R diminue, les oscillations sont de moins en moins amorties,
jusqu’à devenir sinusoïdales dans le cas d’une résistance nulle.
Est-il possible, expérimentalement, de parvenir à cette situation ?
La perte d’énergie par effet joule ne peut pas être annulée, en effet tout circuit électrique est (au moins légèrement)
résistif. Toutefois il est possible de fournir au circuit (grâce à un dispositif supplémentaire) à chaque instant une
énergie équivalente à l’énergie qu’il dissipe par effet joule. Ainsi le circuit RLC devient équivalent à un circuit LC et
oscille avec une période propre T0 qui dépend uniquement de la valeur de L et de la valeur de C (T0 = 2.LC) !
Rem. :
uC(t)2 = E2.(cos(2
T0.t))2
élec = 1
2.C.uC(t)2 = 1 2.C.E2.(cos(2
T0.t))2
i(t)2 = Im2.(sin(2
T0.t))2
magn = 1
2.L.i(t)2 = 1 2.L.Im2.(sin(2
T0.t))2
totale = 1
2.C.E2.(cos(2 T0.t))2 + 1 2.L.Im2.(sin(2 T0.t))2 = 1 2.C.E2.(cos(2 T0.t))2 + 1 2.L.(2 T0)2.C2E2.(sin(2 T0.t))2
totale = 1
2.C.E2.(cos(2 T0.t))2 + 1 2.
L.
L C.C
E2.(sin(2
T0.t))2
totale = 1
2.C.E2.((cos(2 T0.t))2 + (sin(2 T0.t))2). Or (sin a)2 + (cos a)2 = 1
Donc totale = 1
2.C.E2 = cste, dans le cas d’oscillations entretenues (ou amortissement nul) !
_________________________
http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/phy_chi/Menu/Activites_pedagogiques/livre_TS/
http://perso.orange.fr/gilbert.gastebois/java/rlc/rlclib/rlc.html (Cliquer sur RLC et observer l’influence de R, de L et C sur la forme de la tension ; puis
observer l’influence de L et de C sur la période propre T0).
i
(L,r)
C
uC
uL
i
E–
E+
R0
dispositif
d’entretien des
oscillations